Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo Malthusiano dp dt = rp, P(0) = P 0 donde r es la

Transcripción

1 Simulación numérica Ander Murua Donostia, UPV/EHU

2 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo Malthusiano dp dt = rp, P(0) = P 0 donde r es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortandad por unidad de tiempo. La solución exacta es P(t) =P 0 e rt.

3 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo Malthusiano dp dt = rp, P(0) = P 0 donde r es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortandad por unidad de tiempo. La solución exacta es P(t) =P 0 e rt. Si r > 0, la población crece de forma ilimitada, y si r < 0, decae exponencialmente hacia cero. Este modelo no es nada realista, pues no tiene en cuenta la limitación de recursos naturales.

4 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo de Verhulst. Ecuación logística donde r > 0. dp dt = r (1 P/K) P, P(0) = P 0, Si P 0 = K, entonces P(t) =K para todo t.

5 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo de Verhulst. Ecuación logística donde r > 0. dp dt = r (1 P/K) P, P(0) = P 0, Si P 0 = K, entonces P(t) =K para todo t. Se puede comprobar que la solución general es de la forma P(t) = KP 0 P 0 +(K P 0 )e rt, de modo que en cualquier caso (para P 0 0 arbitrario), la población tiende hacia K cuando t.

6 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo simplificado de pesca dp dt = r(1 P/K)P H(t) donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad de toneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos dos casos:

7 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo simplificado de pesca dp dt = r(1 P/K)P H(t) donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad de toneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos dos casos: Se pesca un número fijo L de toneladas al mes durante todo el año. En ese caso, H(t) es una función constante H(t) =L.

8 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Modelo simplificado de pesca dp dt = r(1 P/K)P H(t) donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad de toneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos dos casos: Se pesca un número fijo L de toneladas al mes durante todo el año. En ese caso, H(t) es una función constante H(t) =L. Solo se pesca durante tres meses al año, con una cantidad fija L de toneladas al mes, y durante el resto del año no se pesca. En tal caso, H(t) será una función periódica { L si 12n t < 12n +3 H(t) = 0 si 12n +3 t < 13n

9 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Velocidad de caida de un paracaidista m dv dt = mg + cv2, v(0) = 0. donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g =9.8 m/s 2, y c > 0 es un parametro relativo a la fricción del aire con respecto al cuerpo que cae. Tiene dicho problema solución única?

10 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Velocidad de caida de un paracaidista m dv dt = mg + cv2, v(0) = 0. donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g =9.8 m/s 2, y c > 0 es un parametro relativo a la fricción del aire con respecto al cuerpo que cae. Tiene dicho problema solución única? De hecho, se puede comprobar que la solución v(t) es donde v t = mg/c. v(t) = v t 1 exp( 2gt/v t ) 1 + exp( 2gt/v t )

11 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Velocidad de caida de un paracaidista m dv dt = mg + cv2, v(0) = 0. donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g =9.8 m/s 2, y c > 0 es un parametro relativo a la fricción del aire con respecto al cuerpo que cae. Tiene dicho problema solución única? De hecho, se puede comprobar que la solución v(t) es v(t) = v t 1 exp( 2gt/v t ) 1 + exp( 2gt/v t ) donde v t = mg/c. Observar que lim t v(t) =v t.

12 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Ecuación del péndulo ml d 2 θ dθ = mg sin(θ) c dt2 dt Este es un ejemplo de ecuación de segundo orden. Si introducimos una nueva variable ω para la velocidad angular dθ dt, obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden dω dt dθ dt = g L sin(θ) c ml ω = ω

13 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Ecuación del péndulo ml d 2 θ dθ = mg sin(θ) c dt2 dt Este es un ejemplo de ecuación de segundo orden. Si introducimos una nueva variable ω para la velocidad angular dθ dt, obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden dω dt dθ dt = g L sin(θ) c ml ω = ω Para determinar una solución concreta, hay que conocer θ(t 0 )y ω(t 0 ) para un instante t 0 inicial. Fijados estos valores, la solución es única.

14 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Un modelo depredador-presa: El sistema de Lotka-Volterra du dt dv dt = (a bv) u, = (cu d) v, donde u representa la población de presas y v la de depredadores, y a, b, c, d > 0 son parámetros del problema previamente fijados. Es un sistema autónomo. Se puede ver que sus soluciones son periódicas. Si se conocen u(0) y v(0) (además de los valores de los parámetros a, b, c, d > 0), la solución (u(t), v(t)) se puede determinar de forma única.

15 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Consideremos la función I (u, v) =d ln u + a ln v cu bv. Para cualquier solución (u(t), v(t)) del sistema y por tanto d I (u(t), v(t)) = 0 para todo t, dt I (u(t), v(t)) = I (u(0), v(0)) para todo t, es decir, I (u, v) is un invariante del sistema. A partir de ello, se puede deducir que (u(t), v(t)) es periódica respecto de t.

16 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Simulación de un satélite artificial El movimiento de un satélite artificial alrededor de la tierra: d 2 x dt 2 = x r 3 + ɛ F x(x, y), d 2 y dt 2 = y r 3 + ɛ F y (x, y), donde ɛ es una constante positiva, r = x 2 + y 2,y F x (x, y) = 1 ( x 2 ) x 2 r 2 r 5, F y (x, y) = 1 ( x 2 ) y 2 r 2 r 5. Valor típico del parḿetro: ɛ = Ejemplo de valores iniciales con solución casi periódica:

17 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden El sistema de Lorenz El siguiente sistema es un ejemplo de sistema caótico (fué propuesto por Lorenz como un modelo simplificado para la evolución de variables atmosféricas). dx dt dy dt dz dt = ax + ay, = rx y xz, = bz+ xy, donde a, b, y r son constantes positivas. Valores típicos de los parámetros: a = 10, b =8/3, y r = 28. Ejemplo de condiciones iniciales: x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.

18 Ecuaciones de primer orden Ecuaciones de segundo orden Sistemas de ecuaciones de primer orden Supongamos que tenemos una barra fina aislada térmicamente del exterior, excepto posiblemente por los extremos. La ecuación del calor unidimensional donde 2 u(x, t) =a u(x, t). t x 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenada espacial x. Para determinar de forma única la solución, necesitamos más información: Qué ocurre en los extremos? (i.e. condiciones de contorno?) Condiciones iniciales: u(x, 0) =? para cada x.

19 Problema de valor inicial de EDOs d y dt = f (t, y), y(t 0 ) = y 0.

20 Problema de valor inicial de EDOs d y dt = f (t, y), y(t 0 ) = y 0. Datos del problema: 1 Tiempo inicial t 0, 2 Valor inicial y 0, 3 Lado derecho de la equación diferencial: f (t, y). Solución: La función y(t).

21 Problema de valor inicial de EDOs d y dt = f (t, y), y(t 0 ) = y 0. Datos del problema: 1 Tiempo inicial t 0, 2 Valor inicial y 0, 3 Lado derecho de la equación diferencial: f (t, y). Solución: La función y(t). Resolución numérica: Discretización del tiempo: Considerar t 0, t 1, t 2,..., t n, donde t k = t k 1 + h, con h relativamente pequeño, Calcular aproximaciones y k y(t k ) para k =1, 2, 3,..., n.

22 Método de Euler Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(t k, y k )

23 Método de Euler Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(t k, y k ) Importante: En el caso de un sistema de EDOs de dimensión d, Cada y k es un vector de d componentes ( y k R d ), Para cada (t, y) R d+1, tenemos f (t, y) R d.

24 Método de Euler mejorado Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(t k + h 2, y k + h 2 f (t k, y k ))

25 Método de Euler mejorado Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(t k + h 2, y k + h 2 f (t k, y k )) Método del punto medio expĺıcito y para k =1,..., n 1, y 1 = y 0 + hf(t 0 + h 2, y 0 + h 2 f (t 0, y 0 )) y k+1 = y k 1 +2hf(t k, y k ).

26 Para sistemas autónomos, es decir de la forma d dt y = f (y), Método de Euler mejorado Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(y k + h 2 f (y k))

27 Para sistemas autónomos, es decir de la forma d dt y = f (y), Método de Euler mejorado Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(y k + h 2 f (y k)) Método del punto medio expĺıcito y para k =1,..., n 1, y 1 = y 0 + hf(y 0 + h 2 f (y 0)) y k+1 = y k 1 +2hf(y k ).

28 Ejercicio La EDO de la velocidad del paracaidista m dv dt = mg + cv2, v(0) = 0, donde g =9.8 m/s 2, m = 70Kg y c =0.3, y que queremos aproximar la solución v(t) para t [0, 30]. Aproximar la solucion v(t) para t = t 0, t 1, t 2,..., t n = 30 (donde t k = hk y h = 30/n) utilizando el método de Euler con distintos valores de h. Nuestro objetivo es analizar como se reduce el error cometido según reducimos h. Para ello, calcular para h =0.3, h =0.15, h =0.075 Error = max 1 k n v(t k) v k. Repetir el experimento para el método de Euler mejorado.

29 Definición de orden de un método Supongamos que aplicamos un método numérico a un problema de valor inicial d dt y = f (t, y), y(t 0)=y 0 para aproximar la solución y(t) para t [t 0, T ], de modo que obtenemos y k y(t k ), k =0, 1, 2,..., n, donde t k = t 0 + khy h =(T t 0 )/n. El método es de orden r si existe C > 0 tal que para cualquier discretización suficientemente fina 1 h r Error = 1 h r max y(t k) y k C. 1 k n

30 Ejercicio Las ecuaciones del péndulo dθ dt = ω, mldω dt = mg sin(θ) cω, donde g =9.8m/s 2, L =1m, m =1Kg y c =0.0003, y que queremos aproximar la solución y(t) =(θ(t),ω(t)) para t [0, T ] con T = 10. Aproximar la solucion y(t) para t = t 0, t 1, t 2,..., t n = T (donde t k = hk y h = T /n) utilizando el método de Euler mejorado con distintos valores de h. Comprobar experimentalmente que el método es de orden 2. Para ello, calcular para h =0.01, h =0.005, h = h 2 Error = 1 h 2 max y(t k) y k. 1 k n Repetir el experimento para T = 20.

31 Implementación Supongamos que tenemos definida en Matlab una función (por ejemplo, edofun ) tal que, dados t R un vector y R d, edofun(t, y) devuelve un vector f (t, y) R d. Dicha función determina un sistema de ecuaciones differenciales de la forma d y = f (t, y). dt

32 Implementación Supongamos que tenemos definida en Matlab una función (por ejemplo, edofun ) tal que, dados t R un vector y R d, edofun(t, y) devuelve un vector f (t, y) R d. Dicha función determina un sistema de ecuaciones differenciales de la forma d y = f (t, y). dt Sabemos que, dados t 0 R y y 0 R d, existe una única solución del sistema que satisfaga la condición inicial y(t 0 )=y 0.

33 Ejercicio Definir una nueva función, digamos EulerModif, que dados t 0 R,y 0 R d, h > 0, y n N, devuelve un vector columna T R n+1 y una matriz Y R (n+1) d, tales que t 0 t T = 1. donde t k = t 0 + kh. t n, y(t 0 ) T Y y(t 1 ) T. y(t n ) T,

34 Dado el problema de valor inicial d dt y = f (t, y), y(t 0)=y 0, Para obtener para j =0, 1, 2,... las aproximaciones y j y(t j ) (t j = t 0 + jh), Método de Runge-Kutta de orden 4 k 1 = hf(t j, y j ), k 2 = hf(t j + h 2, y j k 1), k 3 = hf(t j + h 2, y j k 2), k 4 = hf(t j + h, y j + k 3 ), y j+1 = y j (k 1 +2k 2 +2k 3 + k 4 ).

35 Dado un sistema autónomo con condicion inicial d dt y = f (y), y(t 0)=y 0, Para obtener las aproximaciones y j y(t j )(t j = t 0 + jh, j =0, 1, 2,...), Método de Runge-Kutta de orden 4 para sistemas autónomos k 1 = hf(y j ), k 2 = hf(y j k 1), k 3 = hf(y j k 2), k 4 = hf(y j + k 3 ), y j+1 = y j (k 1 +2k 2 +2k 3 + k 4 ).

36 RK de orden 5 de Dormand & Prince (ode45) Para t j = t 0 + jh(j =0, 1, 2,...), y(t j ) y j, donde k 1 = hf(y j ) k 2 = hf(y j + k 1 5 ) k 3 = hf(y j + 3k k 2 40 ) k 4 = hf(y j + 44k k k 3 9 ) k 5 = hf(y j k k k k ) k 6 = hf(y j k k k k k ) y j+1 = y j + 35k k k k k 6 84.

37 Ejemplo de decaimiento radiactivo dy dt La solución exacta es = 100y, y(0) = 1, y(t) =e 100 t. Queremos aproximar la solución para t [0, 100]. Aplicar el método de Euler, primero con h =0.019, y después con h = Comparar gráficamente los resultados. Aplicar el integrador ode45 con longitud de paso constante, primero con h =0.02, y después con h =0.04, y representarlas gráficamente en una misma figura. Aplicar el integrador ode45 con tolerancia absoluta y relativa tol, primero con tol = 10 3, Y después con tol = Comparar el coste computacional y el error cometido.

38 Problema test de estabilidad lineal donde λ es una constante. y = λ y, y(0) = 1, La solución exacta es y(t) =e λ t, y si λ< 0, lim y(t) =0. t

39 Problema test de estabilidad lineal donde λ es una constante. y = λ y, y(0) = 1, La solución exacta es y(t) =e λ t, y si λ< 0, lim y(t) =0. t Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n

40 Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n.

41 Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n. Inestabilidad: Si 1 + λ h > 1, entonces lim n y n =.

42 Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n. Inestabilidad: Si 1 + λ h > 1, entonces lim n y n =. Por ejemplo, si λ = 100 y h =0.009, 1+h λ =1.1, y por tanto lim n y n = lim n (1.1)n =.

43 Ejemplo de muelle rígido con masa puntual (oscilador armónico) x = (x 1), x(0) = 1.1, x (0) = 0. La solución exacta es x(t) = 1 + cos(1000 t). Queremos aproximar la solución para t [0, 1]. Aplicar el método de Euler, primero con h =0.01, y después con h = Comparar gráficamente los resultados. Aplicar el integrador ode45 con longitud de paso constante, primero con h =0.0009, y después con h =0.0011, y representarlas gráficamente en una misma figura. Aplicar el integrador ode45 con tolerancia absoluta y relativa tol, primero con tol = 10 4, Y después con tol = Comparar el coste computacional y el error cometido.

44 La ecuación de segundo orden del oscilador armónico se puede reescribir, con el cambio de variable u = x 1, y añadiendo la variable v = x = u, como u = v, v = u, u(0) = 0.1, v(0) = 0. (1) Ejercicio Encontrar un cambio de variable de la forma u = a 1,1 y + a 1,2 z, v = a 2,1 y + a 2,2 z, que transforma el sistema (1) en dos ecuaciones independientes y = λ y, z = µ z. Cuales son concretamente los valores λ, µ?

45 Versión general del test de estabilidad lineal donde λ C. y = λ y, y(0) = 1, La solución exacta es y(t) =e λ t,y Si Re(λ) < 0, lim t y(t) = 0, Si Re(λ) > 0, lim t y(t) =, Si Re(λ) = 0 (λ imaginario puro), entonces y(t) 1( t).

46 Versión general del test de estabilidad lineal donde λ C. y = λ y, y(0) = 1, La solución exacta es y(t) =e λ t,y Si Re(λ) < 0, lim y(t) = 0, t Si Re(λ) > 0, lim y(t) =, t Si Re(λ) = 0 (λ imaginario puro), entonces y(t) 1( t). Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n.

47 Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n.

48 Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n. Inestabilidad: Si 1 + λ h > 1, entonces lim y n =. n

49 Aplicación del método de Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es decir y n = (1 + h λ) n. Inestabilidad: Si 1 + λ h > 1, entonces lim y n =. n Por ejemplo, si λ = 100i y h =0.009, 1+h λ = i, y por tanto, puesto que 1+0.9i = 1.81 > 1, lim n y n = lim n ( 1.81) n =.

50 Si aplicamos el método de Runge-Kutta de orden 5 de Dormand & Prince (Dopri5, ode45) al problema test y = λ y, y(0) = 1, donde λ C, las aproximaciones y n y(nh)=e λn,h que se obtienen son y n = R(h λ) n Función de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45) R(z) = 1 + z + z2 2 + z3 6 + z z z6 600

51 La solución numérica será estable si h λ pertenece a la Región de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45) {z C / R(z) 1}

52 Dado un problema de valor inicial de EDOs d dt y = f (t, y), y(t 0)=y 0, y fijada una discretizazión t n = t 0 + nh del tiempo, para n =0, 1, 2,..., se pueden obtener las aproximaciones por medio del Método de Euler impĺıcito y n y(t n ) y n = y n 1 + hf(t n, y n )

53 Dado un problema de valor inicial de EDOs d dt y = f (t, y), y(t 0)=y 0, y fijada una discretizazión t n = t 0 + nh del tiempo, para n =0, 1, 2,..., se pueden obtener las aproximaciones por medio del Método de Euler impĺıcito y n y(t n ) y n = y n 1 + hf(t n, y n ) Precisión: Es un método de orden 1.

54 El método de Euler impĺıcito aplicado al problema test y = λ y, y(0) = 1, (donde λ C), da la solución numérica y n = R(hλ) n, donde R(z) = 1 1 z. Región de estabilidad lineal {z C / R(z) 1} = {z C / z 1 1}

55 Método del trapecio y n = y n 1 + h 2 (f (t n 1, y n 1 )+f (t n, y n ))

56 Método del trapecio y n = y n 1 + h 2 (f (t n 1, y n 1 )+f (t n, y n )) Precisión: Es un método de orden 2.

57 Método del trapecio y n = y n 1 + h 2 (f (t n 1, y n 1 )+f (t n, y n )) Precisión: Es un método de orden 2. Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene y n = R(hλ) n, donde R(z) = z z. Región de estabilidad lineal {z C / R(z) 1} = {z C / Re(z) 0}.

58 Método de Gauss de orden 4 y n = y n 1 + h 2 (f (t n 1 + c 1 h, Z 1 )+f (t n 1 + c 2 h, Z 2 )), donde Z 1 y Z 2 están definidos de forma impĺıcita por medio de Z 1 = y n 1 + h (a 11 f (t n 1 + c 1 h, Z 1 )+a 12 f (t n 1 + c 2 h, Z 2 )), Z 2 = y n 1 + h (a 21 f (t n 1 + c 1 h, Z 1 )+a 22 f (t n 1 + c 2 h, Z 2 )), con los coeficientes a 11 = a 22 = 1 4, a 12 = , a 21 = y c 1 = a 11 + a 21, c 2 = a 21 + a ,

59 El método de Gauss de orden 4 aplicado al problema test de estabilidad lineal y = λ y, y(0) = 1: y n = R(hλ) n, donde R(z) = 1+ z 2 + z z 2 +. z2 12 Región de estabilidad lineal {z C / R(z) 1} = {z C / Re(z) 0}.

60 Método de BDF de orden y n 2y n y n 2 = hf(t n, y n ).

61 Método de BDF de orden y n 2y n y n 2 = hf(t n, y n ). Método de BDF de orden y n 3y n y n y n 3 = hf(t n, y n ).

62 Método de BDF de orden y n 2y n y n 2 = hf(t n, y n ). Método de BDF de orden y n 3y n y n y n 3 = hf(t n, y n ). Método de BDF de orden y n 4y n 1 +3y n y n y n 4 = hf(t n, y n ).

63 Supongamos que tenemos una barra fina aislada térmicamente del exterior, excepto posiblemente por los extremos. La ecuación del calor unidimensional donde 2 u(x, t) =a u(x, t). t x 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenada espacial x.

64 Supongamos que tenemos una barra fina aislada térmicamente del exterior, excepto posiblemente por los extremos. La ecuación del calor unidimensional donde 2 u(x, t) =a u(x, t). t x 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenada espacial x. Qué ocurre en los extremos? Es decir, cuales son las condiciones de contorno?

65 Supongamos que tenemos una barra fina aislada térmicamente del exterior, excepto posiblemente por los extremos. La ecuación del calor unidimensional donde 2 u(x, t) =a u(x, t). t x 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenada espacial x. Qué ocurre en los extremos? Es decir, cuales son las condiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) para todo t.

66 Supongamos que tenemos una barra fina aislada térmicamente del exterior, excepto posiblemente por los extremos. La ecuación del calor unidimensional donde 2 u(x, t) =a u(x, t). t x 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenada espacial x. Qué ocurre en los extremos? Es decir, cuales son las condiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) para todo t. Condiciones iniciales: u(x, 0) =? para cada x.

67 La ecuación del calor bidimensional donde ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t). t x 2 y 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, y, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenadas cartesianas (x, y).

68 La ecuación del calor bidimensional donde ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t). t x 2 y 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, y, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenadas cartesianas (x, y). Qué forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno? Qué ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales son las condiciones de contorno?

69 La ecuación del calor bidimensional donde ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t). t x 2 y 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, y, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenadas cartesianas (x, y). Qué forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno? Qué ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales son las condiciones de contorno? Ejemplo: u(x, y, t) = 0 para todo t en cualquier punto (x, y) de su contorno.

70 La ecuación del calor bidimensional donde ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t). t x 2 y 2 a > 0 es la constante de difusión, u(x, y, t) es la temperatura en el tiempo t del punto con coordenadas cartesianas (x, y). Qué forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno? Qué ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales son las condiciones de contorno? Ejemplo: u(x, y, t) = 0 para todo t en cualquier punto (x, y) de su contorno. Condiciones iniciales: u(x, y, 0) =? para cada (x, y).

71 Siguiendo con el ejemplo anterior: El conjunto Ω de puntos (x, y) de la placa se conoce como el dominio del problema. La frontera de Ω se denota como Ω. Una condición de contorno típica es u(x, y, t) =Cte para todo x Ω.

72 Siguiendo con el ejemplo anterior: Ejemplo El conjunto Ω de puntos (x, y) de la placa se conoce como el dominio del problema. La frontera de Ω se denota como Ω. Una condición de contorno típica es u(x, y, t) =Cte para todo x Ω. Ω= {(x, y) R 2 / 0 x 1, 0 y 1} Condiciones de contorno: u(x, y, t) = 0 si (x, y) Ω Condiciones iniciales: { 1 si x 2 + y 2 < 2/5, u(x, y, 0) = 0 si x 2 + y 2 2/5,

73 Familias de métodos para la discretización espacial Diferencias finitas (basados en fórmulas de derivación), Elementos finitos (FEM), Métodos de tipo espectral,... Formulas de derivación numérica Para aproximar derivadas primeras f (x) f (x + x) f (x x) 2 x Para aproximar derivadas segundas = f (x)+o( x 2 ) f (x) f (x + x) 2f (x)+f (x x) x 2 = f (x)+o( x 2 )

74 La ecuación de ondas lineal donde 2 ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t). t2 x 2 y 2 a > 0 es la constante de elasticidad, u(x, y, t) es la altura de la placa en el punto con coordenadas cartesianas (x, y). Condiciones iniciales: u(x, y, 0) = u 0 (x, y), t u(x, y, 0) = v 0(x, y) Condiciones de contorno típica: u(x, y, t) = 0 para (x, y) Ω

75 La ecuación de ondas no-lineal 2 ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t) t2 x 2 y 2 donde a > 0 es la constante de elasticidad, + f (u). u(x, y, t) es la altura de la placa en el punto con coordenadas cartesianas (x, y), f (u) es el término no lineal. Ejemplos: bu 2, b sin(u) (b R), Condiciones iniciales y de contorno como en la ecuación lineal.

76 Ejemplo Ω= {(x, y) R 2 / 0 x 1, 0 y 1} Condiciones de contorno: u(x, y, t) = 0 si (x, y) Ω Condiciones iniciales: u(x, y, 0) = arctan(sin(πx) sin(πy)), v(x, y, 0) = 3 sin(πx) sin(πy)e sin(πy).