Ecuaciones Diferenciales

Transcripción

1 José Vicente Romero Bauset

2 Tema 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1

3 Ecuaciones diferenciales separables EDO separable Una EDO de orden 1 F (t,y,y ) se dice separable si puede ser escrita de la forma ( A(t)dt = B(y)dy y = A(t) ) B(y),y = C(t)D(y) Resolución A(t)dt = t t 0 A(t)dt = B(y)dy + K y y 0 B(y)dy Ejercicio El ritmo al que se enfría un cuerpo caliente es proporcional a la diferencia de temperatura entre él y el ambiente que lo rodea (ley de enfriamiento de Newton). Un cuerpo se calienta a 110 o C y se expone al ambiente a una temperatura de 10 o C. Al cabo de una hora su temperatura es de 60 o C. Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfríe a 30 o C?

4 EDO homogéneas Función homogénea f (x,y) es una función homogénea de grado n si EDO homogénea Una EDO de primer orden f (λx,λy) = λ n f (x,y). M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado. Nota Definiciones equivalentes a la anterior son: y = f (x,y) es homogénea si f (x,y) es homogénea de grado 0 ( y ) y = f x

5 EDO homogéneas Resolución { 1 o Con el cambio u = y x y = ux y = u x + u variables separables: y = f (x,y) u x + u = f (1,u) 2 o Resolvemos la E.D.O separable. 3 o Deshacemos el cambio. Ejercicios t 3 y = t 2 y 2y 3 Se obtiene E.D.O de Encuentra la forma de un espejo curvo en el que la luz de una fuente en el origen se separe en un haz de rayos paralelos al eje X.

6 Ecuaciones reducibles a separables y = ax + by + c dx + ey + f ( y = f ( )) ax + by + c dx + ey + f Casos posibles c = f = 0 es homogénea b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables ae bd 0 ae bd = 0

7 Ecuaciones reducibles a separables y = ax + by + c dx + ey + f ( y = f ( )) ax + by + c dx + ey + f Caso ae bd 0 1 o Se calcula el punto de corte (x 0,y 0 ) de las rectas: { ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 2 o Se aplica el siguiente cambio que conduce a E.D.O homogénea: { X = x x x = X + x 0 0 y = Y + y 0 Y = y y 0 y = Y 3 o Resolvemos la E.D.O homogénea y deshacemos el cambio.

8 Ecuaciones reducibles a separables:ejemplo (6x + 4y 8)dx + (x + y 1)dy = 0 Las rectas 6x + 4y 8 = 0 y x + y 1 = 0 no son paralelas y se cortan en el punto x = 2 e y = 1. Se hace el cambio de variable x = X + 2,y = Y 1. u + X du dx dy dx = 6X + 4Y X Y, homogénea Y = ux 6X + 4Xu = X Xu = 6 + 4u 1 u 1 lncx = u + 2 du + 2 u u u 2 + 5u + 6 du = dx X du = ln u + 2 (u + 3) 2 y+1 x 2 C(x 2) = ( + 2 ) 2 = y+1 x y x 4 = C, 2x + y 3 = C(3x + y 5)2 (3x + y 5) 2

9 Ecuaciones reducibles a separables y = ax + by + c dx + ey + f ( y = f ( ax + by + c dx + ey + f Caso ae bd = 0 Se cumple que ambas rectas son paralelas, por tanto se cumplirá que: k R/ax + by = k(dx + ey) 1 o Si e 0 se realiza el cambio: y = 1 (t dx) t = t(x) = dx + ey e y = 1 e (t d) )) 2 o Se resuelve la E.D.O de variables separables a la que conduce el cambio: 1 e (t d) = tk + c t + f 3 o Deshacemos el cambio. Nota Si e = 0 se hace el cambio t = ax + by

10 Ecuaciones reducibles a separables:ejemplo (x + y + 1)dx + (2x + 2y 1)dy = 0 Las rectas x + y + 1 = 0 y 2x + 2y 1 = 0 son paralelas. Se hace el cambio de variable z = x + y 1 + dy dx = dz dx. dz dx 1 = z + 1 2z + 1, dz dx = z + 1 2z z 1 2z dz = dx 2 z ( 2 3 ) dz = dx + C, 2z 3ln 2 z = x + C 2 z 2(x + y) + 3ln 2 (x + y) = x + C

11 Ecuaciones diferenciales exactas EDO exacta Una ecuación diferencial M(t,y)dt + N(t,y)dy = 0 es exacta si existe una función F (t, y), llamada función potencial de la ecuación diferencial, cuya diferencial coincide con M(t,y)dt + N(t,y)dy, es decir Teorema F t = M(t,y) y F y = N(t,y) Si M, N, M y, N son continuas en un rectángulo R del plano, entonces t M dt + N dy = 0 es exacta en R si y sólo si M y = N t en R

12 Ecuaciones diferenciales exactas Resolución (Si sabemos calcular M(t,y)dt) 1 o Se comprueba que es exacta: M y = N t 2 o Se calcula la función potencial: F F (t,y) / t = M(t,y) y F y = N(t,y) (a) F (t,y) = M(t,y)dt + ϕ(y) (b) Calculamos ϕ(y) utilizando: F y = N(t,y) y F y = M(t,y)dt + ϕ (y) y = ϕ (y) = N(t,y) y M(t,y) dt (1) (c) Sustituimos ϕ(y) en (a) y se obtiene la solución general de la E.D.O: F (t,y) = C

13 Ecuaciones diferenciales exactas Resolución (Si sabemos calcular N(t,y)dy) 1 o Se comprueba que es exacta: M y 2 o Se calcula la función potencial: = N t F F (t,y) / t = M(t,y) y F y = N(t,y) (a) F (t,y) = N(t,y)dy + g(t) (b) Calculamos g(t) utilizando: F t = M(t,y) y F t = N(t,y)dy + g (t) t = g (t) = M(t,y) t N(t,y) dy (2) (c) Sustituimos g(t) en (a) y se obtiene la solución general de la E.D.O: F (t,y) = C

14 Factor integrante Factor integrante Sea M(t,y)dt + N(t,y)dy = 0 una ecuación diferencial no exacta, y µ(t,y) una función no nula en cada punto de un cierto rectángulo R y tal que µ(t,y)m(t,y)dt + µ(t,y)n(t,y)dy = 0 es exacta. Entonces se dice que µ(t,y) es un factor integrante para M(t,y)dt + N(t,y)dy = 0, y de esta ecuación se dice que es reducible a exacta. Búsqueda de factores integrantes: es decir (µm) y = (µn) t µ M y + M µ y = µ N t + N µ t

15 Factor integrante: µ = µ(t) µ M y +M µ y = µ N t +N µ t µ = µ(t) µ(t) M y d µ(t) µ(t) = ( ) M N y t N ( M µ(t) y N t ) = N d µ(t) dt ( ) M N y t dt a(t) = N ln µ(t) = a(t)dt µ(t) = e a(t)dt +M0 = µ(t) N t +N µ(t) t sólo depende de t

16 Factor integrante Búsqueda de factores integrantes µ = µ(t) M y N t N µ = µ(y) N t M y M es sólo función de t µ = e a(t)dt, a(t) = 1 N es sólo función de y µ = e b(y)dy, b(y) = 1 M ( M y N ) t ( N t M ) y µ = µ(ν), ν = at + by N t M y bm an es sólo función de at + by N µ = e c(ν)dν t M y, c(ν) = bm an µ = µ(ν), ν = ty N t M y tm Ny es sólo función de ty N µ = e d(ν)dν t M y, d(ν) = tm Ny

17 EDO exactas: factor integrante Algunas fórmulas útiles ( ) d xy y dx x dy = y 2 d(xy) = x dy + y dx d ( x 2 + y 2) = 2x dx + 2y dy ( d arctany x ) y dx x dy = x 2 + y 2 ( ( )) d log xy y dx x dy = xy

18 Ecuación Lineal EDO lineal Una EDO de primer orden de la forma dy = P(t)y + Q(t) dt es una ecuación lineal. Resolución Se puede encontrar un factor integrante µ(t) = e P(t)dt. e P(t)dt dy dt e P(t)dt P(t)y = e P(t)dt Q(t) d ( e P(t)dt y dt e P(t)dt y = ) = e P(t)dt Q(t) e P(t)dt Q(t)dt + C

19 Ecuación Lineal Ejemplo ( y + x 2 cosx ) dx x dy = 0 El factor integrante es y = y x + x cosx µ(x) = e 1 x dx = 1 x La ecuación se puede reescribir como es decir e 1 x dx dy dx 1x e dx y x = 1 e dx x x cosx ( ) d e 1 dx x y dx y la solución de la ecuación es y x = ( 1 x x cosx = e 1 x dx x cosx ) dx + C = sinx + C

20 Reducción del orden Ausencia de variable dependiente Si no aparece la y, la ecuación es de la forma f ( t,y,y ) = 0. Resolución Se hace el cambio y = p y = dp dt y la ecuación diferencial queda de la forma f Ausencia de variable independiente ( t,p, dp dt ) = 0. Si no aparece t, la ecuación es de la forma f ( y,y,y ) = 0. Resolución Se hace el cambio y = p y = dp dt = dp dy dy y la ecuación diferencial queda de la forma f dt = p dp ( dy y,p,p dp dy ) = 0.

21 Reducción del orden: Ejemplos ty y = 3t 2 Falta la y se puede hacer el cambio y = p t dp dt p = 3t2 dp dt 1 t p = 3t lineal Multiplicando por e 1 dt t = 1 t se obtiene ( ) d 1 dt t p = 3 p t = 3t + C p = 3t2 + Ct y = t Ct2 + D

22 Reducción del orden: Ejemplos y + k 2 y = 0 Falta la t se puede hacer el cambio y = p, y = p dp dy p dp dy + k2 y = 0 p dp + k 2 y dy = 0 p 2 + k 2 y 2 = k 2 a 2 p = dy dt = ±k a 2 y 2 dy = ±k dt a 2 y 2 arcsen y a = ±kt + b y = asen(±kt + b) y = Asen(kt + B) (o y = C 1 senkt + C 2 coskt)

23 Trayectorias ortogonales y oblicuas Familia de curvas Es una expresión de la forma F (x,y,k) = 0 en la que K es un parámetro arbitrario. Ejemplo x 2 + 2kx + y 2 = 0 Trayectoria ortogonal Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que cruza con cada una de las curvas de la familia de forma ortogonal. En un campo electrostático, las lineas de fuerza son ortogonales a las ĺıneas de potencial constante.

24 Trayectorias ortogonales y oblicuas Ejemplo y 2 + 2ky + x 2 = 0 son ortogonales a x 2 + 2kx + y 2 = 0 Cálculo trayectoria ortogonal 1 Se obtiene la ecuación diferencial y = f (x,y) de la familia de curvas F (x,y,k) = 0 (Eliminando la K). 2 La familia ortogonal a F (x,y,k) = 0 tiene como ecuación diferencial y = 1 f (x,y). Un vector ortogonal (1,v) es (1, 1 v ) 3 Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.

25 Trayectorias ortogonales y oblicuas Cálculo trayectoria ortogonal 1 x 2 +2kx +y 2 =0 derivando 2x +2k +2yy =0 k = x2 +y 2 2x 2x x2 +y 2 x +2yy =0 La ecuación diferencial de la familia de curvas es y = f (x,y) = x2 y 2 2yx 2 La familia ortogonal a F (x,y,k) = 0 tiene como ecuación diferencial 3 y = 1 f (x,y) = 2yx x 2 y 2. y = 2yx x 2 y 2 y = ux u x + u = u x = u + u3 1 u2 du 1 u2 u + u 3 = dx ln C + ln u ln 1 + u 2 = ln x x du 2u 1 u 2. ( 1 u 2u ) 1 + u 2 = dx x Au 1 + u 2 = x Ay = x 2 + y 2

26 Trayectorias ortogonales y oblicuas y tanθ = df dx tanβ = dg dx α y=f(x) θ β y=g(x) x β = α + θ tanβ = tan(α + θ) = tanα + tanθ 1 tanα tanθ

27 Trayectorias ortogonales y oblicuas Cálculo trayectoria obĺıcua 1 Se obtiene la ecuación diferencial y = f (x,y) de la familia de curvas F (x,y,k) = 0. 2 La familia oblicua a F (x,y,k) = 0 tiene como ecuación diferencial y = f (x,y) + tg(α) 1 f (x,y)tg(α). 3 Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior. Ejemplo Calcular las trayectorias obĺıcuas con un ángulo de 45 grados a la familia de curvas y = Ae x

28 Trayectorias ortogonales(coordenadas polares) { x = ρ(θ)cosθ ρ = ρ(θ) y = ρ(θ)senθ y = f (x) (ρ = ρ(θ)) curva ortogonal y = 1 f (x) (ρ o = ρ o (θ)) } dx dy = ( dx ( dθ dy dθ ) ) = ρ cosθ ρ senθ ρ senθ + ρcosθ ρ o cosθ ρ o senθ ρ o senθ + ρ o cosθ = ρ senθ + ρ cosθ ρsenθ ρ cosθ ρ = ρ o ρ oρ = ρ 2 Trayectorias ortogonales en coordenadas polares 1 Se obtiene la ecuación diferencial f (θ,ρ,ρ ) de la familia de curvas F (θ,ρ,k) = 0. 2 La familia ortogonal a F (θ,ρ,k) = 0 tiene como ecuación diferencial ) f (θ,ρ, ρ2 ρ. 3 Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.