Ecuaciones diferenciales en la Química. Modelos.

Transcripción

1 Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales en la Química. Modelos. 1.1 Introducción. Muchos fenómenos naturales (físicos, químicos, biológicos, etc. ) responden, en sus resultados, a formulaciones matemáticas en las que intervienen una función desconocida y sus derivadas, relacionadas entre sí mediante una ecuación llamada ecuación diferencial. Por ejemplo, la ley fundamental de la dinámica puede expresarse mediante la ecuación: fuerza = masa aceleración = m y(t) (1.1) siendo y(t) la función de desplazamiento del objeto, t el tiempo y m su masa. Así, en primer lugar hacemos una primera clasificación de las ecuaciones diferenciales atendiendo a su tipo, distinguiremos entre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.); es decir, la función desconocida sólo depende de una variable independiente, y Ecuaciones en Derivadas Parciales (E.D.P.) cuando la función desconocida depende de 2 ó más variables independientes. Por otro lado, para ecuaciones diferenciales del mismo tipo se tiene en cuenta, para su análisis, el orden máximo de derivación que aparece en la ecuación diferencial que se llama orden de la ecuación diferencial. Ejemplo 1.1 Algunas ecuaciones diferenciales clasificadas por su tipo y orden son: Ecuación T ipo Orden xdx + ydy = 0 E.D.O. 1 2 z + 2 z = ysen(x) x 2 y 2 E.D.P. 2 xy + y = 2x E.D.O. 1 y + p m y + k m y = 0 E.D.O. 2 z x 2 z y 2 = ( x 2 y 2) z E.D.P. 2 Nos centramos, a partir de ahora, en el estudio de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.). Más concretamente, 1

2 2 Capítulo 1: E.D.O. Definición 1.1 Una E.D.O. de orden n es toda ecuación de la forma: F ( x, y, y,..., y n)) = 0 (1.2) donde x es la variable independiente, y = y (x) es una función desconocida n-veces derivable y F una función de n+2 variables definida en dominio abierto de R n+2 y valores en R. Así como, para una ecuación estándar, el objetivo es hallar el valor o valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación, nuestro propósito es dar técnicas que permitan resolver una E.D.O.; es decir, obtener sus soluciones. Para ello, en primer lugar definimos los conceptos de solución, solución general, solución particular, etc. Definición 1.2 Una función f(x) n-veces derivable en un abierto de R es Solución de la E.D.O. (1.2) si, y sólo si, F ( x, f(x), f (x),..., f 0 Aclaramos este concepto con algunos ejemplos concretos y simples. Ejemplo 1.2 La función y = e x 2 es una solución de la ecuación diferencial 2y + y = 0. En efecto, y = e x/2 y = 1 2 e x/2 2y + y = 2 ( 12 e x/2 ) + e x/2 = e x/2 + e x/2 0; es decir, satisface la E.D.O. Es fácil comprobar que cualquier función de la forma y = Ce x 2 es solución de la E.D.O. 2y + y = 0. Una solución para la E.D.O. de orden 2, y y 2y = sen(x) es: También lo son las funciones: ( 3sen(x) + cos(x)) ( 3sen(x) + cos(x)) + e2x 10 ( 3sen(x) + cos(x)) + e x 10 ( 3sen(x) + cos(x)) + 3e2x e x 10 ( 3sen(x) + cos(x)) + Ae2x + Be x, con A, B R Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que una E.D.O. puede tener más de una solución, de hecho puede poseer infinitas soluciones (o no tener solución) por lo que se requieren algunos conceptos adicionales antes de proceder a la resolución de una E.D.O.

3 Apuntes de J. Lorente 3 Definición 1.3 Una familia n-paramétrica de curvas G(x, y, C 1, C 2,..., C n ) = 0 que define implícitamente soluciones de (1.2) independientemente de las ctes C i la llamamos Solución General de la E.D.O. Si asignamos valores concretos a las ctes entonces la solución obtenida recibe el nombre de Solución Particular. Por el contrario, si una solución no se puede obtener desde una solución general se llama Solución Singular. donde, Así, en el ejemplo anterior hemos dado diversas soluciones para las respectivas E.D.O. consideradas 10 ( 3sen(x) + cos(x)) + Ae2x + Be x es Solución General de la ecuación y y 2y = sen(x) mientras que las soluciones restantes; 10 ( 3sen(x) + cos(x)) + e2x 10 ( 3sen(x) + cos(x)) + e x 10 ( 3sen(x) + cos(x)) + 3e2x e x son Soluciones Particulares sin más que tomar, en la solución general, los valores de A y B siguientes: A=1, B=0; A=0, B=1; y A=3, B=-1 para cada solución respectivamente. Observación 1 Por las características de esta E.D.O. (lineal de orden 2 y coeficientes Ctes) puede demostrarse que toda solución de la ecuación se obtiene desde la Solución General propuesta. En la práctica la búsqueda de soluciones particulares proviene del de obtener la solución (si existe) a un problema llamado de Valores o Condiciones Iniciales (C.I.); a saber, Integrar o resolver una ecuación diferencial F ( x, y, y,..., y n)) = 0 con las C.I. y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 1. y n 1) (x 0 ) = y n 1 Cuando n = 1, el problema (1.3) se conoce por el nombre de Problema de Cauchy. (1.3) En general, el número de condiciones es el orden de la ecuación diferencial, sin perjuicio de que en algunos casos puntuales dicha E.D. posea en si misma alguna cte. adicional, en cuyo caso sería necesario imponer alguna otra condición para la determinación de esa(s) cte.(s) suplementarias. Si bien nuestro propósito es resolver ecuaciones diferenciales (algunas), conviene que el lector se familiarice con éstas de un modo gradual observando cómo aparecen para describir familias paramétricas de curvas o ciertos modelos matemáticos que involucran diversas magnitudes relacionadas mediante ciertas razones de cambio. A continuación, se muestran varias situaciones. Ejemplo La familia de circunferencias centradas en el origen y radio arbitrario R con R 0 se describe mediante la ecuación siguiente: x 2 + y 2 = R.

4 4 Capítulo 1: E.D.O. Derivando, implícitamente, respecto de la variable x se tiene la igualdad: 2x + 2yy = 0 es decir, se satisface la E.D.O. de orden 1: x + yy = 0, equivalentemente, xdx + ydy = 0 2. Para la familia de polinomios trigonométricos y = Asen(x) + B cos(x) derivando dos veces respecto de x se tendrán las igualdades siguientes: y = A cos(x) Bsen(x) y = Asen(x) B cos(x) de aquí se pueden obtener las ctes A y B en función de y e y ; a saber, A = cos(x)y sen(x)y B = sen(x)y cos(x)y y, finalmente, sustituyéndolas en la familia inicial se obtiene la ecuación diferencial ordinaria de orden 2: y + y = 0 Familias ortogonales. El estudio de trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada tiene, no sólo, un interés geométrico sino también en meteorología, dinámica de fluidos, campos magnéticos, etc. Ahora bien, qué significa que dos familias de curvas sean ortogonales? Pues, esto quiere decir lo siguiente: Todas las curvas de una familia cortan ortogonalmente a todas las de la otra familia; es decir, las tangentes respectivas en cada punto de corte son perpendiculares. Esta condición se traduce, usando sus pendientes, en: m 1 m 2 = 1 que se puede expresar, para familias diferenciables, mediante derivadas. Supongamos, pues, una familia de curvas, G(x,y,C) =0, para el cálculo de su familia ortogonal que llamamos trayectorias ortogonales, se procede como sigue: 1. Obtención de una ecuación diferencial para la familia inicial. Sea ésta: F (x, y, y ) = 0 (1.4) 2. Expresar la condición de ortogonalidad usando derivadas; es decir, sustituimos en la ecuación (1.4) y por 1 y obteniendo una nueva E.D.O. de primer orden: F (x, y, 1y ) = 0 (1.5) 3. La familia buscada será la solución general de la ecuación (1.5).

5 Apuntes de J. Lorente 5 Ejemplo 1.4 Determinemos la familia de trayectorias ortogonales de las circunferencias de radio R y centro (a, b). Solución. En primer lugar, la familia original puede describirse por la ecuación: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Ahora, procediendo como se ha descrito, se tendrá: La ecuación diferencial asociada a las circunferencias es: (x a) + (y b) y = 0 Las trayectorias ortogonales tendrán por ecuación: (x a) (y b) 1 y = 0; es decir, 1 (y b) d (x a) dx Es fácil obtener, desde la ecuación anterior, que la familia de curvas solución es: y b = K (x a) con K = cte Observe, en la figura siguiente ambas familias. Figura 1.1: Trayectorias ortogonales (circunferencias y rectas) Ejemplo 1.5 Determinemos las trayectorias ortogonales para la familia de hipérbolas equiláteras xy = C. Solución La ecuación diferencial asociada a la familia es: y + xy = 0 ó ydx + xdy = 0 Las trayectorias ortogonales tendrán por ecuación (y 1 y ): y + x ( 1y ) = 0 ó ydy = xdx

6 6 Capítulo 1: E.D.O. Es fácil obtener, desde la ecuación anterior, que la familia de curvas solución es: y 2 x 2 = K ó (y x) (y + x) = K En la figura siguiente se muestran ambas familias (hipérbolas en ambos casos). Figura 1.2: Hipérbolas mutuamente ortogonales. Descripción de curvas a través de E.D.O. En ocasiones suele darse alguna condición geométrica que caracteriza cierta familia de curvas en términos tales que pueden interpretarse fácilmente con ayuda de cierta ecuación diferencial. Veamos algunos ejemplos sencillos. Ejemplo 1.6 Determine la familia de curvas cuyas tangentes en cada punto son de pendiente proporcional a su abscisa. Solución Teniendo en cuenta que la pendiente de la tangente a una curva en el punto (x, y) viene dada por su derivada (y = y (x)), entonces las curvas con la condición impuesta satisfarán la E.D.O.: y = kx donde k es la cte. de proporcionalidad. Esta ecuación conduce a la familia de curvas solución siguiente: y = k 2 x2 + C Por tanto, las curvas que satisfacen la condición impuesta son parábolas cuyo vértice está en el eje de ordenadas y de abertura k 2 (ver la Figura 1.3).

7 Apuntes de J. Lorente 7 Figura 1.3: Familia de parábolas solución (caso k > 0) Ecuaciones de primer orden. Ante una E.D.O. de primer orden, F (x, y, y ) = 0 se presenta el problema de obtener, si es posible, en forma explícita y = f (x, C) una Solución General o familia de curvas, (en ocasiones una solución general puede expresarse en la forma implícita g (x, y, C) = 0). Para tal fin, se utilizan técnicas de integración o cálculo de primitivas. Sin embargo, aun siendo la E.D.O. relativamente simple no siempre es posible dar una solución general en términos de funciones elementales incluso para tipos particulares de ecuaciones para los que sí se conoce una expresión teórica de su Solución General. Así, esta sección está dedicada a analizar la resolución o integración de ciertos casos particulares de E.D.O. de primer orden; a saber: Ecuaciones en variables separadas o separables (E. V. S.). Diremos que una E.D.O., F (x, y, y ) = 0, es de variables separadas o separables (e.v.s.) si se puede expresar en la forma estándar: y = f(x) g(y) ó g(y)dy = f(x)dx (1.6) en cuyo caso, obtener una Solución General pasa por realizar una integración miembro a miembro en la segunda forma estándar (respecto de las variables correspondientes); obteniéndose: g(y)dy = f(x)dx + C Ejemplo 1.7 Resuelva la E.D.O. xy + ln (x) y = 0 y calcule la solución particular que verifica: y(1) = 1. Solución. En primer lugar observamos que las variables x e y están ligadas por operaciones de producto lo que es un primer indicativo del modelo de E.V.S. Para contrastarlo, escribimos y = dy dx y manipulamos convenien-

8 8 Capítulo 1: E.D.O. temente la ecuación (intentamos legalmente separar las variables que intervienen); a saber, ( ) xy + ln (x) y = 0 y = dy dx x dy dx + ln (x) y = 0 ( separamos las variables) dy y = ln(x) x dx se observa, por tanto, que la última ecuación es una E.V.S. cuya solución general será: 1 y dy = ln(x) x dx + C ln ( y ) = 1 2 ln2 ( x ) + C que describe la familia uniparamétrica de curvas solución de la E.D.O. dada. saber, Para calcular la solución particular, basta calcular el valor de la cte. C que cumple la condición dada; a Así, la solución se puede expresar como: y = y(1) = 1 ln (1) = 1 2 ln2 (1) + C C = e ln2 (x) para x > Figura 1.4: Curva solución que pasa por (1, 1). Ecuaciones Homogéneas. Otro tipo de E.D.O. de primer orden cuya integración no presenta más problema que el de calcular primitivas es el siguiente. Se dice que F (x, y, y ) = 0 es una Ecuación Homogénea si, y sólo si, puede reducirse a la forma estándar siguiente: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1.7) donde las funciones M(x, y), N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.

9 Apuntes de J. Lorente 9 Para la resolución de (1.7) realizamos un cambio de variable que la transforma en ecuación en variables separables; a saber, y, sustituimos en obtenemos: Si tomamos u = y (y = ux) dy = udx + xdu; x M(x, ux)dx + N(x, ux) [xdu + udx] = 0 si n es el grado de homogeneidad x n M(1, u)dx + x n N(1, u) [xdu + udx] = 0 que, simplificando, proporciona la ecuación: N(1, u) M(1, u) + N(1, u)u du = 1 dx (1.8) x La ecuación (1.8) es una E.V.S respecto de las variables x, u (u = u(x)) que se integrará como tal para, finalmente, obtener la solución general de restituyendo las variables iniciales. Ejemplo 1.8 Integración de la ecuación xy = 2x2 y 2 x+2y y obtención de la curva solución que pasa por el punto (1, 1). Solución. Observe, en primer lugar, que las variables de la ecuación tienen ligaduras de sumas y restas por lo que no se podrán separar las variables. Escribamos, pues, la ecuación agrupando términos en dx y términos en dy; a saber, xy = 2x2 y 2 x+2y xdy = 2x2 y 2 x+2y dx x (x + 2y) dy = ( 2x 2 y 2) dx Luego, la ecuación es homogénea con funciones: que son homogéneas de grado 2. ( 2x 2 + y 2) dx + x (x + 2y) dy = 0 M(x, y) = 2x 2 + y 2 ; N(x, y) = x (x + 2y) Ahora, aplicamos el cambio de variable y resolvemos: ( 2x 2 + y 2) dx + x (x + 2y) dy = 0 y=ux,dy=xdu+udx ( 2x 2 + x 2 u 2) dx + x (x + 2xu) [xdu + udx] = 0 Entonces, simplificando: ( 2 + u 2 ) dx + (1 + 2u) [xdu + udx] = 0 separamos var 1 + 2u 3u 2 + u 2 du = 1 x dx Integrando en ambos miembros de la última igualdad; es decir,

10 10 Capítulo 1: E.D.O. { 1 3/5 3 u + 1 du u 3u 2 + u 2 du = 1 x dx + C } 7/5 u 2 du = ln ( x ) + C 3 por tanto, 3 ln ( u + 1 ) + 7 ln ( u 2/3 ) = 15 ln ( x ) + C es la Solución General en las variables x, u. Luego, en las variables originales será: ( ) ( ) y + x 3 ln 3y 2x x + 7 ln 3x = 15 ln ( x ) + C Finalmente, la curva solución que pasa por (1, 1) es: ( ) ( ) y + x 3 ln 3y 2x 2x + 7 ln x = 15 ln ( x ) que tras simplificar se puede escribir en la forma (en un entorno apropiado de x = 1): x 5 (x + y) 3 (3y 2x) 7 = 8 Ecuación Lineal de primer orden. Las ecuaciones diferenciales lineales tienen gran importancia en multitud de aplicaciones y, en particular, las de primer orden. Estas, además, pueden resolverse completamente a partir del cálculo de primitivas (si éste es posible). Más concretamente, Definición 1.4 Diremos que una ecuación de primer orden es lineal si y, sólo si, puede escribirse en la forma: y + P (x)y = Q(x) (1.9) donde, P y Q son funciones continuas de la variable x en un dominio real apropiado. La solución general de (1.9) se obtiene en dos etapas; a saber: Resolver la ecuación Homogénea asociada y + P (x)y = 0; Buscar una solución particular de (1.9). TEOREMA 1.1 Sea y h (x) una solución no nula de la ecuación homogénea asociada e y p (x) una solución de (1.9). Entonces, y(x) = y p (x) + Cy h (x) (1.10) es la Solución General de la ecuación completa (1.9).

11 Apuntes de J. Lorente 11 Demostración. Es sencillo probar este resultado sin más que sustituir en la ecuación diferencial. En efecto, y(x) = y p (x) + Cy h (x) y (x) = y p(x) + Cy h (x) [ y p (x) + Cy h (x)] + P (x) [y p (x) + Cy h (x)] = = y p(x) + P (x)y p (x) +C ( y h }{{} (x) + P (x)y h(x) ) = Q(x) }{{} =Q(x) =0 Luego, (1.10) es la solución general de la ecuación (1.9). Desde este resultado se deduce que resolver la ecuación lineal de primer orden pasa por conocer una solución particular de ésta y la solución de la homogénea; pero, cómo calcular una solución particular?. Hay varias formas de conseguir responder esta cuestión. Aquí, se va a utilizar un método denominado variación de ctes. Además, el procedimiento permite dar una expresión explícita de la Solución General. Integración de la homogénea. Consideramos la ecuación y + P (x)y = 0 que es una ecuación V.S.; entonces, y + P (x)y = 0 dy y = P (x)dx dy y = P (x)dx y h (x) = e R P (x)dx Cálculo de una solución particular. Para la obtención de y p (x) suponemos que es de la forma: y p (x) = ky h (x) donde k = k(x). Imponemos que y p (x) sea solución de la ecuación completa; es decir, y p + P (x)y p = k y h + ky h + P (x)ky h = k y h + k ( y h + P (x)y ) h = k y h Q(x) }{{} =0 luego, y p (x) será solución si k = k(x) satisface la E.V.S.: k y h = Q(x) k = Q(x)e R P (x)dx (1.11) Por tanto, resolviendo (1.11) y sustituyendo se tiene: [ { } ] y p (x) = P (x)dx Q(x)eR dx y h (x) (1.12) Así, utilizando la discusión anterior y el TEOREMA 1.1 se puede dar la fórmula, para la solución general, siguiente: y(x) = e R [ { R } ] P (x)dx Q(x)e P (x)dx dx + C (1.13) Ejemplo 1.9 Resuelva la ecuación xy y = x 3 y obtenga la curva solución que satisface la c.i. y(1) = 0. Solución. Procedemos según las etapas descritas anteriormente:

12 12 Capítulo 1: E.D.O. 1. Resolución de la ecuación lineal homogénea xy y = 0 En efecto, xy y = 0 dy y = dx x dy y = dx x y h(x) = x es solución. 2. Ahora ensayamos una solución particular y p = kx con k=k(x) Entonces, xy p y p = x [ k x + k ] kx = k x 2 k x 2 = x 3 luego, k(x) = xdx = 1 2 x2, e y p (x) = 1 2 x3 Así, la solución general de la ecuación completa es: y(x) = 1 2 x3 + Cx (1.14) 3. Para calcular la solución particular usamos la C.I. y (1.14) y(1) = 0 0 = C C = 1 2 y, por tanto, y(x) = 1 2 x(x2 1) es la solución particular o curva solución del P.V.I. (vea la Figura 1.4) Figura 1.5: Solución del P.V.I.