Crecimiento y decaimiento exponencial

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Julio Aguilar Araya
hace 7 años
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1 Crecimiento y decaimiento exponencial En general, si y (t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la razón de cambio de y con respecto a t es proporcional a su tamaño y (t) en cualquier tiempo, en tal caso dy dt = ky donde k es una constante. Ley de crecimiento natural (si k > 0) Ley de decaimiento natural (si k < 0) A esta se le denomina ecuación diferencial Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5

2 Crecimiento y decaimiento exponencial En general, si y (t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la razón de cambio de y con respecto a t es proporcional a su tamaño y (t) en cualquier tiempo, en tal caso dy dt = ky donde k es una constante. Ley de crecimiento natural (si k > 0) Ley de decaimiento natural (si k < 0) A esta se le denomina ecuación diferencial Teorema Las únicas soluciones de la ecuación diferencial dy dt exponenciales y (t) = y (0) e kt. = ky son las funciones Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5

3 Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad k? En el panorama del crecimiento de la población, cuando P (t) es el tamaño de una población en el tiempo t, escriba dp dt = kp o 1 dp P dt = k La cantidad 1 dp es la rapidez de crecimiento dividido entre el tamaño de la P dt población (rapidez de crecimiento relativo). Por ejemplo, si dp dt = 0,02P entonces P (t) = P 0 e 0,02t. Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 2/5

4 Una sustancia radiactiva decae emitiendo radiación de manera espontánea. Si m (t) es la masa que queda a partir de una masa inicial m 0 de la sustancia después de un tiempo t, por lo tanto, se ha encontrado de manera experimental que la rapidez de decaimiento 1 dm relativa es constante. (Ya que dm/dt es m dt negativo, la rapidez de desintegración es positiva). dm dt = km donde k es una constante negativa. Se puede usar la ecuación (de crecimiento poblacional) para mostrar que la masa decae de manera exponencial m (t) = m 0 e kt. Tiempo de vida media, es el tiempo que se requiere para que la mitad de cualquier cantidad conocida se desintegre. Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 3/5

5 La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio, siempre que esta diferencia no sea muy grande (análogamente se aplica al calentamiento). T (t): temperatura del obejto en el tiempo t T m : temperatura del medio Se puede formular la ley de enfriamiento de Newton como una E.D. dt dt = k (T T m). Esta ecuación no es completamente la misma que la de crecimiento exponencial, de tal manera que si se hace el cambio de variable y (t) = T (t) T m. Ya que T m, es constante, y (t) = T (t). Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 4/5

6 A 0 : cantidad invertida r: tasa de interés n: partición del año ( A (t) = A r ) nt n ( A (t) = lím A r nt = lím n n) A 0 n [ ( 1 + r ) ] n/r rt = A 0 lím n = A 0 lím m Si se deriva esta función, obtiene n [( m ) m ] rt = A 0 e rt da dt = ra 0e rt = r A (t). [ ( 1 + r ) ] n/r rt n Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 5/5

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