Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Transcripción

1 Capítulo 3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 3.1. Definición y ejemplos La definición formal de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es la de una expresión F(x,y,y,y,...,y (n) ) = 0 que relaciona entre sí una variable independiente x, una función incógnita y = y(x) y un número finito de sus derivadas y (i). Aquí la notación quiere decir que F(x,y,y,...,y (n) ) es una función de varias variables, un objeto que todavía no hemos estudiado, pero que es una extensión intuitivamente clara del concepto de función de una variable. Ejemplo 3.1. El ejemplo más sencillo de ecuación diferencial es, a partir de una función conocida f (x), tomar F(x,y ) = y f (x), dando lugar a la expresión y (x) = f (x). La solución la proporciona el teorema fundamental del cálculo infinitesimal y(x) = f (t)dt + C y existe si f (x) es integrable. Obsérvese que hay infinitas soluciones, porque la constante de integración C es arbitraria. 87

2 88 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Como acabamos de ver en el ejemplo, una solución de una ecuación diferencial es una función y = f (x) que sustituida ( ella y sus derivadas ) en la ecuación la convierte en una identidad. El mayor orden de las derivadas que aparecen en la ecuación ordinaria se denomina orden de la ecuación diferencial. Ejemplo 3.2. Con F(x,y,y,y ) = y cosx la ecuación diferencial es y (x) = cosx que es de segundo orden porque contiene una derivada segunda de y. La solución se obtiene integrando dos veces: y (x) = cosx dx = senx + C 1 y(x) = (senx + C 1 )dx = cosx + C 1 x + C 2 donde C 1 y C 2 son dos constantes arbitrarias. Los ejemplos 3.1 y 3.2 ofrecen un dato relevante. No solo hemos encontrado una solución, sino toda una familia de ellas, ya que las integrales indefinidas producen constantes de integración. Ejercicio 3.3. Resolver de modo análogo la ecuación diferencial y (x) = f (x). Cuántas constantes arbitrarias se obtienen? La ecuación de los procesos exponenciales. es siguiente ejemplo de ecuación diferencial Menos trivial que los anteriores y (x) = y(x). Es fácil adivinar una solución: la función exponencial y(x) = exp(x) es su propia derivada. Pero además podemos comprobar que todo múltiplo y(x) = C exp(x) de esta solución es solución, así que de nuevo obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones. La ecuación algo más general y (t) = k y(t), k R (3.1) tiene innumerables aplicaciones científico-técnicas. Se trata de la ecuación que modela la desintegración de una sustancia radiactiva, ya que la cantidad que

3 3.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS 89 se desintegra es proporcional a la cantidad de sustancia. También modela la capitalización o amortización a interés compuesto continuo, los procesos de enfriamiento o calentamiento, las descargas o cargas ( simples ) de condensadores y baterías, y en general cualquier fenómeno cuya variación instantánea sea proporcional ( negativa o positivamente ) a su propia intensidad. La datación del Carbono 14 o la averiguación del tiempo de fallecimiento de un cadáver, son aplicaciones más o menos directas de este modelo. Se pueden encontrar las soluciones de (3.1) de manera rigurosa, reescribiéndola y usando el teorema fundamental del cálculo: y (t) y(t) = k (logy(t)) = k logy(t) = kt + C y(t) = C exp(kt) Podemos asegurar entonces que todas las soluciones se expresan mediante la fórmula y(t) = C exp(kt), siendo C una constante de integración arbitraria. A τ = 1/ k se le denomina constante de tiempo o característica del fenómeno exponencial descrito, ya que si en cierto momento t 0 la función vale f (t 0 ), en t = t 0 + τ su valor es f (t) = e f (t 0 ) (si k > 0) o f (t) = f (t 0 )/e ( si k < 0 ) A veces se considera el tiempo de semivida del proceso, que no es más que ln2/ k, y es el tiempo en el que el proceso se dobla o reduce a la mitad en cantidad. La ecuación de los procesos oscilatorios. En general, en la Naturaleza, un proceso exponencial decreciente es transitorio ( hasta llegar a ser constante ) y uno creciente es explosivo. En ingeniería electrónica, ambos casos suelen ( en primera aproximación ) evitarse o ignorarse. Un proceso exponencial decreciente aparece como una señal transitoria que tiende a anularse cuando el tiempo pasa y uno creciente suele indicar una realimentación positiva, y da lugar a inestabilidades si no se elimina o anula en cierto momento. Mucho más comunes son los procesos oscilatorios, que permiten a los sistemas trabajar en régimen estacionario. Ejemplo 3.4. Encontrar soluciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden siguientes y + y = 0 y en general y + ω 2 y = 0. Las soluciones de la ecuación y + ω 2 y = 0 son y(x) = C 1 senωx + C 2 cosωx donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias. De la solución del ejercicio anterior ( ver al final del capítulo ) concluímos que la ecuación diferencial tiene como soluciones funciones que representan oscilaciones sinusoidales.

4 90 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 3.2. Solución general. Soluciones singulares Hemos encontrado en la sección anterior ejemplos de soluciones de ecuaciones diferenciales de orden 1 y 2. En el caso de orden 1 encontramos una familia uniparamétrica de soluciones, mientras que en el de orden 2 se podía encontrar una familia biparamétrica. Definición 3.5. Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n F(x,y,y,y,...,y (n) ) = 0 una solución general es una familia de funciones y = f (x,c 1,...,c n ) que depende de n parámetros reales c 1,..., c n y que son solución de la ecuación diferencial. Toda solución que no aparece en la solución general, es una solución singular. Hemos de decir que la existencia de la solución general no está garantizada para una ecuación diferencial cualquiera, y ni siquiera lo está la existencia de una solución. Existen ecuaciones que no poseen ninguna solución, y ecuaciones que aunque poseen solución general, no se puede encontrar de forma sistemática. En este curso veremos clases de ecuaciones que se pueden estudiar sistemáticamente, y cuya solución general se puede encontrar. Para apoyar la plausibilidad de la existencia de solución general, procedamos de un modo inverso. Consideremos una familia, por ejemplo biparamétrica, de funciones, e intentemos establecer una ecuación diferencial que todas satisfagan. Por ejemplo, la familia de elipses (x c) b 2 y2 = 1 se puede derivar dos veces 2(x c) + 2 b 2 yy = 0, b 2 [yy + (y ) 2 ] = 0

5 3.3. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 91 de donde podemos deducir que b 2 = yy (y ) 2 yy, c = x yy + (y ) 2 y 2 (y ) 2 [yy + (y ) 2 ] 2 y 2 yy + (y ) 2 = 1 y 2 (y ) 2 y 2 [yy + (y ) 2 ] = [yy + (y ) 2 ] 2 y 2 (y ) 2 + [2y(y ) 2 +y 3 ]y + (y ) 4 = 0. Más simple es estudiar la familia uniparamétrica de círculos (x c) 2 + y 2 = 1. Derivando una vez 2(x c) + 2yy = 0, c = x + yy y por tanto y 2 (y ) 2 + y 2 = 1. (3.2) Es interesante observar cómo las envolventes de los círculos, las funciones y(x) = ±1 son soluciones singulares Ecuaciones de primer orden. Interpretación geométrica y problemas de valor inicial Una ecuación de primer orden puede escribirse despejando la derivada y (x) = f (x,y) Esta expresión nos da una interpretación geométrica a la ecuación diferencial de primer orden: se trata de un campo de direcciones en el plano (x,y). Las soluciones poseen gráficas que son en todo punto tangentes a la dirección determinada por la ecuación diferencial. Estas gráficas se denominan curvas integrales de la ecuación diferencial. La pregunta surge inmediatamente: por un punto dado (x 0,y 0 ) del plano (x,y), pasa una curva integral, y solo una? En el ejemplo de la ecuación (3.2), hay puntos con y > 1 por los cuales no pasa

6 92 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ninguna curva integral. Por los puntos con y = 1 pasan dos curvas integrales, y por el resto de puntos (x,y) pasa una sola curva integral. En primer lugar, definamos más propiamente el problema que nos ocupa, que se denomina problema de condiciones iniciales, de valores iniciales, o de Cauchy. Definición 3.6 (Problema de valores iniciales (p.v.i.)). Un problema de condiciones iniciales de primer orden consiste en encontrar la o las soluciones y(x) de una ecuación diferencial, que toman un valor determinado y 0 en x = x 0 : y (x) = f (x,y), y(x 0 ) = y 0. Equivalentemente, podemos decir que el problema de valores iniciales plantea encontrar la o las curvas integrales que pasan por un punto determinado (x 0,y 0 ) del plano (x,y). El siguiente teorema, que se comprenderá mejor una vez cursada la asignatura de cálculo de varias variables, es el que asegura condiciones suficientes de existencia y unicidad para el p.v.i. de una ecuación de primer orden. Teorema 3.7. Si en un punto dado (x 0,y 0 ) la función f (x,y) es continua ( en dos variables (x,y) ) y posee derivada parcial f y (x 0,y 0 ) continua, entonces por (x 0,y 0 ) solo pasa una curva integral de la ecuación diferencial y (x) = f (x,y). Como ejemplos de soluciones al problema de valores iniciales, podemos ver los de dos ecuaciones estudiadas en la sección anterior. En el caso de y (x) = cosx y(x) = y 0 + senx senx 0 podemos encontrar la solución al p.v.i. o bien usando el teorema fundamental del Cálculo en su versión detallada, especificando los límites de integración y la constante de integración: y(x) = y(x 0 ) + cosx dx = y 0 + senx senx 0 (3.3) x 0 o bien sustituyendo la solución general en la condición inicial y(x) = senx + C, y(x 0 ) = y 0 C = y 0 senx 0.

7 3.4. MÉTODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIÓN 93 Otro ejemplo es el de y (x) = k y(x) y(x) = y 0 e k(x x 0) ya que y(x) = Ce kx y(x 0 ) = x 0 C = y 0 e kx 0. Ejercicio 3.8. Esbozar las curvas integrales de la ecuación diferencial y = x y 3.4. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones de variables separadas. orden se puede escribir en la forma Si una ecuación diferencial de primer entonces su solución general es sencilla de calcular g(y)dy = f (x)dx + C. g(y)y (x) = f (x) (3.4) Se suele utilizar la siguiente forma diferencial de escribir la ecuación separable (3.4) g(y)dy f (x)dx = 0 Es fácil ver que una ecuación separable se puede presentar de muchas formas, usualmente: y (x) = f (x) g(y). Ejemplo 3.9. Resolver el problema de valor inicial Separando variables y + 5x 4 y 2 = 0, y(0) = 1. dy y 2 = 5x4 dx, 1 y = 1 x5 + C, y = x 5 C.

8 94 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Esta es la solución general, y sustituyendo en ella las condiciones iniciales: 1 1 = 0 5 C C = 1 y = 1 x No se debe olvidar comprobar el resultado sustituyendo la solución encontrada en la ecuación diferencial y en las condiciones iniciales. Ecuaciones homogéneas. Las ecuaciones denominadas homogéneas: ( ) y y = f x (3.5) Se pueden hacer separables mediante el cambio de variables que consiste en definir una nueva variable dependiente u = u(x) con la fórmula u = y x Entonces y = xu y = xu + u y sustituyendo en (3.5) ( ) y xu + u = f = f (u) x y despejando se obtiene una ecuación diferencial el la nueva variable dependiente u = u(x): que es separable. u = 1 [f (u) u] x Ejercicio Resolver la ecuación homogénea 2xyy y 2 + x 2 = 0. Tenemos que 2 y ( ) y 2 x y + 1 = 0 x por lo que 2xuu + 2u 2 u = 0, 2du u = dx x ln(1 + u 2 ) = ln x + c, 1 + u 2 = C x x 2 + y 2 = Cx, (x c) 2 + y 2 = c 2

9 3.4. MÉTODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIÓN 95 Ecuaciones reducibles a homogéneas. Las ecuaciones de la forma ( ) y a1 x + b = f 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 son reducibles a homogéneas trasladando el origen de coordenadas al punto de intersección (x 0,y 0 ) de las rectas a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 lo cual se consigue haciendo x = x + x 0, y = ỹ + y 0. Si el determinante siguiente se anula a 1 b 1 a 2 b 2 = 0 entonces la ecuación original se puede escribir de la forma y = g(a 1 x + b 1 y) que con el cambio ỹ = a 1 x + b 1 y es separable. La ecuación lineal de primer orden. La ecuación lineal de primer orden es lineal en la funcón incógnita y en su derivada y + p(x)y = q(x) Si q(x) = 0 se denomina ecuación lineal homogénea. En este caso la ecuación es separable: y y (x) (x) = p(x)y(x), y(x) = p(x) y la solución general de la ecuación lineal homogénea es y(x) = Ce p(x)dx. (3.6) Para encontrar la solución general de la ecuación no homogénea se puede aplicar el método de variación de constantes. Se utiliza una solución prueba de tipo (3.6), pero suponiendo que la constante C es una función de x: y(x) = C(x)e p(x)dx. Sustituyendo esta expresión en la ecuación se obtiene [C (x) p(x)c(x)]e p(x)dx + p(x)c(x)e p(x)dx = q(x) quizás es mejor el método del factor integrante

10 96 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS lo cual implica C (x) = q(x)e p(x)dx con lo que la solución de la ecuación lineal de primer orden puede ser escrita como [ ] y(x) = e p(x)dx p(x)dx q(x)e dx + C. (3.7) Es importante ver la estructura de esta solución: es la suma y(x) = y h (x) + y p (x) de la solución general y h (x) de la ecuación homogénea (3.6), más una solución particular y p (x) de la ecuación inhomogénea y p (x) = e p(x)dx p(x)dx q(x)e dx De hecho, sumando cualquier solución concreta de la homogénea a la solución y p (x) de la no homogénea, obtenemos otra solución particular válida. Ejemplo En un circuito LR compuesto de una resistencia R y una bobina de inductancia L en serie, alimentado por una fuerza electromotriz v(t) Figura 3.1: Circuito LR. la ley de Kirchoff (en corriente alterna) asegura que la intensidad está dada por la ecuación diferencial L di (t) + Ri(t) = v(t). dt Esta ecuación es lineal, y para cualquier voltaje v(t) la solución puede encontrarse mediante la fórmula (3.7), poniendo límites de integración concretos como hicimos en (3.3) para resolver el p.v.i. i(0) = i 0 : i(t) = e R L t [ t 0 v(s) L e R L s ds + i 0 ].

11 3.4. MÉTODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIÓN 97 La fórmula del ejemplo anterior tiene una interpretación física inmediata. La solución de la ecuación homogénea i h (t) = i 0 e Rt/L satisface la condición inicial y representa un transitorio que decae exponencialmente con constante de tiempo L/R, debido a una corriente inicial i 0. El término correspondiente a la solución particular t i p (t) = e R L t v(s) L e R L ss ds 0 es el que incluye el voltaje, forzamiento o señal de entrada al circuito v(t). Representa la reacción del circuito a la fuerza electromotriz introducida, y contiene información sobre un posible estado estacionario que se establezca en él. Por ejemplo, si se introduce un voltaje continuo v(t) = V 0 a partir de un momento de conmutación t = 0, es decir, v(t) = H(t)V 0, tenemos i p (t) = e R L t t 0 V 0 L e R L s ds = V [ ] 0 1 e R L t t V 0 R R que es el estado estacionario que predice la ley de Ohm para el funcionamiento del circuito en corriente continua. Si la señal introducida es un voltaje alterno v(t) = V 0 cosωt, obtenemos que i p (t) = e R L t t 0 V 0 L cos(ωs)er L s ds [ ] V = 0 R 2 + ω 2 L 2 e R L t R + Rcosωt + ωlsenωt t V 0 R 2 + ω 2 [Rcosωt + ωlsenωt]. L2 Se puede comprobar que Rcosωt + ωlsenωt = R 2 + ω 2 L 2 cos(ωt θ) (v. la fórmula (1.6)) donde θ = arctan ωl R, quedando i p (t) = V 0 cos(ωt θ). R 2 + ω 2 L2 La intensidad es, pues, una sinusoide de la misma frecuencia que el voltaje de entrada, con un desfasaje θ y una amplitud V 0 /Z donde Z = R 2 + ω 2 L 2 es la denominada impedancia del circuito. Hay que observar que la solución particular así calculada contiene también una parte transitoria, no como las soluciones particulares que se calculan en Física o en Electrónica. La condición que hemos impuesto sobre la solución particular encontrada es que sea nula en t = 0, condición que la parte estacionaria aislada no cumple.

12 98 CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS La ecuación de Bernouilli. La ecuación de Bernouilli y + p(x)y = q(x)y n no es lineal (si n 0,1) pero haciendo la sustitución se linealiza: yn z n 1 + p(x)y = q(x)yn, z = 1 y n 1, z = (n 1) y y n z (n 1)p(x)z = (n 1)q(x). Puede resultar más conveniente hacer la sustitución y(x) = u(x)v(x) y proceder como sigue: u v + uv + p(x)uv = q(x)u n v n, u v + u(v + p(x)v) = q(x)u n v n Tomando v(x) como una solución particular de v + p(x)v = 0, tenemos que u(x) puede hallarse con v(x)u = q(x)u n v(x) n, u u n = q(x)v(x)n 1. Ejemplo xy + y = y 2 lnx es decir, p(x) = 1/x, q(x) = lnx/x y n = 2. Si z = 1/y z 1 x z = lnx x, 1 lnx y = z = x dx = lnx Cx. x2 Por tanto y = 1 z = lnx + Cx.