Vibraciones Linealización de ecuaciones diferenciales

Transcripción

1 Vibraciones Linealización de ecuaciones diferenciales MScAA Marcos Knoblauch Departamento de Aeronáutica Universidad Nacional de La Plata Introducción Este documento contiene las ecuaciones y conceptos teóricos fundamentales para la obtención de las expresiones linealizadas de las ecuaciones diferenciales utilizados en el curso de Vibraciones dictado en el Departamento de Aeronáutica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de La Plata. Este compendio es una herramienta de consulta y apoyo para los estudiantes del curso que complementa los contenidos teóricos desarrollados durante las clases teórico-prácticas y los apuntes de la cátedra. Linealidad - No Linealidad En el curso de Vibraciones aplicamos las teorías de análisis de sistemas lineales cuyo comportamiento dinámico puede ser expresado mediante ecuaciones diferenciales ordinarias 1. De esta manera podemos obtener, a partir del planteo y resolución del problema de autovalores y autovectores, características del comportamiento de los sistemas como las pulsaciones naturales y los modos de vibrar. Así mismo, es posible hallar las soluciones temporales de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento, tanto del sistema libre como del sistema forzado. Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal es aquella en la que las variables y sus derivadas aparecen como una combinación lineal. Si y(t) es la función desconocida, dependiente del tiempo, y L[ ] es el operador diferencial lineal, las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma L[y(t)] = f(t) 1 Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que contiene una o varias funciones de una única variable independiente y sus derivadas. En nuestro estudio, las funciones son temporales, en las que el tiempo es la variable independiente 1

2 El desarrollo del miembro izquierdo, el operador diferencial lineal, resulta L n [y] dn y dt n + A d n 1 y 1 dt n A dy n 1 dt + A ny Siendo A i funciones del tiempo (para los alcances de este curso, serán consideradas constantes). A modo de ejemplo, la ecuación diferencial que describe la dinámica de un sistema masa-resorte-amortiguador sobre el que actúa una fuerza exterior F (t) tiene la forma: mÿ + cẏ + ky = F (t) En esta ecuación, la variable independiente es el tiempo y la función incógnita y sus derivadas están combinadas linealmente, siendo m, c y k las constantes de dicha combinación. Ecuaciones diferenciales no lineales De la definición de la ecuación diferencial lineal puede inferirse la idea de ecuaciones diferenciales no lineales. Estas son las ecuaciones en las que la función incógnita y(t) y sus derivadas no aparecen en la ecuación como una combinación lineal. Así, si en la ecuación diferencial aparece uno o más términos que no tengan d la forma A i y(t) i, siendo A dt i i una constante, la ecuación diferencial es no lineal y no será posible aplicar sobre ella las herramientas de estudio, ni extraer información relacionada a las pulsaciones naturales y modos de vibrar. Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden exhibir comportamientos muy variados: múltiples puntos de equilibrio o ninguno, tanto estables como inestables. 2 Desarrollo en Serie En las siguientes secciones se presentan las expresiones de los desarrollos en serie de Taylor de aproximación de la función y = f(x 1, x 2, ). Funciones de una sola variable Una función puede ser expresada por una suma de términos de la serie de Taylor. Dicha serie de Taylor es una suma infinita de términos calculados a partir de las derivadas de la función en un punto determinado. Sea la variable independiente x y la función de dicha variable y = f(x) y un punto del dominio tal que la función sea infinitamente diferenciable en x = a 2 Entendemos por punto de equilibrio estable al punto en el espacio conformado por las coordenadas del sistema al cual tienden las trayectorias. Si el sistema disipa energía (asintóticamente estable), el movimiento se disipará dejando al sistema justamente en dicho punto. Un punto de equilibrio inestable al punto de equilibrio en el espacio conformado por las coordenadas del sistema desde el cual las trayectorias divergen. Una vez perturbado, el sistema evolucionará desde dicho punto en trayectorias divergentes. 2

3 f(x) n=0 El desarrollo de la sumatoria resulta f (n) (x) x=a (x a) n n! f(x) f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) 2 + f (a) (x a) 3 + 1! 2! 3! En el caso de restringir la suma infinita de la serie de Taylor a n términos, se obtiene una aproximación dada por un polinomio de grado n denominado polinomio de Taylor. Como caso particular, si el punto del dominio es el origen a = 0 la serie es conocida como serie de Maclaurin, cuya expresión resulta: f(x) n=0 f (n) (x) x=0 x n n! En otras palabras, la serie de Taylor y su caso particular de Maclaurin son expresiones que permiten desarrollar una función analítica e infinitamente derivable en un punto de su dominio como una sumatoria de términos de un polinomio. Si se trunca el desarrollo de la serie tomando sólo los primeros (p + 1) términos, se obtiene una aproximación de grado p de la función f(x). En el entorno del punto de desarrollo, el polinomio de aproximación de orden p y la función original f(x) exhibirán una diferencia tendiende a cero conforme se aproxima a dicho punto. Si se desea obtener una aproximación lineal de la función f(x) en el entorno del punto x = a, se elige p = 1 y se toman los dos primeros términos del desarrollo resultando en un polinomio de Taylor de primer grado f(x) f(a) + f (a) (x a) = f(a) + f (a)(x a) 1! Para el objetivo de este documento, es de interés esta última expresión. En las siguientes secciones se mostrará cómo se aplica el desarrollo en serie de Taylor - en particular eligiendo p = 1 - para obtener aproximaciones lineales de las ecuaciones diferenciales. Así mismo, se discutirá la elección del punto a en el cual se desarrollará la linealización. Funciones de varias variables De manera análoga, es posible generalizar la expresión del desarrollo en serie de Taylor cuando la variable depende de d variables independientes x 1, x 2 x d, en el punto de coordenadas a 1,.a d (x 1 a 1 ) n1 (x d a d ) n d f(x 1,, x d ) n 1! n d! n 1 =0 n 2 =0 n d =0 ( n 1 + +n df x n 1 1 x n d d ) (a 1,,a d ) 3

4 Desarrollando esta expresión para el polinomio de Taylor de primer grado en el punto de linealización (a 1,, a d ) se obtiene f(x 1,, x d ) f(a 1,, a d ) + d j=1 f(a 1,, a d ) x j (x j a j ) En el caso de una función escalar de dos variables independientes de la forma z = f(x 1, x, la linealización en el punto a = (x (0) 1, x (0) resulta z = f(x, y) f(x (0) 1, x (0) + f(x(0) 1, x (0) x (x x (0) 1 ) + f(x(0) 1, x (0) y (y x (0) La función aproximada por el polinomio de Taylor de primer grado en (x (0) 1, x (0) representa el plano tangente a la función z = f(x, y) en dicho punto. Linealización de ecuaciones diferenciales Es de interés obtener las soluciones temporales de las ecuaciones diferenciales y extraer información relevante respecto al comportamiento de los sistemas dinámicos. Si la ecuación diferencial del movimiento de un determinado sistema incluye uno o varios términos no lineales deberá estudiarse la viabilidad de realizar una aproximación de dicho término o términos mediante el polinomio de Taylor de primer grado. La elección del punto de linealización a no es trivial y dependerá del fenómeno que desee estudiarse. Elección del punto de linealización Los sistemas lineales elásticos (ej: un péndulo) oscilan alrededor de una posición conocida como posición de equilibrio estático. Esto es, las oscilaciones evolucionarán con un valor medio que coincide con la posición que adoptaría el sistema si estuviera en equilibrio estático: todas las fuerzas externas son aplicadas cuasi estáticamente y el trabajo realizado se acumula en forma de energía potencial gravitatoria y elástica. La ecuación diferencial no lineal del péndulo rígido de longitud l es θ + g l sinθ = 0 Naturalmente, la posición θ = 0 es una posición de equilibrio del péndulo. Si se lo aparta ligeramente de esa posición, el péndulo oscilará alrededor de la vertical. En la práctica, el comportamiento del péndulo acusa la disipación de energía debido a que el péndulo está sumergido en el aire, debido a rozamientos y otros fenómenos. El movimiento se extingue al cabo de un tiempo suficientemente largo y el péndulo quedará en reposo en la posición vertical, volviendo a θ = 0. Dicho punto es un punto de equilibrio estable. 4

5 Así mismo, se puede observar que cuando sinθ = 0 el péndulo encuentra el equilibrio, ya que θ = 0, situación que ocurrirá para θ = nπ, con n Z. En particular, el péndulo encuentra una posición de equilibrio en θ = π que es naturalmente inestable. Una vez apartado ligeramente de esa posición, el péndulo evolucionará alejandose de esa posición. Los sistemas no lineales pueden tener muchos puntos de equilibrio estables e inestables. Considerando el caso del péndulo, los puntos θ = 0, π, 2π, son puntos de equilibrio estables, mientras que los puntos θ = ±1, ±3, ±5, son inestables. El punto alrededor del cual se realiza la linealización dependerá de la necesidad de análisis. En el caso particular de estructuras o mecanismos vibrando es de interés obtener la linealización alrededor de un punto de equilibrio estable. Así, en el caso del péndulo, es deseable obtener la aproximación lineal de la ecuación diferencial en el entorno de θ = 0. Es importante destacar que las ecuaciones diferenciales linealizadas se aproximan a las ecuaciones diferenciales originales no lineales en un entorno reducido del punto de linealización escogido. Fuera de dicho entorno, las ecuaciones linealizadas pierden validez. La magnitud de dicho entorno de validez dependerá de cada caso y aplicación, mereciendo un estudio pormenorizado. Ejemplo de aplicación Sea el péndulo de dos segmentos de igual longitud l e iguales masas concentradas m. Se eligen como coordenadas generalizadas los ángulos respecto de la vertical θ y ϕ. Las ecuaciones diferenciales del movimiento son: { 2ml 2 θ + ml2 ϕ cos (θ ϕ) + ml 2 ϕ 2 sin (θ ϕ) + 2mgl sin (θ) = 0 ml 2 ϕ + ml 2 θ cos (θ ϕ) ml 2 θ2 sin (θ ϕ) + mgl sin (ϕ) = 0 θ l m Las ecuaciones diferenciales son no lineales debido a la presencia de: φ l funciones armónicas de las coordenadas generalizadas: cos (θ ϕ), sin (θ), etc. productos o potencias de coordenadas generalizadas: ϕ 2 productos de los anteriores: ϕ 2 sin (θ ϕ) m Punto de linealización Es de interés el estudio de la dinámica del péndulo en el entorno de su posición de equilibrio estático; esto es, cuando ambos segmentos están suspendidos y la energía potencial es mínima. De esta manera, el punto de linealización es (θ 0, ϕ 0 ) = (0, 0) que 5

6 es, además, estable. Frente a cualquier apartamiento, la tendencia de evolución del péndulo es en la dirección del punto de equilibrio estable. Así mismo, en el equilibrio las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas son también nulas. Desarrollo de las series Las linealizaciones se realizarán entonces en el (0, 0) por lo que se obtendrá la aproximación de las ecuaciones diferenciales mediante el polinomio de Maclaurin de primer grado. Es posible linealizar cada uno de los términos por separado. Término función de 3 variables independientes ϕ cos (θ ϕ) = f( ϕ, θ, ϕ) f( ϕ, θ, ϕ) f(0, 0, 0) + f f f ( ϕ 0) + (θ 0) + (ϕ 0) ϕ θ ϕ ϕ cos (θ ϕ) + cos (θ ϕ)( ϕ) ϕ sin (θ ϕ)(θ) + ϕ sin (θ ϕ)(ϕ) ϕ En las expresiones anteriores y siguientes no se ha explicitado, pero deberá evaluarse las derivadas parciales de la función respecto a cada una de las variables en el punto de linealización. Término función de 3 variables independientes ϕ 2 sin (θ ϕ) = f( ϕ, θ, ϕ) f( ϕ, θ, ϕ) f(0, 0, 0) + f f f ( ϕ 0) + (θ 0) + (ϕ 0) ϕ θ ϕ ϕ 2 sin (θ ϕ) + 2 ϕ sin (θ ϕ)( ϕ) ϕ 2 cos (θ ϕ)(θ) ϕ 2 sin (θ ϕ)(ϕ) 0 Término función de 1 variable independiente sin (θ) = f(θ) f(θ) f(0) + df (θ 0) dθ sin (θ) + cos (θ)θ θ Por simple comparación de su estructura, es posible deducir el polinomio de primer grado de Maclaurin de los términos restantes. Resumiendo: ϕ 2 sin (θ ϕ) ϕ θ cos (θ ϕ) θ ϕ 2 sin (θ ϕ) 0 θ 2 sin (θ ϕ) 0 sin (θ) θ sin (ϕ) ϕ 6

7 Reemplazando las series en las ecuaciones diferenciales anteriores se obtienen las ecuaciones diferenciales linealizadas: { 2ml 2 θ + ml2 ϕ + 2mglθ = 0 ml 2 ϕ + ml 2 θ + mglϕ = 0 Estas ecuaciones exhiben un comportamiento próximo al de las ecuaciones originales en un entorno pequeño del punto de linealización elegido. Para cada caso será necesario establecer un rango de validez. 7