SISTEMAS NO LINEALES CLASE 1. Prof. Virginia Mazzone - Prof. Mariana Suarez. Introducción Desarrollo. 17 de marzo de 2010

Transcripción

1 SISTEMAS NO LINEALES CLASE 1 Prof. Virginia Mazzone - Prof. Mariana Suarez 17 de marzo de 2010

2 Plan de la clase El curso: Introducción a los sistemas no lineales

3 Programa Introducción Parte I: Análisis de sistemas no lineales (SNL) Introducción, sistemas planares, ciclos límite, estabilidad de Lyapunov. Parte II: Control de sistemas no lineales Control en realimentación, linealización exacta por realimentación, control por modo deslizante, introducción a los observadores no lineales.

4 Bibliografía Introducción Obligatoria: Khalil: Nonlinear Systems Slotine- Li : Applied Nonlinear Control D Attellis: de control y sus aplicaciones

5 Bibliografía (cont.) Introducción De consulta: Sontag: Mathematical Control Theory

6 Evaluación: Introducción 1 Presentación, por escrito y en forma individual, de una serie de problemas resueltos. 2 Coloquio oral.

7 Modelos de SNL Introducción Sistemas dinámicos representados por la EDO vectorial de primer orden ẋ = f (x,u) donde x R n es el vector de estados y u R p es el vector de entradas. Ecuación de salida y = h(x,u)

8 Sistemas no forzados Introducción 1 Sistemas estacionarios o invariantes en el tiempo ẋ = f (x) (1) 2 Sistemas inestacionarios o variantes en el tiempo ẋ = f (x,t) (2)

9 Definición (Puntos de Equilibrio) Un punto x = x en el espacio de estado es un punto de equilibrio (PE)de (1) si tiene la propiedad de que cuando el estado inicial del sistema es x, el estado permanece en x en todo tiempo futuro.

10 Puntos de Equilibrio (cont.) Los PE de (1) son las raíces de la ecuación Ejemplo: Sistema lineal. El sistema f (x) = 0 ẋ = Ax + Bu tiene como único punto de equilibrio a x = 0

11 Insuficiencia de la linealización El análisis de la linealización de un SNL no es suficiente ya que: 1 la linealización sólo predice comportamiento local. 2 se pierde la riqueza de la dinámica del SNL : escape en tiempo finito, ciclos límite, múltiples PE aislados, oscilaciones, caos.

12 Ejemplos Introducción Ejemplo 1: El péndulo Ecuación: ml θ = mgsenθ kl θ, donde m: masa de la bola, l: long. del brazo, θ: áng. entre vertical y brazo, g: acel. de la gravedad, k:coef. de fricción.

13 Ejemplos Introducción Ejemplo 1 (cont.): Variables de estado: x 1 = θ, x 2 = θ Ecuaciones de estado: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g l senx 1 k m x 2

14 Ejemplos Introducción Ejemplo 1 (cont.): Puntos de equilibrio: Haciendo ẋ 1 = ẋ 2 = 0, los PE son Físicamente: (0,0) PE estable (π,0) PE inestable (nπ,0), n = 0,±1,±2,...

15 Ejemplos Introducción Ejemplo 2: Sistema masa-resorte Por Ley de Newton mÿ + F f + F r = F donde F f :fuerza resistiva de fricción F r : fuerza de recuperación del resorte F : fuerza externa. F = g(y), g(0) = 0

16 Ejemplos Introducción Expresiones para la fuerza de recuperación del resorte F r = g(y) ky pequeños desplazamientos k(1 a 2 y 2 )y ay < 1 grandes desplaz., resorte suave k(1 + a 2 y 2 )y grandes desplaz., resorte duro

17 Ejemplos Introducción Expresiones para la fuerza de fricción F v = h(ẏ) h(0) = 0 fuerza viscosa F v = cẏ pequeñas velocidades F s = µ s mg fricción estática, 0 > µ s > 1 F d = µ k mg fricción de deslizamiento

18 Ejemplos (cont.): Una ecuación para el sistema masaresorte Ecuación de Duffing Combinando resorte duro, amortiguamiento lineal y fuerza ext. periódica F = Acosωt se tiene mÿ + cẏ + ky + ka 2 y 3 = Acosωt estudio de la excitación periódica de SNL

19 Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masaresorte Modelo ideal para la fuerza de fricción F d = µ k mg para ẏ < 0 F s para ẏ = 0 µ k mg para ẏ > 0 (3)

20 Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masaresorte Combinando resorte lineal con amortiguamiento viscoso, fricción estática y fuerza ext. nula se tiene mÿ + cẏ + ky + η(y,ẏ) = 0

21 Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masaresorte Donde η(y,ẏ) = µ k mg sign(ẏ) para ẏ > 0 ky para ẏ = 0 y ẏ µ s mg/k µ s mg sign(y) para ẏ = 0 y y > µ s mg/k (4)

22 Ejemplos (cont.): Otra ecuación para el sistema masaresorte Ecuaciones de estado: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = k m x 1 c m x 2 1 m η(x 1,x 2 ) Puntos de equilibrio: no aislados (conjunto de equilibrio) Miembro derecho de la ec. es función discontinua del estado

23 Modelo de Lotka-Volterra Competencia entre dos especies (conejos y ovejas) ambas compiten por la misma comida la cantidad disponible es limitada se ignoran: predadores, efectos estacionales, otros.

24 Modelo de Lotka-Volterra (cont.) Efectos: si hubiera una sola especie (modelo logístico) ( Ṅ = rn 1 N ) k si están ambas, habrá conflicto: se reduce el crecimiento de ambas especies.

25 Modelo de Lotka-Volterra (cont.) El siguiente modelo incorpora estas hipótesis ẋ = x(a x by) ẏ = y(c x y) donde a, b, c son parámetros positivos.

26 Modelo de Lotka-Volterra (cont.) Buscamos los puntos de equilibrio para los valores a = 3, b = 2, c = 2. ẋ = 0 ẏ = 0 Los PE son (0,0), (0,2), (3,0), (1,1). SNL planar, con equilibrios múltiples que pueden analizarse por medio de su retrato de fase

27 Las ecuaciones de Lorenz Teoría del Caos (1963): trabajo de Lorenz. Se intentaba dar una explicación y predicción global del clima atmosférico. Las ecuaciones que modelaban la atmósfera son aproximaciones a las ecuaciones de Navier-Stokes. Se llega a las siguientes ecuaciones diferenciales.

28 Las ecuaciones de Lorenz (cont.) ẋ = σ(y x) ẏ = rx y xz ż = xy bz con σ, r, b parámetros definidos positivos.

29 Caos Introducción Definición: soluciones de sistemas dinámicos no lineales deterministas que oscilan aleatoriamente, con una oscilación irregular y aperiódica, y donde se tiene una gran sensibilidad a las condiciones iniciales imposibilidad de la previsión del comportamiento a grandes tiempos.