Ecuaciones diferenciales de primer orden: Aplicaciones a la Ingeniería Química

Transcripción

1 Lección 7 Ecuaciones diferenciales de primer orden: Aplicaciones a la Ingeniería Química 1 Ecuaciones Diferenciales en Cinética Química Ecuación estequiométrica: o a A b B = p P q Q 0 = a A b B... p P q Q... = ν A A ν B B... ν P P ν Q Q... Velocidad de la reacción: v = 1 d[a] = 1 a b d[b] = 1 p d[p] = 1 q d[q] = [A]= concentración de A en moles/(unidad de volumen). Reacción elemental: La velocidad de reacción sólo depende de la concentración de reactivos: v = k[a] α [B] β k = constante de velocidad de reacción. α β = orden de la reacción. 2

2 Reacciones elementales Orden de la reacción Forma 1 A Productos 2A Productos 2 A B Productos. A B Productos v = d[a] = d[b] = k[a][b], Si [A] 0 = a, [B] 0 = b y x(t) = concentración (en moles/litro) de [A] o [B] que han reaccionado hasta el instante t, entonces [A] = (a x(t)) y [B] = (b x(t)).. v = d[a] d(a x) = = dx = k(a x)(b x) 3 Un ejemplo más complicado Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que se producen consecutivamente en un reactor: A S k 1 X X S k 2 Y Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. Cuál es la fracción molar de X cuando ya ha sido consumida la mitad de A? Supóngase que k 2 /k 1 = 2. [X ] Fracción molar de X = [A] [S] [X ] [Y ] d[a] = k 1 [A][S] d[y ] = k 2 [X ][S] d[x ] d[s] = k 1 [A][S] k 2 [X ][S] = k 1 [A][S] k 2 [X ][S] 4

3 Balances de Masa Concentración de contaminante en un lago en el instante t = en el instante t que ha entrado desde t hasta t que ha salido desde t hasta t ( ) generado a partir de otros productos por reacciones químicas entre t y t Flujo de masa: de materia por unidad de tiempo 5 ( ) ( ) de contaminante de contaminante en el instante t en el instante t = de contaminante de contaminante que ha entrado desde t que ha salido desde t hasta t hasta t generado a partir de otros productos por reacciones químicas entre t y t Tomando ĺımites cuando 0: = ṁ e ṁ s ṁ r, Acumulación= Entrada-Salida Generación 6

4 El CSTR: un modelo ideal para balances de masa Entrada Entrada Generacion Acumulacion Salida Si c(t) = concentración de materia en el instante t y V (t) = volumen de ĺıquido en el CSTR en el instante t: = d(c(t)v (t)) Estado estacionario: las concentraciones y el volumen no cambian con el tiempo: = 0 Estado no estacionario: los caudales de entrada o salida comienzan o paran en un cierto momento, o la concentración de entrada varía de un momento a otro, o hay variación de volumen en la región de control de volumen: 0 7 Fujos de entrada y salida y generación Flujo de masa entrante: ṁ e = Q e (t) c e (t) Q e (t)= caudal entrante, c e (t)= concentración entrante. Flujo de masa saliente: ṁ s = Q s (t) c(t) Q s (t)= caudal saliente, c(t)= concentración saliente= concentración en el CSTR. Generación: Flujo de materia producida o destruída por unidad de tiempo debido a, por ejemplo, reacciones químicas entre los componentes: ṁ r = dm r = d(c r (t)v (t)). M r (t)= de materia producida por reacción química. Puede ser: dm r = 0: Materia conservativa. dc r (t) = k: Decaimiento de orden 0 dc r (t) = kc(t): Decaimiento de orden 1 Producción de materia. 8

5 s Se utiliza un CSTR para el tratamiento de desechos industriales utilizando una reacción que destruye los desechos de acuerdo con una cinética de dc r (t) primer orden: = kc(t), siendo k = 0 216/dia. El volumen del reactor es 500 m 3, los caudales de entrada y salida son los mismos e iguales a 50 m 3 /dia y la concentración de residuos en la entrada es 100 mgr/l. Cuál es la concentración de salida? (Estado estacionario) El proceso industrial del ejemplo anterior para el tratamiento de desechos tiene que pararse. En el momento de rearrancarlo, es decir en t = 0, se pone la concentración de entrada igual a 0 (i. e. sólo entra agua limpia). Cuál es la concentración de salida en función del tiempo? Cuánto tiempo costará al reactor alcanzar una concentración que sea el 10 % del valor obtenido en el ejemplo anterior?. (Estado no estacionario) 9 6 l/min 1 Kgr/l x(t) 1000 l x(0) =0 kgr 6 l/min Más s Considérese un CSRT que contiene 1000 l. de agua limpia, hacia el que una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 l/min. La solución fluye hacia el exterior del tanque a la velocidad de 6 l/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1 kgr/l, determínese cuándo será de 1 2 kgr/l la concentración en el tanque. Supongamos que un CSTR de 10 m 3 contiene 4 m 3 de agua limpia. En un momento dado se comienza a verter azucar al recipiente a razón de 2 5 kgr/min. En el mismo instante se comienza a verter agua limpia a razón de 2 m 3 /min. Al mismo tiempo se comienza a sacar disolución del recipiente a razón de 1 m 3 por minuto. Cuál será la concentración de azúcar en el recipiente cuando la disolución llegue al ĺımite de la capacidad del recipiente? 10

6 Balances de energía Variación de la energía interna y externa = en función del tiempo Entrada de energía Salida de energía por unidad de tiempo por unidad de tiempo O equivalentemente de = Ėe Ės. donde Ėe y Ės son los flujos de energia (energía por unidad de tiempo) que entran y salen del sistema. 11 s Se utiliza un termo eléctrico de agua para calentar agua de un suministro que circula a 10 o C. El nivel de calentamiento del termo se coloca al máximo mientras varias personas se duchan sucesivamente. Si, al máximo nivel, el calentador utiliza 5 Kw de electricidad por segundo, y el agua de la ducha fluye continuamente a 8 l/min cuál es la temperatura del agua que sale del calentador? Se supone que la temperatura del agua en el calentador es siempre la misma (estado estacionario) y que el calentador es 100 % eficiente (está perfectamente aislado y toda la energía se utiliza para calentar el agua). Recordemos Q = mc(t 2 T 1 ) es la de calor que hay que suministrar a un cuerpo de calor específico (o capacidad calorífica específica) c y de masa m para que su temperatura varíe de T 1 a T 2 12

7 q, T e T a V T q,t Han de enfriarse 4536 l/h de ácido sulfúrico, H 2 SO 4 (calor específico 0 36 kcal/(kgr oc) y densidad relativa 1 85 kgr/l) en un CSTR como el que se muestra en la Figura de al lado. El ácido a 174 o C se introduce en el tanque donde es bien agitado en contacto con un serpentín refigerante de área 8 m 2 y que se mantiene constantemente a la misma temperatura de 20 o C. La capacidad del tanque es de 4536 l. de ácido y el coeficiente de transmisión de calor entre el serpentín y el ácido es de 635 Kcal/(h m 2 oc) y puede suponerse constante. Suponiendo que el caudal de salida del ácido sulfúrico del tanque es el mismo que el de entrada a qué temperatura sale el ácido sulfúrico del tanque en cada instante de tiempo? 13