dq dt = ε R q 2. Cuál es la función incógnita en dicha ecuación? Qué significado geométrico tiene dq

Transcripción

1 Circuito en serie RC C El circuito de la Figura, formado por una resistencia y un capacitor conectados en serie a una fuente, se conoce como circuito en serie RC. Recordando que la capacidad de un capacitor se definía como C = q y que la corriente eléctrica se definía como i = dq, realiza las siguientes V actividades: i R 1. Verifica, utilizando las leyes de Kirchhoff, que el circuito cumple la siguiente ecuación: ε dq = ε R q RC donde q es la carga almacenada en el capacitor. (1) 2. Cuál es la función incógnita en dicha ecuación? Qué significado geométrico tiene dq? 3. Suponiendo que se graficara q en función de t, Cuánto debería valer dq 4. Qué ocurre con dq a medida que q aumenta? 5. Hay algún valor de q para el cual dq cuando q = 0? 6. Qué ocurre con dq si, al momento de conectarlo, el capacitor tiene una carga mayor a la hallada en el ítem anterior? 7. Con la información que has obtenido, realiza un gráfico de q en función de t, donde se muestre el diagrama de direcciones dado por dq. 8. Analiza físicamente el diagrama de direcciones obtenido. Esboza las gráficas de las soluciones de la ecuación (1) para las siguientes tres condiciones iniciales: a) q(t = 0) = 0 b) q(t = 0) = εc c) q(t = 0) = q 0 / q 0 > εc

2 Descarga de un capacitor El circuito de la Figura está formado por una resistencia y un capacitor, el cual inicialmente está cargado. Recordando que la capacidad de un capacitor se definía como C = q y que la V corriente eléctrica se definía como i = dq, realiza las siguientes actividades: q +q C i R 1. Verifica, utilizando las leyes de Kirchhoff, que el circuito cumple la siguiente ecuación: donde q es la carga almacenada en el capacitor. dq = 1 RC q (1) 2. Cuál es la función incógnita en dicha ecuación? Qué significado geométrico tiene dq? 3. Suponiendo que se graficara q en función de t, Cuánto debería valer dq 4. Qué ocurre con dq a medida que q disminuye, acercándose a 0? cuando q = 0? 5. Con la información que has obtenido, realiza un gráfico de q en función de t, donde se muestre el diagrama de direcciones dado por dq. 6. Analiza físicamente el diagrama de direcciones obtenido. Esboza las gráficas de las soluciones de la ecuación (1) para las siguientes condiciones iniciales: a) q(t = 0) = 0 b) q(t = 0) = q 0 / q 0 >> 0 7. Puedes proponer una solución analítica para la ecuación (1)? Sugerencia: Para poder hacerlo, estudia la forma que tiene la ecuación. Debería ayudarte formular una oración como la siguiente Busco una función tal que, al derivarla, satisface la siguiene propiedad...

3 Decaimiento radiactivo La radiactividad 1 es una propiedad de los isótopos cuyos núcleos tienen una combinación de protones y neutrones que los hacen inestables, por lo que tienden a modificar espontáneamente su constitución, emitiendo partículas o radiaciones de forma espontánea. Esta secuencia de reacciones nucleares recibe el nombre de decaimiento radiactivo. El decaimiento radiactivo es un proceso paulatino, lento o muy rápido, según el isótopo. Se llama vida media T 1/2 o período de desintegración de un material radiactivo, al tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos activos de una cantidad dada. Como ejemplos, la vida media del U-238 es de 4510 millones de años, mentras que la del C-14 es de 5730 años. La radiactividad fue descubierta por el científico francés Antoine Henri Becquerel en El descubrimiento tuvo lugar de una forma casi ocasional: Becquerel realizaba investigaciones sobre la fluorescencia del sulfato doble de uranio y potasio, y descubrió que el uranio emitía espontáneamente una radiación misteriosa. Esta propiedad del uranio recibió el nombre de radiactividad. El número promedio de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo, responde a la ecuación dn = λ N (1) donde N es la cantidad de núcleos radiactivos presentes en un instante t, y λ se llama tasa de decaimiento radiactivo y puede calcularse como λ = ln 2 T 1/2. Con esta información, realiza las siguientes actividades: 1. Cuál es la función incógnita en dicha ecuación? Qué significado geométrico tiene dn? 2. Suponiendo que se graficara N en función de t, Cuánto debería valer dn cuando N = 0? 3. Qué ocurre con dn a medida que N disminuye, acercándose a 0? 4. Con la información que has obtenido, realiza un gráfico de N en función de t, donde se muestre el diagrama de direcciones dado por dn. 5. Analiza físicamente el diagrama de direcciones obtenido. Esboza las gráficas de las soluciones de la ecuación (1) para las siguientes condiciones iniciales: a) N(t = 0) = 0 b) N(t = 0)N 0 / N 0 >> 0 6. Puedes proponer una solución analítica para la ecuación (1)? Sugerencia: Para poder hacerlo, estudia la forma que tiene la ecuación. Debería ayudarte formular una oración como la siguiente Busco una función tal que, al derivarla, satisface la siguiene propiedad... 1 Fuente: Radiactividad y decaimiento radiactivo, Luciana Colusi y Mónica Hedrera, en Internet: get 3b972a59-c858-11e0-82b9-e7f760fda940/index.htm

4 Ley de Enfriamiento de Newton La ley de enfriamiento de Newton es una ley experimental sobre el enfriamiento de los cuerpos, formulada por Newton cuando se desempeñaba como director de la Casa de la Moneda. Utilizando un horno a carbón de una pequeña cocina, realizó un sencillo experimento 1 : calentó al rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo lo colocó en un lugar frío y observó cómo se enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus conjeturas sobre el ritmo al cual se enfriaba el bloque dieron lugar a la ley que en lenguaje matemático actual podemos expresar así: dt = k(t T a) (1) donde T a es la temperatura del medio ambiente y k es una constante de proporcionalidad que depende de varias características del sistema en estudio. Una forma de enunciar coloquialmente esta ley es decir que el ritmo de enfriamiento (o calentamiento) es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura ambiente. Con la información anterior, realiza las siguientes actividades: 1. Cuál es la función incógnita en dicha ecuación? Qué significado geométrico tiene dt? 2. Suponiendo que se graficara T en función de t, Cuánto debería valer dt cuando T = 0? 3. Qué ocurre con dt a medida que T aumenta? 4. Hay algún valor de T para el cual dt 5. Qué ocurre si la temperatura inicial es mayor a la hallada en el ítem anterior? 6. Con la información que has obtenido, realiza un gráfico de T en función de t, donde se muestre el diagrama de direcciones dado por dt. 7. Analiza físicamente el diagrama de direcciones obtenido. Esboza las gráficas de las soluciones de la ecuación (1) para las siguientes tres condiciones iniciales: a) T (t = 0) = 0 b) T (t = 0) = T a c) T (t = 0) = T 0 / T 0 > T a 1 Fuente: Red Creativa de Ciencia. Enfriamiento de un cuerpo - Decaimiento exponencial, E. Rodriguez y S. Gil: Red creativa de Ciencia, En Internet:

5 Propagación de una epidemia En Biología, la utilización de modelos matemáticos para describir el crecimiento de una población, la propagación de enfermedades, los efectos de la selección natural, entre otros feómenos, está muy extendida 1. Un modelo sencillo para la propagación de una epidemia puede enunciarse así: El ritmo con el que se propaga una epidemia en una comunidad es directamente proporcional a la cantidad de residentes que han sido infectados y al número de residentes propensos a la enfermedad que no han sido infectados. Llamemos I al número de pacientes infectados y N al número total de residentes de la comunidad. Definamos una constante de proporcionalidad r, que dependerá de las características de la epidemia. A partir del enunciado anterior, podemos escribir el modelo en lenguaje matemático de la siguiente forma: di = ri(n I) (1) Realiza las siguientes actividades: 1. Comprueba que la ecuación (1) expresa lo mismo que el enunciado. 2. Cuál es la función incógnita en dicha ecuación? Qué significado geométrico tiene di? 3. Suponiendo que se graficara I en función de t, Cuánto debería valer di 4. Qué ocurre con di a medida que I aumenta? 5. Hay algún otro valor de I para el cual di cuando I = 0? 6. Tiene sentido biológico un número de infectados mayor al hallado anteriormente? 7. Con la información que has obtenido, realiza un gráfico de I en función de t, donde se muestre el diagrama de direcciones dado por di. 8. Analiza el significado biológico del diagrama de direcciones obtenido. Esboza las gráficas de las soluciones de la ecuación (1) para las siguientes tres condiciones iniciales: a) I(t = 0) = 0 b) I(t = 0) = N c) I(t = 0) = I 0 / 0 < I 0 < N 1 Véase, por ejemplo, Modelos matemáticos en biología, Departamento de Matemáticas, Universidad de Jaén, En Internet: pdf

6 Crecimiento de un cultivo de bacterias En Biología, la utilización de modelos matemáticos para describir el crecimiento de una población, la propagación de enfermedades, los efectos de la selección natural, entre otros feómenos, está muy extendida 1. Un modelo sencillo para el crecimento de un cultivo de bacterias, puede enunciarse como sigue: La cantidad de bacterias en un cultivo crece, en cada momento, a un ritmo que es proporcional al número de bacterias presentes. Cuando los factores ambientales imponen un límite superior sobre su tamaño, la población crece a un ritmo que es proporcional además a la diferencia entre su límite superior y su tamaño actual. Llamemos N al número de bacterias en el cultivo en un instante t, y su límite superior L. Definamos una constante de proporcionalidad p, que dependerá de la velocidad de crecimiento. A partir del enunciado anterior, podemos escribir el modelo en lenguaje matemático de la siguiente forma: Realiza las siguientes actividades: dn = pn(l N) (1) 1. Comprueba que la ecuación (1) expresa lo mismo que el enunciado. 2. Cuál es la función incógnita en dicha ecuación? Qué significado geométrico tiene dn? 3. Suponiendo que se graficara N en función de t, Cuánto debería valer dn cuando N = 0? 4. Qué ocurre con dn a medida que N aumenta? 5. Hay algún otro valor de N para el cual dn 6. Qué ocure con dn si N es mayor al valor hallado anteriormente? 7. Con la información que has obtenido, realiza un gráfico de N en función de t, donde se muestre el diagrama de direcciones dado por dn. 8. Analiza el significado biológico del diagrama de direcciones obtenido. Esboza las gráficas de las soluciones de la ecuación (1) para las siguientes tres condiciones iniciales: a) N(t = 0) = 0 b) N(t = 0) = N 0 / N 0 > L c) N(t = 0) = N 0 / 0 < N 0 < L 1 Véase, por ejemplo, Modelos matemáticos en biología, Departamento de Matemáticas, Universidad de Jaén, En Internet: pdf