Trabajo Práctico 2 SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD PRIMERA PARTE: APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

Transcripción

1 PRIMERA PARTE: APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Problema 1. El sistema de la figura está constituido por un cilindro circular de masa m y radio r que rueda sin deslizar dentro de la superficie circular de radio R, ubicada en el móvil de masa M. Determinar las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema utilizando las coordenadas generalizadas que se indican. Problema 2. Un péndulo doble está unido a cuatro resortes de igual constante de rigidez, como se indica en la figura. Utilizando como coordenadas lagrangeanas los desplazamientos angulares de cada péndulo, determinar las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema. Problema 3. Las oscilaciones de baja frecuencia que constituyen el movimiento de ladeo de un barco dependen de la posición del centro de presiones M en relación al centro de gravedad G. El centro de presiones M, localizado a una distancia h desde G, se determina por la intersección de la recta vertical central del barco y la recta de acción de la fuerza de flotación. Una cama ubicada en un camarote se encuentra a una distancia d 2 desde la línea central del barco, montada sobre 4 resortes idénticos de rigidez k, y con los siguientes parámetros: Si X y θ son los desplazamientos absolutos vertical y angular de la cama y el movimiento de ladeo del barco está caracterizado por Determine las ecuaciones diferenciales del movimiento de la cama Es posible eliminar el del movimiento oscilatorio de la cama si la frecuencia del movimiento de ladeo es de? Página 1 de 5

2 Problema 4. El puente grúa de puerto de la figura de masa m que pende de un cable de acero de longitud l. La masa del puente es M y la luz entre los apoyos es L. El viento, debido a los desprendimientos vorticosos, genera una fuerza vertical que puede considerarse armónica de la forma. Modelando el puente como una viga simplemente apoyada de acero de sección constante y momento de inercia J y el cable de sección transversal A, escriba las ecuaciones diferenciales del movimiento. transporta un contenedor Problema 5. Una varilla rígida de peso despreciable y longitud 2L pivota en su centro y está obligada a moverse en el plano vertical por medio de resortes y masas colocadas en sus extremos, como se muestra en la figura. Utilizando las coordenadas de Lagrange indicadas, determine las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema. Halle las ecuaciones diferenciales linealizadas. Problema 6. Un cilindro de masa m y radio r rueda sin deslizar sobre la plataforma de masa 2m. Las coordenadas generalizadas x1 y x2 del sistema representan los desplazamientos absolutos de la plataforma y del centro del cilindro, respectivamente. Escribir la energía cinética del sistema y determinar a) Las ecuaciones diferenciales de movimiento. b) Existencia de acoplamiento dinámico de las coordenadas. Página 2 de 5

3 SEGUNDA PARTE: FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRAR Problema 7. La esfera de masa m está ubicada en el extremo de una viga cantilever que, a su vez, está fija a un carro de masa 2m. Determine las pulsaciones naturales y los modos de vibrar del sistema utilizando las coordenadas generalizadas indicadas. Problema 8. La siguiente figura representa el modelo de un sismógrafo de tipo horizontal. Los parámetros físicos concentrados del dispositivo son los siguientes: Determinar las frecuencias naturales y los modos de vibrar del sistema. Asumir pequeñas variaciones de. Cuál es el rango de frecuencias de las oscilaciones producidas durante un terremoto que el dispositivo será capaz de registrar? Problema 9. Determinar las frecuencias naturales y los modos de vibrar del Renault 12 (figura). Modele el sistema sabiendo que el auto tiene una masa M y una longitud L. Los constante de rigidez de 2 resortes es K (tanto para adelante como para atrás). Desprecie la contribución de los neumáticos. Las coordenadas generalizadas son el desplazamiento vertical del baricentro y el giro en torno del mismo. Problema 10. Determinar las pulsaciones naturales y los modos de vibrar del sistema mecánico indicado en la figura, en el cual el resorte de acoplamiento tiene una constante de restitución variable con el parámetro n. Graficar las pulsaciones naturales halladas en función de n y las formas modales para un valor de n=4. Página 3 de 5

4 Problema 11. Se desea conocer los modos de vibrar y las frecuencias de resonancia del motor monocilíndrico del Trabajo Práctico de Sistemas de 1 Grado de Libertad, considerando en este caso la elasticidad de la biela. Se asumirán vibraciones libres elástica equivalente de suspensión obtenida en el TP1 masa total del motor masa efectiva del pistón y la porción de biela radio del cigüeñal longitud de la biela velocidad de rotación Problema 12. Un cable de línea de alta tensión de densidad lineal de masa, está suspendido en un vano largo. Se sujeta un absorbedor al cable, cerca de la torre de suspensión, de manera de reducir la vibración inducida por efecto del viento, el cual se caracteriza por una oscilación vertical del cable. El absorbedor cuenta con dos masas de sujetas a un tramo corto de cable flexible. La frecuencia natural propia del absorbedor es de. Dado la gran longitud del vano, el cable está siempre excitado a, o cerca de cierta frecuencia natural, que se puede aproximar por, en donde L es la longitud entre torres en metros. Determine el rango de frecuencias para el cual es efectivo el uso del absorbedor. Problema 13. Para el sistema de la figura, y el peso del absorbedor de vibraciones es. Si la masa es excitada por un desbalanceo de rotando a, determinar el valor de que anula el desplazamiento de la masa. Determinar además el valor de la amplitud de. Página 4 de 5

5 Problema 14. Un rascacielos edificado en una región sísmica cuenta con un absorbedor de vibraciones pasivo que consta de un sistema masa resorte amortiguador sintonizado de manera tal que sean minimizados los desplazamientos en la cima del edificio. En la imagen se muestra un sismograma de un evento sísmico registrado en las costas de Estambul, Turquía. Tomando el sismograma como parámetro de diseño, proponga los valores de masa, rigidez y amortiguamiento para lograr una atenuación de 80% del desplazamiento en el extremo del rascacielos. Página 5 de 5