ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una 2.1.

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1 Capítulo 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 2.. INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una variable dependiente: y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente x, así: f x, y(x),dy(x),d 2 y(x),...,d n y(x) = r(x) En donde Dy(x),D 2 y(x),...,d n y(x) son las derivadas de orden, 2,...,nde la función y(x). Por analogía con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general de la ecuación diferencial es una familia de curvas del plano que contiene n constantes arbitrarias, así: F (x, y, C,C 2,...,C n ) Son ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden superior, las siguientes:. y (x) xy(x) =0 2. a 2 y (t)+a y (t)+a 0 y(t) =f(t) 3. y (t)+4sin(y(t)) = 0 4. x 3 y (x)+αx 2 y (x)+βxy (x)+γy(x) =f(x) 5. x 2 y (x)+xy (x)+(x 2 γ 2 )y(x) =0 De las ecuaciones mostradas, la tercera es no lineal y el resto son lineales. La segunda ecuación es de coeficientes constantes y recibe el nombre de ecuación de oscilaciones. 35

2 36 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La primera ecuación es la ecuación de Airy. La cuarta es la ecuación diferencial de Euler 2 de tercer orden y la última es la ecuación diferencial de Bessel 3. Nuestro interés se concentrará en desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, particularmente las lineales. Primitiva de una ecuación diferencial En el capítulo se estableció que la primitiva de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de curvas del plano de la forma F (x, y, C) =0.Demanerasimilar,unafamilia de curvas del plano F (x, y, C,C 2,...,C n )=0,eslaprimitivadeunaecuacióndiferencialde orden n. La ecuación diferencial se obtiene derivando n veces y eliminando las constantes. Ejemplo: 2.. constantes reales. Considere la familia de curvas del plano 2xy a bx =0,con:a, b. Represente gráficamente los elementos correspondientes a: a) a =,b= b) a =3,b= 2. Encuentre la ecuación diferencial de la familia. 3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial. Solución:. La figura 2. muestra las dos curvas de la familia. 2. Tomando la primera derivada, resulta: Derivando de nuevo, se tiene: 2xy +2y b =0 2xy +2y =0 En consecuencia, la ecuación diferencial de la familia es: y + 2y x =0 George Biddell Airy (80-892): Astrónomo y matemático inglés, reconocido por numerosos aportes en la astronomía. La solución de la ecuación de Airy o ecuación de Stokes es solución de la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada dentro de un pozo potencial triangular y también para el movimiento unidimensional de una partícula cuántica afectada por una fuerza constante. 2 Remítase a la sección Remítase a la sección 5.6.5

3 2.. INTRODUCCIÓN 37 4 a =, b = a = 3, b = - -4 Figura 2.: Elementos de la familia de curvas del ejemplo La ecuación diferencial obtenida es de segundo orden pero se puede resolver mediante las técnicas desarrolladas en el capítulo anterior, así: Integrando se obtiene: y = p dp dx + 2p x =0 dp p + 2dx x =0 ln(p) =2ln(x) =ln(c ) px 2 = C Finalmente, regresando a la variable y e integrando, se obtiene que la solución general es: y = C x + C 2 Claramente se observa que la solución hallada es equivalente a la familia dada inicialmente. Ejemplo: 2.2. Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a la siguiente primitiva: y = C e x + C 2 e 2x + x Solución: Se deriva dos veces la expresión así: y = C e x 2C 2 e 2x + y = C e x +4C 2 e 2x

4 38 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La ecuación original y la correspondiente a la primera derivada conforman un sistema de dos ecuaciones con las incógnitas, así: e x e 2x C y x e x 2e 2x = y La solución del sistema se encuentra aplicando la regla de Cramer, así: y x e 2x e x y x y 2e 2x e x y C = e x e 2x ; C 2 = e x e 2x e x Al resolver los determinantes, resulta: 2e 2x Sustituyendo en la segunda derivada, resulta: C 2 C = e x (2y 2x + y ) C 2 = e 2x ( y + x y +) e x 2e 2x y =2y 2x + y +4( y + x y +) Simplificando, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden: y +3y +2y =2x +3 La solución del ejemplo sugiere que la primitiva dada es la solución general de la ecuacón diferencial. Son soluciones particulares de la ecuación diferencial aquellas que se obtienen al asignar valores particulares a las constantes arbitrarias. Las siguientes funciones son soluciones particulares de la ecuación diferencial: y = x, y = e x + x

5 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO OR- DEN Consideremos la primitiva dada en la ecuación (2.), en la que las funciones: y (x), y 2 (x) y y ss (x) son linealmente independientes en un intervalo I de los reales R. Derivando dos veces, se obtiene: y = C y (x)+c 2 y 2 (x)+y ss (x) (2.) y = C y + C 2 y2 + yss y = C y + C 2 y2 + yss Con la ecuación original y la primera derivada, resulta el sistema de ecuaciones: y y 2 C y yss y y2 = C 2 y yss Resolviendo el sistema, resulta: C = W (x) (y 2y y2y ss y 2 y + y 2 yss) C 2 = W (x) ( y y yy ss + y y y yss) Donde: W (x) = y y 2 y y2 es el determinante del sistema y recibe el nombre de Wronskiano de las funciones y, y 2.Veremosquesilasfuncionessonlinealmenteindependientesenun intervalo I, elwronskianoesdiferentedeceroenelintervalo. Sustituyendo los valores hallados en la segunda derivada, resulta: y = y W (x) (y 2y y2y ss y 2 y + y 2 yss)+y 2 W (x) ( y y yy ss + y y y yss)+y Simplificando la expresión anterior, se tiene: En donde r(x) se define como: y W (x) (y y 2 y 2 y )y + W (x) (y y 2 y 2y )y = r(x) r(x) =yp W (x) (y y 2 y 2 y )y ss + W (x) (y y 2 y 2y )y ss ss

6 40 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Finalmente, la ecuación diferencial se puede escribir en la forma: y + p(x)y + q(x)y = r(x) Donde: p(x) = y y 2 y y2 W (x), q(x) = y y2 y y2 W (x) Ejemplo: 2.3. Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a la primitiva: y = C x + C 2 e x + x 2 Solución: El Wronskiano de las funciones viene dado por: W (x) = x e x e x = e x (x +) En cuanto a p(x) y q(x), tenemos: x e x 0 e x p(x) = e x (x +) = x x +, q(x) = e x 0 e x e x (x +) = x + Por otro lado, el término independiente viene a ser: r(x) =2+ x x + 2x x + x2 = 2(x +)+2x2 x 2 x + = 2+2x + x2 x + En consecuencia, la ecuación diferencial es: y + Otra forma de escribir la ecuación diferencial es: x x + y x + y = x2 +2x +2 x + (x +)y + xy y = x 2 +2x Fórmula de Abel ApartirdelWronskianodelasfuncionesy y y 2 es posible encontrar una relación interesante entre el Wronskiano y el coeficiente de la primera derivada, así: W (x) =y y2 y 2 y W (x) =y y2 y 2 y

7 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 4 Con base en lo anterior, podemos escribir: p(x) = W (x) W (x) Se puede ver que es una ecuación diferencial de primer orden y variables separables así: Por tanto el Wronskiano viene dado por: dw (x) W (x) = p(x)dx W (x) =Ke p(x)dx (2.2) Donde K es una constante arbitaria. En efecto, para la ecuación diferencial obtenida en el ejemplo 2.3, se tiene: W (x) =Ke x x+ dx = Ke x+ln(x+) = K(x +)e x,dondek = Dependencia e independencia lineal Consideremos n funciones de variable real y,y 2,y 3...y n definidas en un intervalo I.Una combinación lineal de ellas viene dada por: y c = C y + C 2 y 2 + C 3 y C n y n Donde las constantes C,C 2,C 3...,C n de la combinación lineal son números reales. Se dice que las funciones son linealmente dependientes en el intervalo, si la combinación lineal se anula para alguna constante diferente de cero. De otro lado, si la combinación lineal se anula únicamente si todas las constante son iguales a cero, se dice que las funciones son linealmente independientes en el intervalo. Para determinar si un conjunto de funciones es linealmente dependiente o independiente en un intervalo I R,seprocedeasignandovaloresalavariableindependienteenlasiguiente identidad: C y (x)+c 2 y 2 (x)+ + C n y n (x) 0 Es pertinente aclarar que la identidad se convierte en una ecuación para cada uno de los valores asignados a la variable. Así las cosas, si asignamos los valores: x 2,x 2,...,x n,resulta un sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas: y (x ) y 2 (x ) y n (x ) y (x 2 ) y 2 (x 2 ) y n (x 2 ).... y (x n ) y 2 (x n ) y n (x n ) C C 2. C n 0 = 0. 0

8 42 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Con base en los conceptos de Álgebra Lineal, sí el determinante del sistema es cero el sistema tiene infinitas soluciones y en consecuencia las funciones son linealmente dependientes. Por otro lado, sí el determinante es diferente de cero, la solución del sistema es la trivial y, por tanto, las funciones son linealmente independientes. Muestre que el conjunto de funciones: {, x, x 2 } es linealmente indepen- Ejemplo: 2.4. diente en R. Solución: Efectuamos la combinación lineal: C +C 2 x+c 3 x 2 0 Acontinuaciónseasignan tres valores arbitrarios a la variable independiente, así:. x = C C 2 + C 3 =0 2. x = C + C 2 + C 3 =0 3. x =2 C +2C 2 +4C 3 =0 El determinante del sistema viene dado por: 2 4 =6 El resultado nos indica que las funciones son linealmente independientes Wronskiano El Wronskiano de un conjunto de n funciones {y,y 2,...,y n } calculado en el punto x 0 I se define como el determinante de la matriz cuya primera fila son las funciones evaluadas en el punto y las demás filas se obtienen por derivación sucesiva, así: W (x 0 )= y (x 0 ) y 2 (x 0 ) y n (x 0 ) y(x 0 ) y2(x 0 ) yn(x 0 ).... y n (x 0 ) y2 n (x 0 ) yn n (x 0 ) Es obvio que el Wronskiano estará definido en aquellos intervalos en los que tanto las funciones como sus primeras n derivadas están definidas. Ejemplo: 2.5. Determine el Wronskiano de las funciones: {x, e x } en R. Solución: Con base en la definición, resulta: W (x 0 )= x e x e x = e x (x +)

9 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 43 Teorema Consideremos un conjunto de funciones y,y 2,y 3...y n.silasfuncionessonlinealmentedependientes en un intervalo I, entoncessuwronskianoseanulaencadapuntodelintervalo. Prueba Por hipótesis, la combinación lineal de las funciones se anulará para, al menos, una constante diferente de cero. C y (x)+c 2 y 2 (x)+c 3 y 3 (x)+ + C n y n (x) 0 Por derivación sucesiva se obtiene el sistema homogéneo de ecuaciones: y (x 0 ) y 2 (x 0 ) y n (x 0 ) C 0 y(x 0 ) y2(x 0 ) yn(x 0 ).... C 2. = 0. y n (x 0 ) y2 n (x 0 ) yn n (x 0 ) C n 0 Aplicando la regla de Cramer, cada incógnita se encuentra como: C i = 0 W (x 0 ) Con base en lo anterior, sí alguna de las constantes es distinta de cero, el Wronskiano debe ser cero para todo x 0 en el intervalo. Como corolario se tiene que sí el Wronskiano es diferente de cero en al menos un punto del intervalo, entonces las funciones son linealmente independientes en el intervalo. Se debe tener especial cuidado con el intervalo en el que se pide determinar la dependencia o independencia lineal, sobre todo cuando las funciones están definidas por tramos en su dominio de definición. Ejemplo: 2.6. Muestre que las funciones:{2x 2, x x} son linealmente dependientes en (, 0) (0, ) ylinealmenteindependientesenr. Solución: Denotemos las funciones como: f(x) =2x 2 y g(x) =x x como la función definida por tramos: x 2,six<0 g(x) = x 2,six 0 En la figura 2.2, esfácilobservarladependencialinealenelintervalo(, 0) (0, ), yaque una es múltiplo de la otra. En el intervalo (, 0) tenemos: f(x)/g(x) = 2 yenelintervalo (0, ) tenemos: f(x)/g(x) =2. Si calculamos el Wronskiano de las funciones f(x),g(x) en

10 44 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR f(x)=2x 2 g(x)=x x Figura 2.2: Dependencia lineal de funciones del ejemplo 2.6 los intervalos (, 0) (0, ), probamossudependencialineal,veamos: W (x) = 2x2 x 2 4x 2x = 4x3 +4x 3 =0,para <x<0 W (x) = 2x2 x 2 4x 2x =4x3 4x 3 =0,para0 x< Por otro lado, para probar su dependencia lineal en R, lacombinaciónlinealdelasfunciones debe ser idénticamente cero, esto es: C x 2 + C 2 x x 0 Al signar valores diferentes (x = ±) paralavariableenlacombinaciónlineal,setiene: C 0 = 0 Puesto que: = 2 = 0,entonceselconjuntoesindependienteenR. C 2

11 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN Soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden De acuerdo con lo estudiado hasta el momento, la ecuación diferencial lineal de segundo orden presenta la forma general: y + p(x)y + q(x)y = r(x) En lo sucesivo adoptaremos el operador: D para la derivada, con lo que la ecuación queda en la forma: D 2 + p(x)d + q(x) y = r(x) La expresión que acompaña a la variable dependiente es un operador lineal de segundo orden ylodenotaremospor: L 2 (x, D)y = D 2 + p(x)d + q(x) Con base en lo anterior, una forma simplificada de denotar a una ecuación diferencial lineal de segundo orden es: L 2 (x, D)y = r(x) Para efectos de resolver la ecuación diferencial definiremos la homogénea asociada, así: y + p(x)y + q(x)y =0 Equivalentemente, la homogénea se escribe como: L 2 (x, D)y =0 Al principio de la sección se dedujo que la primitiva de una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una familia de curvas del plano de la forma: y = C y + C 2 y 2 + y ss Por analogía con lo estudiado para la ecuación diferencial lineal de primer orden, diremos que la solución general de la ecuación diferencial lineal de segundo orden consta de dos parte a saber: y = y c + y ss La primera parte de la solución general se denomina solución complementaria y corresponde aunacombinaciónlinealdedossolucioneslinealmenteindependientes.laotraesunasolución particular de la no homogénea, tal como se vislumbra del procedimiento desarrollado al principio de la sección. Si las funciones y,y 2 son soluciones particulares de la homogénea y son linealmente independientes en un intervalo I de los reales, entonces la solución general de la homogénea es una combinación lineal de las soluciones dadas, así: y c = C y + C 2 y 2 Se dice que el conjunto de funciones {y,y 2 } es un conjunto fundamental de soluciones (denotado como: CFS) enelintervaloi ysecaracterizaporqueelwronskianoesdiferentede cero en todos los puntos del intervalo, es decir:

12 46 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Teorema 2 Si las funciones y,y 2 son soluciones linealmente independientes de la homogénea y W (x) = 0 para todo x I, lasfuncionesformanunconjuntofundamentalylasolucióngeneraldela homogénea es su combinación lineal. Prueba Si y,y 2 son soluciones de la homogénea, entonces: L 2 (x, D)y 0 L 2 (x, D)y 2 0 Multiplicando cada identidad por una constante arbitraria, resulta: C L 2 (x, D)y 0 L 2 (x, D)C y 0 C 2 L 2 (x, D)y 2 0 L 2 (x, D)C y 2 0 Sumando las dos últimas identidades se sigue que: L 2 (x, D)[C y + C 2 y 2 ] 0 Con los mismos argumentos, si y ss es una solución particular de la no homogénea, la solución general de la no homogénea viene dada por: y = y c + y ss = C y + C 2 y 2 + y ss Problema de valor inicial de segundo orden Un problema de valor inicial lineal de segundo orden se formula mediante una ecuación diferencial lineal de segundo orden y dos condiciones iniciales, así: y + p(x)y + q(x)y = r(x), y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=p 0 Geométricamente, la solución del problema es la curva del plano que satisface la ecuación diferencial, pasa por el punto (x 0,y 0 ) ylapendientedelarectatangentealacurvaenel punto es: p 0.Lasolucióndelproblemadevalorinicialseobtieneapartirdelasolución general, así: y(x) =C y (x)+c 2 y 2 (x)+y ss (x) y (x) =C y (x)+c 2 y 2(x)+y ss(x) Evaluando en el punto (x 0,y 0 ) resulta el sistema de ecuaciones: y (x 0 ) y 2 (x 0 ) C y0 y y(x 0 ) y2(x = ss (x 0 ) 0 ) p 0 yss(x 0 ) C 2

13 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN Teorema de existencia y unicidad Por analogía con el caso del problema de valor inicial de primer orden, el de segundo orden tendrá solución única en aquellas regiones en las que p(x), q(x) y r(x) sean continuas. El intervalo de solución corresponde a la intersección de cada una de los intervalos individuales. Ejemplo: 2.7. Resuelva el problema de valor inicial siguiente, indicando el intervalos de validez y la representación gráfica. (x +)y + xy y = x 2 +2x +2, y() =, y () = Solución: Con base en el ejemplo 2.3, lasolucióngeneraldelaecuacióndiferenciales: y(x) =C x + C 2 e x + x 2 Es importante precisar que: p(x) = x, q(x) = x + x + y r(x) +2x +2 =x2 yque,en x + virtud del teorema, se garantiza solución en el intervalo (, ). Siseanalizalasolución general se observa que es válida para todos los reales, lo cual no constituye una violación al teorema ya que las condiciones son de suficiencia y no de necesidad. Continuando con la solución del problema de valor inicial, se tiene: e C 0 e = C 2 La solución del sistema es: C =, C 2 = e.36. Lasolucióndelproblemadevalor 2 2 inicial viene a ser: y(x) = 2 x + 2 e x+ + x 2 La gráfica se muestra en la figura Figura 2.3: Solución del P.V.I del ejemplo 2.7

14 48 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Reducción de orden Acontinuacióndesarrollaremosunprocedimientoquenospermitedeterminarlasolución general de una ecuación diferencial de primer orden a partir de una solución conocida de la homogénea asociada. Supongamos que y (x) es una solución conocida de la homogénea y que es posible determinar una función µ(x) de tal manera que la solución general de la no homogénea es: Derivando dos veces, resulta: y = y (x)µ(x) y = y µ + y µ Sustituyendo en la no homogénea, resulta: y = y µ +2y µ + y µ y µ +2y µ + y µ + p(x)[y µ + y µ]+q(x)y µ r(x) Reorganizando los términos de la anterior identidad, podemos escribir: y µ +[2y + y p(x)]µ +[y + p(x)y + q(x)y ]µ r(x) Puesto que y es solución de la homogénea, el tercer término de la izquierda es idénticamente cero, con lo que: y µ +[2y + y p(x)]µ = r(x) La ecuación obtenida para µ es de segundo orden, así: 2y µ + + p(x) µ = r(x) y y La ecuación diferencial es reducible a una de primer orden mediante el cambio de variable: µ = z, así: dz 2y dx + + p(x) z = r(x) y y Puesto que la ecuación diferencial es lineal, su factor integrante viene dado por: Φ(x) =y 2 e p(x)dx (2.3) Con el factor integrante hallado podemos escribir la solución para z, así: z = AΦ + Φ Φ r(x) dx y

15 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 49 Donde A es una constante arbitraria. Integrando de nuevo, se obtiene: µ(x) =B + A Φ dx + Φ Φ r(x) dxdx y De la última ecuación se sigue que, si y es una solución de la homogénea de una ecuación diferencial de segundo orden, entonces: y 2 = y Φdx (2.4) y ss = Φ Φ r(x) dxdx (2.5) y Ejemplo: 2.8. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente, sabiendo que y = x es una solución de la homogénea. x 2 y + xy y = x Solución: Con base en la ecuación, se tiene que: p(x) = x,portanto,elfactorintegrante es: Φ = ye 2 p(x)dx = x 2 e x dx = x 3 La segunda solución de la homogénea se puede escribir como: y 2 = x x 3 dx = 2 x El conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada es: {y,y 2 } = {x, x } La solución particular, teniendo en cuenta que: r(x) = x,vienedadapor: x y ss = x x 3 3 x x dxdx = 2 x ln(x) Solución de ejemplo 2.8 con Máxima: (%i) ode2(x^2* diff(y,x,2)+x* diff(y,x,)-y=x,y,x); Cuyo resultado es: ( %o2) y = 2xlog(x) x + %k2 x %k 4 2x Observe que la parte: x 4,delasoluciónparticularresulanteesL.Dconlasoluciónhomogénea: %k2 x, porlopuedeserescritacomounsolotérmino. Solución de ejemplo 2.8 con Matlab:

16 50 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR >> dsolve( x^2*d2y+x*dy-y=x, x ) ans = C9*x + x*(log(x)/2 + C8/(2*x^2)) Ejemplo: 2.9. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial siguiente sabiendo que y = x es una solución de la homogénea. (x +)y + xy y =0 Solución: Con base en la ecuación, se tiene que: p(x) = es: Φ = ye 2 p(x)dx = x 2 e Evaluando la integral y simplificando, resulta: Φ = x2 e x x + x x +,portanto,elfactorintegrante x x+ dx La segunda solución de la homogénea se puede escribir como: e x (x +) y 2 = x dx = e x x 2 Es un reto para el estudiante hacer la integral y verificar el resultado. Se sugiere partir la integral en dos integrales y aplicar el método de integración por partes. La solución general es: y c = C x + C 2 e x Otra manera de solucionar la ecuación diferencial consiste en asumir soluciones de la forma: e ax,detalformaquereemplazandoenlaecuacióndiferencialseobtiene: (x +)a 2 e ax + xae ax e ax =0 e ax (a 2 x + a 2 + ax ) = (a +)[xa + a ] = 0 De donde a = yporlotanto,unasoluciónes:y = e x De otro lado, si se asume que tiene soluciones de la forma: x m,entoncestenemos: (x +)m(m )x m 2 + xmx m x m =0 [m(m )x + m(m )x 2 + m ]x m =(m )[mx + mx 2 +]=0 De donde m =yportanto,laotrasoluciónes:y 2 = x Ejemplo: 2.0. Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial: (x 2 +2x)y +(x 2 2)y 2(x +)y =0

17 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 5 Solución: Primero que todo, suponemos que tiene soluciones de la forma: y = e ax,detal manera que reemplazando en la ecuación diferencial, nos queda: Reorganizando términos, tenemos: (x 2 +2x)a 2 e ax +(x 2 2)ae ax 2(x +)e ax =0 (a 2 + a)x 2 +(a 2 )2x 2(a +)=0 De donde se concluye que a =, portantounasolucióndelaecuacióndiferenciales: y = e x. Para determinar la otra solución, usamos reducción de orden, así: En este caso tenemos que: p(x) = x2 2 2(x +) y q(x) = x(x +2) x(x +2). Usando fracciones parciales, p(x), sepuedeescribircomo:p(x) = x. Con esto, el x +2 factor integrante es: Φ = e 2x e ( x x+2 )dx = e 2x e x x(x +2) = e x x(x +2) La segunda solución es: y 2 = e x x(x +2)e x dx = e x x 2 e x = x 2 Finalmente la solución general es: y = c e x + c 2 x 2

18 52 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJERCICIOS 2... Muestre que los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en el conjunto de los reales. a) {sin(x), cos(x)} b) {e x,e x } c) {x 2,e x } 2. Muestre que si f(x) es una función definida en el intervalo I R, enelconjuntode funciones: {f(x), xf(x)} es linealmente independiente en I. 3. Muestre que el conjunto de funciones: {, cos(2x), sin 2 (x)} es linealmente dependiente en los reales. 4. Muestre que el conjunto de funciones: {x 2,x x } no puede ser un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal de segundo orden. 5. Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a cada una de las siguientes primitivas: a) y = C e x + C 2 e 2x b) y = C e x + C 2 xe x c) y = C e x cos(x)+c 2 e x sin(x) d) y = C cos(x)+c 2 sin(x)+e x 6. Dada la ecuación diferencial: y +2αy + α 2 y =0 a) Muestre que y = e αx es una solución de la ecuación diferencial. b) Usando el método de reducción de orden, muestre que la otra solución es: y 2 = xe αx. 7. Dada la ecuación diferencial: x 2 y + xy 4y =3x a) Muestre que la parábola: y = x 2 es una solución de la homogénea asociada. b) Encuentre la otra solución de la homogénea. c) Encuentre la solución particular. d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuación diferencial dada y las siguientes condiciones iniciales: y() =, y () =. e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial. 8. Dada la ecuación diferencial: x 2 y + xy 2y =0 a) Muestre que la recta: y = x es una solución de la homogénea asociada. b) Encuentre la otra solución de la homogénea.

19 2.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN 53 c) Encuentre la solución particular. d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacióón diferencial dada y las siguientes condiciones iniciales: y(0) =, y (0) = 0. e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial. 9. Dada la ecuación diferencial: xy +2y xy = x a) Muestre que la recta: y = x e x es una solución de la homogénea asociada. b) Encuentre la otra solución de la homogénea. c) Encuentre la solución particular. d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacióón diferencial dada y las siguientes condiciones iniciales: y() =, y () =. e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial. 0. Dada la ecuación diferencial: xy +2y + xy = x a) Muestre que la recta: y = x sin(x) es una solución de la homogénea asociada. b) Encuentre la otra solución de la homogénea. c) Encuentre la solución particular. d) Resuelva el problema de valor inicial formado con la ecuacióón diferencial dada y las siguientes condiciones iniciales: y() =, y () =. e) Represente gráficamente la solución del problema de valor inicial.

20 54 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 2.3. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE COEFICIEN- TES CONSTANTES Una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes presenta la forma general: an D n + a n D n + + a D + a 0 y(x) =r(x) (2.6) La homogénea asociada a la ecuación diferencial es: an D n + a n D n + + a D + a 0 y(x) =0 (2.7) Por analogía con el caso de segundo orden, la solución general de la no homogénea viene dada por la suma de la solución complementaria y la solución particular, así: y = y c + y ss La solución complementaria es una combinación lineal de n funciones linealmente independientes en el conjunto de los reales, así: y c = C y + C 2 y C n y n (2.8) Es fácil verificar que la homogénea de la ecuación diferencial admite soluciones de tipo exponencial, es decir, soluciones de la forma: e λx,siendoλ un número complejo que es característico de la ecuación diferencial. En efecto, tomando las n derivadas de la función y sustituyendo idénticamente en la ecuación diferencial se obtiene una ecuación polinómica de grado n, conocida como ecuación característica de la ecuación diferencial, así: a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 =0 (2.9) Puesto que los coeficientes del polinomio característico son reales, el polinomio siempre se podrá expresar mediante factores lineales y cuadráticos. De lo anterior se infiere que las raíces complejas son conjugadas. La Ecuación Diferencial homogénea de segundo orden La ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden viene dada por: a2 D 2 + a D + a 0 y(x) =0 Una forma alternativa de escribir la ecuación diferencial es la siguiente: D 2 + pd + q y(x) =0 La ecuación característica de la ecuación diferencial es: λ 2 + pλ + q =0

21 2.3. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE COEFICIENTES CONSTANTES 55 Aplicando la fórmula general, las dos raíces de la ecuación característica son: λ, λ 2 = p ± p 2 4q 2 Pueden presentarse tres situaciones diferentes, a saber:. El discriminante: p 2 4q >0. En este caso las raíces de la ecuación son reales y diferentes y en consecuencia, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {y,y 2 } = {e λ x,e λ 2x } 2. El discriminante: p 2 4q =0. En este caso, las dos raíces son iguales, así: λ = λ 2 = p 2 = α yelconjuntofundamentaldesolucioneses: CFS = {y,y 2 } = CFS = {e αx, xe αx } 3. El discriminante: p 2 4q <0. En este caso las raíces son complejas conjugadas, así: λ, λ 2 = α ± jω. En donde la parte real viene dada por: α = p 4q p 2 ylaparteimaginaria:ω = 2. 2 Como puede verse, usaremos la letra: j para representar a la unidad de los números imaginarios, esto es: j =. El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {y,y 2 } = {e (α+jω)x, xe (α jω)x } El número complejo e jθ se puede expresar en su forma cartesiana mediante la identidad de Euler, como: e ±jθ =cos(θ) ± j sin(θ) (2.0) Así las cosas, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial es: CFS = {y,y 2 } = {e αx [cos(ωx)+j sin(ωx)],e αx [cos(ωx) j sin(ωx)]} Ahora bien, puede demostrarse que si el conjunto: {y,y 2 } es un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden, entonces, el conjunto: {a(y + y 2 ),b(y y 2 )} es también un conjunto fundamental de soluciones; con a, b constantes arbitrarias. Con base en lo anterior, un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial, en este caso, es: CFS = {y,y 2 } = {e αx cos(ωx),e αx sin(ωx)}

22 56 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Podemos concluir que para hallar el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden basta con encontrar los valores característicos y ubicarnos en uno de los tres casos posibles. Ejemplo: 2.. Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguiente ecuaciones diferenciales:. (D 2 +3D +2)y(x) =0 3. (D 2 +2D +2)y(x) =0 2. (D 2 +2D +)y(x) =0 Solución: 4. (D 2 +4)y(x) =0. La ecuación característica es: λ 2 +3λ +2 = 0.Lasraicesson:λ =, λ 2 = 2. El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e x,e 2x }. 2. La ecuación característica es: λ 2 +2λ + = 0.Lasraicesson:λ =, λ 2 =. El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e x, xe x }. 3. La ecuación característica es: λ 2 +2λ +2 = 0.Lasraicesson:λ, λ 2 = ± j. El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e x cos(x),e x sin(x)}. 4. La ecuación característica es: λ 2 +4=0.Lasraicesson:λ, λ 2 =0± j2. El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {cos(2x), sin(2x)}. Obsérvese que para hallar la ecuación característica basta con sustituir el operador D de la ecuación diferencial por la variable: λ. En general, para la ecuación de segundo orden, la ecuación característica es: a 2 λ 2 + a λ + a 0 =0 Generalización a la ecuación de orden n Para la ecuación diferencial homogénea (2.7) de orden n, escrita como: L n (D)y(x) =0 El polinomio característico viene dado por: L n (λ) =0. Dicho polinomio se puede expresar como factores lineales y cuadráticos, resultanto n raíces para la ecuación característica, en el plano de los complejos. El conjunto fundamental constará de n soluciones linealmente independientes en los reales y se determinan con base en la naturaleza de la ecuación característica. Para la ecuación de tercer orden, por ejemplo, el polinomio característico se puede expresar mediante un factor lineal y uno cuadrático, resultando las siguientes posibilidades:. Las tres raíces son reales y distintas: λ, λ 2, λ 3 En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e λ x,e λ 2x,e λ 3x }

23 2.3. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE COEFICIENTES CONSTANTES Las tres raíces son reales pero dos de ellas son iguales: λ = λ 2 = α, λ 3 En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e αx, xe αx,e λ 3x } 3. Las tres raíces son reales e iguales: λ = λ 2 = λ 3 = α En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e αx, xe αx,x 2 e αx } 4. De las tres raíces, una es real y las otras dos son complejas conjugadas: λ, λ 2,3 = α ± jω En este caso, el conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e λ x,e αx cos(ωx),e αx sin(ωx)} Un razonamiento similar se puede hacer para ecuaciones de orden superior al tercero. Los siguientes ejemplos servirán de guía en el proceso. Ejemplo: 2.2. Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:. (D 3 +4D 2 +4D)y(x) =0 2. (D 3 +2D 2 4D 4)y(x) =0 3. (D 3 +3D 2 +3D +)y(x) =0 4. (D 3 +8)y(x) =0 6. (D 4 6)y(x) =0 7. (D 4 +2D 3 +3D 2 +2D +2)y(x) =0 8. (D 4 +5D 2 +6)y(x) =0 9. (D 5 +4D 3 )y(x) =0 5. (D 4 +4D 2 +3)y(x) =0 0. (D 4 + D 2 +)y(x) =0 Solución: Se recomienda el uso de una calculadora o algún programa de cálculo para encontrar las raíces de la ecuación característica en aquellos casos en que no sea evidente la factorización.. La ecuación característica es: λ 3 +4λ 2 +4λ =0 λ(λ 2 +4λ +4)=0 λ(λ 2 +2)=0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {,e 2x, xe 2x } 2. La ecuación característica es: λ 3 +2λ 2 4λ 4=0 λ 2 (λ +) 4(λ +)=0 (λ 2 4)(λ +)=0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e 2x,e 2x,e x } 3. La ecuación característica es: λ 3 +3λ 2 +3λ +=0 (λ +) 3 =0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e x, xe x,x 2 e x } 4. La ecuación característica es: λ 3 +8=0 (λ +2)(λ 2 2λ +4)=0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e x,e x cos( 3 x),e x sin( 3 x)}

24 58 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5. La ecuación característica es: λ 4 +4λ 2 +3=0 (λ 2 +)(λ 2 +3)=0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {cos(x), sin(x), cos( 3 x), sin( 3 x)} 6. La ecuación característica es: λ 4 6 = 0 (λ 2 4)(λ 2 +4)=0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e 2x,e 2x, cos(2x), sin(2x)} 7. La ecuación característica es: λ 4 +2λ 3 +3λ 2 +2λ +2=0. Con ayuda de Máxima: (%i) factor(l^4+2*l^3+3*l^2+2*l+2=0); ( %o) (l 2 + )(l 2 + 2l + 2) =0 De donde: (λ 2 +)(λ 2 +2λ +2)=0. El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {cos(x), sin(x),e x cos(x),e x sin(x)} 8. La ecuación característica es: λ 4 +5λ 2 +6=0. Con ayuda de Máxima: (%i) factor(l^4+5*l^2+6=0); ( %o) (l 2 + 2)(l 2 + 3) =0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {cos( 2 x), sin( 2 x), cos( 3 x), sin( 3 x)} 9. La ecuación característica es: λ 5 +4λ 3 =0 λ 3 (λ 2 +4)=0El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {, x, x 2, cos(2x), sin(2x)} 0. La ecuación característica es: λ 4 + λ 2 +=0. Con ayuda de Máxima: (%i) factor(l^4+l^2+=0); ( %o) (l 2 l + )(l 2 + l + ) =0 El conjunto fundamental de soluciones es: CFS = {e x 2 cos( 3 x/2),e x 2 sin( 3 x/2),e x 2 cos( 3 x/2),e x 2 sin( 3 x/2)} Hasta el momento se ha desarrollado el método para encontrar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial de cualquier orden, quedando pendiente, para la próxima sección, los diferentes métodos para determinar la solución particular.

25 2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 59 EJERCICIOS 2.2. Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:. (D 3 +4D 2 +3D)y(x) =0 2. (D 4 + D 3 4D 2 4D)y(x) =0 3. (D 3 +2D 2 +2D +)y(x) =0 4. (D 4 +8D)y(x) =0 5. (D 4 4D 2 +3)y(x) =0 6. (D 4 +4)y(x) =0 7. (D 4 +2D 3 + D 2 2D 2)y(x) =0 8. (D 4 5D 2 +6)y(x) =0 9. (D 5 +8D 2 )y(x) =0 0. (D 4 +2D 2 +)y(x) = SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUA- CIÓN DIFERENCIAL LINEAL Hemos visto que la forma general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes es la siguiente: (a n D n + a n D n + + a D + a 0 )y(x) =f(x) Haciendo uso del operador, se tiene: L n (D)y(x) =f(x) Para determinar la solución particular de la ecuación diferencial desarrollaremos diferentes métodos, a saber: Método reducción de orden Tal como su nombre lo indica, el método consiste en reducir el orden de la ecuación diferencial, así: Sí m es una raíz del polinomio L n (D), setieneque: L n (D) =L n (D)[D m ] Con base en lo anterior, la ecuación diferencial queda en la forma: L n (D)[D m ]y(x) =f(x) Se hace el cambio de variable: µ (x) =[D m ]y(x), laecuacióndiferencialresultanteesde orden: n, así: L n µ (x) =f(x)

26 60 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Supongamos que m 2 es una raíz del polinomio L n (D). Podemosentoncesexpresarlaecuación diferencial en la forma: L n 2 (D)[D m 2 ]µ (x) =f(x) De nuevo hacemos otro cambio de variable, así: µ 2 (x) =[D m 2 ]µ (x). Procediendo sucesivamente, resulta un sistema de n ecuaciones de primer orden. Particularmente, si la ecuación diferencial es de segundo orden, el procedimiento esbozado nos conduce a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, así: Dada la ecuación diferencial: Normalizando la ecuación diferencial, se tiene: (a 2 D 2 + a D + a 0 )y(x) =f(x) (D 2 + pd + q)y(x) =r(x) El procedimiento consiste en factorizar el polinomio, así: (D m 2 )(D m )y(x) =r(x) Hacemos el cambio de variable µ (x) =(D m )y(x), resultaelsistemadeecuacionesde primer orden: (D m )y(x) =µ (x) (D m 2 )µ (x) =r(x) Primero se resuelve la segunda ecuación y el resultado se sustituye en la primera. Ejemplo: 2.3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial: (D 2 )y(x) =x Solución: Por simple inspección, la solución complementaria de la ecuación diferencial viene dada por: y c = C e x + C 2 e x Haciendo uso del método de reducción de orden, se tiene: (D +)(D )y(x) =x

27 2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 6 El sistema de ecuaciones asociado a la ecuación dada es: (D )y(x) =µ (x) (D +)µ (x) =x Para la segunda ecuación diferencial y con base en lo estudiado en el capítulo, elfactor integrante viene dado por: Φ = e x. En consecuencia, se tiene que: e x µ = C + xe x dx Resolviendo la integral, se encuentra que: µ = C e x + x La primera de las ecuaciones se puede escribir como: (D )y(x) =C e x + x Para la nueva ecuación, el factor integrante es: Φ = e x y, por tanto, se tiene: e x y(x) =C 2 + e x (C e x + x )dx Resolviendo la integral indicada, resulta: y(x) =C 2 e x 2 C e x x Realmente hemos encontrado una solución general de la ecuación diferencial. En particular, si las constantes se hacen iguales a cero, obtenemos la solución particular: y ss = x. Finalmente, la solución general se puede escribir como: y(x) =C e x + C 2 e x x En el proceso de determinar la solución particular, las constantes de integración se pueden hacer directamente iguales a cero, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: 2.4. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial: (D 2 )y(x) =2sin(x) Solución: Por simple inspección, la solución complementaria de la ecuación diferencial viene dada por: y c = C e x + C 2 e x

28 62 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En cuanto a la solución particular, el sistema de ecuaciones asociado al aplicar el método, es el siguiente: (D )y(x) =µ (x) (D +)µ (x) =2sin(x) Para la segunda ecuación diferencial y con base en lo estudiado en el primer capítulo, el factor integrante viene dado por: Φ = e x. En consecuencia, se tiene que: e x µ = C + 2e x sin(x)dx Resolviendo la integral, se encuentra que: Si hacemos la constante igual a cero, resulta: La primera ecuación queda en la forma: µ = C e x +sin(x) cos(x) µ =sin(x) cos(x) (D )y(x) =sin(x) cos(x) Prescindiendo de la constante, la solución particular viene dada por: y ss = e x e x (sin(x) cos(x))dx = sin(x) Finalmente, la solución general viene dada por: y c = C e x + C 2 e x sin(x) De hecho, la aplicación del método requiere de la evaluación de tantas integrales como sea el orden de la ecuación diferencial. Como puede verse, el método desarrollado es bastante laborioso y no es muy usado en la práctica. En su defecto usaremos otros métodos que no impliquen necesariamente el desarrollo de integrales Método de los coeficientes indeterminados Consideremos la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes: L n (D)y(x) =f(x)

29 2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 63 Supongamos que la función f(x) presenta un número finito de derivadas y que la función con sus derivadas conforman un conjunto de m funciones linealmente independientes; así: {f,f 2,...,f m } En primer lugar supondremos que el conjunto de funciones obtenido a partir de f(x) es linealmente independiente con el conjunto solución de la homogénea. En tal caso, la solución particular es una combinación lineal del conjunto de funciones generado por f(x), esto es,la solución particular es de la forma: y ss = A f + A 2 f A m f m Los coeficientes de la combinación lineal se determinan sustituyéndola idénticamente en la ecuación diferencial, así: L n (y ss ) f(x) Cuando el conjunto de funciones generado {f,f 2,...,f m } por el término independiente f(x) es linealmente dependiente con la solución complementaria, es necesario independizarlo, lo que se logra multiplicando cada elemento del conjunto por la menor potencia de la variable independiente: x m,siendom =, 2, 3,...Deestamaneralasoluciónparticularquedadela forma: y ss = x m (A f + A 2 f A m f m ) Es bueno precisar que el método es aplicable únicamente cuando f(x) presenta la forma general: cos(bx) f(x) =x m e ax con m 0 sin(bx) Ejemplo: 2.5. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial: (D 2 )y(x) =x Solución: Por simple inspección, el conjunto fundamental de soluciones de la homogénea es: CFS = {e x,e x } Apartirdeltérminoindependiente:f(x) =x por derivación sucesiva, resulta el conjunto de funciones: {x, } que, evidentemente, es un conjunto de funciones linealmente independiente con la solución complementaria. En consecuencia, la solución particular viene dada por: Tomando las dos primeras derivadas, se tiene: y ss = A x + A 2 Dy ss = A, D 2 y ss =0

30 64 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta: 0 (A x + A 2 ) x Apartirdelaidentidadesclaroque:A =,A 2 =0. En consecuencia, la solución particular es: y ss = x Observe que el resultado coincide con el obtenido previamente. Ejemplo: 2.6. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial: (D 2 +3D +2)y(x) =sin(x) Solución: El conjunto fundamental de soluciones viene dada por: CFS = {e x,e 2x } Apartirdeltérminoindependiente:f(x) =sin(x) por derivación sucesiva, resulta el conjunto de funciones: {sin(x), cos(x)}. En consecuencia, la solución particular es de la forma: y ss = A sin(x)+a 2 cos(x) Puesto que el conjunto encontrado es linealmente independiente con la homogénea, se procede asustituiridénticamenteenlaecuacióndiferencial,así: Resolviendo las derivadas indicadas, resulta: (D 2 +3D +2)[A sin(x)+a 2 cos(x)] sin(x) A ( sin(x)+3cos(x)+2sin(x)) + A 2 ( cos(x) 3sin(x)+2cos(x)) sin(x) Simplificando la expresión, se tiene: A (sin(x)+3cos(x)) + A2 ( 3sin(x)+cos(x)) sin(x) Se obtiene el sistema de ecuaciones: A 3A 2 = 3A + A 2 =0 Resolviendo el sistema, obtenemos la solución particular: y ss = 0 sin(x) 3 0 cos(x) Lo más engorroso del procedimiento es el cálculo de las constantes, sobre todo cuando la ecuación diferencial es de orden superior al segundo.

31 2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 65 Ejemplo: 2.7. Encuentre la forma adecuada para la solución particular de la ecuación diferencial: (D 3 + D)y(x) =x 2 e x Solución: Por simple inspección, el conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada es: CFS = {, cos(x), sin(x)} Apartirdeltérminoindependiente:f(x) = x 2 e x por derivación sucesiva, encontramos el conjunto de funciones: {x 2 e x, xe x,e x }. En consecuencia, una forma adecuada para la solución particular es: y ss = A x 2 e x + A 2 xe x + A 3 e x Solución de ejemplo 2.7 con Máxima: (%i) ode2( diff(y,x,3)+ diff(y,x,)=x^2*exp(x),y,x); msg (%o) false En este caso Máxima no puede solucionar la ecuación diferencial debido a que el comando ode2 sólo admite ecuaciones de primer y segundo orden. Sin embargo, podemos usar el comando alternativo: desolve que resuelve una ecuación diferencial de orden superior mediante la transformada de Laplace 4 en función de las condiciones iniciales. (%i) desolve( diff(y(x),x,3)+ diff(y(x),x,)=x^2*%e^x,y(x)); Cuyo resultado es: (%o) d cos (x) 2 2 y (x) dx + y (x) = 2 x=0 2 + sin (x) 2 d y (x) dx x=0 2 + x2 e x 2 2xe x + 5ex 2 + y (0) 2 dx y (x) 2 + d2 Como se puede ver, en el resultado aparecen términos que dependen de las condiciones iniciales, estos son términos de la solución homogénea y los demás pertenecen a la solución particular. De aquí se tiene que: A = 2, A 2 = 2 y A 3 = Remítase al capítulo 4 x=0

32 66 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Solución de ejemplo 2.7 con Matlab: >> y=dsolve( D3y+Dy=x^2*exp(x), x );pretty(y) / exp(x) sin(x) 5 exp(x) cos(x) C3 cos(x) - cos(x) C2 cos(x) + \ \ x exp(x) cos(x) x exp(x) sin(x) 2 x exp(x) cos(x) - x exp(x) sin(x) / / exp(x) cos(x) 5 exp(x) sin(x) + C4 sin(x) + sin(x) C2 sin(x) - \ \ x exp(x) cos(x) x exp(x) sin(x) x exp(x) cos(x) - 2 x exp(x) sin(x) / La solución que entrega Matlab es equivalente a la hallada mediante el procedimiento analítico, para simplificarla y observarla mejor, podemos usar: >> simplify(y) ans = (5*exp(x))/2 - C2 + (x^2*exp(x))/2 + C3*cos(x) + C4*sin(x) - 2*x*exp(x) Se puede ver que es la misma solución entregada por Máxima. Ejemplo: 2.8. Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial: (D 2 +3D +2)y(x) =x 2 e x Solución: El conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada es: CFS = {e x,e 2x } Apartirdeltérminoindependienteresultaelconjuntodefunciones:{x 2 e x, xe x,e x }. Como puede verse, el conjunto hallado es linealmente dependiente con la complementaria y, por tanto, es necesario multiplicar cada elemento por: x. Así las cosas, la solución particular es de la forma: y ss = x A x 2 e x + A 2 xe x + A 3 e x

33 2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 67 Se omitirá el procedimiento para calcular las constantes, pero el estudiante puede verificar que la solución particular viene dada por: y ss = e x 3 x 3 3x 2 +6x Solución de ejemplo 2.8 con Máxima: (%i) ode2( diff(y,x,2)+3* diff(y,x)+2*y=x^2*exp(-x),y,x); (%o) y = (x3 3x 2 +6x 6) e x 3 +%k e x +%k2 e 2x Solución de ejemplo 2.8 con Matlab: >> y=dsolve( D2y+3*Dy+2*y=x^2*exp(-x), x );pretty(y) 3 2 x x - 2 x + 2 C2 C exp(x) exp(x) exp(x) exp(2 x) Ejemplo: 2.9. Encuentre una forma adecuada para la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: (D 3 +4D)y(x) =2sin(2x)+5cos(2x) Solución: El CFS de la homogénea asociada es: CFS = {, cos(2x), sin(2x)} Apartirdeltérminoindependienteresultaelconjunto:{sin(2x), cos(2x)} Puesto que, evidentemente, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la solución particular es: y ss = x [A cos(2x)+a 2 sin(2x)] No se calculan las constantes ya que nos piden únicamente la forma de la solución. Ejemplo: Encuentre una forma adecuada para la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: (D 3 +4D 2 )y(x) =x 3 +6x +4 Solución: El CFS de la homogénea asociada es: CFS = {, x, e 4x }

34 68 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Apartirdeltérminoindependienteresultaelconjunto:{x 3,x 2,x} Puesto que, evidentemente, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la solución particular es: y ss = x 2 A x 3 + A 2 x 2 + A 3 x + A 4 Solución de ejemplo 2.20 con Máxima: (%i) expand(desolve( diff(y(x),x,3)+4* diff(y(x),x,2)=x^3+6*x+4,y(x))); (%o) d y(x) = e 4x 2 dx 2 y(x) x=0 + x d 2 dx 2 y(x) x= e 4x + x5 x x x2 77 x y(0) Solución de ejemplo 2.20 con Matlab: d 2 dx 2 y(x) x=0 6 + x d dx y(x) x=0 >> y=dsolve( D3y+4*D2y=x^3+6*x+4, x );pretty(y) C5 77 x 7 x x x / C5 77 \ C C x \ 4 52 / exp(4 x) 2048 Los términos de la solución particular que son linealmente dependientes, entregados por el software, son absorvidos por la solución complementaria, quedando como la solución propuesta, con: A =,A 80 2 =,A 64 3 = 7,A 64 4 = Principio de superposición Consideremos la ecuación diferencial: L n (D)y(x) =f (x)+f 2 (x). Si los términos f,f 2 son de naturaleza diferente, esto es, sí ninguna de ellas se puede obtener por derivación de la otra, la solución particular de la ecuación diferencial viene dada por: y ss = y ss + y ss2 Donde y ss es la solución particular de la ecuación diferencial: L n (D)y(x) =f (x) y y ss2 es la solución particular de la ecuación diferencial: L n (D)y(x) =f 2 (x). Ejemplo: 2.2. Encuentre una forma adecuada para la solución particular de la siguiente ecuación diferencial: (D 3 +4D 2 )y(x) =x 3 +6e 4x Solución: El CFS de la homogénea asociada es: CFS = {, x, e 4x }

35 2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 69 Apartirdelprimertérminoindependientex 3,resultaelconjunto:{x 3,x 2, }. Puesto que, evidentemente, existe dependencia lineal, la forma adecuada para la solución particular es: y ss = x 2 A x 3 + A 2 x 2 + A 3 x + A 4 En cuanto al segundo término 6e 4x,tambiénpordependencialineal,resulta: y ss2 = x A 5 e 4x En consecuencia, por el principio de superposición, la solución particular es: y ss = x 2 A x 3 + A 2 x 2 + A 3 x + A 4 + A5 xe 4x Método del operador inverso El método del operador inverso no goza de mucha popularidad en el gremio de los matemáticos puros pero, para los ingenieros, que son los principales destinatarios de esta obra, se constituye en una poderosa herramienta en el análisis de los sistemas propios de la ingeniería. Consideremos la ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes: L n (D)y(x) =f(x) La solución particular de la ecuación diferencial la simbolizaremos como: y ss = L n (D) f(x) Particularmente, el operador operando sobre una funci ón f(x) debe interpretarse como D una antiderivada de la función, así: D f(x) = f(x)dx De manera similar, el operador D f(x) con k =, 2, 3 k...5 debe interpretarse como: D f(x) = k D k D f(x) = f(x)dx = f(x)dxdx = f(x)dx dx D k D k 2 k veces 5 Cuando k no es un entero, se habla de derivadas o integrales fraccionales y se tiene la definición matemática: D p f(x) = x Γ(p) 0 (x t)p f(t)dt conocida como integral de Riemann-Liouville, y aunque se le ha asignado significado geométrico y físico [2], aún no tiene aplicaciones en problemas de ingeniería.

36 70 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La ecuación diferencial de primer orden. Consideremos la ecuación diferencial: (D m)y(x) =f(x) Al aplicar la técnica desarrollada en el primer capítulo, la solución general de la ecuación diferencial viene dada por: y = c e mx + e mx e mx f(x)dx Evidentemente el segundo término corresponde a la solución particular, esto es: y ss = f(x) =emx e mx f(x)dx D m Podemos, en consecuencia, decir que la interpretación del operador función f(x) es la siguiente: f(x) =emx D m D m operando sobre la e mx f(x)dx (2.) El resultado obtenido es de capital importancia ya que presenta propiedades que nos permitirán simplificar el procedimiento para hallar la solución particular. Ejemplo: Encuentre una solución particular para la ecuación diferencial: (D 2)y(x) =sin(x) Solución: Con base en lo planteado, la solución particular es: y ss = sin(x) =e2x e 2x sin(x)dx D 2 Efectuando la integral, resulta: y ss = 5 cos(x) 2 5 sin(x) De manera similar, podemos encontrar la interpretación del operador: entero, así: (D m) f(x) = k (D m) k D m f(x) = e mx (D m) k (D m) k,conk e mx f(x)dx

37 2.4. SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL 7 En particular, para k =2: (D m) f(x) = 2 D m e mx e mx f(x)dx = e mx e mx f(x)dxdx Ejemplo: Encuentre la solución particular de la ecuación diferencial: (D 2 +4D +4)y(x) =e 2x Solución: Con base en lo planteado, se tiene: y ss = (D +2) 2 e 2x = e 2x e 2x e 2x dxdx = 2 x2 e 2x Términos independientes exponenciales Consideremos la ecuación diferencial: La solución particular viene dada por: (D m)y(x) =e ax y ss = Aplicando el método desarrollado, se tiene: y ss = e mx Puede concluirse que: e mx e ax dx = e mx D m eax e (a m)x mx e(a m)x dx = e a m = a m eax con a = m D m eax = a m eax con a = m (2.2) Analizando la expresión 2.2 vemos que operar sobre la función exponencial equivale a reemplazar el operador D por el argumento a de la función exponencial, siempre y cuando dicho argumento sea diferente de m. Supongamos ahora que a = m, entalcaso,resultaque: D a eax = e ax e ax e ax dx = xe ax Ahora bien, supongamos que la ecuación diferencial es de orden n, así: L n (D)y(x) =e ax