Matemáticas Empresariales I Lección 10 Ecuaciones Dinámicas

Transcripción

1 Matemáticas Empresariales I Lección 10 Ecuaciones Dinámicas Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 19

2 Ecuaciones Dinámicas Modelizar de forma matemática la evolución de una variable a lo largo del tiempo Tiempo continuo = cualquier momento del tiempo = Ecuaciones diferenciales Tiempo discreto = determinados momentos = Ecuaciones en diferencias M. León Matemáticas Empresariales I 2 / 19

3 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales Relaciona una o varias variables independientes y sus derivadas hasta un cierto orden. Orden = la derivada más elevada. La expresión general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n es F (x, y, y, y,..., y n ) = 0 Y, si es posible escribirla como (forma normal): y n = H(x, y, y, y,..., y n 1 ) Solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una función que tiene derivadas hasta el orden n y que convierte a la ecuación en una identidad M. León Matemáticas Empresariales I 3 / 19

4 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales - Ejemplo Comprobar que dada la ecuación diferencial y 2y + y = 0, la función f (x) = e x es solución de la misma pero la función g(x) = x 2 no lo es. En primer lugar, para comprobar que f (x) es una solución, se debe calcular f (x) y f (x). En este caso f (x) = e x y f (x) = e x y por lo tanto, al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene que y 2y + y = 0 e x 2e x + e x = 2e x 2e x = 0 Con g(x) se calcula g (x) = 2x y g (x) = 2 y se sustituye: y 2y + y = x + x 2 0 M. León Matemáticas Empresariales I 4 / 19

5 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales de primer orden y (t) = λy(t) Para encontrar la solución de la ecuación anterior, y teniendo en cuenta el cambio de notación y (t) = dy(t) d(t) se obtiene que dy(t) d(t) = λy(t) dy(t) = y(t) = λd(t) Si se integra a ambos lados de la ecuación dy(t) y(t) = λd(t) se obtiene que Lny = λt + C M. León Matemáticas Empresariales I 5 / 19

6 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales de primer orden Y despejando y = e λt e C Llamando a e C = A = solución general y(t) = Ae λt Comprobar que es una solución = y (t) = λy(t) El valor de A = condición inicial (t = 0): y(0) = y 0 y por lo tanto y(0) = Ae λ0 = y 0 = y(0) = A 1 = y 0 = A = y 0 M. León Matemáticas Empresariales I 6 / 19

7 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales: Propiedades Punto de equilibrio Condición inicial (y 0 ) a partir de la cual y t permanece constante y (t) = 0 t Ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden, esto ocurre cuando y (t) = λy = 0 que se cumplirá para y 0 = { 0 si λ 0 k si λ = 0 k M. León Matemáticas Empresariales I 7 / 19

8 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales: Propiedades Comportamiento asintótico ĺım y(t) t En el caso de las ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden: ĺım y 0e λt t 1 Si λ = 0 entonces ĺım t y 0 e 0 t = y 0 2 Si λ > 0 entonces ĺım t y 0 e λ t = (explosivo) (y 0 = 0 repulsor global) 3 Si λ < 0 entonces ĺım t y 0 e λ t = 0 (0 es un atractor global) M. León Matemáticas Empresariales I 8 / 19

9 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales: Propiedades Estabilidad y 0 y ỹ 0 son condiciones inicial próximas = y 0 ỹ 0 en el infinito. Homogéneas de primer orden y 0 ỹ 0 e λ t que dependerá del valor de λ: 1 Si λ = 0 entonces ĺım t y 0 ỹ 0 e λ t = y 0 ỹ 0 < ɛ.= sistema es estable. 2 Si λ > 0 entonces ĺım t y 0 ỹ 0 e λ t = y 0 ỹ 0 ĺım t e λ t =. = inestable ya que las condiciones iniciales se separarán cada vez más. 3 Si λ < 0 entonces ĺım t y 0 ỹ 0 e λ t = y 0 ỹ 0 ĺım t e λ t = 0. = sistema es asintóticamente estable ya que las condiciones iniciales se unirán cada vez más hasta que la distancia entre ellas sea 0. M. León Matemáticas Empresariales I 9 / 19

10 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales: Ejemplo Suponemos que tenemos un bono del estado español con un principal de 100 u.m. y éste bono promete un rendimiento continuo (va pagando durante todo el momento del tiempo) del 2 %. Cual es la evolución el valor de nuestra inversión a lo largo del tiempo? Sabemos que el ritmo de crecimiento del bono será r = 0,02 ya que crece al 2 % de forma constante, por lo tanto la evolcuión del bono vendrá dada por la siguiente ecuación: La solución a dicha ecuación es B (t) = rb(t) = 0,02B(t) B(t) = Ae rt = Ae 0,02t Y para encontrar el valor de A se parte de la condición inicial B(0) = 100 ya que en el instante inicial nuestra inversión vale la cantidad que hemos puesto inicialmente. Por lo tanto B(0) = Ae r 0 = 100 y por lo tanto A = 100. M. León Matemáticas Empresariales I 10 / 19

11 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones diferenciales: Ejemplo La solución a nuestra ecuación diferencial tiene la forma B(t) = 100e rt = 100e 0,02t Con la evolución temporal de nuestra variable podemos hacernos varias preguntas: 1 Cuanto valdrá nuestra inversión cuando pasen 20 periodos? = B(20) = 100e 0,02 20 = 100e 0,4 = 100 1,49 = 149 u.m. 2 Si queremos retirar la inversión cuando tengamos 200 u.m., cuanto tenemos que esperar?. = B(t) = 200 o tb 100e 0,02t = 200 y despejando t = ln(2) 0,02 = 34,65 M. León Matemáticas Empresariales I 11 / 19

12 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias Evolución temporal de una variable en tiempo discreto (k momentos del tiempo) La expresión general de una ecuación en diferencias tiene la forma y(k + n) = f (y(k + n 1), y(k + n 2),...y(k), k) Donde y(k) es la variable de estado. Orden: Diferencia entre la etapa más grande y la más pequeña (k + n k = n). Solución: función y(k) tal que la ecuación se verifica. M. León Matemáticas Empresariales I 12 / 19

13 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias de primer orden Las ecuaciones diferenciales, lineales, con coeficientes constantes y homogéneas de primer orden toman la forma y(k + 1) = λy(k) La solución general de las ecuaciones en diferencias de primer orden tiene la forma y(k) = Aλ k. Comprobación: y(k) = Aλ k y(k + 1) = Aλ k+1 Y sustituyendo en y(k + 1) = λy(k) M. León Matemáticas Empresariales I 13 / 19

14 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias de primer orden (cont.) Se obtiene que Aλ k+1 = λaλ k = Aλ k+1 A se obtiene de una condición inicial y(0) = y 0 = y(0) = Aλ 0 = y 0 = A = y 0. M. León Matemáticas Empresariales I 14 / 19

15 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias de primer orden: propiedades Punto de equilibrio y(k) = ȳ k. Esto ocurre cuando ȳ = λȳ: Si λ 1 el único valor que cumple lo anterior es ȳ = 0 Si λ = 1 = ȳ = 1 ȳ y cualquier condición inicial es punto de equilibrio. M. León Matemáticas Empresariales I 15 / 19

16 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias de primer orden: propiedades Comportamiento asintótico ĺım k y(k) grado 1 = ĺım k Aλ k 1 Si λ > 1 entonces ĺım k Aλ k = (excepto y 0 = 0) Comportamiento explosivo y 0 repulsor global del sistema. 2 Si 0 < λ < 1 entonces ĺım k Aλ k = 0 Decaimiento exponencial (0 es un atractor global) 3 Si 1 < λ < 0 entonces ĺım k Aλ k = 0. Decaimiento exponencial oscilante 4 Si λ < 1 entonces ĺım k Aλ k = ±. Comportamiento explosivo que no converge a ningún valor (+ y alternando) 5 Si λ = 1 entonces ĺım k Aλ k = ±y 0 Comportamiento cíclico tomao valores y 0 y 0 de forma consecutiva y alternada. M. León Matemáticas Empresariales I 16 / 19

17 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias de primer orden: propiedades Estabilidad y 0 λ k ỹ 0 λ k y operando y 0 ỹ 0 λ k, que dependerá del valor de λ: 1 Si λ = 1 = ĺım k y 0 ỹ 0 λ k = y 0 ỹ 0 < ɛ. Estable 2 Si λ > 1 = ĺım k y 0 ỹ 0 λ k = y 0 ỹ 0 ĺım k λ k =. Inestable 3 Si λ < 1 entonces ĺım k y 0 ỹ 0 λ k = y 0 ỹ 0 ĺım k λ k = 0. Asintóticamente estable M. León Matemáticas Empresariales I 17 / 19

18 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias de primer orden: Ejemplo Suponemos que tenemos un bono del estado español con un principal de 100 u.m. y éste bono promete un interés anual del 2 %. Cual es la evolución el valor de nuestra inversión a lo largo del tiempo si los intereses se pagan una vez, al final de cada año? Sabemos que el valor de nuestro bono será lo que vale nuestro capital junto con el porcentaje de interés. Es decir en el periodo siguiente el valor de la inversión será el principal más los intereses (un 2 % del principal). Por lo tanto la evolución del bono vendrá dada por la siguiente ecuación: La solución a dicha ecuación es B(k + 1) = (1 + r)b(k) = (1,02)B(k) B(k) = A(1 + r) k = A 1,02 k M. León Matemáticas Empresariales I 18 / 19

19 Ecuaciones Dinámicas: Ecuaciones en diferencias de primer orden: Ejemplo Y para encontrar el valor de A se parte de la condición inicial B(0) = 100 ya que en el instante inicial nuestra inversión vale la cantidad que hemos puesto inicialmente. Por lo tanto B(0) = A(1 + r) 0 = 100 y por lo tanto A = 100. La solución a nuestra ecuación diferencial tiene la forma B(k) = 100(1 + r) k = 100 1,02 k Con la evolución temporal de nuestra variable podemos hacernos varias preguntas: 1 Cuanto valdrá nuestra inversión cuando pasen 20 periodos? Con k = 20 = B(20) = 100(1 + 0,02) 2 0 = 100 1,485 = 100 1,485 = 148,5 u.m. 2 Si queremos retirar la inversión cuando tengamos 200 u.m., cuanto tenemos que esperar?. k/b(k) = 200 o 100(1 + 0,02) k = 200 = k = ln(2) ln(1,02) = 35,02 M. León Matemáticas Empresariales I 19 / 19