Sistemas No-Lineales

Transcripción

1 Sistemas No-Lineales Profesor: María Etchechoury Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de La Plata

2 Introducción En distintas ramas de la Física y de la Ingeniería se utilizan los sistemas no-lineales para modelar por ejemplo circuitos eléctricos, sistemas mecánicos, procesos químicos, etc. En este Curso estudiaremos sistemas dinámicos modelados por un número finito de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden: ẋ 1 = f 1 (t, x 1,..., x n ) ẋ = f (t, x 1,..., x n ). ẋ n = f n (t, x 1,..., x n ) donde x i = x i (t), ẋ i = dx i dt. Llamamos a las variables x 1, x,..., x n variables de estado del sistema. matricial se tendrá: x = x 1 x. x n, f(t, x) = luego el sistema dinámico queda representado por f 1 (t, x) f (t, x). f n (t, x) ; En notación ẋ = f(t, x) llamada ecuación de estado del sistema. Un caso especial es aquél en el que el campo vectorial f no depende explícitamente del tiempo t, ẋ = f(x), y se llama sistema autónomo o invariante en el tiempo. trabajaremos a lo largo del Curso. Con este tipo de sistemas Algunos conceptos fundamentales vinculados a los Sistemas No-Lineales. Existen conceptos fundamentales de los sistemas no-lineales que nos ayudarán a describir su comportamiento. Algunos de ellos son: 1. Punto de equilibrio: Un punto x = x en el espacio de estados se llama punto de equilibrio para el sistema ẋ = f(x), si, cuando el estado (trayectoria o solución)

3 del sistema comienza en x, permanece en x para todo tiempo futuro, también se lo llama punto fijo o punto estacionario. Para sistemas autónomos los puntos de equilibrio son las raíces reales de la ecuación f(x) =. El punto de equilibrio se dice aislado si existe algún entorno del punto donde no existe otro equilibrio del sistema.. Estabilidad de un punto de equilibrio: Un punto de equilibrio x es estable si para todo entorno V de x existe un entorno V 1 V tal que toda solución x(x, t) del sistema (), con x V 1 (donde x es la condición inicial), está definida y permanece en V para todo t >. Si V 1 puede elegirse de modo tal que x(x, t) x cuando t, entonces se dice que x es asintóticamente estable. 3. Sistemas Planares: son también llamados sistemas de dimensión dos o sistemas de dos variables de estado. Se representan por dos ecuaciones diferenciales escalares. Las soluciones del sistema se pueden representar como curvas en el plano, que llamaremos también órbitas. Las órbitas se representan en lo que se llama el plano de fase del sistema. 4. Oscilación: Un sistema oscila cuando tiene una solución periódica no trivial. En un sistema planar una solución periódica en el plano de fase resulta una órbita cerrada. El Curso se dictará en tres clases, donde se desarrollarán los siguientes temas: Primera Clase: Sistemas de Segundo Orden: Generalidades. Sistemas Planares Lineales: clasificación de puntos de equilibrio. Segunda Clase: Sistemas Planares No-Lineales: puntos de equilibrio, linealización, ciclos límites. Tercera Clase: Estabilidad de Lyapunov: estabilidad de puntos de equilibrio. Teoremas de estabilidad de Lyapunov. Dominio de atracción. 3

4 1 Primera Clase: Sistemas de Segundo Orden. Sistemas Planares Lineales. Sistemas de Segundo Orden. de primer orden: Están determinados por dos ecuaciones diferenciales ẋ 1 = f 1 (x 1, x ) ẋ = f (x 1, x ) Las soluciones del sistema se pueden representar como curvas en el plano. Si por ejemplo x(t) = (x 1 (t), x (t)) es la solución del sistema planar para cierta condición inicial x = (x 1, x ), entonces la gráfica en el plano x 1 x será una curva que pasa por x. Al plano x 1 x donde se representan las órbitas o soluciones se lo llama plano de fase o plano de estados del sistema. Para cada punto x = (x 1, x ) en el plano de fase se tiene el vector f(x) = f(x 1, x ), es decir que f(x) es un campo vectorial sobre el plano de fase. Observar que el campo vectorial en un punto es tangente a la trayectoria en ese punto. Luego, puede construirse la trayectoria desde un estado inicial x, a partir del diagrama del campo vectorial. Llamamos retrato de fase o plano de fase del sistema a la familia de todas las trayectorias o curvas solución del sistema. Nos preguntamos cómo puede construirse el retrato de fase de un sistema planar? 1. Mediante un simulador de sistemas no lineales, dibujando trayectorias a partir de un número grande de estados iniciales sobre el plano x 1 x, es decir, computacionalmente.. Mediante el método de las isoclinas: Se considera la pendiente de la trayectoria en un punto dado (x 1, x ), s(x 1, x ) = f (x 1, x ) f 1 (x 1, x ). Las ecuación s(x 1, x ) = c, con c constante, define sobre el plano x 1 x una curva a lo largo de la cual las trayectorias del sistema planar tienen pendiente c. Es decir, cuando una solución cruza la curva s(x 1, x ) = c, lo hace con pendiente c. Para visualizar este método consideraremos un ejemplo clásico: la ecuación del péndulo. Su dinámica esta representada por la siguiente ecuación diferencial de segundo orden: ml θ = mg sin θ kl θ, (1.1) 4

5 donde l representa la longitud de la varilla del péndulo, m la masa de la bolilla que se encuentra al final de la varilla, θ es el ángulo entre el eje vertical y la varilla, g es la aceleración de la gravedad, y k es el coeficiente de fricción. Para poder trabajar en ecuaciones de estado, es decir ecuaciones de primer orden, llamamos x 1 = θ y x = θ. Luego las ecuaciones de estado resultan, ẋ 1 = x ẋ = g l sin x 1 k m x En este caso las isoclinas están definidas por, x = c sin x x x 1 Figure 1.1: Órbitas del péndulo con fricción. Isoclinas. 5

6 Sistemas Planares Lineales. Por qué los estudiaremos en particular? Para estudiar un sistema no-lineal planar se comienza analizando sus puntos de equilibrio y sus flujos (o trayectorias) en un entorno de cada equilibrio. Existen resultados, que veremos más adelante, que aseguran que el comportamiento de un sistema no-lineal localmente alrededor de cada equilibrio se puede determinar a partir del comportamineto de su linealización alrededor de dicho punto. Queremos entonces estudiar las soluciones de un sistema lineal planar, a partir de la clasificación de sus puntos de equilibrio. Consideramos el sistema lineal en el plano, ẋ = Ax, (1.) con x R y A R. Se dice que x es punto de equilibrio del sistema si Ax =. Pueden darse entonces dos situaciones: A no-singular y entonces x = es el único punto de equilibrio; ó A singular y entonces el sistema tiene un subespacio no nulo de equilibrio. Analicemos el caso A no-singular. Sabemos que es siempre posible hallar una matriz M de orden y no-singular tal que M 1 AM = J, siendo J la forma de Jordan real. Se pueden presentar cualquiera de los tres casos que siguen: ( λ1 J 1 = λ ), J = ( λ k λ ), J 3 = ( α β β α El primer caso corresponde a autovalores λ 1 λ, ambos reales y no nulos; el segundo caso corresponde a autovalores reales, iguales y no nulos (k puede ser ó 1); y el tercer caso corresponde a autovalores complejos λ 1, = α ± iβ. Si consideramos el sistema lineal en coordenadas z = M 1 x, el sistema original resulta ). ż = Jz (1.3) Asi por ejemplo para el primer caso se tiene el sistema planar desacoplado, ż 1 = λ 1 z 1 ż = λ z ; si la condición inicial es z = (z 1, z ) las soluciones son z 1 (t) = z 1 exp λ 1 t, z (t) = z exp λ t, y eliminando t se obtiene z = kz λ/λ1 1, con k = 6 z (z 1) λ/λ1.

7 x x 1 Figure 1.: Nodo estable. Autovalores: λ 1 =, λ = 1. Si consideramos autovalores negativos, diremos que el origen como punto de equilibrio es un nodo estable, Fig.1.. Si en cambio los autovalores son ambos positivos se trata de un nodo inestable, Fig.1.3. Cuando los autovalores son de distinto signo se tiene un saddle o punto de ensilladura, Fig.1.4. Para el tercer caso, es decir autovalores complejos, el sistema en coordenadas (z 1, z ) resulta, ż 1 = αz 1 βz (1.4) ż = βz 1 + αz ; (1.5) este sistema tiene soluciones oscilatorias. En efecto, si consideramos coordenadas polares r = z1 + z, θ = tan 1 (z /z 1 ), 7

8 x x 1 Figure 1.3: Nodo inestable. Autovalores: λ 1 = 1, λ =. el sistema resulta ṙ = αr (1.6) θ = β. (1.7) Si la condición inicial es (r, θ ) la solución es (r(t), θ(t)) = (r exp αt, θ + βt), que resulta una espiral logarítmica en el plano (z 1, z ), llamado foco. Para α < resulta un foco estable, Fig.1.5.; y para α > un foco inestable, Fig.1.6. Si α = se tiene un centro, Fig.1.7. Observacón: el comportamiento de las trayectorias de un sistema lineal planar está completamente determinado por los autovalores de la matriz de orden que define al sistema. Ejercicios propuestos 1. Las ecuaciones dinámicas no-lineales para un manipulador robótico de junta flexible 8

9 z z 1 Figure 1.4: Saddle. Autovalores: λ 1 = 1, λ = 1. con un enlace están dadas por: I q 1 + MgL sin q 1 + k(q 1 q ) = J q k(q 1 q ) = u donde q 1 y q son las posiciones angulares, I y J los momentos de inercia, k es una constante del resorte, M la masa total, L es una distancia y u el torque. Escribir las ecuaciones de estado para este sistema.. (a) Considerando las ecuaciones del oscilador de van der Pol ẋ 1 = x ẋ = x 1 + (1 x 1)x Graficar algunas isoclinas y algunas trayectorias del sistema (en el plano de fase x 1 x ). 9

10 z z 1 Figure 1.5: Foco estable: α <. (b) Idem a) para las ecuaciones de Rayleigh, ẋ 1 = x ẋ = x 1 + ɛ(x x 3 ) considerando ɛ = 1 y ɛ = (a) Resolver ẋ = x + y ẏ = 4x y con condiciones iniciales (x, y ) = (, 3). (b) Dibujar el retrato de fase para el sistema anterior, en el plano x y. 4. Resolver el sistema lineal ẋ = Ax, con ( ) a A = 1 1

11 z z 1 Figure 1.6: Foco inestable: α >. Graficar el retrato de fase para: a < 1; a = 1; 1 < a < 1; a = ; a >. 5. Considerar el circuito de ecuación donde L, C > y R. LÏ + R I + I/C = (a) Reescribir la ecuación como un sistema lineal de dimensión. (b) Mostrar que el origen es asintóticamente estable si R > y sólo estable si R =, (c) Clasificar el equilibrio en el origen según si R C 4L es positivo, negativo, o cero, y realizar en cada caso el retrato de fase. 11

12 z z 1 Figure 1.7: Centro: α =. Segunda Clase: Sistemas Planares No-Lineales En muchos casos el comportamiento local de un sistema no-lineal cerca de un punto de equilibrio se puede inferir a partir del sistema linealizado alrededor del punto y estudiar entonces el comportamiento lineal que resulta a partir de la linealización. Pensemos primero en el comportamiento de un sistema lineal bajo perturbaciones lineales, es decir, consideremos una matriz A que suponemos tiene autovalores λ 1 λ, y A una matriz diagonal cuyos elementos son magnitudes µ arbitrariamente chicas. Se tiene entonces, A + A = [ λ1 + µ λ + µ Dado que los autovalores de una matriz dependen en forma contínua de sus parámetros, cualquier autovalor con parte real estrictamente negativa (o estrictamente positiva) permanecerá en su correspondiente semiplano bajo perturbaciones suficientemente chicas. Luego, si el equilibrio x = del sistema lineal ẋ = Ax es un nodo, foco o saddle, el equilibrio del sistema perturbado ẋ = (A + A)x será del mismo tipo. Si en cambio, el 1 ].

13 equilibrio es un centro, el sistema perturbado tendrá un foco estable o inestable, según µ sea negativo o positivo. Llamamos entonces al nodo, foco y saddle equilibrios estructuralmente estables, pues mantienen su comportamiento cualitativo bajo perturbaciones chicas. Definition.1 El origen x = del sistema ẋ = Ax es un punto de equilibrio hiperbólico si es un nodo, un foco o un saddle. Ejemplo de un sistema no lineal planar. Consideramos nuevamente las ecuaciones de estado del péndulo con fricción para k =.5, ẋ 1 = x (.1) ẋ = g l sin x 1.5x, (.) con π x 1 π. En este caso los puntos de equilibrio aisaldos son (, ), (π, ) y ( π, ). Observar que a diferencia de los sistemas lineales, en los sistemas no-lineales puede haber más de un equilibrio aislado. El comportamiento del (, ) es similar al de un foco estable de un sistema lineal; y el comportamiento de (±π, ) es similar al de un saddle en un sistema lineal, Fig..1. Esto que por ahora lo observamos en el retrato de fase del sistema, lo justificaremos luego. En general, sea el sistema no lineal planar ẋ 1 = f 1 (x 1, x ) ẋ = f (x 1, x ), y supongamos que p = (p 1, p ) es punto de equilibrio. Desarrollamos f en serie de Taylor alrededor de p, con ẋ 1 = f 1 (p 1, p ) + a 11 (x 1 p 1 ) + a 1 (x p ) + T.O.S. ẋ = f (x 1, x ) + a 1 (x 1 p 1 ) + a (x p ) + T.O.S., (T.O.S.: términos de orden superior). a ij = f i(x 1, x ) x j x=p, f 1 (p 1, p ) = f (p 1, p ) = ; 13

14 6 4 x x 1 Figure.1: Péndulo con fricción. Con el cambio y 1 = x 1 p 1, y = x p, se obtiene ẏ 1 = ẋ 1 = a 11 y 1 + a 1 y + T.O.S. ẏ = ẋ = a 1 y 1 + a y + T.O.S. En un entorno suficientemente chico del equilibrio, de modo tal que los términos de orden superior se desprecien, se obtiene la siguiente aproximación lineal: ẏ 1 = a 11 y 1 + a 1 y ẏ = a 1 y 1 + a y Theorem. (Hartman-Grobman): Consideramos el sistema no lineal planar ẋ = f(x), con f suficientemente suave. Suponemos que x es punto de equilibrio aislado. Suponemos, además, que A(x ) = f x x=x no tiene autovalores nulos o imaginarios puros. Entonces existe un homeomorfismo h (aplicación contínua y con inversa contínua) definida en un entorno U R de x, h : U R, que lleva las trayectorias del no lineal sobre las del sistema linealizado. En particular h(x ) =. 14

15 Observaciones: El Teorema de Hartman-Grobman afirma que es posible deformar de manera contínua todas las trayectorias del sistema no lineal, alrededor del equilibrio aislado, en las trayectorias del sistema linealizado, vía el homeomorfismo h. En general, es muy dificultoso hallar el homeomorfismo h. Sin embargo, el teorema indica que el comportamiento cualitativo de un sistema no lineal alrededor de un equilibrio aislado es similar al del sistema linealizado, por ejemplo, el tipo de estabilidad. Consideramos nuevamente el ejemplo del péndulo con fricción, en este caso las matrices del sistema linealizado, alrededor de cada equilibrio, resultan: A 1 = f [ ] 1 x (,) = A 1.5 = f [ ] 1 x (π,) = ; 1.5 los autovalores de A 1 son.5 ± ı.97, y los de A son 1.8 y.78. Luego, el (, ) es un foco estable y el (π, ) es un saddle, el comportamiento de ( π, ) es similar al de (π, ). Definition.3 Un punto de equilibrio de un sistema no-lineal se dice hiperbólico, si la matriz Jacobiana, evaluada en ese punto, no tiene autovalores sobre el eje imaginario. Consideramos ahora el siguiente sistema: ẋ 1 = x µx 1 (x 1 + x ) ẋ = x 1 µx (x 1 + x ). El punto (, ) es equilibrio aislado del sistema, la matriz Jacobiana evaluada en este punto es [ ] 1, 1 cuyos autovalores son ±i, luego la linealización del sistema tiene en (, ) un centro. En coordenadas polares el mismo sistema no-lineal se representa así: ṙ = µr 3 θ = 1; donde para µ > resulta un foco estable, Fig... Fig..3. y para µ < un foco inestable, Definition.4 El estado del sistema no lineal en el tiempo t empezando en x en t = se llama flujo y se simboliza Φ t (x), en particular Φ (x) = x. 15

16 3 Diagrama de fase 1 x x 1 Figure.: Foco estable Otra manera de enunciar el Teorema de Hartman-Grobman: Supongamos que consideramos las mismas hipótesis que en el Teorema de Hartman-Grobman; entonces existe U entorno de x tal que, si x U y Φ t (x) U, se tiene que h(φ t (x) = exp A (x )t h(x). Ciclos límites. Ya hemos definido oscilación y órbita cerrada. Para introducir el concepto de ciclo límite, analizaremos primero un ejemplo sencillo. Oscilador lineal ẋ 1 = x ẋ = x 1 ; sabemos ya que el equilibrio (, ) es un centro y sus trayectorias son órbitas cerradas, Fig.1.7. Si la condición inicial es (x 1, x ) las soluciones son x 1 (t) = r cos(t + θ ), 16

17 3 Diagrama de fase 1 x x 1 Figure.3: Foco inestable x (t) = r sin(t + θ ), con r = (x 1) + (x ) y θ = tan 1 (x /x 1). El sistema tiene una oscilación de amplitud r, se lo llama oscilador armónico. Vale la pena observar que el oscilador lineal presenta algunos problemas: perturbaciones chicas (lineales o no lineales) destruyen la oscilación, decimos entonces que el oscilador lineal no es estructuralmente estable; además, la amplitud de la oscilación depende de la condición inicial. Estos problemas pueden ser eliminados trabajando con osciladores no lineales. Ejemplo: Oscilador de van-der Pol. Consideramos la ecuación de segundo orden, ÿ µ(1 y )ẏ + y =, para µ constante positiva; 17

18 si llamamos x 1 = y y x = ẏ obtenemos las ecuaciones de estado del sistema: x 1 = x ẋ = x 1 + µ(1 x 1)x ; en este caso la matriz de la linealización alrededor del equilibrio (, ) es [ ] 1 A =. 1 µ Observar que si µ > los autovalores de A tienen parte real positiva, se trata entonces de un foco inestable. Por el Teorema de Hartman-Grobman concluimos que el (, ) es también un foco inestable del sistema no lineal. Observar, además, que existe sólo una 5 Diagrama de fase x x 1 Figure.4: Oscilador de van-der Pol órbita cerrada que atrae a todas las trayectorias que comienzan fuera de ella, Fig..4. Esta situación es diferente a la que ocurre con el oscilador lineal, donde hay un contínuo de órbitas cerradas, Fig

19 Definition.5 Una órbita cerrada aislada se llama ciclo límite. Nos planteamos ahora el siguiente problema: establecer condiciones bajo las cuales un sistema planar dado tiene o no órbitas cerradas. Theorem.6 (Bendixson). Consideramos el sistema planar ẋ = f(x); supongamos que D R es un dominio simplemente conexo tal que f(x) = f 1 / x 1 (x 1, x ) + f / x (x 1, x ) no es idénticamente nulo en ninguna subregión de D y no cambia de signo en D. Entonces D no contiene órbitas cerradas del sistema planar. Ejemplo: Ecuaciones de Duffing. ẋ 1 = x ẋ = x 1 x 3 1 δx, en este caso f = δ. Entonces, si δ >, no existen órbitas cerradas en todo R. Theorem.7 (Poincaré-Bendixson). Supongamos que, 1. R es un conjunto compacto del plano.. ẋ = f(x) es un sistema planar cuyo campo f es continuamente diferenciable y está definido sobre un conjunto abierto contenido en R. 3. R no contiene puntos de equilibrio del sistema. 4. Existe una trayectoria C que está confinada en R, es decir que comienza en R y permanece en R para todo tiempo futuro. Entonces o bien C es una órbita cerrada, o bien tiende a una órbita cerrada cuando t. En cualquier caso, R contiene una órbita cerrada. Ejemplo. Consideramos el siguiente sistema planar en coordenadas polares: ṙ = r(1 r ) + µr cos θ θ = 1, con r. Si µ =, resultan r = 1 y r = los puntos de equilibrio del sistema. En el plano de fase x 1 x todas las trayectorias (excepto r = ) se aproximan al círculo unidad r = 1, que resulta un ciclo límite estable. Se puede probar, además, que existe una órbita cerrada para µ > suficientemente chico. 19

20 Ejercicios propuestos 1. Encontrar todos los puntos de equilibrio del sistema: ẋ = x + x 3 ẏ = y Linealizar el sistema alrededor de cada equilibrio y determinar la naturaleza de cada uno de ellos. Verificar las conclusiones halladas mediante un gráfico aproximado del retrato de fase del sistema (tener en cuenta que se trata de dos ecuaciones desacopladas).. Considerar el sistema ẋ = y + ax(x + y ) ẏ = x + ay(x + y ) (a) A partir de la linealización, se puede predecir algo del comportamiento del sistema alrededor del equilibrio (, )? (b) Hallar las ecuaciones del sistema en coordenadas polares. (c) Encontrar algunas trayectorias del sistema cuando: i)a > ; ii)a = ; iii)a <. 3. Para cada uno de los siguientes sistemas, construir el retrato de fase usando el método de las isoclinas y discutir el comportamiento cualitativo del sistema. Se puede usar información acerca de los puntos de equilibrio o del campo vectorial. (a) ẋ 1 = x cos x 1 ẋ = sin x (b) ẋ 1 = ẋ = x 1 x ( 1 x ) 1 x ( 1 x 1 x )

21 3 Tercera Clase: Teoría de Estabilidad de Lyapunov Para estudiar la estabilidad de puntos de equilibrio utilizaremos las ideas de Lyapunov. Definition 3.1 El equilibrio x = del sistema autónomo ẋ = f(x) es estable si para cada ɛ > existe δ > tal que: x() < δ x(t) < ɛ, t ; el equilibrio es inestable si no es estable; el equilibrio es asintóticamente estable si es estable y además δ puede elegirse de modo tal que Ejemplo: ecuación del péndulo x() < δ x(t), si t. Conocemos ya las ecuaciones del péndulo en variables de estado, ẋ 1 = x ẋ = (g/l) sin x 1 (k/m)x ; además sabemos que (, ) y (π, ) son puntos de equilibrio. Si suponemos k =, o sea el péndulo sin fricción, en un entorno del (, ) se tienen órbitas cerradas. Luego, saliendo suficientemente cerca del origen, las trayectorias quedan dentro de una bola alrededor del origen; se concluye entonces que (, ) es equilibrio estable. Sin embargo, no es asintóticamente estable, pues las trayectorias que empiezan fuera del equilibrio no tienden a él, sino que permanecen en sus órbitas cerradas, ver Fig.3.1. Cuando k >, el (, ) se comporta como un foco estable, y luego en este caso el (, ) es equilibrio asintóticamente estable. El equilibrio x = (π, ) resulta un saddle que no es estable pues dado cualquier ɛ >, es siempre posible encontrar una trayectoria que deje la bola {x R : x x ɛ}, aún cuando x() esté arbitrariamente cerca del equilibrio, ver Fig..1. En general, cómo podríamos determinar la estabilidad de un punto de equilibrio? Para las ecuaciones planares del péndulo hicimos uso del conocimiento que teníamos del retrato de fase del sistema. Pero para generalizar esto a cualquier sistema, necesitaríamos conocer todas las soluciones. Sin embargo, las conclusiones que obtuvimos para la ecuación del péndulo y sus equilibrios, pueden obtenerse usando la noción de energía. Se define la energía del péndulo E(x) como la suma de las energías potencial y cinética: E(x 1, x ) = x1 (g/l) sin y dy + 1/x. 1

22 Si k =, el sistema es conservativo, es decir, no hay disipación de energía. Luego, E se mantiene constante durante el movimiento del sistema o de = a lo largo de dt las trayectorias del sistema. Como E(x) = c representa una curva cerrada alrededor de x = para c chico, podemos concluir que el origen es punto de equilibrio estable, Fig Diagrama de fase x x 1 Figure 3.1: Péndulo sin fricción Cuando tenemos en cuenta la fricción (k > ), la energía se disipa a lo largo del movimiento del sistema, es decir, de a lo largo de las trayectorias del sistema. Debido dt a la fricción, E no puede permanecer constante indefinidamente cuando el sistema está en movimiento. Luego, la energía comienza a decrecer hasta llegar a, y entonces la trayectoria tiende a cuando t tiende a. Concluimos entonces que examinando la energía E a lo largo de las trayectorias del sistema, es posible determinar la estabilidad de un punto de equilibrio. Lyapunov (189) mostró que para determinar la estabilidad de un punto de equilibrio pueden usarse otra clase de funciones, no necesariamente la energía. Sea V : D R una función continuamente diferenciable definida en D R n, con D dominio que contiene al origen. La derivada de V a lo largo de las trayectorias del

23 sistema ẋ = f(x) se define como: V (x) = n i=1 V x i ẋ i = n i=1 V f i (x) = V x i x f(x). Observar que la derivada de V a lo largo de las trayectorias del sistema depende de las ecuaciones del sistema. Luego V (x) será diferente para sistemas diferentes. Además, si V (x) <, V decrece a lo largo de las soluciones del sistema. El siguiente resultado de Lyapunov garantiza estabilidad del equilibrio para un sistema no-lineal. Theorem 3. Sea x = un punto de equilibrio de ẋ = f(x) y D R n un dominio que contiene a x =. Sea V : D R una función continuamente diferenciable tal que V () =, V (x) > en D {}, V (x) en D. Entonces x = es equilibrio estable. Además, si V (x) < en D {}, entonces x = es equilibrio asintóticamente estable. Región de atracción. Supongamos que sabemos que x = es equilibrio asintóticamente estable de ẋ = f(x); desearíamos saber cuan lejos del origen puede partir una trayectoria y aún converger a cuando t. Esta idea da la noción de región ó dominio de atracción del equilibrio. Definition 3.3 Sea φ(t, x) la solución de ẋ = f(x) que empieza en x en t =, es decir, φ(, x) = x, luego la región de atracción del equilibrio x = resulta, {x : lim φ(t, x) =, cuando t }. Nos preguntamos ahora bajo que condiciones la región de atracción será todo R n. Esto sucede si para cualquier estado inicial x, la trayectoria φ(t, x) se aproxima a cuando t, sin importar si x es grande. Si un punto de equilibrio asintóticamente estable tiene esta propiedad, se dice que es globalmente asintóticamente estable. El siguiente teorema establece condiciones suficientes que garantizan estabilidad asintótica global. Theorem 3.4 (Barbashin-Krasovski) Sea x = punto de equilibrio del sistema ẋ = f(x). Sea V : R n R una función continuamente diferenciable tal que V () = y V (x) >, x ; si x, entonces V (x) ; 3

24 V (x) <, x ; entonces x = es globalmente asintóticamente estable, es decir, su región de atracción es todo R n. Por último enunciaremos el siguiente resultado sobre inestabilidad. Theorem 3.5 (Chetaev) Sea x = equilibrio del sistema ẋ = f(x). Sea V : D R continuamente diferenciable con V () = y V (x ) > para algún x con x arbitrariamente chica. Se define U = {x B r V (x) > }, y supongamos que V (x) > en U. Entonces x = es equilibrio inestable. Recordemos que cuando estudiamos la ecuación del péndulo con fricción vimos que la función de energía E(x) no satisfacía la condición para garantizar la estabilidad asintótica requerida en el Teorema de Lyapunov. En efecto, V (x) = ( k/m)x, sin embargo sabemos que x = es equilibrio asintóticamente estable para la ecuación del péndulo. Luego, para que se mantenga la condición V (x) =, la trayectoria del sistema debe estar confinada en la recta x =. A menos que x 1 = esto es imposible pues a partir de las ecuaciones del péndulo vemos que x (t) ẋ (t) sin x 1 (t), y luego, sobre el segmento π < x 1 < π de la recta x =, el sistema verifica V (x) = sólo si x 1 =. Luego, V (x(t)) debe decrecer al origen y entonces x(t) cuando t. Esto es consistente con el significado físico que, debido a la fricción, la energía no se mantiene constante cuando el sistema está en movimiento. Resumimos lo anterior así: si en un dominio alrededor del origen se puede hallar una función V cuya derivada a lo largo de la trayectoria del sistema es menor o igual a, y si podemos asegurar que ninguna trayectoria puede quedarse en V (x) = salvo en el origen, entonces el origen es asintóticamente estable. Este resultado es conocido como el Principio de Invariancia de Lasalle. Antes de enunciarlo en forma precisa daremos algunas definiciones. Definition 3.6 Sea x(t) una solución de ẋ = f(x). Un punto p se llama punto límite positivo de x(t) si existe una sucesión {t n } con t n tal que x(t n ) p cuando n. Definition 3.7 El conjunto de todos los puntos límite positivos de x(t) se llama conjunto límite positivo de x(t). 4

25 Definition 3.8 Un conjunto M se llama positivamente invariante con respecto al sistema ẋ = f(x) si, x() M x(t) M, t. Definition 3.9 La solución x(t) se aproxima a M cuando t, si para cada ɛ >, existe T > tal que dist(x(t), M) < ɛ, para todo t > T. Para ilustrar las definiciones anteriores consideremos un punto de equilibrio asintóticamente estable y un ciclo límite estable en el plano: El equilibrio asintóticamente estable es el conjunto límite positivo de toda solución que empieza suficientemente cerca del equilibrio. El ciclo límite estable es el conjunto límite positivo de toda solución que empieza suficientemente cerca del límite. Es decir, la solución se aproxima al ciclo límite cuando t. El punto de equilibrio asintóticamente estable y el ciclo límite son conjuntos invariantes pues cualquier solución que comienza en alguno de estos conjuntos permanece en el conjunto, para todo t R. Lemma 3.1 Si una solución x(t) de ẋ = f(x) es acotada y pertenece a D, para todo t, con D abierto que contiene a x =, entonces su conjunto límite positivo que llamaremos L + es no vacío, compacto e invariante. Además, x(t) L + cuando t. Theorem 3.11 Principio de Invariancia de Lasalle: Sea Ω D un conjunto compacto que es positivamente invariante con respecto al sistema ẋ = f(x). Sea V : D R una función continuamente diferenciable tal que V (x) en Ω. Sea E = {x Ω : V (x) = }. Sea M el mayor conjunto invariante contenido en E. Entonces, cualquier solución que empieza en Ω se aproxima a M cuando t. Algunas observaciones: A diferencia del Teorema de Lyapunov, el Teorema de Lasalle no pide que V (x) sea estrictamente positiva. Si estamos interesados en mostrar que x(t) cuando t, debemos establecer que el mayor conjunto invariante en E es el origen. Esto se hace mostrando que ninguna solución puede permanecer en E además de la solución trivial x(t). Considerando el caso particular planteado en la última observación y tomando V (x) > se obtiene los siguientes corolarios que extienden los Teoremas de Lyapunov y Barbashin- Krasovskii, respectivamente. 5

26 Corollary 3.1 Sea x = equilibrio de ẋ = f(x). Sea V : D R una función continuamente diferenciable y positiva sobre un dominio D que contiene al origen, tal que V (x) en D. Sea S = {x D : V (x) = } y supongamos que ninguna solución permanece en S salvo la trivial. Entonces, el origen es asintóticamente estable. Corollary 3.13 Sea x = equilibrio de de ẋ = f(x). Sea V : R n R una función continuamente diferenciable tal que V (x) si x, estrictamente positiva y tal que V (x), para todo x R n. Sea S = {x R n : V (x) = } y supongamos que ninguna solución se mantiene sobre S, salvo la trivial. Entonces el origen es globalmente asintóticamente estable. Observar que cuando V (x) es estrictamente negativa y S = {}, entonces los corolarios anteriores coinciden con los teoremas de Lyapunov y Barbashin-Krasovskii. 6

27 Ejercicios propuestos. 1. Usando V (x) = x 1 + x, estudiar la estabilidad del origen del sistema cuando: a)k = y b)k.. Considerar el sistema ẋ 1 = x 1 (k x 1 x ) + x (x 1 + x + k ) ẋ = x 1 (k + x 1 + x ) + x ( x 1 x + k ) ẋ 1 = x ẋ = a sin x 1 kx 1 dx cx 3 ẋ 3 = x 3 + x donde todos los coeficientes son positivos y k > a. Usando V (x) = a x1 sin ydy + kx 1 + x + px 3, con algún p >, mostrar que el origen es globalmente a.e. 3. Sea el sistema ẋ = f(x), donde f : R n R n. Considerar el cambio de varaibles z = T (x), donde T () = y T : R n R n es un difeomorfismo en un entorno del origen. El sistema transformado es, ż = ˆf(z), donde ˆf(z) = T x f(x) x=t 1 (z) (a) Mostrar que x = es un punto de equilibrio aislado de ẋ = f(x) sii z = es un punto de equilibrio aislado de ż = ˆf(z). (b) Mostrar que x = es estable (a.e., inestable) sii z = es estable (a.e., inestable). 4. Considerar el sistema ẋ 1 = (x 1 x 1)x (x 1 x 1 + x )x 1 ẋ = x (a) Mostrar que x = es el único punto de equilibrio. (b) Mostrar, usando linealización, que x = es a.e. : x 1 x } es un conjunto positivamente invari- (c) Mostrar que Γ = {x R ante. (d) Es x = globalmente a.e.? 7

28 Bibliografía Nonlinear Systems, Hassan Khalil, Prentice Hall, Nonlinear Systems, Analysis, Stability, and Control, Shankar Sastry, Springer, Nonlinear Oscillations, dynamical systems and bifurcations, J. Guckenheimer and P. Holmes, Springer-Verlag, Gráficos en el plano. Los distintos gráficos de sistemas planares presentados en estas Notas fueron realizados con el programa dfase.m, cuyo autor es el Dr. Fernando Bianchi (Fac. de Ingeniería, U.N.L.P.). Dicho programa corre bajo MatLab, y se puede acceder a él desde la página de la Facultad de Ingeniería, U.N.L.P.: Reunión Anual de la UMA, Salta, septiembre de 5 8