1. Utilizando el cambio de variable y = z α y eligiendo adecuadamente α integrar el problema de valor inicial dy dx = xy 3x 2 y 4 y(2) = 1

Transcripción

1 1 Ecuaciones diferenciales homogéneas 1 Utilizando el cambio de variable y = z α y eligiendo adecuadamente α integrar el problema de valor inicial = xy 3x y 4 y() = 1 Solution 1 Utilizamos el cambio de variable y = z α Diferenciando tenemos Por tanto y simplificando nos queda α 1 dz αz = = αzα 1 dz xz α 3x z 4α dz = 1 ( ) xz α 3x z 4α Esta última ecuación puede ponerse de la siguiente forma dz = 1 ( ) z/x α 3 z 4α /x y es claro que resultará homogenera cuando α = 1/ En este caso queda como ( ) dz z/x = 3 z /x que mediante el cambio Z = z x queda reducida a dz + Z = Z 3 Z Esta última, simplificada, da la siguiente ecuación en variables separables dz = 1) Z(Z Z 3 cuya solución es Usando obtenemos Z 3 Z(Z 1) dz = x + cte Z 3 Z(Z 1) = 3 Z 1 Z 1 1 Z + 1 log Z 3 Z 1 = log x + cte

2 la cual queda Z 3 x Z 1 = k donde k = e cte R Deshaciendo los cambios tenemos ( z ) 3 x ( x z ) = k 1 x y o lo que es equivalente z 3 z x = k y 6 = k y x La solución particular la calculamos usando y() = 1, es decir, 1 = k 1 4 luego k = 1/3 y la solución es y 6 = 1 3 y x Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x xy y) + xy = 0 Solution La solución general viene dada por x x y + log ( x y ) + log ( x y ) = k con k R Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas 1 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x y 1) + (x + 4y 1) = 0 Solution 3 La encuación se transforma en la siguiente = y x + 1 x + 4y 1 (1) Hallando los puntos de corte de las rectas r 1 y x + 1 = 0 y r x + 4y 1 = 0 obtenemos el siguiente cambio de variable X = x 1 Y = y

3 que transforma la ecuación 1 a la siguiente ecuación homogénea dy dx = Y X X + 4Y Introduciendo el nuevo cambio de variable dado por Y = V X tenemos que la ecuación anterior queda quedando entonces como X dv dx + V = V V X dv + 4V = 1 dx 1 + 4V lista para ser tratada como una ecuación de variables separables Esta ecuación tiene por solución 1 + 4V dx 1 + 4V dv = X + cte Efectuamos la integración de 1 + 4V 1 + 4V dv Tenemos que 1 + 4V 1 + 4V = V + 1 8V 1 + 4V por tanto 1 + 4V 1 + 4V dv = 1 8V 1 + 4V dv V dv = 1 log(1 + 4V ) + 1 arctan(v ) En definitiva, obtenemos que ( ) log 1 + 4V + 1 arctan(v ) = log X + cte donde log (X ) 1 + 4V + 1 arctan(v ) = cte Tomando exponenciales en la anterior igualdad tenemos X ( arctan(v ) ) 1 + 4V Exp = k donde k = e cte Deshaciendo todos los cambios obtenemos en primer lugar ( ) arctan( Y X + 4Y X ) Exp = k quedando finalmente la integral general de la ecuación diferencial y arctan x 1 (x 1) + 4y Exp = k

4 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x y 4) + (x y + 10) = 0 Solution 4 Expresamos la ecuación diferencial en la forma siguiente = x y 4 x y + 10 (siempre que x y ) y realizamos el cambio de variable V = x y Por tanto tenemos que = 1 dv y la ecuación queda de la siguiente forma 1 dv = V 4 V + 10 que simplificada resulta dv = 3V + 6 V + 10 ecuación de variables separables cuya solución es V V + 6 dv = + cte Por otro lado es facil comprobar que V V + 6 dv = 1 3 V + 8 log (V + ) 3 Por tanto y simplificando 1 3 V + 8 log (V + ) = x + cte 3 V + 8 log (V + ) = 3x + cte de donde resulta que 8 log (x y + ) = x + y + cte y tomando exponenciales obtenemos x y + = ke x+y 8 con k R constante relacionadas algebraicamente con las anteriores 3 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (3y 7x + 7) + (7y 3x + 3) = 0

5 Solution 5 Expresamos la ecuación diferencial en la forma siguiente = 3y 7x + 7 7y 3x + 3 si 7y 3x Aplicando en cambio de variable X = x 1 Y = y obtenemos la siguiente ecuación homogénea dy dx = 3Y 7X 7Y 3X Introduciendo el nuevo cambio de variable dado por Y = V X tenemos que la ecuación anterior queda quedando entonces como X dv ( dx = V + 3V 7 ) 7V 3 X dv dx = 7(1 V ) 7V 3 lista para ser tratada como una ecuación de variables separables Esta ecuación tiene por solución 7V 3 dx 1 V dv = 7 X + cte Es facil ver que 7V 3 dv = log V 1 5 log V V Por tanto Tomando exponenciales tenemos log V log V log X = cte (V 1) V X 7 = k con k R Deshaciendo los cambios tenemos que ( ) Y X 1 Y X + 1 que simplificada queda 5 X 7 = k (Y X) Y + X 5 = k o equivalentemente (y x + 1) y + x 1 5 = k 4 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente (x + y 4) (x 4y) = 0

6 Solution 6 La solución general viene dada por log ( 4(y 1) + (x ) ) arctan 5 Integrar el problema de valor inicial = x + 9y 0 6x + y 10 y(0) = Solution 7 Aplicando en cambio de variable X = x 1 obtenemos la siguiente ecuación homogénea dy dx Y = y = X + 9Y 6X + Y ( ) (y 1) = cte x La anterior ecuación puede ser reducida mediante el cambio Y = V X a la siguiente ecuación en variables separables dada por quedando entonces como X dv dx = + 9V 6 + V V X dv + 3V V = dx 6 + V lista para ser tratada como una ecuación de variables separables cuya solución es 3 + V + 3V V dv = 1 dx X + cte luego Es facil ver que 3 + V + 3V V = 1 1 V V 3 + V + 3V V dv = 1 log V + 1 log V quedando la solución de la forma siguiente 1 log V + 1 log V = 1 log X + cte Por tanto log V + 1 log V log X = cte quedando entonces como V + 1 log X (V ) = log Y + 1 X X ( Y ) = cte X

7 Tomando exponenciales obtenemos (Y + 1 X ) = k 1 (Y X) siendo k 1 = e cte Finalmente deshaciendo el primer cambio de variable, la última identidad queda ((y ) + 1 ) (x 1) = k 1 ((y ) (x 1)) la cual simplificada resulta ( y + 1 x 5 ) = k 1 (y x) La solución verificando y(0) = nos da k 1 = 1/8 y por tanto la solución buscada es ( y + 1 x 5 ) = 1 8 (y x) 6 Integrar el problema de valor inicial (4x + 3y + 1) + (3x + y + 1) = 0 y(0) = 1 Solution 8 Hacer 7 Integrar el problema de valor inicial = y x 3 3x + y + 1 = 0 y( 1) = 0 Solution 9 Hacer 8 Integrar el problema de valor inicial = 3(x + 3y) 3 = 0 y(0) = 1 Solution 10 Hacer 3 Factores de Integración 1 Encuentre un factor integrante para la siguiente ecuación diferencial (x + xy y ) + (y + xy x ) = 0 sabiendo que es una función de z = (x + y) 1

8 Solution 11 Consideremos la ecuación más general siguiente M(x, y) + N(x, y) = 0 y sea µ(x, y) = µ(x + y) un factor integrante para la anterior ecuación siguiente ecuación Entonces la es exacta y por tanto se verifica que µ(x + y)m(x, y) + µ(x + y)n(x, y) = 0 x (µ(x + y)n(x, y)) = (µ(x + y)m(x, y)) Desarrollando esta última igualdad obtenemos µ N + µ x = µ M + µ M donde hemos suprimido los argumentos de las funciones para facilitar la notación Es claro que ( M µ (N M) = µ ) x y simplificando se tiene que µ µ = x M N M Luego la función x M Φ(x, y) = N M = Φ(z) debe ser una función de z = x + y y en este caso el factor integrante viene dado por µ(x + y) = µ(z) = e Φ(z)dz En nuestro caso particular aplicando este resultado general obtenemos Además se verifica que Φ(x, y) = Φ(z) = M(x, y) = x + xy y ; N(x, y) = y + xy x ; x M N M quedando entonces que el factor integrante viene dado por µ(x + y) = M = x y = y x x = 4(y x) (y x ) = x + y = z 1 (x + y)

9 Encuentre un factor integrante para la siguiente ecuación diferencial sabiendo que es una función de z = xy (x y y 3 + y) + (xy x 3 + x) = 0 Solution 1 Al igual que en el ejercicio anterior para la ecuación más general obtenemos que esta ecuación es exacta Por tanto y desarrollando nos queda Se tiene entonces la siguiente expresión quedando Luego tenemos que la función M(x, y) + N(x, y) = 0 µ(xy)m(x, y) + µ(xy)n(x, y) = 0 x (µ(xy)n(x, y)) = (µ(xy)m(x, y)) yµ N + µ x = xµ M + µ M µ (yn xm) = µ ( M ) x µ µ = x M yn xm x M Φ(x, y) = yn xm = Φ(z) debe ser una función de z = xy y en este caso el factor integrante viene dado por En nuestro caso Además es claro que µ(xy) = µ(z) = e Φ(z)dz M(x, y) = x y y 3 + y; N(x, y) = xy x 3 + x; M = x 3y + 1 x = y 3x + 1 x M Φ(x, y) = Φ(z) = yn xm = 4(y x ) xy(y x ) = xy = z quedando entonces que el factor integrante viene dado por µ(xy) = 1 x y

10 3 Encuentre un factor integrante para la siguiente ecuación diferencial (x y) + (x + y) = 0 sabiendo que es una función de z = x + y Solution 13 Análogamente y desarrollando nos queda ( µ(x + y )N(x, y) ) = ( µ(x + y )M(x, y) ) x Obtenemos entonces la siguiente expresión xµ N + µ x = yµ M + µ M µ (xn ym) = µ ( M ) x quedando entonces Luego tenemos que la función µ µ = 1 x M xn ym Φ(x, y) = 1 x M xn ym = Φ(z) debe ser una función de z = x + y y en este caso el factor integrante viene dado por µ(xy) = µ(z) = e Φ(z)dz En nuestro caso tenemos que M(x, y) = x y; N(x, y) = x + y; M = 1 x = 1 Además tenemos que Φ(z) = 1 x M xn ym = 1 x(x + y) y(x y) = 1 x + y = 1 z quedando entonces que el factor integrante viene dado por µ(x + y ) = 1 x + y

11 4 Qué relaciones deben verificar los coeficientes de la siguiente ecuación diferencial (ax + by) + (cx + ) = 0 para que admita un factor integrante que sea función de z = x + y? Solution 14 Supongamos que los coeficientes sean números reales no nulos Aplicando el ejercicio anterior, tenemos que M(x, y) = ax + by; N(x, y) = cx + ; M = b x = c Además se verifica que Φ(z) = 1 x M xn ym = 1 c b x(cx + ) y(ax + by) = 1 c b cx by + (d a) xy Para que haya factor integrante dependiente de z = x + y suficiente que d = a b = c es condición necesaria y Entonces y el factor integrante viene dado por Φ(z) = 1 x + y µ(x + y ) = 5 Encuentre un factor integrante de la ecuación 1 x + y (4xy + 3y 4 ) + (x + 5xy 3 ) = 0 sabiendo que es de la forma µ(x, y) = x r y s con r, s N que se determinarán Solution 15 Sencillo 6 Encuentre un factor integrante para la ecuación ( y + x(x + y ) ) (y(x + y ) x) sabiendo que es una función de x + y Solution 16 Hecho en clase

12 7 Demostrar que un factor integrante de la ecuación viene dado por f(xy)y + F (xy)x = 0 µ(x, y) = 1 xy[f(xy) F (xy)] Con ayuda de este resultado reducir a la cuadratura la siguiente ecuación diferencial (x 3 y 3 + 1)y + (x y 1)x = 0 Solution 17 Hacer en clase 4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 1 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial con ω R d y + y = sin ωx Solution 18 La solución general de la ecuación diferencial viene dada por y(x) = y h (x) + y p (x) donde y h (x) = C 1 cos x + C sin x siendo C 1, C R Por otro lado la solución particular y p (x) viene dada por y p (x) = A sin ωx + B cos ωx con ω R y ω 1 Para determinar las constantes A y B tenemos que d y p = ( ω A sin ωx + ω B cos ωx ) y usando que obtenemos d y p + y p(x) = sin ωx (ω A sin ωx + ω B cos ωx) + (A sin ωx + B cos ωx) = sin ωx Luego A(1 ω ) = 1 B(1 ω ) = 0

13 y como ω 1 se tiene que Entonces cuando ω 1 En el caso que ω = 1 tenemos que y derivando obtenemos A = 1 1 ω, B = 0 y(x) = C 1 cos x + C sin x + 1 sin ωx 1 ω y p (x) = Bx sin x + Dx cos x p = A cos x + B sin x C sin x + D cos x + Bx cos x xd sin x d y p = B cos x C cos x A sin x D sin x Bx sin x xd cos x Por tanto d y p + y p(x) = B cos x D sin x = sin x luego D = 1/ y B = 0 En este caso y(x) = C 1 cos x + C sin x 1 x cos x Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial d 3 y y 3 d + y = xex Solution 19 La solución general viene dada por y(x) = C 1 cos x + C sin x + C 3 e x 1 xex 3 Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial d 3 y 3 + y = 1 + x e x Solution 0 La solución general viene dada por y(x) = C 1 e x + C e x/ sin ( 3 con constantes C 1, C y C 3 R x ) + C 3 e x/ cos ex 3 xex + 1 x e x ( 3 x ) + 4 Integrar el problema de valor inicial d 3 y 3 = x + sin x y(0) = 0, d y = 0, x=0 = 0 x=0

14 Solution 1 La solución general viene dada por y(x) = C 1 + C e x + C 3 e x + 1 cos x x Por otro lado usando las condiciones iniciales dadas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones que determina la solución siguiente C 1 + C + C 3 = 1/ C C 3 = 0 C 3 + C = 3/ y(x) = ex e x Integrar el problema de valor inicial cos x x d 3 y 3 = xex + e x y(0) = 0, d y = 0, x=0 = 0 x=0 Solution La solución general viene dada por y(x) = y h (x) + y p (x) donde y h (x) = C 1 + C e x + C 3 e x es la solución general de la ecuación homogénea y y p (x) = x(a + Bx)e x + Cxe x es la solución particular donde A, B y C son constantes a determinar Tenemos que y luego d 3 y p 3 d 3 y p 3 p = Aex + (A + B)xe x + Bx e x + Ce x Cxe x = (3A + 6B)ex + (A + 6B)xe x + Bx e x + 3Ce x Cxe x p = (A + 6B)ex + 4Bxe x + Ce x = xe x + e x A + 6B = 0 4B = 1 C = 1 cuya solución resulta A = 3, B = 1, C = 1 quedando la solución particular dada por 4 4 y p (x) = x ( ) x e x + 1 xe x

15 Para resolver el problema con condiciones iniciales usamos las dadas en el ejercicio para obtener el sistema de tres ecuaciones con incognitas C 1, C y C 3 Dejamos como ejercicio el comprobar dichas constantes valen C 1 =, C = 9/8, C 3 = 7/8 Por tanto la solución es y(x) = ex e x + x ( ) x e x + 1 xe x 6 Integrar el problema de valor inicial d 3 y + 3 y(0) = 0, = 3 + x + sin x + 4 cos x d y = 0, x=0 = 0 x=0 Solution 3 Comprobar que la solución es ( y(x) = 1 sin x cos x + x 3 + x ) e x x sin x x cos x 7 Integrar el problema de valor inicial d y 6 + 9y = xe3x Solution 4 Buscar una solución particular de la forma y p (x) = x (a + bx)e 3x Comprobar que la solución general es 8 Integrar el problema de valor inicial y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x x3 e 3x d y 6 + 9y = (3 + x)e3x Solution 5 Buscar una solución particular de la forma y p (x) = x (a + bx)e 3x Comprobar que la solución general es 9 Integrar el problema de valor inicial y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x x (9 + x)e 3x d y 6 + 9y = x3 e 3x Solution 6 Buscar una solución particular de la forma y p (x) = x (a+bx+cx + 3 )e 3x Comprobar que la solución general es y(x) = C 1 e 3x + C xe 3x x5 e 3x