AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 1 / 21. Hipótesis

Transcripción

1 Mecánica del vuelo del helicóptero II 7. Estabilidad 7.1 Conceptos generales Debido a los movimientos de batimiento y arrastre de las palas el centro de gravedad cambiará su situación. Las fuerzas exteriores que actúan sobre el helicóptero producirán no sólo el vuelo de la aeronave y desplazamientos relativos entre sus componentes sino también y debido a la elasticidad de los diversos componentes, deformaciones de los mismos. 185 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 1 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 3 / 21 Mecánica del vuelo del helicóptero I Hipótesis Las ecuaciones que rigen la dinámica del helicóptero serán referidas a un sistema de ejes ligados a la estructura de la aeronave, denominado sistema de ejes cuerpo y con centro en el centro de gravedad de la aeronave. El centro de gravedad se encuentra en una posición ja en el helicóptero. El helicóptero se considera un sólido rígido. La dinámica de alta frecuencia del rotor y la del ujo del rotor se consideran mucho más rápidas que las que corresponden al movimiento global del helicóptero y tienen tiempo para alcanzar su régimen estacionario dentro de los valores típicos de las constantes de tiempo del movimiento global del helicóptero. Esto permite describir la dinámica del helicóptero mediante 6 grados de libertad: velocidad del centro de gravedad con respecto un sistema de ejes jo: v c = [ u v w ] T velocidad angular del helicóptero con respecto un sistema de ejes jo: ω = [ ] T p q r AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 2 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 4 / 21

2 Sistema de ecuaciones I Sistema de ecuaciones I Planteando equilibrio de fuerzas y momentos se obtienen las 6 ecuaciones diferenciales que describen la evolución del helicóptero. Si además se quiere conocer la posición y la actitud del helicóptero, entonces es necesario integrar las velocidades. Se tendrían, por tanto, 12 ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Para determinar la actitud del helicóptero se pueden usar los ángulos de Euler. El sistema de acuaciones que describe la dinámica del helicóptero se puede escribir como un sistema de EDO no lineal de la forma: ẋ = G(x,u,t) (1) donde el vector x es el vector de estado formado por las variables x = [ u w q Θ v p Φ r Ψ ] T y u es el vector de variables de control: u = [ θ 0 θ 1s θ 1c θ tr ] T 186 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 5 / 21 Relación entre ángulos de Euler y velocidad angular AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 7 / 21 Sistema de ecuaciones II Teniendo en cuenta que la relación entre las velocidades angulares y los ángulos de Euler es ω = [ p q r ] T = Ψk 1 + Θj 2 + Φi b, se obtiene p q r = Φ Ψ sinθ Θ cosφ + Ψ sinφcosθ Θ sinφ + Ψ cosφsinθ La relación entre las derivadas de los ángulos de Euler y las velocidades angulares será Φ Θ Ψ = p + q sinφtanθ + r cosφtanθ q cosφ r sinφ q sinφ + r cosφ cosθ El sistema de ecuaciones teniendo en cuenta las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitatorias se puede escribir como u = rv qw + X m g sinθ ẇ = qu pv + Z m + g cosθcosφ q = I z I x pr + I xz (r 2 p 2) + M I y I y I y Θ = q cosφ r sinφ v = pw + ru + Y m + g cosθsinφ ṗ = k 1 pq k 2 rq + L Φ = p + q sinφtanθ + r cosφtanθ ṙ = k 3 pq k 1 rq + N q sinφ + r cosφ Ψ = cosθ AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 6 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 8 / 21

3 Sistema de ecuaciones III Tipos de problemas I donde k 1 = I xz (I z + I x I y ) I x I z I 2 xz k 2 = I z (I z I y ) + I 2 xz I x I z I 2 xz Equilibrio global: es aquella condición de vuelo en la que la derivada con respecto el tiempo del vector de estado es nula y la resultante de momentos y fuerzas es nula. Matemáticamente representa la resolución de un problema algebraico no lineal G(x e, u e ) = y k 3 = I x (I y I x ) I 2 xz I x I z I 2 xz I z I xz L = I x I z I 2 L + xz I x I z I 2 N xz I xz N = I x I z I 2 L + xz I x I z I 2 N xz AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 9 / 21 I x El planteamiento del problema de equilibrio se puede enunciar como: dado un vector de estado jo, x e, obtener el valor del vector de variables de control necesario para obtener dicho estado, u e. Dado que se dispone sólo de cuatro controles, sólo cuatro estados de x e pueden ser prescritos en el problema de equilibrio. Los otros cinco estados aparecen como una consecuencia (sistema subactuado). AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 11 / 21 Sistema de ecuaciones IV La solución del sistema EDO no lineal dependerá de las condiciones iniciales y de la dependencia temporal del vector G y que incluye las fuerzas y momentos de origen aerodinámico, gravitacional, propulsivo, inercial... Habitualmente se emplean diferentes esquemas de integración numérica para obtener la solución de la evolución temporal del vector de estado. Este tipo de problema desde el punto de vista numérico puede resolverse de forma eciente. El principal inconveniente de este tipo de solución es la poca información cualitativa que aporta acerca del comportamiento dinámico del helicóptero. Tipos de problemas II Estabilidad: estudia el comportamiento dinámico del helicóptero cuando es separado de una posición de equilibrio mediante pequeñas perturbaciones. El problema de estabilidad se estudia mediante la linealización del sistema de ecuaciones dinámicas y analizando el problema de autovalores ( ) G λ I x x=x e = 0 Los autovalores obtenidos determinan el tipo de estabilidad de cada uno de los modos en los que se descompone el movimiento general del helicóptero. El interés del análisis de la estabilidad es determinar la evolución de la estabilidad dinámica en función de la velocidad de avance. AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 10 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 12 / 21

4 Tipos de problemas III Estabilidad II Respuesta al mando: ante una posición de mando determinar la respuesta dinámica del helicóptero mediante la determinación de la evolución temporal del vector de estado. Corresponde a la resolución del sistema de EDO no lineal de la forma: t x(t) = x(0) + G(x(τ), u(τ))dτ 0 Hipótesis: se asume que las fuerzas y momentos F y M son funciones analíticas del movimiento perturbado y sus derivadas por lo que se puede aplicar el desarrollo en serie de Taylor, es decir: X = X e + X u δ u + X v δ v + X w δ w... = X e + X u u + X v v + X w w +... En general no existen soluciones analíticas y sólo mediante técnicas numéricas se obtiene la solución de este problema. Para no complicar la notación a partir de aquí, se considerará δ x := x. Los coecientes X u, X v, X w,... reciben el nombre de derivadas de estabilidad. Las acciones serán funciones, F = ˆF(u,w,q, u,ẇ, q,v,p,r, v,ṗ,ṙ). Por tanto para determinar completamente la estabilidad se necesita evaluar 72 derivadas de estabilidad. 188 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 13 / 21 Estabilidad I AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 15 / 21 Estabilidad III Se considera una pequeña perturbación de vector de estado, x = x e + δ x y del vector de variables control u = u e + δ u. El vector de estado de equilibrio se conocerá de la posición de equilibrio x e = [ U e W e Q e Θ e V e P e Φ e R e Ψ e ] T A partir de considerar las perturbaciones como pequeñas el sistema de EDO no lineal se puede linealizar obteniéndose: δ ẋ = A δ x + B δ u (2) Inicialmente para analizar la estabilidad del helicóptero se despreciarán las derivadas de estabilidad referentes a las aceleraciones, es decir: Fẋ = 0 Mẋ = 0 donde ( ) G A = x ( ) G B = u x=x e x=x e Por tanto, en principio se deberían calcular 36 derivadas de estabilidad. AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 14 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 16 / 21

5 Estabilidad IV Dinámica I Para pequeñas perturbaciones respecto una posición de equilibrio el movimiento del helicóptero es el resultado de una combinación de modos propios, cada uno de ellos caracterizado por su frecuencia propia, amortiguamiento y forma. La dinámica del helicóptero en su movimiento libre sin excitaciones exteriores es: ẋ A x = 0 Los autovalores, λ, frecuencias propias, del helicóptero se obtienen λ I A = 0 Las autovectores, w, modos propios, del helicóptero satisfacen Rotor rígido Rotor articulado A w i = λ i w i 189 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 17 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 19 / 21 Dinámica acoplada del helicóptero I Dinámica II Fugoide en VPF: modo pendular En general se considera que los autovalores pueden aparecer en dos conjuntos: ( dinámica longitudinal: u w q Θ ) ( dinámica lateral: v p Φ r Ψ ) En una aeronave de ala ja esta separación aparece de forma natural. En cambio en el caso del helicóptero existen acoplamientos lo bastante importantes como para que la separación de la dinámica en longitudinal y lateral no sea directa. En general, los modos que presente el movimiento del helicóptero presentarán acoplamiento entre las variables longitudinales u,w,q,θy laterales v,p,r,φ,ψ. Fugoide en avance: AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 18 / 21 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 20 / 21

6 Dinámica III Balanceo holandés en VPF: modo de hoja descendiente Balanceo holandés en avance: 190 AAD (HE) Estabilidad Conceptos generales 21 / 21