GUÍA N 2 CÁLCULO I. Desigualdades. 1, la expresión anterior, (note el cambio del operador <). 6

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Susana Rojas Castillo
hace 7 años
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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva Desigualdades. Ej. Resuelva la desigualdad x < 9x + 4. Sumar 9x, a ambos lados de la desigualdad. 9 x + x < 9x + 9x + 4. Simplificar la desigualdad anterior, da el resultado 6 x < 4. Multiplicar por Al simplificar se obtiene 1, la expresión anterior, (note el cambio del operador <) ( 6x ) > (4). 6 6 x > La solución de la desigualdad se puede expresar como S = x R / x >. También, puede graficarse esta solución, como se muestra en la figura siguiente:

2 > solve( *x<9*x+4, x ); La respuesta dada por Maple alude al intervalo Otra forma de resolver, usando Maple, es: > *x<9*x+4;solve(%);, RealRange Open -,. x < 9 x + 4 RealRange Open -, Resuelva las siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y dibuje el conjunto de solución en la recta real. 1. x 1. Sol: ] -, 4 ]. 0 < 4x. Sol: ] -, - 5[. x 5 >. Sol: ] 4, + [ 4. 7 x 5. Sol: ] -, ] 1 5. x + 1 < 0. Sol: ] -, - [ 6. x x + 8. Sol: [ 1, + [ 7. 1 x. Sol: [ -1, + [ 8. 4 x (1 + 8x). Sol: ] -, -1] Ej. Resuelva la desigualdad ( x )( x 5) > 0. La desigualdad se cumple si (i) x > 0 y x 5 > 0. Es decir si x > y x > 5, tenemos que x > 5.

3 En resumen, esta primera solución, se puede expresar como S i = { x R / x > 5 }. Como solución gráfica, se tiene: (La intersección de las dos desigualdades anteriores). La segunda posibilidad, es (ii) x < 0 y x 5 < 0. Es decir, si x < y x < 5. Esta segunda parte de la solución general, es S ii = { x R / x < }. Gráficamente: La solución general es S = S S = { x R / x <, x > 5} i ii o = ] -, [ ] 5, + [ S. La solución gráfica es > solve( (x-)*(x-5)>0, x );

4 RealRange (, Open( )), RealRange ( Open( 5), ) Otra forma: > (x-)*(x-5)>0;solve(%); 0 < ( x )( x 5 ) RealRange (, Open( )), RealRange ( Open( 5), ) Resuelva las siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y dibuje el conjunto de solución en la recta real. 1. x x Sol: [ -, 6 ]. x + x 1. 1 Sol : ] -, -1] [, + [. x > ( x + 6). Sol: ] -, - [ ] 6, + [ 4. x < 4. Sol: ] -, [ 5. x ( x 4) 0. Sol: [ -, 0 ] [, + [ Ej. Resuelva la desigualdad x 0 x + 1 La desigualdad se cumple en los siguientes casos: (i) x 0 y x +1 > 0. Es decir si x y x > 1. La intersección de estos dos conjuntos resulta ser S =[, [. (ii) x 0 y x +1 < 0. Es decir si x y x < 1. La intersección de estos dos conjuntos resulta ser S = ] -, -1[. i ii La solución general de la desigualdad es S = S i S = ], -1[ [, [. ii > solve( (x-)/(x+1)>=0, x ); RealRange (, Open( -1)), RealRange (, ) Otra forma:

5 > (x-)/(x+1)>=0;solve(%); x 0 x + 1 RealRange (, Open( -1)), RealRange (, ) Solución gráfica: 4x Ej. Resuelva la desigualdad >. x + 4x Escriba la ecuación anterior como > 0. x + 4x (x + ) 4x 4x 6 6 Después como > 0 o > 0 y luego > 0. x + x + x + Esta desigualdad se cumple sólo si x + < 0. Es decir si x <. Por lo tanto, la solución es Solución gráfica: S = x R / x <, o S = ] -, - [. Resuelva las siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y dibuje el conjunto de solución en la recta real.

6 x Sol: ] -, 5[ [16, + [ x 5 4. x x <. Sol: ] -, 0[ ], + [ x Sol: ] -, - ] [, + [ x Sol: ] 0, ] ]1, + [ 1 x x 4 x Sol: [ - 8, [ x + 5 Ej. Resuelva la desigualdad x 1. La desigualdad puede escribirse como (i) x 1, o como (ii) x 1 Para (i) la solución es x, y para (ii) es x 1. Es decir S = [1, ]. Solución gráfica: > solve(abs(*x-)<=1); RealRange ( 1, ) Ej. Resuelva la desigualdad x 1. La desigualdad se pude escribir como (i) x 1 o (ii) x 1. Luego, la solución está formada por x o por x 1. En forma de intervalo, la solución es S = ] -,1] [, + [.

7 Gráficamente: > solve( abs(*x-)>=1, x ); Otra forma: > abs(*x-)>=1;solve(%); RealRange (, ), RealRange (, 1 ) 1 x RealRange (, ), RealRange (, 1 ) Resuelva las siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y dibuje el conjunto de solución en la recta real. 1. x <. Sol: ] -, [. x 5. Sol: [, 8 ]. x + 5 <. Sol: ] - 7, - [ 4. x Sol: [1.,1.7 ] 5. x + 6 < Sol: ] , [ 6. 1 < x 5 < 7. Sol: ], 6[ x < 1. Sol: ] 0,1] 1 8. < 4 x 1. Sol: ] -, 0[ ], + [ x > x. Sol: ] -, -1[ ]1, + [ Use la relación C = ( F ) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit 9 que corresponde a 0 C 0. Sol. 68 F 86

8 11. A qué rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50 F 95? 1. Al elevarse el aire seco se expande y al hacerlo se enfría a una tasa de aproximadamente 1 C por cada 100 metros de altura, hasta aproximadamente 1 km. (a) Si la temperatura a nivel de suelo es de 0 C, escriba una fórmula para ésta a una altitud h. (b) Qué rango de temperatura puede esperarse si un aeroplano despega y alcanza una altura máxima de 5 km? Sol. (a) T h = 0, (b) 0 C a -0 C Mediante el cálculo se puede demostrar que si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 16 pies/segundo desde la parte superior de un edificio de 18 pies de alto, entonces su altura h sobre el piso después de t segundos será de h = t 16t. Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos pies por arriba del nivel del suelo? Sol. 0 seg a seg 14. Cerca de una fogata, la temperatura T en C a una distancia de x metros del centro del fuego está determinada por T 600,000 =. En qué intervalo de distancias x + 00 desde el centro de la fogata la temperatura es mayor que 500 C? Sol. Distancias mayores que 0m.

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