Econometría de series de tiempo aplicada a macroeconomía y finanzas

Transcripción

1 Econometría de series de tiempo aplicada a macroeconomía y finanzas Series de Tiempo no Estacionarias Carlos Capistrán Carmona ITAM

2 Tendencias Una tendencia es un movimiento persistente de largo plazo de una variable a través del tiempo. Una serie de tiempo fluctua alrededor de su tendencia. Existen dos clases de tendencias: Una tendencia determinística es una función no aleatoria del tiempo. Por ejemplo, puede ser lineal en el tiempo. Si la inflación se incrementara 0.1 de punto porcentual cada trimestre, podríamos escribir esta tendencia como 0.1t, t medido en trimestres. Una tendecia estocástica es aleatoria y cambia con el tiempo. Por ejemplo, una tendencia estocástica en la inflación podría presentar incrementos por un periodo largo de tiempo, seguido por un periodo largo de reducciones. Hay que tener cuidado al definir la tendecia. Si medimos la temperatura entre las 6:00 am y las 12:00 pm, podemos pensar que el proceso que genera la temperatura durante el día tiene una tendencia creciente.

3 Caminata aleatoria o Random Walk El modelo más simple de una variable con una tendencia estocástica es una caminata aleatoria. Una serie de tiempo y t sigue una caminata aleatoria si el cambio en y t es i.i.d., esto es, si: y t = y t 1 + ε t ε t es i.i.d. En general, es común referirse a una serie como caminanta aleatoria si sigue un modelo como el anterior pero con E [ε t y t 1, y t 2,...] = 0 La idea básica atrás de una caminata aleatoria es que el valor de una serie mañana es el valor de hoy más un cambio impredecible (la trayectoria de y t sigue pasos aleatorios). E [y t y t 1, y t 2,...] = y t 1. Si y t sigue una caminata aleatoria, el mejor pronóstico del valor de mañana es el valor de hoy. Si la serie tiene una tendecia a moverse, esta se conoce como caminata aleatoria con tendencia (o Random walk with drift ): y t = α 0 + y t 1 + ε t

4 Una caminata aleatoria no es estacionaria Si y t sigue una caminata aleatoria, entonces no es estacionaria. La varianza de una caminata aleatoria aumenta con el tiempo, por lo que la distribución de y t cambia con el tiempo: y t = y t 1 + ε t, var (y t ) = var (y t 1 ) + var (ε t ), var (y t ) = var (y t 1 ) Otra forma de verlo es pensando que y t empieza en cero, es decir, y 0 = 0. Entonces, y 1 = ε 1, y 2 = ε 1 + ε 2, de tal forma que y t = ε 1 + ε ε t. Y por lo tanto, var (y t ) = var (ε 1 + ε ε t ) = tσ 2 ε. A pesar de que las autocorrelaciones poblacionales de una caminata aleatoria no están definidas, las autocorrelaciones muestrales tienden a ser cercanas a 1.

5 Tendencias estocásticas, modelos autorregresivos y raíces unitarias La caminata aleatoria es un caso especial de un AR(1) con α 1 = 1. Es decir, si α 1 = 1, entonces y t tiene una tendencia estocástica y no es estacionaria. En cambio, si α 1 < 1, entonces y t es estacionaria. Para el caso de un AR(p), la condición que se debe cumplir para que sea estacionario es que las soluciones a la ecuación 1 α 1 z α 2 z 2... α p z p = 0 tienen que ser mayores a 1 en valor absoluto (i.e., las raíces del polinomio tienen que estar fuera del círculo unitario). En el caso de un AR(1), la raíz es z = 1 α 1, por lo que la raíz es mayor a uno en valor absoluto si α 1 < 1. Si el AR(p) tiene una raíz que es igual a 1, entonces la serie tiene una raíz unitaria y tiene una tendencia estocástica.

6 Problemas ocasionados por tendencias estocásticas Si el regresor tiene una raíz unitaria, el estimador de MCO de su coeficiente y su estadístico t de MCO, pueden tener distribuciones distintas a la normal, incluso en muestras grandes. Esto genera por lo menos tres problemas específicos: 1 El estimador del coeficiente del autorregresivo en un AR(1) está sesgado hacia 0 si su verdadero valor es 1. 2 Los estadísticos t de los regresores con tendencias estocásticas pueden tener una distribución diferente a la normal, incluso en muestras grandes. 3 Dos series que son independientes podrían, con alta probabilidad, parecer estar relacionadas si ambas tienen tendencias estocásticas (regresión espuria).

7 Pruebas de raíz unitaria en procesos autorregresivos De manera informal, podemos detectar tendencias en series de tiempo utilizando la gráfica de la serie contra el tiempo y el correlograma. En particular, si la serie tiene una tendencia estocástica, la primera autocorrelación es cercana a 1, por lo tanto, una primera autocorrelación pequeña y una gráfica contra el tiempo que no muestra una tendencia sugieren que la serie no tiene una tendecia. Un procedimiento más formal consiste en llevar a cabo una prueba de raíz unitaria. Una prueba muy usada, y una de las más confiables, es la prueba de Dickey-Fuller (1979).

8 Pruebas de raíz unitaria en procesos autorregresivos La prueba de Dickey-Fuller para el AR(1) Sea X t un proceso AR(1): X t = ρx t 1 + ε t X t X t 1 = ρx t 1 X t 1 + ε t X t = (ρ 1)X t 1 + ε t X t = ax t 1 + ε t. Si ρ = 1,entonces X t sigue una caminata aleatoria (es no estacionaria), por lo tanto: H 0 : a = 0 (i.e. raíz unitaria) H a : a < 0 (i.e. serie estacionaria). donde la hipótesis alternativa corresponde a estacionariedad.

9 Pruebas de raíz unitaria en procesos autorregresivos La prueba de Dickey-Fuller para el AR(1) Existen tres formas de realizar la prueba: X t = ax t 1 + ε t X t = m + ax t 1 + ε t, (i.e., con constante) X t = m + αt + ax t 1 + ε t, (i.e., con constante y tendencia). estas son distintas dependiendo de qué proceso estocástico se asuma para la hipótesis alternativa. La prueba esta basada en â o en tâ. Si el valor de tâ es muy grande, entonces rechazamos la hipótesis nula de raiz unitaria. El estadistico asociado a â, tâ, es conocido como Estadístico Dickey-Fuller, el cual posee una distribución diferente a una t, y por lo tanto posee diferentes valores críticos. El valor crítico correspondiente a la prueba con un constante, y un nivel de significancia de 5% es 2.86, mientras que el correspondiente a una normal sería 1.64.

10 Pruebas de raíz unitaria en procesos autorregresivos La prueba de Dickey-Fuller Aumentada La prueba se puede aumentar para aplicarla a procesos AR(p), la regresion de la ADF es: X t = (m+)ax t 1 (+β 0 t) + β 1 X t β k X t k + ε t H 0 : a = 0 (i.e. raíz unitaria) H 1 : a < 0 (i.e. serie estacionaria). Se realiza la prueba de esta manera, por que en la DF, ε t podría no ser ruido blanco, lo que afectaría la distribución de â. Se utiliza algun criterio de información, como BIC o AIC, para seleccionar los k rezagos. La Prueba de Dickey-Fuller Aumentada usa las mismas tablas que la Prueba de Dickey-Fuller.

11 Cambios estructurales Son otro tipo de no-estacionaridad que surge cuando la función de regresion poblacional cambia durante la muestra. Pueden surgir por cambios discretos en los coeficientes de la regresión o por una evolución gradual de estos.

12 Cambios estructurales Problemas causados por cambios estructurales Si existe un cambio estructural en la muestra y estimamos una regresión utilizando MCO, los estimadores usando toda la muestra estimarán una regresión promedio (van a combinar los dos periodos), lo que afectará negativamente la inferencia y los pronósticos. La magnitud del problema depende de donde ocurra el cambio (en qué parte de la muestra).

13 Cambios estructurales Cómo se modelan los cambios estructurales? La manera más sencilla de modelar los cambios estructurales es por medio de variables dicotómicas (i.e. variables dummy). Supongamos un caso con la siguiente forma poblacional: y t = α 0 + u t en la cual exista un cambio estructural en el parametro α 0 en el tiempo τ. Definimos la variable dicotómica: D = { 0, t = 0...τ 1 1, t = τ...t Podemos entonces correr la regresión: y t = α 0 + γ 0 D + u t E[y t D = 0] = α 0 E[y t D = 1] = α 0 + γ 0

14 Cambios estructurales Cómo se modelan los cambios estructurales? Si la forma poblacional fuera, y t = α 0 + α 1 x t + u t, y exisitiera un cambio estructural en la misma fecha que afectara tanto al parámetro α 0 cómo al parámetro α 1,la variable dicotómica se utiliza de la siguiente manera: y t = α 0 + γ 0 D + α 1 x t + γ 1 Dx t + u t E[y t D = 0] = α 0 + α 1 x t E[y t D = 1] = (α 0 + γ 0 ) + (α 1 + γ 1 ) x t

15 Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales Si la fecha de cambio es conocida, se pueden utilizar variables dummies para probar si existe el cambio estructural. Por ejemplo, sea el modelo poblacional: y t = α 0 + α 1 y t 1 + α 2 x t + u t u t iid(0, σ 2 ) con fecha de cambio estructural conocida, τ. Formamos la variable dicotómica: { 0, t < τ D = 1, t τ Incorporando la dummy a la forma poblacional anterior: y t = α 0 + γ 0 D t (τ) + α 1 y t 1 + γ 1 D t (τ)y t 1 + α 2 x t + γ 2 D t (τ)x t + u H 0 : γ 0 = γ 1 = γ 2 = 0 No existe cambio estructural en τ H 1 : γ i = 0 i = 1, 2, ó, 3 Si existe cambio estructural en τ

16 Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales A la prueba descrita anteriormente se le conoce como Prueba de Chow. Los supuestos para poder realizar la prueba de Chow son: La fecha de cambio es conocida de manera exógena. La varianza de los errores no cambia, en caso de existir cambios en la varianza, no será posible detectar los cambios buscados. Un punto importante de la prueba de Chow es que es flexible como para poder buscar cambios estructurales en cualquier subconjunto de los coeficientes de la regresion, es decir, se puede probar la existencia de cambios estructurales únicamente en α 0, ó en α 0, α 1, ó en α 0, α 1, α 2, etc.

17 Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida En estos casos, suponemos que el cambio estructural ocurrió entre una fecha τ 0 y τ 1 (τ 0 podría ser el inicio de la muestra y τ 1 podría ser el final de la muestra). Se calcula la prueba de Chow para cada una de las observaciones entre τ 0 y τ 1. Una vez que se tienen los n estadísticos F que se derivan de las n pruebas de Chow, se realiza la prueba conocida como QLR: QLR = máx [F(τ 0 ), F(τ o + 1),..., F(τ 1 )]

18 Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida El estadístico QLR selecciona la F más grande. La fecha correspondiente al estadístico F más grande, es la fecha de cambio estimada. Dado que el estadístico QLR es el máximo de muchos estadísticos F, su distribución no es la de una F individual. Se necesita una distribucion que depende del número de restricciones en las pruebas conjuntas y de τ 0 /T y τ 1 /T. Las tablas con la distribución del estadístico QLR se pueden encontrar en Andrews, D.W.K (2003) Econométrica.

19 Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida Debido a que la distribución asintótica asume que τ 0 y τ 1 no están en los extremos, lo que se hace para tener buenas estimaciones es no utilizar el principio ni el final de la muestra. Así si se fija un triming de 15%, τ 0 = 0.15T y τ 1 = 0.75T, y por lo tanto sólo se utilizaría el 70% de la muestra.

20 Bibliografía Enders, Walter Applied Econometric Time Series. 3a ed. New Jersey:Wiley. Hamilton, James D Times Series Analysis. Princeton University Press. Hansen, B.E The New Econometrics of Structural Change: Dating Breaks in US Labor Productivity. The Journal of Economic Perspectives, 15(4), Stock, James H. y Mark W. Watson n edition. Introduction to Econometrics. Pearson, Addison Wesley.