1 Introducción 1. 3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales 5

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1 Tema 6.- ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial. Índice General 1 Introducción 1 2 Sistemas autómonos. Plano de fases 2 3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales 5 4 Estabilidad mediante linealización 12 5 Método directo de Liapunov 17 1 Introducción Hasta ahora, en el estudio de las ecuaciones diferenciales, nos hemos centrado en el problema de obtener soluciones, exponiendo algunos métodos de resolución de ciertos tipos de ecuaciones y sistemas diferenciales. En este tema vamos a dar otro enfoque al estudio de las ecuaciones y sistemas diferenciales, planteándonos ahora el obtener información cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones. Este nuevo enfoque tiene un interés obvio debido a dos razones fundamentales: muchas ecuaciones diferenciales no las sabemos resolver e incluso, aunque se pudieran calcular sus soluciones, a veces no es necesario determinarlas explícitamente pues sólo se pretende conocer el comportamiento de las mismas (y puede ser costosa la obtención de dichas soluciones para el estudio que se quiere realizar). Vamos a ver un ejemplo en que se manifiestan estas ideas: Consideremos que x 1 (t) y x 2 (t) representan las poblaciones, a lo largo del tiempo, de dos especies que compiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados en su microcosmos. Supongamos que las tasas de crecimiento de las poblaciones, x 1 (t) y x 2 (t), están gobernadas por un sistema de ecuaciones diferenciales X 0 (t) =f(t, X(t)) donde X(t) = µ x1 (t) x 2 (t) En la mayoría de los casos este sistema será de tal forma que no sabremos calcular sus soluciones, esto es, no podremos obtener x 1 (t) y x 2 (t), que nos dirían el número de individuos de cada especie en un tiempo t. Sin embargo, hay algunas propiedades de tipo cualitativo, que son interesantes y a las que con frecuencia pueden darse respuestas satisfactorias sin necesidad de determinar explícitamente las soluciones. Por ejemplo, consideremos las siguientes cuestiones: 1. Hay valores para los cuales ambas especies coexisten en un regimen permanente? Es decir, existen números α, β tales que x 1 (t) =α y x 2 (t) =β son soluciones del sistema X 0 (t) =f(t, X(t))? Sitales valores existen se les llama valores (soluciones) de equilibrio o puntos críticos. 2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio, e introducimos en un momento t, algunos miembros de una de las especies presentes en el microcosmos donde conviven. Permanecerán las 1

2 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.2 poblaciones cerca de los valores de equilibrio para todo tiempo futuro?, es decir, si φ(t) es una solución de equilibrio del sistema X 0 (t) =f(t, X(t)), y ψ(t) es otra solución tal que φ(t 0 ) está próximo a ψ(t 0 ), se verificará que ψ(t) φ(t) cuando t +?. 3. Si conocemos el número de individuos de cada especie en un tiempo t 0, Cuál será la evolución de las especies cuando transcurre el tiempo? Si no tienden a valores de equilibrio, triunfará una de las especies? Veremos, en este tema, que para responder a estas cuestiones no necesitamos resolver el sistema X 0 (t) =f(t, X(t)). Para ello, empezaremos en la siguiente sección definiendo los principales conceptos. 2 Sistemas autómonos. Plano de fases Un sistema autónomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la forma dx = F (x, y) dt dy = G(x, y) dt donde supondremos que F y G son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas en todo el plano. En este caso, las funciones F y G se dicen de clase C 1 en todo R 2 (F, G R 2 ).Estas condiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de solución, definida para todo t R, del problema de valor inicial ½ x 0 = F (x, y) x(t 0 )=x 0 y 0 = G(x, y) y(t 0 )=y 0 para cualquier t 0 R y (x 0,y 0 ) R 2. El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente t no aparece explícitamente en los segundos miembros de las ecuaciones dada. Recordemos también que, si tenemos una ecuación diferencial de segundo orden, en este caso autónoma, d 2 µ x dt 2 = f x, dx dt podemos convertirla en un sistema autónomo introduciendo una nueva variable y = dx dt, ynosqueda ½ x 0 = y y 0 = f (x, y) Las variables dependientes x(t) e y (t) se llaman a veces variables de estado del sistema. El plano formado por los pares de valores (x, y) se suele llamar plano de las fases. Cada solución del sistema (1) es un par de funciones x(t) e y(t) que definen una curva C [x(t),y(t)] en el plano XY o plano de fases. Obsérvese que cada punto de la curva C nos determina el estado del sistema en un instante t correspondiente a una condiciones iniciales determinadas, y que por ello es de gran interés el conocimiento de este tipo de curvas, que se suelen llamar trayectorias u órbitas. Encada punto (x, y) de una órbita, el vector (F (x, y),g(x, y)) es un vector tangente a dicha órbita, por eso el conjunto de vectores (F (x, y),g(x, y)) se llama campo de direcciones del sistema. Debe observarse que una solución en la que x(t) =x 0 e y(t) =y 0 para todo t R define únicamente un punto (x 0,y 0 ) en el plano de fases y verifica que F (x 0,y 0 )=G (x 0,y 0 )=0.Sediceentonces(x 0,y 0 ) (1)

3 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.3 es un punto crítico o un equilibrio del sistema. Cada punto del plano de las fases o bien es un punto crítico o bien por él pasa una única trayectoria. Las propiedades cualitativas de las órbitas nos permiten obtener información sobre el comportamiento de las soluciones. 1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema autónomo: esto es, si (x (t),y(t)) es una solución del sistema (1), entonces para cada c R se tiene que ( x (t), ỹ (t)) = (x(t + c),y(t + c)) es otra solución de (1). 2. Dos trayectorias carecen de puntos comunes: es decir, si (x (t),y(t)) y ( x (t), ỹ (t)) son soluciones del sistema (1), tales que la primera solución en t 0 vale (x 0,y 0 ) y la segunda en t 1 toma los mismos valores (x 0,y 0 ), entonces existe un valor c R tal que ( x (t), ỹ (t)) = (x(t + c),y(t + c)). 3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas: si (x (t),y(t)) es una solución del sistema (1) que en dos instantes t 0 y t 0 + T toma el mismo valor, entonces (x (t),y(t)) = (x(t + T ),y(t + T )) para todo t, es decir (x (t),y(t)) es periódica. Muchas veces es posible obtener las trayectorias descritas por las soluciones de un sistema autónomo, sin necesidad de obtener explícitamente dichas soluciones. Supongamos que (x (t),y(t)) es una solución del sistema (1) que no permanece constante en el tiempo (esto es, no se trata de una solución de equilibrio o punto crítico), y la derivada dx dt es distinta de cero en t = t 1, entonces en un entorno del punto x 1 = x(t 1 ) se verifica que dy dx = dy dt dt G(x, y) = dx F (x, y). Por tanto, la trayectoria de esa solución verifica la ecuación diferencial de primer orden dy dx Caso de ser la derivada dx dy nula para todo t, se tendrá que verificar que dt dt la trayectoria de esa solución verifica, análogamente, la ecuación diferencial dx F (x, y) = dy G(x, y) = G(x, y) F (x, y). no siempre sea nula, por lo que. En cualquier caso, las trayectorias se podrán determinar resolviendo una ecuación diferencial de primer orden. Veamos algunos ejemplos de determinación de trayectorias y puntos críticos. Ejemplo 2.1 Considérese el sistema autónomo ½ x 0 =2xy y 0 = y 2 x 2 Su único punto crítico es el punto (0, 0). Las demás trayectorias se pueden obtener resolviendo la ecuación homogénea dy dx = y2 x 2 2xy y comprobando que las trayectorias son todas las circunferencias de centro (a, 0) y radio a, excluyendo de ellas el punto (0, 0). Ejemplo 2.2 Los puntos de equilibrio del sistema ½ x 0 =1 y y 0 = x 3 + y son los puntos (x, y) que verifican 1 y =0, x 3 + y =0. Por tanto, existe un único punto crítico que es ( 1, 1). Es decir, (x(t),y(t)) = ( 1, 1) es la única solución que permanece constante en el tiempo.

4 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.4 Ejemplo 2.3 Los puntos de equilibrio del sistema ½ x 0 =(x 1)(y 1) y 0 =(x +1)(y +1) son los puntos (1, 1) y ( 1, 1) ya que son los únicos que verifican ½ (x 1)(y 1) = 0, (x +1)(y +1)=0. Ejemplo 2.4 Los puntos de equilibrio del sistema diferencial ½ x 0 = x(y 1) y 0 = x(y +1) son los puntos (x, y) que verifican el sistema ½ x(y 1) = 0, x(y +1)=0. Por tanto, hay infinitos puntos críticos, todos los puntos de la recta x =0. Ejemplo 2.5 Consideremos ahora un ejemplo físico: el péndulo matemático. La ecuación del movimiento del péndulo viene dada por d 2 θ dt 2 + g sen θ =0 l siendo l la longitud de la varilla del péndulo y θ el ángulo que forma la varilla con la vertical. El sistema diferencial de primer orden equivalente a la ecuación anterior es, llamando x 1 x 2 = dθ, el siguiente: dt dx 1 dt dx 2 dt = x 2 = g l sen x 1 = θ y Este sistema tiene infinitas soluciones de equilibrio. Los puntos críticos son todos los de la forma (kπ, 0) con k Z. Los puntos (0, 0) y (π, 0) son puntos críticos. El primero de ellos tiene x 1 = θ =0,x 2 = dθ dt =0, por tanto, estamos en la siguiente situación: no hay desplazamiento de la vertical, y la velocidad es nula. El segundo punto crítico tiene x 1 = θ = π, x 2 = dθ =0, por tanto, estamos en la siguiente dt situación: el ángulo de desplazamiento es π, y la velocidad es nula. En cualquiera de estas dos situaciones el péndulo continuará así indefinidamente. Sin embargo, estos dos puntos de equilibrio son diferentes. Cuando nos encontramos en la situación de equilibrio (0,0), ante cualquier pequeño cambio de la situación (cambio de posición o de velocidad), el sistema presentará pequeñas oscilaciones. Sin embargo, cuando nos encontramos en la situación de equilibrio (π, 0), estos pequeños cambios harán que el sistema presente una notable desviación. En estas situaciones diremos que el punto (0, 0) es estable, y el punto (π, 0) inestable (a continuación definiremos formalmente el concepto de estabilidad) Supondremos en lo que sigue que los puntos críticos de los sistemas autónomos que consideremos están aislados, esto es, existe un entorno del punto crítico donde no hay otro punto crítico. Además, supondremos que el punto crítico aislado a estudiar es el (0, 0), lo cual no supone ningún tipo de restricción

5 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.5 pues de no ser así bastará hacer un cambio de coordenadas adecuado: Si (x 0,y 0 ) es un punto de equilibrio del sistema (1), el cambio de variable X = x x 0,Y = y y 0 (2) transforma dicho sistema en dx dt = F (X + x 0,Y + y 0 ) dy dt = G (X + x 0,Y + y 0 ) y (0, 0) es un punto de equilibrio de (3). En estas condiciones introducimos la noción de estabilidad del punto crítico. (3) Definición 2.1 i) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es estable si para todo número R>0, existe algún r>0,r R, tal que cada trayectoria que está dentro del círculo x 2 + y 2 = r 2 en algún momento t = t 0,permanezcadentrodelcírculox 2 + y 2 = R 2 para todos los t>t 0 : esto es, si una trayectoria está cerca del punto de equilibrio, se mantendrá cerca a lo largo del tiempo. ii) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es asintóticamente estable, cuando es estable yexistealgúnnúmeror 0 > 0, tal que toda trayectoria que está dentro del círculo x 2 + y 2 = r 2 0 en algún momento t = t 0, se aproxime al origen cuando t +. La expresión se aproxime al origen cuando t + se deberá entender de la siguiente forma: si C (x(t),y(t)) es una trayectoria, deberá verificarse que x(t) 0, e y(t) 0 cuando t + ; es decir, las trayectorias cercanas no sólo se mantienen cerca, sino que se aproximan al punto de equilibrio a lo largo del tiempo. iii) Se dice que el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable cuando no es estable: las trayectorias que empiezan cerca del punto de equilibrio se alejan de este punto a lo largo del tiempo. En lo que sigue nos centraremos en el estudio de las dos cuestiones siguientes, las cuales constituyen una parte esencial del plano de fases del sistema: La disposición de las trayectorias cerca del punto crítico (0,0). La estabilidad o inestabilidad del punto crítico (0,0). 3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales Veremos seguidamente que, en el caso de los sistemas autónomos lineales, la naturaleza y estabilidad del punto crítico queda caracterizada por los autovalores de la matriz del sistema. Consideremos un sistema autónomo lineal dx dt = a 1x + b 1 y dy dt = a 2x + b 2 y µ a1 b para el que (0, 0) es su único punto crítico. Esto equivale a que la matriz A = 1 a 2 b 2 (4) del sistema tenga determinante no nulo, y por ello que los autovalores λ 1, λ 2 sean diferentes de cero. En función del comportamiento de las trayectorias en relación con el punto crítico aislado (0, 0), el punto crítico se denominará: nodo, punto de silla, centro, o foco. El punto crítico es un nodo.

6 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.6 Este caso se presenta cuando los autovalores λ 1, λ 2 son reales y del mismo signo. El diagrama de fases tiene las siguientes características: a) Todas las trayectorias se acercan al origen, lo cual se corresponde al caso de ser los autovalores negativos. b) Todas las trayectorias se alejan del origen, lo cual se corresponde al caso de ser los autovalores positivos. Por esta razón, en el caso que el punto crítico sea un nodo, éste será o bien asintóticamente estable (autovalores negativos), o bien inestable (autovalores positivos). Ejemplo 3.1 Consideremos el sistema autónomo lineal ½ x 0 = x y 0 = x +2y Sus soluciones son x (t) =C 1 e t, y(t) =C 1 e t + C 2 e 2t con C 1, C 2 R. Analicemos las trayectorias: Cuando C 1 =0yC 2 6=0, se tiene x =0,y= C 2 e 2t. Estas soluciones determinan dos únicas trayectorias. Si C 2 > 0, la trayectoria es la parte positiva del eje OY, ysic 2 < 0, la trayectoria es la parte negativa del eje OY. En ambos casos las trayectorias se recorren alejándose del punto crítico cuando t +. Cuando C 2 =0y C 1 6=0, tenemos x = C 1 e t,y= C 1 e t. Estas soluciones determinan dos nuevas trayectorias. Una trayectoria es la semirrecta bisectriz del primer cuadrante, que corresponde al caso C 1 > 0. La otra es la semirrecta bisectriz del tercer cuadrante, que corresponde al caso C 1 < 0. En ambos casos, las trayectorias se recorren alejándose del punto crítico cuando t +. Si C 1 y C 2 son distintos de cero, entonces tenemos, eliminando el parámetro t, quelastrayectorias verifican la ecuación y = x + C 2 C1 2 x 2. En realidad, dicha ecuación corresponde a dos trayectorias (véase en la Figura 1). Es fácil comprobar que en los puntos de dichas trayectorias, a medida que nos aproximamos al (0, 0), la pendiente de la recta tangente se va aproximando a 1. El punto crítico (0,0) de este sistema es un nodo y el diagrama de las fases se muestra en la Figura 1. Figura~1: Nodo. Obsérvese que los autovalores del sistema lineal considerado son reales, distintos y del mismo signo (positivo). En este caso, toda trayectoria sale del punto (0,0) cuando t +, hay cuatro trayectorias

7 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.7 en forma de semirrecta que determinan dos rectas que pasan por el origen, y el resto de las trayectorias se asemejan a porciones de parábolas. Es fácil entender que si los autovalores hubieran sido negativos, toda trayectoria entra al punto (0,0) cuando t +. Cuando un sistema lineal tiene autovalores reales, del mismo signo, pero además iguales (λ el único autovalor de la matriz del sistema), las configuraciones de las trayectorias son algo diferentes, aunque guardan cierta relación con las anteriores (véanse las Figuras 2 y 3). En este caso el punto crítico aislado del sistema se sigue denominando nodo (aunque se suele llamar nodo impropio). Figura~2: Nodo impropio con dim(v (λ)) = 2. Figura~3: Nodo impropio con dim(v (λ)) = 1.

8 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.8 El punto crítico es un punto de silla. Este caso se presenta cuando los autovalores λ 1, λ 2 son reales y de distinto signo. Cuando t +, nos encontramos con dos trayectorias rectas que se acercan al origen y otras dos trayectorias rectas que se separan del origen. Esto nos permite concluir, que todo punto de silla es inestable. Ejemplo 3.2 Consideremos el sistema lineal ½ x 0 = x y 0 = 3y Sus soluciones son x(t) =C 1 e t,y(t) =C 2 e 3t. Analicemos las trayectorias: Cuando C 1 =0y C 2 6=0, se tiene x(t) =0,y(t) =C 2 e 3t. Todas estas soluciones determinan dos únicas trayectorias que descansan sobre la recta x =0. Cuando C 2 > 0, la trayectoria es la semirrecta x =0con y>0. Cuando C 2 < 0, la trayectoria es la semirrecta x =0con y<0. Cuando t +, ambas trayectorias entran en el origen. Cuando C 1 y C 2 son ambos no nulos, la trayectoria correspondiente a la solución x(t) =C 1 e t,y(t) = C 2 e 3t descansa sobre la curva de ecuación y = C 2 x 3. Este tipo de curvas semejan hipérbolas, y C1 3 constan de dos ramas situadas en los cuadrantes primero y tercero cuando C 2 C1 3 > 0, obienenlos cuadrantes segundo y cuarto cuando C 2 < 0. Cada una de dichas ramas constituye una trayectoria. C1 3 Este punto crítico aislado (0, 0) es un punto de silla. Hay cuatro trayectorias en forma de semirrecta, que determinan dos rectas que pasan por el origen. Cuando t +, dos de esas trayectorias se recorren hacia el origen; las otras dos, salen del origen. Entre estas semirrectas hay cuatro regiones, cada una de las cuales contiene trayectorias que se asemejan a ramas de hipérbolas. Cuando t +, estas trayectorias no tienden hacia el punto crítico, sino que son asintóticas a algunas de las semirrectas que entran (véase la Figura 4). Figura~4: Punto de silla. El punto crítico es un centro.

9 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.9 Figura~5: Centro. Este caso se presenta cuando los autovalores son imaginarios puros. Las trayectorias son curvas cerradas que rodean al origen, que en general tienen forma de elipses, de modo que ninguna trayectoria tiende a él cuando t + o t. Por ello, el punto crítico es estable, pero no asintóticamente estable. Ejemplo 3.3 Consideremos el sistema autónomo lineal ½ x 0 = y y 0 = x Sus soluciones son x(t) =C 1 cos t + C 2 sen t, y(t) =C sen t C 2 cos t. Las trayectorias las determinamos en este caso resolviendo la ecuación diferencial ydy = xdy y así obtenemos que las trayectorias son todas las circunferencias centradas en el origen (véase la Figura 5). En este caso el punto crítico aislado (0, 0) se denominado centro, y las trayectorias se recorren, para t>0, en sentido contrario al de las agujas del reloj. El punto crítico es una espiral o foco. Este caso se presenta cuando los autovalores son complejos conjugados y tienen parte real no nula. Las trayectorias son curvas en forma de espiral que, conforme t +, pueden presentar dos situaciones: a) Todas se acercan al origen, caso de ser la parte real de los autovalores negativa. b) Todas se separan del origen, caso de ser la parte real de los autovalores positiva. Así, pues, un punto crítico foco es o bien asintóticamente estable (autovalores con parte real negativa), o bien es inestable (autovalores con parte real positiva). Ejemplo 3.4 Consideremos el sistema autónomo lineal ½ x 0 =2x y y 0 = x +2y

10 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.10 Las soluciones son x(t) =e 2t [C 1 cos t + C 2 sen t], y(t) =e 2t [C 1 sen t C 2 cos t]. Determinamos las trayectorias resolviendo la ecuación diferencial dy dx = x +2y 2x y que es una ecuación homogénea cuyas soluciones son curvas en el plano de fases. Para ver cuál es la forma de estas órbitas hacemos un cambio a coordenadas polares en la solución obtenida resultando r = Ce 2θ y aquí podemos reconocer a una familia de espirales logarítmicas que se muestran en la Figura 6. Figura~6: Foco. Obsérvese que los autovalores de este sistema son complejos conjugados a ± ib, peronoimaginarios puros (b 6= 0). En esta situación, el punto crítico se denominará foco o espiral. En este caso, las trayectorias son espirales que se enrollan a su alrededor. Por otra parte, todas se comportan de la misma forma: tienden al (0,0) cuando t +, casodesera<0, o bien salen del (0,0), cuando a>0. El siguiente resultado resume los diferentes comportamientos de las trayectorias desde el punto de vista de la estabilidad. Teorema 3.1 El punto crítico (0,0) del sistema lineal (4) es estable si y sólo los autovalores tienen parte real no positiva; si existe un autovalor con parte real positiva, entonces el punto crítico (0,0) del sistema lineal (4) es inestable; el punto crítico (0,0) del sistema lineal (4) es asintóticamente estable si y sólo si los autovalores tienen parte real negativa. Hemos visto que la naturaleza y la estabilidad del punto crítico de un sistema autónomo lineal se pueden describir atendiendo a sus autovalores. Pasaremos ahora a ver que, con la misma facilidad, estas características se pueden describir en términos de la traza T = traza(a) y del determinante D =det(a) de la matriz A de coeficientes del sistema teniendo en cuenta que el polinomio característico de A viene dado por p A (λ) =λ 2 T λ + D.

11 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.11 En efecto, si λ 1, λ 2 son los autovalores de la matriz del sistema, T = λ 1 + λ 2 y D = λ 1 λ 2, y además se tiene λ 1, λ 2 = T ± T 2 4D 2 siendo D 6= 0, ya que el cero no puede ser autovalor. Ahora, atendiendo a los diferentes valores de T y D tenemos: 1. Si T 2 4D <0, entonces los autovalores λ 1, λ 2 son complejos conjugados. Además, como tienen parte real igual a T/2, resulta: - son imaginarios puros si y sólo si T =0(centro y estabilidad) - tienen parte real negativa cuando T<0 (foco y estabilidad asintótica) - tienen parte real positiva cuando T>0 (foco e inestabilidad) Por ello, al considerar el plano TD, podremos asegurar que por encima de la parábola T 2 4D =0 se tiene (véanse las Figuras): -EnelejeOD se presentan los centros y hay estabilidad. - A la izquierda del eje OD se presentan los focos y hay estabilidad asintótica. - A la derecha del eje OD también se presentan focos, pero hay inestabilidad. 2. Si D<0, entonces se tiene T 2 4D >T 2. Por ello los autovalores son reales y de distinto signo. Se presentan puntos de silla e inestabilidad. Por ello, al considerar el plano TD, por debajo del eje OT se presentan puntos de silla e inestabilidad (véanse las Figuras). 3. Si D>0 y T 2 4D 0, entonces los autovalores son reales y tienen el mismo signo que T.Deahí que: a) Si T<0, se tenga: -CuandoT 2 4D =0, entonces los autovalores son iguales y negativos (nodo impropio, estabilidad asintótica). -CuandoT 2 4D > 0, entonces los autovalores son reales, distintos y negativos (nodo, estabilidad asintótica) b) Si T>0, se tenga: - Cuando T 2 4D =0, entonces los autovalores son iguales y positivos (nodo impropio, inestabilidad) - Cuando T 2 4D > 0, entonces los autovalores son reales, distintos y positivos (nodo, inestabilidad) Estos casos nos aseguran que en la parte izquierda de la parábola T 2 4D =0nos encontramos nodos y estabilidad asintótica. En la parte derecha de la dicha parábola también se presentan nodos, pero hay inestabilidad. Por otro lado, por debajo de la parábola T 2 4D =0, y por encima del eje OT, setiene: se presentan nodos y estabilidad asintótica, en la región de la izquierda; se presentan nodos e inestabilidad en la región de la derecha. Véanse las Figuras.

12 CENTROS ESTABILIDAD Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.12 D ESTABILIDAD ASINTÓTICA INESTABILIDAD INESTABILIDAD T Estabilidad del origen para el sistema lineal FOCOS FOCOS NODOS IMPROPIOS D NODOS PUNTOS DE SILLA NODOS IMPROPIOS NODOS T Naturaleza del origen para el sistema lineal 4 Estabilidad mediante linealización Consideremos el sistema autónomo (1), con un punto crítico en (x 0,y 0 ), tal que las funciones F (x, y) y G(x, y) sean de clase C 1 R 2. Entonces, aproximando z = F (x, y) y z = G(x, y) (cerca del punto (x 0,y 0 )) por sus respectivos planos tangentes en dicho punto, F (x, y) F x (x 0,y 0 ) (x x 0 )+ F y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) G(x, y) G x (x 0,y 0 ) (x x 0 )+ G y (x 0,y 0 ) (y y 0 ) podemos escribir µ F (x, y) G(x, y) µ x x0 A y y 0 si (x, y) ' (x 0,y 0 ),

13 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.13 donde A es la matriz jacobiana del campo (F (x, y),g(x, y)) t en el punto (x 0,y 0 ), es decir, A = F x (x 0,y 0 ) G x (x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ) G y (x 0,y 0 ). De esta manera, podemos pensar que el sistema (1) se encuentra próximo al sistema lineal µ µ ẋ x x0 = A ẏ y y 0 (5) cuando (x, y) está cerca de (x 0,y 0 ), y por consiguiente, es natural esperar que el comportamiento de las trayectorias del sistema (1) cerca del punto crítico (x 0,y 0 ) sea similar al de las trayectorias del sistema linealizado (5). El proceso descrito con anterioridad se denomina linalización y nótese que el cambio de variable (2) sobre el sistema (5) transforma éste en el sistema lineal µ µ ẋ x = A (6) ẏ y que tiene al punto (0, 0) como punto de equilibrio. A continuación veremos que, en general, el punto de equilibrio (x 0,y 0 ) del sistema autónomo (1) hereda la estabilidad, y en algunos casos la naturaleza, del punto de equilibrio (x 0,y 0 ) para el sistema lineal (5), es decir, la estabilidad del (0, 0) para el sistema lineal (6). En primer lugar caracterizamos la propiedad de punto crítico aislado para el sistema (1) a partir de esta misma propiedad para el punto crítico (0, 0) del sistema lineal (6). Proposición 4.1 Si el punto crítico (0, 0) delsistemalineal(6)esaislado(esdecir,sidet (A) 6= 0), entonces el punto crítico (x 0,y 0 ) del sistema (1) es aislado. Teorema 4.1 Teorema de Linealización de Liapunov y Poincaré. 1. El punto crítico (x 0,y 0 ) del sistema (1 )es asintóticamente estable si y sólo si todos los autovalores de la matriz A poseen parte real negativa (esto es, si el punto crítico (0, 0) del sistema (6) es asintóticamente estable). 2. El punto crítico (x 0,y 0 ) del sistema (1) es inestable si y sólo si la matriz A del sistema posee un autovalor con parte real positiva (es decir, el punto crítico (0, 0) es inestable para el sistema (6). Más aún, si los autovalores de A son distintos entre sí y distintos de cero se puede decir lo siguiente: 1. Si λ 1 < λ 2 < 0, entonces (x 0,y 0 ) es un nodo asintóticamente estable. 2. Si λ 1 > λ 2 > 0, entonces (x 0,y 0 ) es un nodo inestable. 3. Si λ 1 < 0 < λ 2, entonces (x 0,y 0 ) es un punto de silla. 4. Si λ 1 no es real y Re(λ 1 ) < 0, entonces (x 0,y 0 ) es un foco asintóticamente estable. 5. Si λ 1 no es real y Re(λ 1 ) > 0, entonces (x 0,y 0 ) es un foco inestable. Cuando el punto (0, 0) del sistema lineal (6) es estable, pero no asintóticamente estable, es decir, cuando la matriz jacobiana A posee un par de autovalores complejos conjugados con parte real nula, o cuando det(a) =0y A no posee un autovalor real positivo, el proceso de linealización no proporciona

14 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.14 información sobre la estabilidad del punto crítico (x 0,y 0 ) para el sistema (1). En efecto, consideremos el sistema ½ x 0 = y + µ x 2 + y 2 x y 0 = x + µ x 2 + y 2 donde µ R. (7) y El punto (0, 0) es el único punto de equilibrio para el sistema (7) y el sistema linealizado en dicho punto es ½ x 0 = y y 0 (8) = x de donde, (0, 0) es un punto de equilibrio estable para el sistema (8). Si estudiamos el sistema (7), introduciendo el cambio a coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ tenemos r 2 = x 2 + y 2, θ =arctg y x por lo que y el sistema (7) se tranforma en r 0 r = xx 0 + yy 0, θ 0 = y0 x x 0 y r 2 ½ r 0 = µr 3 θ 0 =1 Por consiguiente: Si µ<0, entonces r es decreciente y tiende a cero cuando t +, por lo que el punto (0, 0) es asintóticamente estable para el sistema (7). Si µ>0, entonces r es creciente y tiende a + cuando t +. Por tanto, el punto (0, 0) es un punto de equilibrio inestable para el sistema (7). Por último, si µ =0, entonces (0, 0) es estable (centro) para el sistema (7), ya que este sistema coincide con el sistema lineal (8). El plano de fases del sistema (7) para los distintos valores de µ puede contemplarse en las Figuras Ejemplo 4.1 Determinar la estabilidad del punto crítico (0, 0) para el sistema ½ x 0 = x y 3x 2 y y 0 = 2x 4y + y sen x Solución: Puesto que el sistema linealizado correspondiente es ½ x 0 = x y y 0 = 2x 4y (9) (10) entonces la traza y el determinante de la matriz de coeficientes vienen dados por T = 5 y D =2. Esto asegura que el origen para el sistema linealizado es asintóticamente estable (T <0,D > 0). Por tanto, podemos aplicar el Teorema 4.1, y concluir que el punto (0, 0) es, para el sistema no lineal, asintóticamente estable. Los diagramas de fase para ambos sistemas se muestran en las Figuras 12 y 13.

15 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.15 Figura~7: Plano de fases del sistema (7) para µ<0. Figura~8: Plano de fases del sistema (7) para µ>0. Figura~9: Plano de fases del sistema (7) para µ =0.

16 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.16 Figura~10: Retrato de fases del sistema no lineal (9). Figura~11: Retrato de fases del sistema linealizado (10).

17 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.17 5 Método directo de Liapunov Para el estudio de la estabilidad de un punto crítico aislado de un sistema autónomo, se cuenta con un método que se conoce como método directo de Liapunov, y que pasamos a exponer seguidamente. En lo que sigue supondremos, sin pérdida de generalidad, que (0, 0) es el punto crítico aislado del sistema (1). En primer lugar necesitamos recordar algunos conceptos e introducir otros nuevos. Definición 5.1 Se dice que la función real de dos variables E(x, y) es: a) definida positiva cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) > 0 (x, y) 6= (0, 0). Obsérvese que E(x, y) =ax 2 + by 2 con a>0,b>0 es definida positiva. b) semidefinida positiva cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) 0 (x, y) 6= (0, 0). Obsérvese que E(x, y) =ax 2 con a>0 y E(x, y) =by 2 con b>0, son semidefinidas positivas. c) definida negativa cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) < 0 (x, y) 6= (0, 0). Obsérvese que E(x, y) es definida negativa si, y sólo si, E(x, y) es definida positiva. d) semidefinida negativa cuando E(0, 0) = 0 y E(x, y) 0 (x, y) 6= (0, 0). Definición 5.2 Se dice que una función E(x, y), definida en alguna región que contiene al origen, continua, y con derivadas parciales de primer orden continuas, es una función de Liapunov para el sistema (1) cuando verifica las dos condiciones siguientes: a) E(x, y) es definida positiva. b) La función E 0 (x, y) = E x F + E G es semidefinida negativa y Teorema 5.1 Para el sistema (1) se verifican las siguientes propiedades: (A) Si existe una función de Liapunov E(x, y) para el sistema autónomo (1), entonces el punto crítico (0, 0) es estable. Además, si esa función verifica que E 0 (x, y) = E x F + E G es definida negativa, y entonces el punto crítico (0, 0) es asintóticamente estable. (B) Si existe una función E(x, y), conlassiguientespropiedades: (i) E(x, y) es continua y tiene derivadas parciales de primer orden en alguna región que contiene al origen. (ii) E(0, 0) = 0, y cada círculo centrado en (0, 0) contiene al menos un punto en el que E(x, y) es positiva. (iii) E x F + E G es definida positiva. y entonces el punto crítico (0,0) del sistema (1) es inestable. Veamos en el siguiente ejemplo que, a veces, es posible determinar de manera relativamente sencilla una función de Liapunov.

18 Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.18 Ejemplo 5.1 Demostremos, utilizando el método directo de Liapunov, que el punto crítico aislado del siguiente sistema es asintóticamente estable ½ x 0 = 3x 3 y y 0 = x 5 2y 3 Se comprueba fácilmente que dicho sistema tiene un único punto crítico que es el (0, 0). Nótese que la matriz del sistema linealizado en (0, 0) es nula, por lo que el proceso de linealización no da información. Trataremos de buscar una función del tipo E(x, y) =ax 2m + by 2n con a>0,b > 0,n,m números naturales, que sea por tanto definida positiva, y tal que además verifique que la función E x F + E y G sea definida negativa. Puesto que E x F + E y G = 2ma x2m 1 3x 3 y +2nby 2n 1 x 5 2y 3 = 6ma x 2m+2 +4nby 2n+2 + 2ma x 2m 1 y +2nby 2n 1 x 5 se habrá conseguido una función de este tipo si es posible que 2m 1=5 2n 1=1 2ma =2nb con a>0 y b>0 lo que determina que m =3,n=1, y por ejemplo, tomemos a =1y b =3. Así pues, la función de Liapunov E(x, y) =x 6 +3y 2 nos permite asegurar que el punto crítico (0,0) de este sistema es asintóticamente estable. La idea de considerar una función de Liapunov para el estudio de la estabilidad de un punto crítico surge, de manera natural, cuando se piensa que si la energía total de un sistema físico tiene un mínimo local en cierto punto de equilibrio (crítico), entonces ese punto será estable. Esta idea intuitiva la utilizó Liapunov para considerar el tipo de funciones que hemos descrito en el estudio de la estabilidad. Las funciones de Liapunov generalizan el concepto de energía total de un sistema físico. El siguiente ejemplo pone de manifiesto que la energía total de un cierto sistema físico es una función de Liapunov que nos permite detectar la estabilidad del punto de equilibrio del sistema. Ejemplo 5.2 Considérese la ecuación del movimiento de una masa m sujeta a un resorte, m d2 x dt 2 + cdx + kx =0 dt donde c 0 es una constante que representa el amortiguamiento que ejerce el medio en que se mueve la masa, y k>0 es la constante de recuperación del resorte. El sistema autónomo equivalente a dicha ecuación es ( x 0 = y y su único punto crítico es (0, 0). Las energías cinética y potencial de la masa son Así, la energía total del sistema es y 0 = k m x c m y E c = my 2 /2 E p = Z x E(x, y) =my 2 /2+kx 2 /2 0 kxdx = kx 2 /2 y es fácil comprobar que esta función E(x, y) es una función de Liapunov para el sistema. Cumple los requisitos a) y b) de la definición, aunque la función del requisito b) es semidefinida negativa. Por tanto, dicha función sólo nos permite detectar la estabilidad del punto de equilibrio, aunque nosotros ya hemos visto que cuando c>0, dicho punto es asintóticamente estable.