Sistemas autónomos. Introducción a la teoría cualitativa.

Transcripción

1 Lección 4 Sistemas autónomos. Introducción a la teoría cualitativa. 4.1 Sistemas autónomos. Mapas de fase. En esta lección nos centraremos en el estudio de sistemas autónomos, es decir, aquellos que pueden escribirse la forma x = f(x). Las soluciones de los sistemas autónomos tienen una propiedad importante, que es la invariancia por traslaciones en tiempo. Más concretamente se verifica que x(t, t 0, x 0 ) = x(t t 0, 0, x 0 ), es decir, fijada una condición inicial, el valor de una solución en un tiempo dado depende exclusivamente del tiempo transcurrido desde el instante en el que se satisfacía dicha condición inicial. Gracias a esta propiedad no perdemos generalidad si consideramos problemas de valores iniciales con tiempo inicial t 0 = 0. En lo sucesivo estudiaremos por tanto el problema de valores iniciales { x = f(x) (4.1) x(0) = x 0. y denotaremos por x(t, x 0 ) la solución (maximal) del mismo. Denotaremos por I(x 0 ) el intervalo de definición de dicha solución. Supondremos, también, en lo sucesivo que la función f es de clase C 1 en un abierto Ω R n. Esta hipótesis garantiza existencia, unicidad y dependencia continua respecto de las 36

2 Sistemas autónomos. Teoría cualitativa. 37 condiciones iniciales de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales (4.1) para cualquier condición inicial x 0 Ω. Para cada t R fijo se define la aplicación Φ t que envía cada condición inicial x 0 Ω en Φ t (x 0 ) = x(t, x 0 ), es decir, en el valor en tiempo t de la solución de (4.1) que pasa por x 0. Esta aplicación recibe el nombre de aplicación flujo y verifica las dos propiedades siguientes: 1. Φ 0 (x) = x, x Ω. 2. Φ t+s (x) = Φ t (Φ s (x)), para cada x Ω, y t, s R verificando t I(Φ s (x)), s I(x) y t + s I(x). Definición 4.1. Sea x 0 Ω. Se llama trayectoria u órbita del punto x 0 al conjunto γ(x 0 ) = {x(t, x 0 ), t I(x 0 )} Ω. Observación 4.1. Las trayectorias de un sistema autónomo son curvas en R n que poseen una orientación natural, esto es, las curvas se recorren en la dirección t creciente. Observación 4.2. Notemos que las trayectorias son las proyecciones sobre el eje x (R n )de las gráficas de las soluciones, es decir de los conjuntos {(t, x(t, x 0 )), t I(x 0 )} R R n. Observación 4.3. La invariancia por traslaciones de las soluciones tiene como consecuencia que γ(x 1 ) = γ(x 0 ) si x 1 es un punto cualquiera de la órbita de x 0, γ(x 0 ). Definición 4.2. Un punto x tal que f(x ) = 0 se llama un equilibrio del sistema de ecuaciones diferenciales (4.1). Observación 4.4. Si f(x 0 ) = 0, es decir, si x 0 es un punto de equilibrio, entonces su órbita se reduce a un único punto, es decir, γ(x 0 ) = {x 0 }. Definición 4.3. Se llama diagrama de fases al conjunto de todas las órbitas o trayectorias del sistema. Proposición 4.1. Si x(t), y(t) son dos soluciones del sistema x = f(x) verificando que x(t 1 ) = y(t 2 ), t 1 t 2, entonces y(t) = x(t+t 1 t 2 ), para todo t en el intervalo de definición de la solución y. En consecuencia las trayectorias de dos soluciones o bien no tienen ningún punto en común o bien coinciden.

3 Sistemas autónomos. Teoría cualitativa. 38 Proposición 4.2. Sea x(t) una solución del sistema x = f(x). Si existen t 1, t 2, t 1 t 2 verificando x(t 1 ) = x(t 2 ) entonces, o bien x(t) = x 0, para todo t, siendo x 0 un punto de equilibrio, o bien x(t) es una solución periódica y su trayectoria es una curva cerrada simple (una curva simple es una curva que no se corta a sí misma). Observación 4.5. Notemos que en le caso de la última proposición, se verifica que x(t) = x(t + t 1 t 2 ). Es decir t 1 t 2 es un periodo de la solución. Observación 4.6. El mapa de fases de un sistema autónomo consta de trayectorias que no se cortan y son de uno de los tres tipos siguientes: 1. Puntos de equilibrio. 2. Curvas abiertas simples. 3. Curvas cerradas simples. 4.2 Estabilidad de puntos de equilibrio Definición 4.4. Sea x un punto crítico de (4.1). 1. x se dice que es estable si dado ɛ > 0 existe δ = δ(ɛ) > 0 tal que si x 0 x < δ entonces x(t, x 0 ) x < ɛ, t > x se dice que es asintóticamente estable si es estable y existe η > 0 tal que si x 0 x < η entonces lim x(t, x 0) x = 0. t 3. x se dice que es inestable si no es estable Repaso de la estabilidad de puntos de equilibrio para sistemas lineales. El origen del sistema x = Ax es estable si y sólo si todas las soluciones del sistema están acotadas cuando t tiende a infinito. El origen es asintóticamente estable si y sólo si todas las soluciones del sistema tienden a cero cuando t tiende a infinito.

4 Sistemas autónomos. Teoría cualitativa. 39 El origen es inestable si no es estable. El origen es estable si y sólo si todos los autovalores de la matriz A tienen parte real no positiva y los de parte real cero tienen igual multiplicidad algebraica que geométrica. El origen es asintóticamente estable si y sólo si todos los autovalores de A tienen parte real estrictamente negativa. Si existe algún autovalor con parte real positiva el origen es inestable. Mientras que en el caso lineal el origen es el único equilibrio y si es estable todas las soluciones están acotadas y si es asintóticamente estable todas las soluciones tienden a cero cuando t tiende a infinito, en el caso no lineal pueden aparecer simultánemente en una ecuación equilibrios estables, asintóticamente estables e inestables El sistema linealizado Si x es un punto de equilibrio de (4.1) al sistema x = f x (x )x se le llama sistema linealizado en torno al equilibrio. Los siguientes teoremas indican que del comportamiento de las soluciones del sistema linealizado se puede obtener en ocasiones información acerca del comportamiento de las soluciones del sistema no lineal, en un entorno del punto de equilibrio. Teorema 4.3. Supongamos que x es un punto crítico y que el sistema linealizado en x es asintóticamente estable, entonces x es un equilibrio asintóticamente estable del sistema no lineal x = f(x). Es más, existen constantes C > 0, K > 0 tales que para η x suficientemente pequeño se verifica x(t, η) x Ke Ct η x, t 0. Teorema 4.4. Supongamos que x es un punto crítico. Si al menos uno de los autovalores de la matriz f x (x ) del sistema linealizado tiene parte real estrictamente positiva entonces x es un punto crítico inestable del sistema no lineal. Definición 4.5. Se dice que el punto de equilibrio x del sistema (4.1) es hiperbólico si Re(λ) 0 para todo autovalor λ de f x (x ).

5 Sistemas autónomos. Teoría cualitativa. 40 Observación 4.7. Los teoremas anteriores permiten decidir la estabilidad o inestabilidad de un punto de equilibrio en el caso hiperbólico. Si Reλ = 0 para algún autovalor, no es posible, en principio, decir nada acerca de la estabilidad o inestabilidad del equilibrio x. En el caso plano es posible obtener más información acerca del aspecto cualitativo del mapa de fases. Sea x un equilibrio de un sistema autónomo plano x = f(x) con f derivable con continuidad en un abierto Ω R 2. Sean λ 1 y λ 2 los autovalores de la matriz f x (x ) y v 1 y v 2 autovectores correspondientes a λ 1 y λ 2 respectivamente. Se pueden dar las siguientes configuraciones en el plano de las fases: 1. x es un foco si λ 1 = λ 2 C, con Im(λ 1 ) 0 y Re(λ 1 ) 0. Las trayectorias son espirales que entran en x si Re(λ 1 ) < 0 (foco estable) o salen de x si Re(λ 1 ) > 0 (foco inestable). 2. x es un nodo propio si los autovalores son reales y distintos con λ 1 < λ 2 < 0 (nodo estable) o λ 1 > λ 2 > 0 (nodo inestable). Existe exactamente una trayectoria que entra (sale) en x en la dirección de v 1 y una en la dirección de v 1. Existen infinitas en las direcciones de v 2 y v Si λ 1 = λ 2 0 el origen es un punto estrella o un nodo impropio del sistema linealizado. Estas dos configuraciones no se conservan en el sistema no lineal (si lo hace la estabilidad o inestabilidad, según el teorema 4.3) salvo si la función f es al menos dos veces derivable con continuidad. 4. Si λ 1 < 0 < λ 2, el equilibrio x es un punto de silla. Esto es, existen exactamente dos trayectorias Γ 1 y Γ 2 que entran x en las direcciones de v 1 y v 1 respectivamente y exactamente dos trayectorias Γ 3 y Γ 4 que salen de x en las direcciones de v 2 y v 2 respectivamente. A la curva S = Γ 1 Γ 2 {x } se le de nomina variedad estable y a la curva U = Γ 3 Γ 4 {x } se le denomina variedad inestable. v 1 es tangente a S en x y v 2 es tangente a U en x. Además, exite R > 0 tal que si x 0 x < R existen t 1 < 0 < t 2 tales que x(t 1, x 0 ) x > R y x(t 2, x 0 ) x > R. Es decir todas las soluciones que no comienzan en las variedades estable o inestable salen de un entorno del equilibrio cuando t y cuando t. 5. Si λ 1 = λ 2 C con Re(λ 1 ) = Re(λ 2 ) = 0, el origen es un centro en el sistema linealizado. Esta configuración no se conserva, en general, en el sistema no lineal donde el equilibrio x puede ser un centro, un foco estable o inestable o un punto de rotación.

6 Sistemas autónomos. Teoría cualitativa Si alguno de los autovalores λ 1 o λ 2 son nulos, es decir si la matriz del sistema linealizado f x (x ) es singular, no se puede decidir la estabilidad o inestabilidad de x 0 ni el tipo de configuración local del mapa fases. Veremos un ejemplo de esta situación en la sección siguiente Sistemas conservativos. Una ecuación conservativa es una ecuación de segundo orden (en nuestro caso escalar) de la forma ẍ + f(x) = 0. (4.2) Ejemplos típicos de ecuaciones de esta forma son la ecuación del péndulo simple θ + g l sin θ = 0, (g es la gravedad y l la longitud del péndulo) y las ecuaciones de los resortes no lineales ü + k(u + βu 3 ) = 0, (k es una constante positiva y β = ±1). En general, al describir un sistema físico con un grado de libertad aparecen ecuaciones con la forma general d 2 x dx + g(t, x, dt2 dt ) = 0, Cuando la fuerza g depende únicamente de la posición se dice que el sistema es conservativo. Supondremos en lo sucesivo que la función f en (4.2) es derivable con continuidad en un cierto intervalo abierto de R. Sea U(x) = f(x) dx una primitiva. La función U(x) se denomina la función de energía potencial de (4.2). Notemos que está determinada salvo una constante aditiva. La función de energía total del sistema es la función E(x, ẋ) = 1 2ẋ + U(x), donde el término 1 2ẋ puede interpretarse como la energía cinética. La ecuación (4.2) se escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal introduciendo como nueva variable la velocidad y = ẋ. El sistema ẋ = y, (4.3) ẏ = f(x),

7 Sistemas autónomos. Teoría cualitativa. 42 es claramente equivalente a la ecuación de segundo orden (4.2). La correspondiente función de energía total es la función de R 2 a R definida por E(x, y) = 1 2 y2 + U(x). Se tiene la siguiente propiedad básica en el estudio de sistemas conservativos: Proposición 4.5. Sea [x(t), y(t)] una solución cualquiera de (4.3). Entonces E(x(t), y(t)) = E(x(0), y(0)). Demostración. Derivando con respecto a t se tiene d dt E(x(t), y(t)) = E(x(t), y(t))[ẋ(t), ẏ(t)]t = Por lo tanto E(x(t), y(t)) es constante. = f(x(t))ẋ(t) + y(t)ẏ(t) = f(x(t))y(t) + y(t)( f(x(t))) = 0. La proposición tiene una clara consecuencia: Las trayectorias del mapa fases correspondientes al sistema (4.3) se sitúan sobre las curvas de nivel de la función E(x, y). Es decir, la familia de curvas en el plano { (x, y) E(x, y) = E0 } E 0 R describe completamente el mapa de fases. El estudio de estas curvas de energía total constante puede hacerse de una forma relativamente sencilla mediante el estudio de la función de energía potencial. Notemos en primer lugar que todos los equilibrios del sistema (4.3) son de la forma (x, 0) con f(x ) = U (x ) = 0. Es decir, los equilibrios se corresponden con los puntos críticos de la energía potencial y, también, con puntos críticos de la energía total. Tenemos los siguientes casos: 1. x es un mínimo de U(x). Supongamos, por sencillez en la exposición, que U (x ) > 0. Entonces es fácil ver (estudiando el Hessiano de E(x, y) por ejemplo) que también es un mínimo para E(x, y). En un entorno del punto (x, 0) las curvas de nivel de la energía serán curvas cerradas y el equilibrio es un CENTRO de (4.3). 2. x es un máximo de U(x). Entonces el punto (x, 0) es un punto de silla de E(x, y) y el equilibrio (x, 0) es un PUNTO DE SILLA.

8 Sistemas autónomos. Teoría cualitativa x es un punto de inflexión de U(x), entonces (x, 0) es una CÚSPIDE de (4.3). Notemos que, en este caso, U (x ) = 0 y el sistema linealizado tiene por matriz ( ) 0 1 A =, 0 0 con autovalores nulos (ver la sección anterior). Es importante notar que el estudio de la energía potencial permite describir aspectos globales del mapa de fases. Para terminar consideremos una ecuación conservativa perturbada ẍ + f(x) + h(ẋ) = 0, con h(0) = 0. En forma de sistema de primer orden la ecuación es ẋ = y, ẏ = f(x) h(y). (4.4) Un ejemplo de este tipo de ecuaciones es la ecuación del péndulo simple con rozamiento θ + b θ + sin θ = 0. Consideremos la misma función de energía E(x, y) = 1 2 y2 + U(x), con U(x) una primitiva de la función f(x). Ahora se tiene que para cualquier solución [x(t), y(t)] d E(x(t), y(t)) = y(t)h(y(t)). dt Por lo tanto en las regiones donde yh(y) 0 la energía es decreciente a lo largo de las soluciones y la perturbación es una disipación. La consecuencia es que un equlibrio (x, 0) que es un centro del sistema conservativo que se obtiene con h 0, se convierte en un punto asintóticamente estable, foco o nodo dependiendo del tamaño de h(y). Si (x, 0) es un punto de silla para el sistema conservativo, o sea x es un máximo de la energía potencial U(x), continúa siendo un punto de silla en el sistema con disipación. En las regiones donde yh(y) 0 la energía es creciente y la perturbación h actúa como una realimentación.