AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. Antonio Baeza Salas

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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Antonio Baeza Salas

2 2 Ampliación de Matemáticas

3 Índice general 1. Introducción Definiciones y terminología Solución general Sistemas de ecuaciones diferenciales Ejercicios Problemas de valor inicial Problemas de valor inicial de primero y segundo orden Existencia y unicidad Las E.D. como modelos matemáticos Crecimiento y decaimiento Diseminación de una enfermedad Ley de Newton del enfriamiento Mezclado Vaciado de un tanque Caída libre Practica con Mathematica Definición de funciones Derivadas Ejercicios Resolución de ecuaciones diferenciales Ecuaciones con condiciones iniciales Gráficos bidimensionales. El comando Plot Representación gráfica de la solución de una ecuación diferencial E.D.O. Primer Orden Integración directa Variables separables Ejercicios

4 4 Ampliación de Matemáticas 2.3. Ecuaciones exactas Método de solución para ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones reducibles a exactas. Factores integrantes Ejercicios Ecuaciones lineales Ejercicios Soluciones por sustitución Ecuaciones homogéneas La ecuación de Bernoulli Reducción a separación de variables Ejercicios Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden Crecimiento bacteriano Periodo medio del plutonio Antigüedad de un fósil Ley de Newton del enfriamiento Mezclas Modelos demográficos Modelo depredador-presa Practica con Mathematica Integrando con Mathematica Representación gráfica de funciones dadas en forma implícita Ejercicios Métodos numéricos Campos direccionales Representación gráfica de un Campo de Direcciones Ejercicios Resolución numérica del problema de Cauchy Métodos de un paso para la resolución numérica Métodos de Euler Errores en los métodos numéricos Método Euler explícito Método Euler implícito Método modificado de Euler o método del punto medio Método de Grank-Nicolson Método de Heum o método mejorado de Euler Método de Ronge-Kutta de orden

5 Antonio Baeza Salas Fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden Ecuaciones de orden mayor y sistemas de ecuaciones diferenciales Problemas de valores iniciales de segundo orden Sistemas reducidos a sistemas de primer orden Solución numérica Ejercicios Practica con Mathematica Método de Euler Método de Euler Mejorado Ejercicios Ecuaciones lineales de orden superior. Aplicaciones Teoría preliminar Problemas de valor inicial y de valor en la frontera Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas Ejercicios Reducción de orden Ejercicios Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Método de solución Ecuaciones de orden superior Ejercicios Coeficientes indeterminados, método del anulador Ejercicios Variación de parámetros Ejercicios Ecuación de Cauchy-Euler Método de solución Ejercicios Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado Desviación de una viga Ejercicios Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Teoría preliminar Ejercicios

6 6 Ampliación de Matemáticas 5.2. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes Valores propios reales y distintos Valores propios repetidos Ejercicios Variación de parámetros Una matriz fundamental Variación de parámetros Problema de valor inicial Ejercicios Ecuaciones en derivadas parciales Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables Ecuaciones lineales Separación de variables Principio de superposición Clasificación de las ecuaciones Ejercicios Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera Ecuación de transmisión de calor Ecuación de onda Ecuación de Laplace Ecuación de transmisión de calor Ecuación de onda Ecuación de Laplace

7 Capítulo 1 Introducción Definiciones y terminología. dy La derivada, dx, de una función y = f(x), es otra función de x, que se determina siguiendo las reglas conocidas de derivación, por ejemplo, si y = e x2, entonces dy dx = 2xex2. Al reemplazar e x2 por el símbolo y se obtiene: dy = 2xy (1.1) dx Uno de los problemas al que nos enfrentamos en esta asignatura es dada una ecuación diferencial, como la ecuación (1.1), hay algún método por el cual podamos llegar a la función desconocida y = f(x)? Definición (Ecuación diferencial) Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Clasificación según el tipo Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo: dy + 10y = ex dx d 2 y dx 2 dy dx + 6y = 0 7

8 8 Ampliación de Matemáticas son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo: u y = v x 2 u x 2 = 2 u t 2 2 u t Clasificación según el orden. El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo, d 2 y dx 2 dy + 6y = ex dx es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación se puede escribir en la forma (y x)dx + 4xdy = 0 4x dy dx + y = x si se divide entre la diferencial dx, es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los símbolos F (x, y, y, y,, y (n) ) = 0 (1.2) En este curso supondremos que se puede despejar la derivada de orden máximo, y (n), de una ecuación diferencial de orden n, como la ecuación (1.2); esto es, y (n) = f(x, y, y, y,, y (n 1) ) (1.3) Clasificación según la linealidad o no linealidad. Se dice que una ecuación diferencial de la forma y (n) = f(x, y, y, y,, y (n 1) ) es lineal cuando f es una función lineal de y, y, y,, y (n 1). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma a n (x) dn y dx n + a n 1(x) dn 1 y dx n a 1(x) dy dx + a 0(x)y = g(x) (1.4)

9 Antonio Baeza Salas 9 En esta ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: 1. La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente. Las funciones de y como sen y o las funciones de las derivadas de y, como e y no pueden aparecer en una ecuación lineal. Cuando una ecuación diferencial no es lineal, se dice que es no lineal. Las ecuaciones (y x)dx + 4xdy = 0 y 2y + y = 0 x 3 d3 y dx 3 dy + 6y = ex dx son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otro lado, el coeficiente depende de y función no lineal de y potencia distinta de 1 (1 y)y + 4y = e x d2 y d + sen y = 0 y + y 2 = 0 dx 2 dx 4 son ecuaciones diferenciales no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente. Definición (Solución de una ecuación diferencial.) Cuando una función φ, definida en algún intervalo I, se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. Por ejemplo, una solución de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación (1.2), es una función φ con al menos n derivadas y F (x, φ(x), φ (x), φ (x),, φ (n) (x)) = 0 x I Se dice que y = φ(x) satisface la ecuación diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto, cerrado, infinito, etc. En este curso supondremos que una solución φ es una función de valores reales. Ejemplo (Comprobación de una solución.) Comprobar que y = x4 16 es una solución de la ecuación no lineal dy dx = xy 1 2

10 10 Ampliación de Matemáticas en el intervalo (, + ). Ejemplo (Comprobación de una solución.) Comprobar que y = xe x es una solución de la ecuación lineal y 2y + y = 0 en el intervalo (, + ). Ejemplo (Comprobación de una solución implícita.) La relación x 2 + y 2 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial dy dx = x y en el intervalo ( 2, +2). Derivando implícitamente obtenemos Al despejar el símbolo dy dx d dx x2 + d dx y2 d dx 4 = d dx 0 2x + 2y dy dx = 0 de la última ecuación se obtiene la ecuación dy dx = x y en el intervalo ( 2, +2). Toda relación de la forma x 2 + y 2 c = 0 satisface formalmente la ecuación anterior para cualquier constante c, sin embargo, se sobrentiende que la relación siempre debe tener sentido en el sistema de los números reales. Así, por ejemplo, no podemos decir que x 2 + y = 0 sea una solución implícita de la ecuación. Ejemplo La función y = c 1 e x + c 2 e x es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación lineal de segundo orden y y = 0. Algunas de las soluciones particulares son y = 0 (cuando c 1 = c 2 = 0), y = e x (cuando c 1 = 1 y c 2 = 0) Normalmente usamos x y y para representar las variables independientes y dependiente, respectivamente. Pero en la práctica, esas dos variables se

11 Antonio Baeza Salas 11 representan mediante muchos símbolos distintos. Por ejemplo, podríamos representar con t la variable independiente y con x la variable dependiente. Ejemplo Las funciones x = c 1 cos 4t y x = c 2 sen 4t, donde c 1 yc 2 son arbitrarias, son soluciones de la ecuación diferencial x + 16x = 0 Es fácil comprobar que la combinación lineal de soluciones o sea, la familia biparamétrica x = c 1 cos t + c 2 sen t es una solución de la ecuación dada. Ejemplo Puedes comprobar que y = (x 2 /4 + c) 2 proporciona una familia monoparamétrica de soluciones de y = xy 1/2. Cuando c = 0, la solución particular que resulta es y = x 4 /16. En este caso, la solución trivial y = 0 es una solución singular de la ecuación porque no se puede obtener partiendo de la familia y eligiendo algún valor del parámetro c Solución general. Si toda solución de una ecuación de orden n, F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener partiendo de una familia n-paramétrica G(x, y, c 1, c 2,..., c n ) = 0 con valores adecuados de los parámetros c i (i = 1, 2,..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Al resolver las ecuaciones diferenciales lineales vamos a imponer restricciones relativamente sencillas a los coeficientes de esas ecuaciones. Con estas restricciones siempre nos aseguraremos no sólo de que exista una solución en un intervalo, sino también de que una familia de soluciones contenga todas las soluciones posibles. Las ecuaciones no lineales, a excepción de algunas de primer orden, son difíciles de resolver e incluso resultan irresolubles, en términos de las funciones elementales comunes (combinaciones finitas de potencias o raíces enteres de x, de funciones exponenciales y logarítmicas, o funciones trigonométricas o trigonométricas inversas). Además, si en cierto momento nos encontramos con una familia de soluciones de una ecuación no lineal, no es obvio cuándo la familia es una solución general. Por lo anterior, y en un nivel práctico, el nombre solución general sólo se aplica a las ecuaciones diferenciales lineales.

12 12 Ampliación de Matemáticas Sistemas de ecuaciones diferenciales. Hasta ahora se han descrito ecuaciones diferenciales aisladas con una función desconocida; pero muchas veces, en teoría y en muchas aplicaciones, debemos manejar sistemas de ecuaciones diferenciales. Definición (Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.) Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es un conjunto de dos o más ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente; por ejemplo, si x y y representan variables dependientes y t es la variable independiente, el conjunto siguiente es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden: dx = 3x 4y dy = x + y (1.5) Una solución de un sistema como el anterior es un par de funciones diferenciables, x = φ 1 (t) y y = φ 2 (t), que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I Ejercicios En los problemas que siguen comprueba que la función indicada sea una solución de la ecuación. En algunos casos, suponga un intervalo adecuado de validez de la solución. 1. 2y + y = 0; y = e x/2 4. y + 4y = 32; y = 8 dy 2. dx 2y = e3x ; y = e 3x + 10e 2x 5. y = 25 + y 2 ; y = 5 tan 5x dy y = 24; y = dy 5 e 20t 6. dx = y x ; y = ( x + c 1 ) 2, x > 0, c 1 > 0 Comprueba que la función definida por tramos sea una solución de la ecuación diferencial dada. 7. xy 2y = 0; { x y =, x < 0 x 2, x 0 8. (y ) 2 = 9xy; { 0, x < 0 y = x 3, x 0 Determinar valores de m tales que y = e mx sea una solución de la ecuación diferencial respectiva: 9. y 5y + 6y = 0

13 Antonio Baeza Salas y + 10y + 25y = 0 Comprueba que cada par de funciones sea una solución del sistema respectivo de ecuaciones diferenciales dx = x + 3y dy = 5x + 3y x = e 2t + 3e 6t, y = e 2t + 5e 6t d 2 x 2 = 4y + e t d 2 y 2 = 4x e t x = cos 2t+sen 2t+ 1 5 et, y = cos 2t sen 2t 1 5 et 1.2. Problemas de valor inicial. A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a x 0, el problema: Resolver: d n y dx n = f(x, y, y,..., y n 1 ) (1.6) Sujeto a: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1, (1.7) en donde y 0, y 1,..., y n 1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y sus primeras n 1 derivadas en un solo punto x 0 :y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1, se llaman condiciones iniciales Problemas de valor inicial de primero y segundo orden. El problema enunciado con (1.6) y (1.7) también se denomina problema de valor inicial de enésimo orden; por ejemplo, Resolver: dy = f(x, y) (1.8) dx

14 14 Ampliación de Matemáticas Sujeto a: y(x 0 ) = y 0 Resolver: d 2 y dx 2 = f(x, y, y ) (1.9) Sujeto a: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 son problemas de valor inicial de primero y segundo orden, respectivamente. Son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para la ecuación (1.8) estamos buscando una solución de la ecuación diferencial en un intervalo I que contenga a x 0, tal que una curva de solución pase por el punto prescrito (x 0, y 0 ) Para las ecuaciones (1.9), deseamos determinar una solución de la ecuación diferencial cuya gráfica no sólo pase por (x 0, y 0 ), sino que también pase por ese punto de tal manera que la pendiente de la curva en ese lugar sea y 1. El término condición inicial procede de los sistemas físicos en que la variable independiente es el tiempo t y donde y(t 0 ) = y 0, y y (t 0 ) = y 1 representan, respectivamente,la posición y la velocidad de un objeto en cierto momento o tiempo inicial t 0. Ejemplo Se comprueba que y = ce x es una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación y = y, de primer orden, en el intervalo (, + ). Si especificamos una condición inicial, por ejemplo, y(0) = 3, al sustituir x = 0, y = 3 en la familia, se determina la constante 3 = ce 0 = c; por consiguiente, la función y = 3e x es una solución del problema de valor inicial y = y, y(0) = 3 Ejemplo Podemos comprobar que x = c 1 cos 4t + c 2 sen 4t es una familia biparamétrica de soluciones de x + 16x = 0. Determinemos una solución del problema de valor inicial Resolver: x + 16x = 0 (1.10) Sujeto a: x( π 2 ) = 2, x ( π 2 ) = 1

15 Antonio Baeza Salas 15 Primero sustituimos x(π/2) = 2 en la familia dada de soluciones y vemos que c 1 = 2. A continuación sustituimos x (π/2) = 1 en la familia monoparamétrica x(t) = 2 cos 4t+c 2 sen 4t, con lo que vemos que c 2 = 1/4; por lo tanto: x = 2 cos 4t + 1/4 sen 4t es una solución de (1.10) Existencia y unicidad. Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales: Existe una solución al problema?. Si la hay, es única? Teorema (Existencia de una solución única.) Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a x b, c y d, que contiene al punto (x 0, y 0 ). Si f(x, y) y f y son continuas en R, entonces existe un intervalo I, centrado en x 0, y una función única, y(x) definida en I, que satisface el problema de valor inicial expresado por las ecuaciones (1.8) 1.3. Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos. Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser físico, sociológico, económico, etc. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba. Para la formulación de un modelo matemático de un sistema: i) Identificación de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo.

16 16 Ampliación de Matemáticas ii) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema. Para algunos fines quizá baste contar con modelos de baja resolución; por ejemplo, en los cursos básicos de física al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra, se hace caso omiso de la resistencia del aire. Pero si queremos predecir la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deberá tenerse en cuenta la resistencia del aire y demás factores, como la curvatura de la Tierra. Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales. Ejemplo Problema de rapidez de variación: Se vierte agua en un recipiente de forma cónica (ver figura 1.1) con una rapidez r. El recipiente en forma de cono de base horizontal tiene el vértice dirigido hacia abajo; el radio de la base del cono es a, su altura b. Determinar la velocidad a la que la superficie del agua se eleva cuando la profundidad del agua es y. Después, obtener el valor numérico de la incógnita, suponiendo que a = 4 dm, b = 3 dm, r = 2 dm 3 por minuto e y = 1 dm. a x b y Figura 1.1: Problema de rapidez de variación

17 Antonio Baeza Salas 17 Solución: Se suponen conocidas las reglas más elementales de diferenciación y la noción de rapidez de variación. Cuáles son los datos?. El radio de la base del cono, a = 4 dm; la altura del cono, b = 3 dm; la rapidez con que el agua se vierte en el recipiente r = 2 dm 3 por minuto, y la profundidad del agua en un cierto momento, y = 1 dm. Exacto. El enunciado del problema parece sugerir que se deben dejar de lado, provisionalmente, los valores numéricos y razonar con las letras expresando la incógnita en función de a, b, r e y, y al final solamente tras de obtener la expresión algebraica de la incógnita, sustituir los valores numéricos. Adoptemos esta sugerencia. Cuál es la incógnita?. La velocidad a la que se eleva la superficie del agua cuando la profundidad es y. Es decir, puede usted expresarlo en otros términos? La velocidad con que aumenta la profundidad del agua. Nuevamente, puede usted enunciar el problema en forma diferente? La rapidez de variación de la profundidad del agua. Exacto: la rapidez de variación de y. Pero, qué es la rapidez de variación?. Considere usted la definición. La derivada de una función representa la rapidez de variación. Correcto. Ahora bien, y es una función?. Como ya lo hemos dicho, no nos ocuparemos de su valor numérico. Puede imaginar que y varía? Si, y, la profundidad del agua, aumenta a medida que pasa el tiempo. Por lo tanto, y es función de qué?. Del tiempo t. Bien. Introduzca una notación apropiada. Cómo expresaría usted la rapidez de variación de y por medio de símbolos matemáticos?.

18 18 Ampliación de Matemáticas dy Bien. He ahí, pues, su incógnita. Le hace falta expresarla en términos de a, b,r e y. De hecho, uno de estos datos es una rapidez de variación: cuál de ellos?. r, que representan la cantidad de agua que cae en el recipiente durante un tiempo dado. Puede decirlo en otra forma? r es la rapidez de variación del volumen de agua en el recipiente. Es decir, puede enunciarlo nuevamente en forma diferente?; cómo podría escribirlo con una notación apropiada?. r = dv Qué es V? El volumen de agua que hay en el recipiente en el instante t. Bien. Así pues, tiene que expresar dy Cómo va usted a tratar de hacerlo? en términos de a, b,r = dv e y.... Si no puede resolver el problema, trate de resolver, primero, un problema relacionado. Si no ve la relación entre dy y los datos, trate de que aparezca alguna relación más sencilla que podría servirle de punto de partida.... No ve usted que existen otras relaciones? Por ejemplo, V e y son independientes una de otra? No. Cuando y aumenta, V debe aumentar también. Así hay una relación. Cuál es, pues?. Pues que V es el volumen del cono cuya altura es y. Pero desconozco el radio de la base. Sin embargo, puede tenerlo en cuenta. Déle un nombre cualquiera, x por ejemplo.

19 Antonio Baeza Salas 19 V = πx2 y 3 Exacto. Ahora, qué sabe usted de x? Es independiente de y? No. Cuando la profundidad del agua, y, aumenta, el radio de la superficie variable x aumenta también. Así pues, hay una relación, cuál es ésta?. Si, claro, hay triángulos semejantes: x y = a b Una relación más, ve usted?. No hay que desaprovecharla. No olvide que usted quería conocer la relación existente entre V e y. Se tiene x = ay b y V = πa2 y 3 3b 2 Muy bien. Esto me parece un buen punto de partida. Qué le parece a usted?. Pero no olvide su propósito. Cuál es la incógnita?. dy Tiene que encontrar una relación entre dy, dv y otras cantidades. Aquí tiene una entre y, V y otras cantidades. Qué hacer? Pues claro, diferenciando se tiene dv = πa2 y 2 dy b 2 He ahí la solución. Perfecto. Y, para los valores numéricos? Si a = 4, b = 3, r = 2, y = 1, entonces 2 = π dy Crecimiento y decaimiento. Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece de forma proporcional a la población total, P (t), de ese país en cualquier momento t. En términos matemáticos esta hipótesis se puede expresar: dp = kp (1.11) donde k es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación diferencial aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

20 20 Ampliación de Matemáticas Diseminación de una enfermedad. Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa la gripe, por ejemplo, es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no sólo es proporcional a la cantidad de personas, x(t), que la han contraído en el momento t, sino también a la cantidad de sujetos, y(t), que no han sido expuestos todavía al contagio. Si la tasa es dx/, entonces: dx = kxy, (1.12) donde k es la acostumbrada constante de proporcionalidad. Si, por ejemplo, se introduce una persona infectada en una población constante de n personas, entonces x y y se relacionan mediante x + y = n + 1. Usamos esta ecuación para eliminar y en la ecuación (1.12) y obtenemos el modelo dx = kx(n + 1 x) (1.13) Una condición inicial obvia que acompaña a esta ecuación es x(0) = Ley de Newton del enfriamiento. Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. Si T (t) representa la temperatura del objeto en el momento t, T m es la temperatura constante del medio que lo rodea y dt/ es la rapidez con que se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático dt = k(t T m) (1.14) en donde k es una constante de proporcionalidad. Como supusimos que el objeto se enfría, se debe cumplir que T > T m ; en consecuencia, lo lógico es que k < Mezclado. Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla. Supongamos que un tanque mezclador grande contiene 300 galones de agua, en donde se ha disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al

21 Antonio Baeza Salas 21 tanque a una tasa de 3 galones por minuto. El contenido se agita perfectamente y es desalojado a la misma tasa (ver figura 1.2). Si la concentración de la solución que entra es 2 libras/galón, hay que formar un modelo de la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento. Figura 1.2: Mezclado Sea A(t) la cantidad de sal (en libras) en el tanque en cualquier momento t. En este caso, la rapidez con que cambia A(t) es la tasa neta: da = (tasa de entrada de la sustancia) (tasa de salida de la sustancia) = R 1 R 2 (1.15) Ahora bien, la razón, R 1, con la que entra la sal al tanque, en lb/min, es R 1 = (3gal/min) (2lb/gal) = 6lb/min Mientras que la razón, R 2, con que sale la sal es R 2 = (3gal/min) ( A 300 lb/gal) = A 100 lb/min Entonces, la ecuación (1.15) se transforma en da = 6 A 100 (1.16) Vaciado de un tanque. En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad v de eflujo (salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de una tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la

22 22 Ampliación de Matemáticas velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h ; esto es, v = 2gh, donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, 1 2 mv2, con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Queremos determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque (ver figura 1.3) en el momento t. Aw h Ao Figura 1.3: Vaciado Si el área transversal del agujero es A 0, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale del tanque es v = 2gh, en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es A 0 2gh, en pies cúbicos por segundo. Así, si V (t) representa al volumen del agua en el tanque en cualquier momento t, dv = A 0 2gh (1.17) donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Obsérvese que no tenemos en cuenta la posibilidad de fricción en el agujero, que podría causar una reducción de la tasa de flujo. Si el tanque es tal que el volumen del agua en cualquier momento t se expresa como V (t) = A w h, donde A w son los pies cuadrados de área constante del espejo (la superficie superior) del agua, dv = A dh w Sustituimos esta última expresión en la ecuación (1.17) y llegamos a la ecuación diferencial que deseábamos para expresar la altura del agua en cualquier momento t: dh = A 0 2gh (1.18) A w Es interesante observar que la ecuación (1.18) es válida aun cuando A w no sea constante. En este caso, debemos expresar el área del agua en función de h: A w = A(h).

23 Antonio Baeza Salas Caída libre. Supongamos que se arroja una piedra hacia arriba, desde la azotea de un edificio. Cuál es su posición en el momento t?. Consideremos que su posición respecto al suelo es s(t). La aceleración de la piedra es la segunda derivada, d2 s. Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva, que 2 la masa de la piedra es m y que no hay otra fuerza, además de la de la gravedad (g), actuando sobre la piedra, la segunda ley de Newton establece que m d2 s 2 = mg d 2 s = g (1.19) 2 Donde g es la aceleración de la gravedad y mg es el peso de la piedra. Se usa el signo menos porque el peso de la piedra es una fuerza que se dirige hacia abajo, opuesta a la dirección positiva. Si la altura del edificio es s 0 y la velocidad inicial de la piedra es v 0, s queda determinada mediante el problema de valor inicial d 2 s 2 = g, s(0) = s 0, s (0) = v 0 (1.20) 1.4. Practica con Mathematica Definición de funciones. Además de las funciones incorporadas por Mathematica, tu puedes definir tus propias funciones. Una forma de hacerlo es la siguiente: In := h[x ] = x Out := 1 + x 2 Una vez definida la función pueden calcularse diferentes valores para distintos argumentos tanto numéricos como simbólicos. In := h[1] Out := 2 In := h[y] Out := 1 + y 2

24 24 Ampliación de Matemáticas Derivadas. Mathematica incorpora distintos formatos para la utilización de derivadas. D[f, x] Permite calcular la derivada parcial de la función f respecto a x. Por ejemplo la derivada de la función seno: In := D[Sin[x], x] Out := Cos[x] D[f, x, n] Permite calcular la derivada n-ésima parcial de la función f respecto a x. Además, dada una función f, si ésta es derivable en un cierto dominio D, se puede definir sobre ese dominio us función derivada f como la función que asocia a cada punto x el valor de la derivada de f en ese punto. Por ejemplo: In := f[x ] := Cos[x]; f [x] Out := Sin[x] In := f [P i]; Out := 0 Se define f como la función coseno y se calcula su derivada y se evalúa la derivada en π Ejercicios. En los siguientes problemas utiliza Mathematica para comprobar que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada. 1. 2y + y = 0; y = e x/2 3. y + 4y = 32; y = 8 dy 2. dx 2y = e3x ; y = e 3x + 10e 2x 4. y = 2 + y 2 ; y = 5 tan 5x

25 Antonio Baeza Salas Resolución de ecuaciones diferenciales. El comando principal que incorpora Mathematica para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias es la función DSolve cuya sintaxis es la siguiente: In := DSolve[ecuac, y[x], x] Resuelve la ecuación diferencial ecuac hallando la expresión formal de y[x] que la verifica. In := DSolve[y [x] y[x] == 0, y[x], x] Out := {{y(x) e x C(1)}} La solución general de una ecuación diferencial sin condiciones iniciales involucra coeficientes indeterminados: C(1). La llamada al comando DSolve produce como resultado la expresión formal de y[x]; sin embargo, esta solución no define una función por sí misma, es decir, no se puede efectuar directamente a través de ella ninguna operación con y[x]. En los casos en los que, además de obtener información sobre la solución de la ecuación, se necesite operar con ella (obtener y[4], y [x],..., etc), se ha de variar ligeramente la sintaxis del comando anterior. Se dispone del siguiente comando para resolver estos casos: In := DSolve[ecuac, y, x] Resuelve la ecuación diferencial ecuac hallando un conjunto de reglas sobre y que la definen como función. La forma de definir la solución como una función es la siguiente: In := reglas = DSolve[y [x] y[x] == 0, y, x] Out := {{y(x) F unction(e #(1) C(1))}} Se obtienen las reglas que definen la solución de la ecuación In := y[x ] = y[x]/.reglas Out := {e #(1) C(1)} Se defina la función y[x] a partir de las reglas que definen la solución de la ecuación diferencial. Se tiene la solución de la ecuación como una nueva función.

26 26 Ampliación de Matemáticas In := y [x] y[x] Out := {0} Efectivamente, es la solución de la anterior ecuación diferencial. In := y[ x] Out := { C(1) e } x Se pueden realizar operaciones con la nueva función solución Ecuaciones con condiciones iniciales. Mathematica soporta tanto el problema general de búsqueda de solución de una ecuación diferencial como un problema de Cauchy, es decir, la búsqueda de solución cuando se conoce alguna condición inicial. In := DSolve[{x [t] + x[t] == 0, x[0] == 0, x [0] == 1}, x[t], t] Out := {{x(t) Sin(t)}} De entre todas la posibles soluciones de la ecuación se tiene la que verifica las condiciones iniciales. In := Regla = DSolve[{x [t] + x[t] == 0, x[0] == 0, x [0] == 1}, x, t] Out := {{x (Sin[#1]&)}} De entre todas la posibles soluciones de la ecuación se tiene la que verifica las condiciones iniciales. In := x [t]/.regla Out := {Cost(t)} Se obtiene su derivada Gráficos bidimensionales. El comando Plot. El comando que utiliza Mathematica para dibujar la gráfica de una función de una variable es Plot. Para su ejecución plot necesita dos argumentos: la descripción de la función cuya gráfica se desea obtener y una lista de tres elementos, separados por comas e incluidos entre llaves, que indican, respectivamente, la variable de la función y los valores mínimo y máximo entre los que se pretende representar dicha función.

27 Antonio Baeza Salas 27 In := P lot[sin[x] 2 + 2xCos[x], {x, 4P i, 4P i}] Out := Graphics Devuelve la gráfica de la figura 1.4. Representa la función sen 2 x + 2x cos x como variable de x entre 0 y π Figura 1.4: Gráfica de una función con Plot Representación gráfica de la solución de una ecuación diferencial. El problema que más comúnmente se plantea es obtener la gráfica de la solución de una ecuación diferencial. Si utilizamos el comando DSolve para obtener una solución, la representación de ésta es sencilla, pues se tiene su expresión formal. Por lo tanto, puede ser representada directamente: In := Regla = DSolve[{2x [t] 4x[t] == Exp[ t], x[0] == 0}, x, t] Out := {{x F unction( 1 + e2#(1) 6e #(1) 6 &)}} Se obtiene la solución de la ecuación diferencial. In := P lot[x[t]/. %, {t, 8, 4}] Out := Graphics Devuelve la gráfica de la figura 1.5. Ejercicios. 1. Resuelve con Mathematica la ecuación 1.16 del apartado

28 28 Ampliación de Matemáticas Figura 1.5: Gráfica de la solución de la ecuación. 2. Supongamos como condición inicial A(0) = Definir usando Mathematica una función solución del problema de valor inicial anterior. 4. Representar con Mathematica la función solución e interpretar adecuadamente que ocurrirá con la cantidad de sal en el tanque con el paso del tiempo.

29 Capítulo 2 Ecuaciones ordinarias de primer orden. Aplicaciones. Se llama E.D.O. (Ecuación Diferencial Ordinaria) a una ecuación del tipo: F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 que relaciona la variable independiente x, la función buscada y = y(x) y las derivadas de ésta función, y (x), y (x),..., y (n) (x). Decimos que la E.D.O. es de primer orden si el orden de la mayor derivada de y es 1: F (x, y, y ) = Integración directa. Comenzamos nuestro estudio de la metodología para resolver ecuaciones de primer orden, dy dx = f(x, y), con la más sencilla de todas las ecuaciones diferenciales. Cuando f es independiente de la variable y esto es, cuando f(x, y) = g(x) la ecuación diferencial dy = g(x) (2.1) dx se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos miembros de (2.1) se llega a la solución y = g(x)dx = G(x) + C (2.2) 29

30 30 Ampliación de Matemáticas en donde G(x) es una integral indefinida de g(x). Ejemplo Resolver dy dx = 1 + e2x. Integrando se tiene: y = (1 + e 2x )dx = x e2x + C 2.2. Variables separables. Definición Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma dy dx = g(x)h(y) es separable, o de variables separables. Al dividir entre la función h(y), una ecuación separable se puede escribir en la forma: p(y) dy = g(x) (2.3) dx donde, por comodidad, p(y) representa a 1/h(y). Así podemos ver de inmediato que la ecuación (2.3) se reduce a la ecuación (2.1) cuando h(y) = 1. Si y = φ(x) representa una solución de (2.3), se debe cumplir p(φ(x))φ (x)dx = g(x)dx (2.4) Pero dy = φ (x)dx, de modo que la ecuación (2.4) es lo mismo que p(y)dy = g(x)dx (2.5) Esta ecuación indica el procedimiento para resolver las ecuaciones separables. Al integrar ambos lados de p(y)dy = g(x)dx se obtiene una familia monoparamétrica de soluciones, que casi siempre se expresa de manera implícita. Ejemplo Resolver (1 + x)dy ydx = 0. Dividiendo entre (1 + x)y dy y = dx 1 + x

31 Antonio Baeza Salas 31 Integrando en los términos: dy y = dx 1 + x ln y = ln 1 + x + c 1 y = e ln 1+x +c 1 y = e ln 1+x e c 1 = 1 + x e c 1 = ±c(1 + x) Ejemplo Resolver el problema de valor inicial dy dx = x y y(4) = 3 ydy = xdx ydy = xdx y 2 /2 = x 2 /2 + c 1 Esta solución se puede escribir en la forma x 2 + y 2 = c 2, si sustituimos la constante 2c 1 con c 2. Vemos que la solución representa una familia de círculos concéntricos. Cuando x = 4, y = 3, de modo que = 25 = c 2. Así, el problema de valor inicial determina que x 2 + y 2 = 25. Se debe tener cuidado al separar las variables porque los divisores variables podrían ser cero en algún punto. En ocasiones se puede perder una solución constante mientras resolvemos un problema. Ejemplo Resolver xy 4 dx + (y 2 + 2)e 3x dy = 0. Integramos por partes: xe 3x dx + (y 2 + 2y 4 )dy = xe3x 1 9 e3x y y 3 = c 1 La familia monoparamétrica de soluciones también se puede escribir en la forma

32 32 Ampliación de Matemáticas e 3x (3x 1) = 9 y + 6 y 3 + c Ejemplo Resolver el problema de valor inicial dy dx = y2 4, y(0) = 2 Solución: Pasamos la ecuación a la forma dy y 2 4 = dx Integrando en los dos miembros se tiene: 1 4 ln y ln y 2 = x + c 1 Al multiplicar la ecuación por 4 y combinar logaritmos resulta: ln y 2 y + 2 = 4x + c y 2 2 y + 2 = ce4x Despejamos y de la última ecuación y = ce4x 1 ce 4x Si sustituimos x = 0 y y = 2 se tiene 2 = c 1 + c = 1 + c 1 = 1 1 c Esto es imposible, por lo que debemos examinar con más cuidado la ecuación diferencial. El hecho es que la ecuación dy = (y + 2)(y 2) dx queda satisfecha con dos funciones constantes, que son y = 2 y y = 2. Al revisar las ecuaciones anteriores advertimos que debemos excluir a y = 2 y y = 2 de esos pasos de la solución. Es interesante observar que después podemos recuperar la solución y = 2 si hacemos que c = 0 en la ecuación y = ce4x 1 ce 4x Sin embargo, no hay valor finito de c que pueda producir la solución y = 2. Esta última función constante es la única solución al problema de valor inicial planteado.

33 Antonio Baeza Salas Ejercicios. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por separación de variables: 1. dy dx = sen 5x dy 2. dx = (x + 1)2 3. dx + e 3x dy = 0 4. dx x 2 dy = 0 5. (x + 1) dy dx = x xy = 4y 7. dy dx = y3 x 2 dx 8. dy = x2 y 2 1+x dy dx = e3x+2y (4y + yx 2 )dy (2x + xy 2 )dx = ds dr = ks 12. dp = P P 2 Con frecuencia, un cambio radical en la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas que siguen compare las soluciones de los problemas de valor inicial respectivos: dy dx = (y 1)2 y(0) = 1 dy dx = (y 1)2 y(0) = 1,01 dy dx = (y 1)2 + 0,01 y(0) = 1 dy dx = (y 1)2 0,01 y(0) = Ecuaciones exactas. La sencilla ecuación ydx + xdy = 0 es separable, pero también equivale a la diferencial del producto de x por y ydx + xdy = d(xy) = 0 Al integrar obtenemos de inmediato la solución implícita xy = c En cálculo diferencial, se tiene que si z = f(x, y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, su diferencial (que también llamamos diferencial total) es dz = f f dx + x y dy

34 34 Ampliación de Matemáticas Entonces, si f(x, y) = c, se tiene f f dx + x y dy = 0 Esto es, dada una familia de curvas f(x, y) = c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial total, por ejemplo si x 2 5xy + y 3 = c (2x 5y)dx + ( 5x + 3y 2 )dy = 0 dy dx = 5y 2x 5x + 3y 2 Para nuestros fines, es más importante darle la vuelta al problema, o sea; dada una ecuación como dy dx = 5y 2x 5x + 3y 2 podemos demostrar que la ecuación equivale a d(x 2 5xy + y 3 ) = 0? Definición Una ecuación diferencial M(x, y) + N(x, y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función f(x, y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Teorema Sean continuas M(x, y) y N(x, y), con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a < x < b, c < y < d. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que M(x, y)dx+n(x, y)dy sea una diferencial exacta es que M y = N x (2.6) Método de solución para ecuaciones diferenciales exactas. Dada una ecuación de la forma M(x, y)dx+n(x, y)dy = 0, se determina si es válida la igualdad (2.6). En caso afirmativo, existe una función f para la cual f = M(x, y) x

35 Antonio Baeza Salas 35 Podemos determinar f si integramos M(x, y) con respecto a x, manteniendo y constante: f(x, y) = M(x, y)dx + g(y) (2.7) en donde la función arbitraria g(y) es la constante de integración. Ahora derivamos (2.7) con respecto a y, y suponemos que f y = N(x, y): f y = M(x, y)dx + g (y) = N(x, y) y Esto da g (y) = N(x, y) y M(x, y)dx Por último integramos esta ecuación con respecto a y y sustituimos el resultado en la ecuación (2.7). La solución de la ecuación es f(x, y) = c Ejemplo Resolver 2xydx + (x 2 1)dy = 0 Solución: Igualamos M(x, y) = 2xy y N(x, y) = (x 2 1) y tenemos: M y = 2x = N x Por tanto se trata de una ecuación exacta y existe una función f(x, y) tal que f x = 2xy f y = x2 1 Integrando la primera de estas ecuaciones se tiene: f(x, y) = x 2 y + g(y) Derivamos con respecto a y, e igualamos a N(x, y) f y = x2 + g (y) = x 2 1 Por lo tanto g (y) = 1 y g(y) = y La solución es x 2 y y = c

36 36 Ampliación de Matemáticas Ecuaciones reducibles a exactas. Factores integrantes. Sea 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy = 0 una ecuación exacta (también homogénea). Si dividimos por el factor xy, se tiene: 2y 2 dx + 3xydy = 0 podemos comprobar que la ecuación resultante no es exacta. En este caso particular se observa que multiplicando por el factor xy se tiene una ecuación exacta y por tanto integrable. Si una ecuación M(x, y)dx+n(x, y)dy = 0 no es una ecuación diferencial exacta, es decir, M y N x, puede que se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado u(x, y) llamado factor integrante de la ecuación diferencial tal que la ecuación resultante u(x, y)m(x, y)dx + u(x, y)n(x, y)dy = 0 sea exacta. Ejemplo Resolver la ecuación diferencial: tan y + tan xy = 0 (2.8) Solución: Podemos escribir la ecuación (2.8) en la forma tan y y tan ydx + tan xdy = 0 (2.9) = 1 cos 2 y 1 cos 2 x = tan x x Por tanto la ecuación no tiene forma exacta, mientras que la ecuación equivalente: cos x sen ydx + sen x cos ydy = 0 (2.10) si que lo es: cos x sen y y = cos x cos y = sen x cos y x (2.10) resulta de (2.9) multiplicando por cos y cos x. Es lo que llamaremos factor integrante de la ecuación. Si u(x, y) es un factor integrante de la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, entonces, multiplicando por u(x, y) es exacta luego: (u(x, y)m(x, y)) y = (u(x, y)n(x, y)) x

37 Antonio Baeza Salas 37 y por tanto u M(x, y) + u M y y = u x N + u N x M u y N u x = u( N x M y ) (2.11) Para buscar factores integrantes hay que resolver una ecuación en derivadas parciales que normalmente es más difícil que la propia ecuación diferencial. Por eso se recomienda el uso de funciones u de una forma particular: u(x), u(y), u(x + y), u(xy)... El factor integrante u sólo depende de x, entonces la ecuación (2.11) será N u x = u( N x M y ) luego u N u = Si u = u(y) entonces (2.11) será: x M y N M u = y M u N x Si u = u(x + y) = u(z) con z = x + y entonces (2.11) será: u N u = M N x M y Si u = u(xy) = u(z) con z = xy entonces (2.11) será: u N u = xm yn x M y Ejemplo Resolver (x + y)dx + x ln xdy = 0 Solución: No es de variables separables. No es homogénea. No es exacta. Buscamos un factor integrante que dependa de x: u = u(x) (x + y)u(x)dx + x ln xu(x)dy = 0

38 38 Ampliación de Matemáticas Forzamos a que sea exacta: [(x + y)u(x)] y = [x ln xu(x)] x Entonces [x ln xu(x)] x [(x + y)u(x)] y = u = u ln x + u + x ln xu u = u ln x + u + x ln xu u ln x + u x ln x = 0 u + u x = 0 u x = u u u = 1 x ln u = ln x u = 1 x x > 0 De esta forma la ecuación es exacta. Resolvemos y se tiene: (x + y) dx + ln xdy = 0 x f(x, y) = f x = 1 + y x (1 + y )dx + C(y) = x + y ln x + C(y) x f y = ln x + C (y) = ln x C (y) = 0 C(y) = cte. = C f(x, y) = x + y ln x + C y = C x ln x

39 Antonio Baeza Salas Ejercicios. 1. En los problemas que siguen determinar si la ecuación es exacta y, en caso afirmativo, resolverla. a) (2x 1)dx + (3y + 7)dy = 0 b) (5x + 4y)dx + (4x 8y 3 )dy = 0 c) (2y 2 x 3)dx + (2yx 2 + 4)dy = 0 d) (x + y)(x y)dx + x(x 2y)dy = 0 e) x dy dx = 2xex y + 6x 2 f ) (1 2x 2 2y) dy dx = 4x3 + 4xy 2. Resuelva cada ecuación diferencial sujeta a la condición inicial indicada. a) (x + y) 2 dx + (2xy + x 2 1)dy = 0, y(1) = 1 b) (4y + 2x 5)dx + (6y + 4x 1)dy = 0, y( 1) = 2 c) (y 2 cos x 3x 2 y 2x)dx+(2y sen x x 3 +ln y)dy = 0, y(0) = e 3. Calcular el valor de k para que la ecuación diferencial correspondiente sea exacta. a) (y 3 + kxy 4 2x)dx + (3xy x 2 y 3 )dy = 0 b) (2xy 2 + ye x )dx + (2x 2 y + ke x 1)dy = 0 4. A veces es posible transformar una ecuación diferencial no exacta en una exacta multiplicandola por un factor integrante µ(x, y). Resuelve las siguientes ecuaciones comprobando que la función indicada, µ(x, y), sea un factor integrante. a) 6xydx + (4y + 9x 2 )dy = 0, µ(x, y) = y 2 b) ( xy sen x + 2y cos x)dx + 2x cos xdy = 0, µ(x, y) = xy 2.4. Ecuaciones lineales. Definición Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma es una ecuación lineal. a 1 (x) dy dx + a 0(x)y = g(x) (2.12)

40 40 Ampliación de Matemáticas Al dividir ambos lados de la ecuación (2.12) entre el primer coeficiente, a 1 (x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal: dy + P (x)y = f(x) (2.13) dx Debemos hallar una solución de (2.13) en un intervalo I, en el que las dos funciones P y f sean continuas. Puede comprobarse que la ecuación diferencial (2.13) tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones, y = y c + y p, donde y c es una solución de dy + P (x)y = 0 (2.14) dx y y p es una solución particular de (2.13). Podemos determinar y c por separación de variables. Escribimos la ecuación (2.14) en la forma dy y + P (x)dx = 0 al integrar y despejar a y obtenemos y c = ce P (x)dx. Por comodidad definiremos y c = cy 1 (x), en donde y 1 = e P (x)dx. Aplicaremos de inmediato el hecho de que dy 1 dx + P (x)y 1 = 0, para determinar a y p. Ahora podemos definir una solución particular de la ecuación (2.13), siguiendo un procedimiento llamado variación de parámetros. La idea básica es encontrar una función, u, tal que y p = u(x)y 1 (x), en que y 1, que está definida en el párrafo anterior, sea una solución de la ecuación (2.13). En otras palabras, nuestra hipótesis de y p equivale a y c = cy 1 (x), excepto que el parámetro variable u reemplaza a c. Al sustituir y p = uy 1 en (2.13) obtenemos d dx [uy 1] + P (x)uy 1 = f(x) u dy 1 dx + y du 1 dx + P (x)uy 1 = f(x) u[ dy 1 dx + P (x)y 1] + y 1 du dx = f(x) du y 1 dx = f(x) Separamos variables, integramos y llegamos a du = f(x) y 1 (x) dx y u = f(x) y 1 (x) dx