Modelos Exponenciales y Logarítmicos

Transcripción

1 Contenido Modelos Exponenciales y Logarítmicos Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2

2 Tabla de Contenido Contenido

3 : Contenido Discutiremos: cinco tipos de modelos matemáticos basados en funciones exponenciales o en funciones logarítmicas

4 : Contenido Discutiremos: cinco tipos de modelos matemáticos basados en funciones exponenciales o en funciones logarítmicas 1 modelo de crecimiento exponencial

5 : Contenido Discutiremos: cinco tipos de modelos matemáticos basados en funciones exponenciales o en funciones logarítmicas 1 modelo de crecimiento exponencial 2 modelo de decaimiento exponencial

6 : Contenido Discutiremos: cinco tipos de modelos matemáticos basados en funciones exponenciales o en funciones logarítmicas 1 modelo de crecimiento exponencial 2 modelo de decaimiento exponencial 3 modelo de crecimiento logístico

7 : Contenido Discutiremos: cinco tipos de modelos matemáticos basados en funciones exponenciales o en funciones logarítmicas 1 modelo de crecimiento exponencial 2 modelo de decaimiento exponencial 3 modelo de crecimiento logístico 4 modelos logarítmicos

8 : Contenido Discutiremos: cinco tipos de modelos matemáticos basados en funciones exponenciales o en funciones logarítmicas 1 modelo de crecimiento exponencial 2 modelo de decaimiento exponencial 3 modelo de crecimiento logístico 4 modelos logarítmicos 5 modelo gausiano

9 Contenido Exponenciales y Logarítmicos : y = ae bx, b > 0 Decaimiento Exponencial: y = ae bx, b > 0 a : y = 1+be rx Logarítmicos: y = a + b ln(x), y = a + b log(x) Gausiano: y = ae (x b)2 c

10 Contenido Ejercicio: Modelado del crecimiento de la población En cierto experimento de investigación, una población de un tipo particular de insectos se incrementó de acuerdo a la ley de crecimiento exponencial. Después de 2 días había 100 insectos y después de 4 días había 300. Aproxime cuántos insectos había luego de 5 días.

11 Contenido Decaimiento Exponencial En material orgánico viviente, la razón entre el número de isótopos de carbono radiactivo (carbono 14) al número de isótopos no radiactivos (carbono 12) está en la relación de 1 a Cuando el material orgánico muere su contenido de carbono 12 permanece fijo, mientras que el de carbono 14 radiactivo comienza a extinguirse, con una vida media de casi 5700 años. Para estimar la edad del material orgánico muerto, los científicos emplean una fórmula en la que se denota la razón, R, del carbono 14 al carbono 12, presente en cualquier tiempo t (en años). R = e t 8223 (Modelo del carbono)

12 Contenido Decaimiento Exponencial Ejercicio: Estimación de la antigüedad utilizando el carbono Estime la edad de un fósil recién descubierto en el que la razón entre el carbono 14 a carbono 12 es R =

13 Contenido Algunas poblaciones, al inicio, tienen un crecimiento rápido, seguido de un crecimiento donde su razón de cambio va declinando, como se ilustra en la figura a continuación: Figura: Curva de

14 Contenido Un modelo que describe este tipo de patrón de crecimiento es la curva logística, dada por la función y = a 1+be rx, donde y es el tamaño de la población y x es el tiempo. Una curva de crecimiento logístico también se conoce como curva sigmoide.

15 Contenido Ejercicio: Propagación de un virus En el campus de una universidad de 5000 estudiantes, un alumno regresa de vacaciones con un virus de influenza contagioso y de larga duración. La propagación del virus se modela por y = e 0,08t, t 0, donde y es el número de estudiantes infectados después de t días. La universidad cancela las clases cuando el 40 %, o más, de los alumnos están infectados. Cuántos estudiantes están infectados después de 5 días? Después de cuántos días se cancelarán las clases en la universidad?

16 Contenido Modelos Logarítmos Ejercicio: Magnitud de Terremotos En la escala Richter, la magnitud R de un terremoto de intensidad I, está dada por R = log( I I 0 ) donde I 0 = 1 es la intensidad mínima usada para comparación. Determine y compare las intensidades para cada terremoto (intensidad es una medida de la energía de onda de un temblor). 1 Haití en 2010: R = 7,0 2 Chile en 2010: R = 8,8

17 Contenido Este tipo de modelo se usa con frecuencia en probablidad y estadística para representar poblaciones que están normalmente distribuidas. La gráfica de un modelo gausiano es una curva en forma de campana invertida. Para distribuciones normales estándar, el modelo toma la forma y = 1 2π e x2 2 El valor promedio para una población se puede determinar a partir de la curva en forma de campana invertida, determinando el valor máximo y de la función. El valor x correspondiente a y, el valor máximo de la función, representa el valor promedio de la variable independiente, x.

18 Contenido Ejercicio: Certificación SAT En 2004 las calificaciones de matemáticas del examen de aptitud escolar [Scholastic Aptitud Test (SAT)] para estudiantes de último año de preparatoria que deseaban inscribirse en una universidad, siguieron la distribución normal dada por y = 0,0035e (x 518) , 200 x 800, donde x es la calificación SAT para matemáticas. Trace la gráfica de la función. A partir de ella, estime la calificación SAT promedio.