Ecuaciones diferenciales para ingenieros. Agustín E. González Morales ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIEROS

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIEROS 1

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3 ÍNDICE TEMA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 1. DEFINICIONES 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN HAZ DE CURVAS PLANAS 3. HAZ INTEGRAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN 4. IMAGEN GEOMÉTRICA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. POLÍGONOS DE EULER 5. CURVAS ISOCLINAS 6. MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS DE PICARD TEMA 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARADAS. ECUACIONES HOMOGÉNEAS 1. ECUACIONES INTEGRABLES ELEMENTALMENTE 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARADAS 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGÉNEAS 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS TEMA 3. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN DIFERENCIALES EXACTAS. FACTOR INTEGRANTE 1. INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN DIFERENCIALES EXACTAS 2. FACTOR INTEGRANTE a) μ sólo depende sólo de x. O sea, μ = μ(x) b) μ sólo depende sólo de y. O sea, μ = μ(y) c) μ es una función de (x + y). O sea, μ = μ(x + y) d) μ es una función de (y/x). O sea, μ = μ(y/x) e) μ es una función de (x y). O sea, μ = μ(x y) f) Otros factores integrantes 3. MULTIPLICIDAD DE FACTORES INTEGRANTES 4. DESCOMPOSICIÓN EN SUMA DE DIFERENCIALES EXACTAS TEMA 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN LINEALES, DE BERNOUILLI Y DE RICCATI 1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN LINEAL 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN LINEAL 4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOUILLI 5. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI a) Se conoce una solución particular y 1 (x) b) Se conocen dos soluciones particulares y 1 (x) e y 2 (x) c) Se conocen tres soluciones particulares y 1 (x), y 2 (x) ey 3 (x) TEMA 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN NO LINEALES EN y 1. ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES EN y 2. ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES EN y O EN x a) Ecuación resoluble en y b) Ecuación resoluble en x 3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAGRANGE 4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT 3

4 TEMA 6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO 1. GÉNESIS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. FAMILIAS DE CURVAS CON DOS PARÁMETROS 2. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EQUIVALENTE A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN: MÉTODO DE PICARD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN n: SISTEMA EQUIVALENTE 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CUYO ORDEN PUEDE REBAJARSE a) Ecuaciones en las que falta la y b) Ecuaciones en las que falta la x c) Ecuaciones en las que falta la y y la x d) Ecuaciones de la forma y (n) = f(y (n 2) ) 5. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS EN y, y, y (n) TEMA 7. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n 1. PROPIEDADES GENERALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n. 2. PROPIEDADES DEL OPERADOR PRIMER MIEMBRO P(D) 3. COMBINACIÓN LINEAL DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN INCOMPLETA 4. CONDICIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL 5. EXPRESIÓN DE LA INTEGRAL GENERAL 6. MÉTODO DE VARIACIÓN DE LAS CONSTANTES 7. DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN MEDIANTE CONDICIONES INICIALES 8. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE VARIACIÓN DE LAS CONSTANTES CUANDO SE CONOCE UN NÚMERO INSUFICIENTE DE INTEGRALES PARTICULARES DE LA ECUACIÓN INCOMPLETA 9. FÓRMULA DE LIOUVILLE TEMA 8. MÉTODOS CLÁSICOS DE INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES a) Por cada α, raíz real simple b) Por cada α, raíz real múltiple con grado de multiplicidad k c) Por cada α = p ± qq, raíz compleja simple d) Por cada α = p ± qq, raíz compleja múltiple con grado de multiplicidad k 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL COMPLETA DE COEFICIENTES CONSTANTES a) F(x) = ae αα b) F(x) = a cos ββ + b sen ββ c) Si F(x) es un polinomio f(x) de exponentes naturales en x, incluido F(x) constante d) Si F(x) es una suma de funciones de los tipos a), b) y c), una solución particular es la suma de las integrales particulares correspondientes a cada sumando 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER a) Ecuación homogénea b) Ecuación completa TEMA 9. MÉTODOS FUNDADOS EN EL MANEJO ALGEBRAICO DEL OPERADOR D 1. GENERALIDADES. PROPIEDAD ASOCIATIVA Y CONMUTATIVA DE LOS OPERADORES P(D) DE COEFICIENTES CONSTANTES. PERMUTACIÓN DE P(D) CON EL FACTOR EXPONENCIAL e rr 2. INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES 3. INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMPLETAS DE COEFICIENTES CONSTANTES CUYO SEGUNDO MIEMBRO ES EL PRODUCTO DE UN POLINOMIO DE GRADO k POR e rr 4

5 4. INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMPLETAS DE COEFICIENTES CONSTANTES EN EL CASO GENERAL Método de las integraciones sucesivas Método de descomposición en fracciones simples TEMA 10. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE COEFICIENTES PERIÓDICOS 1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN LINEAL HOMOGÉNEA DE COEFICIENTES PERIÓDICOS. SOLUCIONES PERIÓDICAMENTE PROGRESIVAS: FACTORES CARACTERÍSTICOS 2. ESTUDIO CUALITATIVO DE LAS SOLUCIONES: ESTABILIDAD 3. GENERALIZACIÓN A ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN n LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES PERIÓDICOS 4. INVARIANZA Y FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN LINEALES DE COEFICIENTES PERIÓDICOS SIN LA DERIVADA PRIMERA TEMA 11. INTEGRACIÓN POR SERIES. FUNCIONES DE HERMITE, LEGENDRE Y BESSEL 1. SOLUCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS 2. APLICACIÓN A LA ECUACIÓN DE HERMITE DE LA SOLUCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS 3. PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES. MÉTODO DE FRÖBENIUS 4. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE FRÖBENIUS A LA ECUACIÓN DE LEGENDRE 5. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE FRÖBENIUS A LA ECUACIÓN DE BESSEL. FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA Y SEGUNDA ESPECIE TEMA 12. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. GENERALIDADES. SISTEMAS LINEALES 1. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES QUE SATISFACE UNA CONGRUENCIA DE CURVAS 2. INTEGRACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. REDUCCIÓN A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL POR ELIMINACIÓN. GENERALIZACIÓN A MÁS DE DOS FUNCIONES. INTEGRAL PRIMERA. GENERALIZACIÓN A SISTEMAS DE DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3. INTEGRACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES 4. INTEGRACIÓN DIRECTA DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 5. INTEGRACIÓN DIRECTA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN POR EL MÉTODO DE VARIACIÓN DE LAS CONSTANTES TEMA 13. LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE 1. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA Y LA GENERATRIZ DE LAPLACE. PROPIEDADES 2. TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Y UNA INTEGRAL Transformada de k e aa para s > a Transformada de k e aa para s > a Transformada de e aa sen ωω y e aa cos ωω Transformada de sen (ωω + φ) y cos (ωω + φ) Transformada de x n para n + 1 > 0 y s > 0 Transformada de una derivada Transformada de una integral 3. APLICACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 5

6 4. APLICACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 5. CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES. PRODUCTO DE TRANSFORMADAS Propiedades de la convolución Convolución con la función Delta de Dirac δ(x a) TEMA 14. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN LINEALES 1. GÉNESIS DE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN LINEALES: GENERACIÓN DE SUPERFICIES. ECUACIÓN FUNCIONAL 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN LINEAL DE UNA FAMILIA DE SUPERFICIES OBTENIDA DERIVANDO UNA FUNCIÓN ARBITRARIA 3. INTEGRACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN LINEAL. GENERALIZACIÓN A MÁS DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES TEMA 15. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN NO LINEALES 1. CONDICIÓN DE INTEGRABILIDAD E INTEGRACIÓN DE X(x, y, z) + Y(x, y, z) + Z(x, y, z) = 0. INTEGRACIÓN DE = X(x, y, z) + Y(x, y, z) 2. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES OBTENIDAS POR ELIMINACIÓN DE CONSTANTES ARBITRARIAS. MÉTODO DE LAGRANGE-CHARPIT PARA OBTENER UNA INTEGRAL COMPLETA 3. INTEGRAL GENERAL, COMPLETA Y SINGULAR. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA TEMA 16. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO 1. GÉNESIS DE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO 2. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO. EL OPERADOR Φ D x, D y. PROPIEDADES 3. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES Solución general de las ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas de coeficientes constantes reducibles Soluciones particulares de las ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas de coeficientes constantes irreducibles Solución de la ecuación a D x 2 + b D y 2 + c D x + d D y + f z = 0. Método de separación de variables 4. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES COMPLETAS DE COEFICIENTES CONSTANTES Ecuaciones en derivadas parciales lineales completas con el primer miembro reducible Ecuaciones en derivadas parciales lineales completas con el primer miembro irreducible a) F(x, y) = Ke αα+ββ b) F(x, y) = A cos (αα + ββ) + B sen (αα + ββ) c) Si F(x, y) es un polinomio de exponentes naturales en x, y d) Si F(x, y) = x m y n e αα+ββ e) Si F(x, y) es una suma de funciones de los tipos a), b), c) y d) una solución particular es la suma de las integrales particulares correspondientes a cada sumando 5. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES LINEALES COMPLETAS DE COEFICIENTES VARIABLES Ecuación en derivadas parciales lineal completa análoga a la de Euler Casos simplificados de la ecuación en derivadas parciales lineal completa de segundo orden con dos variables independientes a) Ecuaciones cuyo orden puede rebajarse b) Ecuaciones con derivadas respecto de una sola variable Reducción a los tipos canónicos de la ecuación en derivadas parciales lineal completa de segundo orden con dos variables independientes 6

7 I) Tipo hiperbólico, si S 2 4RR > 0 II) Tipo elíptico, si S 2 4RR < 0 III) Tipo parabólico, si S 2 4RR = 0 7

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9 1. DEFINICIONES TEMA 1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Toda relación de la forma f x, y,, d2 y dx 2,, dn y dx n = 0 se llama ecuación diferencial ordinaria de orden n. No hay que confundir el orden, que es el de la derivada de mayor orden, con el grado, definido sólo cuando f es un polinomio algebraico; en este caso, el grado es el de este polinomio, tanto en la función como en sus derivadas (para establecer el grado no importa la forma en la que aparezca la variable x). Ejemplos. La ecuación sss x 2 + 3xx d2 y dx 2 2 = kk Toda relación de la forma + y2 e x es de primer orden, pero de segundo grado; mientras que la ecuación es de segundo orden, de segundo grado en d2 y dx2 y de sexto grado en. f x, y, t, u,,,, 2 u x 2, 2 u y 2, 2 u, 2 u, n u tn = 0 que liga varias variables independientes (x, y, t ) con una función u de ellas, y las derivadas parciales hasta la de orden n, se llama ecuación en (o entre) derivadas parciales de orden n. Cuando hay más de una función, las ecuaciones diferenciales se presentan formando sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales. 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN HAZ DE CURVAS PLANAS Sea el haz de parábolas y = Kx 2 (1) Por cada punto (x o, y o ) del plano XY (no situado en el eje Y) pasa una sola curva de dicho haz: la correspondiente al valor K = y 0 2 x 0 que cumple la condición y o = Kx o2. Derivando y = Kx 2 = 2KK (2) Eliminando K entre (1) y (2) resulta la ecuación diferencial de primer orden = 2y x De forma general: En una cierta región R del plano XY, sea el haz de curvas F(x, y, K) = 0 de manera que por cada punto de R pasa una sola curva del haz. Tal ocurre si 0. Derivando (3) respecto a x: + = 0 (4) (3) o con otra notación 1 F x + F y y = 0 Eliminando K entre (3) y (4) se obtiene la ecuación diferencial de primer orden del haz de curvas: 1 Indistintamente se emplean las notaciones y =, y = d2 y dx 2, F x =, F xx = 2 F, etc. 9

10 que presentada de la siguiente manera se dice que está en forma normal. f(x, y, y ) = 0 y = f(x, y) 3. HAZ INTEGRAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN Sea y = f(x, y) (1) Planteemos la siguiente pregunta: Existe una región R del plano tal que, para cada punto P(x 0, y 0 ) R, sea posible hallar una curva y sólo una llamada integral particular que pase por P y satisfaga (1)? La respuesta es afirmativa si f(x, y) es una función analítica, es decir, desarrollable en serie de Taylor. La familia de curvas que satisface (1) se denomina haz integral o integral general de (1). 4. IMAGEN GEOMÉTRICA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. POLÍGONOS DE EULER La ecuación diferencial segmentos. y = f(x, y) (1) hace corresponder a cada punto P(x 0, y 0 ) del plano XY, en la región R donde esté definida, una pendiente y de la curva integral que pasa por P,, el valor de la dirección de la tangente por P. Por tanto, (1) define un campo de direcciones que se puede representar mediante unos segmentos orientados que llenan el plano, cada uno con la pendiente y = f(x, y) de su punto medio. Las curvas integrales son las que en cada punto tienen por tangente dicho segmento. De ello se infiere que todo polígono (denominado polígono de Euler) cuyos lados sean estos segmentos, es una aproximación a una curva integral, tanto mejor cuanto más pequeños sean los 5. CURVAS ISOCLINAS Se obtiene una representación del campo de direcciones y = f(x, y) trazando las gráficas m = f(x, y) llamadas curvas isoclinas, porque son el lugar geométrico de los puntos de igual pendiente de las curvas integrales; es decir, los segmentos que proporcionan la dirección del campo de direcciones a lo largo de cada isoclina son paralelos (de pendiente m). 6. MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS DE PICARD El método de Picard es un proceso de iteración convergente que permite calcular aproximadamente la integral de la ecuación y = f(x, y) (1) Conocida la llamada condición inicial y 0 = y(x 0 ) para comenzar la iteración se parte de la función constante y = y 0 que se sustituye en (1): = f(x, y 0) = f(x, y 0 ) 10

11 Integrando entre x 0 y x y entre y 0 e y 1 se obtiene y 1 = y 0 + f(x, y 0 ) x 0 que verifica y 1 = f(x, y o ) y cuya curva representativa pasa por (x 0, y 0 ), ya que para x = x 0 es y 1 = y 0. Con y = y 1 se realiza el mismo proceso para obtener y 2 : y 2 = y 0 + f(x, y 1 ) x x x 0 Y así sucesivamente: x y n+1 = y 0 + f(x, y n ) x 0 Obsérvese que y 1, y 2,, y n+1 son funciones continuas en el interior de un determinado dominio del entorno de (x 0, y 0 ). 11

12 TEMA 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARADAS. ECUACIONES HOMOGÉNEAS 1. ECUACIONES INTEGRABLES ELEMENTALMENTE Como sólo es posible integrar muy pocas ecuaciones diferenciales, se dice que dichas ecuaciones son las integrables elementalmente. Para las ecuaciones de primer orden se pueden seguir dos procedimientos: escribirlas en la llamada forma normal y = f(x, y) y estudiar la naturaleza del segundo miembro f(x, y); o hacerlo en la forma P(x, y) + Q(x, y) y analizar la naturaleza de P(x, y) y Q(x, y). 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARADAS Se llaman así a las ecuaciones que se pueden escribir de la siguiente manera: = P(x) Q(y) o bien Q(y) = P(x) siendo Q(y) sólo función de y y Q(x) sólo de x. La solución particular y = y(x) que pasa por (x 0, y 0 ) será y el haz integral es donde K es la contante de integración. y Q(y) = P(x) y 0 x x 0 Q(y) = P(x) + K 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGÉNEAS Una función f(x, y) es homogénea de grado n si f(tt, tt) = t n f(x, y) Como la ecuación diferencial P(x, y) + Q(x, y) = 0 se puede escribir de la siguiente manera P(x, y) = = f(x, y) Q(x, y) si f(x, y) es homogénea de grado cero (n = 0), entonces f(tt, tt) = f(x, y) Haciendo el cambio (1) z = y x La expresión (1) se transforma en una ecuación diferencial de variables separadas. Un caso particular de ecuación homogénea de grado cero es la de coeficientes lineales = a 0x + b 0 y a 1 x + b 1 y Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial de primer orden (x + y) (x y) = 0 Se puede escribir de la siguiente manera: x + y = = f(x, y) x y En f(x, y) se sustituyen x e y por tt y tt: 12

13 tt + tt t(x + y) x + y f(tt, tt) = = = t0 tt tt t(x y) x y = t0 f(x, y) por tanto f(x, y) es homogénea de grado cero. Se hace, pues, el cambio z = y/x: x + y = x y = 1 + y x 1 y = 1 + z 1 z x Como y = z x, entonces = zzz + xxx. Dividiendo por : / = z + /, y sustituyendo z + x = 1 + z 1 z separando variables x = 1 + z 1 + z z + z2 z = = 1 + z2 1 z 1 z 1 z 1 z = 1 + z2 x cuya integral es deshaciendo el cambio de variable y operando aaaaa z 1 2 ln(1 + z2 ) = ln x + C aaaaa y x = ln x2 + y 2 + C 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS Las ecuaciones de la forma = f a 0x + b 0 y + c 0 a 1 x + b 1 y + c 1 si los coeficientes c 0 y c 1 no son ambos nulos, se reducen a homogéneas trasladando el origen de coordenadas al punto (x 0, y 0 ) de intersección de las rectas a 0 x + b 0 y + c 0 y a 1 x + b 1 y + c 1 mediante el cambio de variable x = z + x 0 ; y = u + y 0 Ejemplo. En la ecuación diferencial (x + y 2) (x y + 4) = 0, las rectas x + y 2 = 0 y x y + 4 = 0 se cortan en el punto ( 1,3). Se hacen los cambios de variable x = z 1; y = u + 3; y, teniendo en cuenta que = y =, entonces, la ecuación se convierte en (z + u) (z u) = 0, que ya se resolvió en el ejemplo del epígrafe &3. Si las rectas son paralelas no se puede emplear el método anterior, pero en este caso se cumple que: a 1 y la ecuación diferencial se puede escribir así: a 0 = b 1 b 0 = λ = f a 0x + b 0 y + c 0 λ(a 0 x + b 0 y) + c 1 = g(a 0 x + b 0 y) Se realiza, pues, el cambio z = a 0 x + b 0 y obteniendo una ecuación en variables separadas. Ejemplo. En la ecuación diferencial (x + y + 2) + (3x + 3y 2) = 0 como las rectas son paralelas, se realiza el cambio z = x + y, teniendo en cuenta que = +,, = : (z + 2) + (3z 2)( ) = 0 es decir 3z 2 2z 4 = 0 que es una ecuación en variables separadas. 13

14 TEMA 3 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN DIFERENCIALES EXACTAS. FACTOR INTEGRANTE 1. INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN DIFERENCIALES EXACTAS La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial de primer orden, escrita de la forma P(x, y) + Q(x, y) = 0 sea una diferencial total exacta de una cierta función primitiva U(x, y) llamada función potencial es que las derivadas parciales cruzadas sean iguales: = en tal caso P(x, y) + Q(x, y) = (x, y) = 0 de manera que = P(x, y) ; = Q(x, y) y el haz integral es U(x, y) = K con K constante. Ejemplo 1. Sea la ecuación (aa + bb) + (bb cc) = 0 donde P(x, y) = aa + bb y Q(x, y) = bb cc. Como = = b se asegura la existencia de U(x, y). Operando en (1): aaaa + bbbb + bbbb cccc = 0 aaaa bbbb + c(yyy + xxx) = 0 Como d(xx) = yyy + xxx, entonces aaaa bbbb + c d(xx) = 0 e integrando aaaa bbbb + c d(xx) = ax2 1 2 by2 + ccc = K (1) Ejemplo 2. Integrar son 2x + 1 y + 1 y x y2 = 0 P(x, y) = 2x + 1 y ; Q(x, y) = 1 y x y 2 es = = 1 y 2 La igualdad de las derivadas cruzadas asegura la existencia de una función potencial U. Como = P entonces U = P = 2x + 1 y que se integra considerando y contante, pero teniendo presente que la «constante» de integración puede ser una función de y: La derivada parcial de U respecto a y es U = 2x + 1 y = x2 + x y + F(y) 14

15 como entonces = x2 + x y + F(y) = x y 2 + F (y) = Q x y 2 + F (y) = 1 y x y 2 F (y) = 1 y integrando de manera que F(y) = 1 = ln y y U(x, y) = x 2 + x + ln y = K y Las siguientes combinaciones integrables son importantes: Ecuación diferencial Integral xxx + yyy = 0 xx = U(x, y) = K xxx yyy y x 2 = 0 = U(x, y) = K x xxx yyy x y 2 = 0 = U(x, y) = K y xxx yyy x 2 + y 2 = 0 aaaaa y x + K xxx yyy x 2 y 2 = 0 aaaah y x + K Los cuatro últimos haces integrales de la tabla son equivalentes ya que también son equivalentes las cuatro ecuaciones diferenciales correspondientes pues se reducen a xxx yyy = 0 2. FACTOR INTEGRANTE Acabamos de ver que la ecuación con puede ser integrada, aunque xxx yyy = 0 Q(x, y) = x P(x, y) = y = 1 = 1 es decir pues basta multiplicar el primer miembro por cualquiera de los siguientes factores integrantes 1 x 2 ; 1 y 2 ; 1 x 2 + y 2 ; 1 x 2 y 2 que la convierten en diferencial total exacta. Cabe preguntarse, entonces, si en P(x, y) + Q(x, y) = 0 con P y Q x (1) 15

16 se puede encontrar un factor integrante μ(x, y) que, multiplicando a la ecuación (1), la convierta en diferencial exacta: μ(x, y) P(x, y) + μ(x, y) Q(x, y) = (x, y) = 0 con = Desarrollando / = / μp y + P = μq x + Q (2) La expresión (2) es una ecuación en derivadas parciales lineal y de primer orden que permite calcular μ aunque admite infinitas soluciones, pero su integración suele ser más complicada que la de (1); sin embargo, como no se necesitan todos los factores integrantes sino que con uno basta, en muchos casos es posible establecer condiciones que simplifican (2). Se analizan cinco casos: a) μ sólo depende sólo de x. O sea, μ = μ(x) Entonces / = 0 y (2) se reduce a μp y = μq x + Q μ = P y Q x Q lo que exige que P y Q x = f(x) Q sea una función sólo de x. Entonces, integrando (3) (3) μ(x) = exp f(x) Ejemplo. Integrar (x 2 + y 2 + x) + xxxx = 0 Como P y = 2y ; Q x = y veamos si existe un factor integrante que sólo dependa de x: μ = P y Q x 2y y = Q xx = x es decir μ = x una de cuyas integrales es μ = x multiplicando la ecuación diferencial por μ = x x(x 2 + y 2 + x) + x xxxx = 0 es decir (x 3 + xx 2 + x 2 ) + x 2 yyy = 0 pero 2xx 2 + 2x 2 yyy = d(x 2 y 2 ), luego cuya integral es b) μ sólo depende sólo de y. O sea, μ = μ(y) Entonces / = 0 y (2) se reduce a (x 3 + x 2 ) d(x2 y 2 ) = 0 x x3 3 + x2 y 2 2 = K μ = P y Q x P 16

17 lo que exige que P y Q x P = g(y) μ(y) = exp g(y) Para los casos c), d) y e) sólo se presenta la ecuación que determina μ. c) μ es una función de (x + y). O sea, μ = μ(x + y) μ = P y Q x d(x + y) P Q d) μ es una función de (y/x). O sea, μ = μ(y/x) μ = P y Q x P x + N y x 2 y d x e) μ es una función de (x y). O sea, μ = μ(x y) μ = P y Q x d(x y) P x N y f) Otros factores integrantes Si P(x, y) + Q(x, y) = 0 es homogénea, entonces: 1 μ = P x + Q y Ejemplo: [y cos(y/x) x] x cos(y/x) = 0 Si P(x, y) + Q(x, y) = 0 se puede escribir de la forma f 1 (x) g 1 (y) + f 2 (x) g 2 (y) = 0 entonces 1 μ = f 2 (x) g 1 (y) Ejemplo: x 2 (y + 1) + (x 1)y 2 = 0 3. MULTIPLICIDAD DE FACTORES INTEGRANTES Hallado en P(x, y) + Q(x, y) = 0 un factor integrante μ 1 (x, y) tal que: μ 1 PPP + μ 1 QQQ = du 1 con U 1 = U 1 (x, y). Sea μ 2 otro factor integrante, entonces μ 2 PPP + μ 2 QQQ = du 2 dividiendo (2) entre (1), miembro a miembro: pero el jacobiano es nulo du 2 du 1 = μ 2 μ 1 (1) (2) 17

18 U 2 U 2 U 1 U = μ 2P μ 2 Q 1 μ 1 P μ 1 Q = 0 lo que prueba que entre U 1 y U 2 existe una relación U 2 = f(u 1 ) independiente de x, y, y que, por tanto du 2 = μ 2 = f (U du 1 μ 1 ) 1 μ 2 = μ 1 f (U 1 ) es decir, μ 2 es de la forma μ 1 g(u 1 ). Ejemplo. Recordemos las integrales de la ecuación xxx yyy = 0: Ecuación diferencial Integral xxx yyy y x 2 = 0 = U(x, y) = K x xxx yyy x y 2 = 0 = U(x, y) = K y xxx yyy x 2 + y 2 = 0 aaaaa y x + K xxx yyy x 2 y 2 = 0 aaaah y x + K Con el factor integrante μ 1 = 1/x 2 es U 1 = y/x. Obsérvese que: μ 2 = 1 y 2 = 1 x 2 x2 y 2 = μ 1 1 U μ 3 = x 2 + y 2 = μ U 1 1 μ 4 = x 2 y 2 = μ U 1 4. DESCOMPOSICIÓN EN SUMA DE DIFERENCIALES EXACTAS Otro recurso para integrar la ecuación P(x, y) + Q(x, y) = 0 es intentar descomponerla en suma de diferenciales exactas. Ejemplo. Sea la ecuación (cos y + y cos x) + (sen x x sen y) = 0, como d(y sen x) = y cos x + sen x y d(x cos y) = cos y x sen y entonces la ecuación diferencial se puede escribir de la siguiente manera: d(y sen x) + d(x cos y) = 0 como suma de dos diferenciales exactas. Su integral es: y sen x + x cos y = K 18

19 TEMA 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN LINEALES, DE BERNOUILLI Y DE RICCATI 1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Las ecuaciones diferenciales lineales son aquellas en las que la derivada de mayor orden es una función lineal de la función incógnita y las derivadas de órdenes inferiores. La ecuación diferencial es lineal de primer orden. La ecuación diferencial + P(x)y = Q(x) d 2 y + P(x) + Q(x)y = R(x) dx2 es lineal de segundo orden. Y así sucesivamente. Se sobreentiende que los coeficientes P(x), Q(x), R(x) son sólo funciones de x. 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN LINEAL Sea la ecuación diferencial lineal de primer orden + P(x) y = Q(x) que se expresa más sintéticamente así: + PP = Q (1) En primer lugar se resuelve la ecuación homogénea en y e y ; es decir, con Q = 0: + PP = 0 (2) que es de variables separadas = P y cuya integral es y = Ke PPP = KK η = e PPP Si se conociera una solución y 1, integral particular de la ecuación completa (1), la integral general sería de la forma y = KK + y 1 En efecto, sustituyendo en (1), se verifica Kη + y 1 + P(KK + y 1 ) = Q porque η satisface a (2), e y 1 a (1). En definitiva: La integral general se obtiene sumando a la integral de la homogénea una solución particular de la completa. Esta propiedad se puede generalizar a ecuaciones de orden superior. Calculemos ahora y 1 empleando un método denominado de variación de las constantes, que también se generaliza para ecuaciones de orden superior, consistente en sustituir la constante K en y = KK por una función f(x) conveniente: y 1 = f(x) η al derivar y 1 = fη + f η y sustituir en (1) fη + f η + PPP = Q 19

20 pero, según (2) luego es decir de donde y por tanto Y la integral general es f(η + PP) + f η = Q η + PP = 0 f η = Q η = Q f(x) = Q η = Q e PPP y 1 = e PPP Q e PPP y = e PPP Q e PPP + K Ejemplo. Sea un circuito eléctrico como el de la figura, formado por una resistencia óhmica R en serie con una bobina cuyo coeficiente de autoinducción es L. El circuito está alimentado por una tensión alterna V(t) = V sen ωω. Si la corriente que circula es i = i(t), la ley de Ohm establece que la ecuación que gobierna su comportamiento es: L + RR = V sen ωω Se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden en i(t). La integral de la ecuación homogénea L + RR = 0 es i(t) = Ke R L t Si para t = 0 es i = i 0 : i(t) = i 0 e R L t que se corresponde con el régimen transitorio del circuito. Una integral particular de la ecuación completa es V ωω i 1 (t) = sen(ωω φ) siendo tan φ = R 2 + (ωω) 2 R que se corresponde con el régimen permanente del circuito. La integral general es la suma de la homogénea y la particular: i(t) = i 0 e R L t V + sen(ωω φ) R 2 + (ωω) 2 3. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN LINEAL La integral general de la ecuación diferencial lineal de primer orden y = e PPP Q e PPP + K es lineal en la constante K. O sea y = KK(x) + φ(x) Por tanto, si y 1 = K 1 φ(x) + φ(x) es una solución particular se verificará y y 1 = (K K 1 )φ(x) 20

21 y si y 2 es otra solución particular correspondiente al valor K 2 de la constante, entonces y 2 y 1 = (K 2 K 1 )φ(x) de donde y y 1 = K K 1 = C y 2 y 1 K 2 K 1 cuya interpretación geométrica es que las tangentes t, t 1, t 2,, a todas las curvas integrales en los puntos de intersección A, A 1, A 2,, con cada paralela al eje Y se cortan en un punto M que sólo depende de x. El lugar geométrico de todos los puntos M se denomina curva guía. Para trazar el polígono de Euler aproximado a la curva integral que pasa por el punto P 1 de abscisa x 1 bastará unirlo con el punto M 1 correspondiente a x 1 en la curva guía y se tendrá el primer tramo del polígono hasta P 2, que unido al punto correspondiente a la abscisa x 2, dará el segundo lado del polígono integral, y así sucesivamente. 4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOUILLI Es de la forma + P(x) y = Q(x)yn Obsérvese que (1) es lineal para n = 0 y n = 1. Toda ecuación diferencial de la forma (1) se reduce a una lineal mediante el cambio de variable: v = 1 = y1 n yn 1 En efecto, dividiendo (1) por y n : y y n + P(x) 1 = Q(x) yn 1 como v = (1 n)y n y entonces v + (1 n)p(x) v = (1 n)q(x) que es lineal. (1) Ejemplo. La ecuación 21

22 y 4 y sen x = 2 x x y3/2 es de Bernouilli con n = 3/2, P(x) = 1/x y Q(x) = (2 sen x) /x. Tras realizar el cambio de variable se convierte en: v + 2 sen x v = x x 5. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI Es de la forma + P(x)y + Q(x)y2 = R(x) (1) Obsérvese que (1) es lineal si Q(x) = 0 y de Bernouilli si R(x) = 0. En general, la ecuación de Riccati no se puede integrar por métodos elementales, pero existen tres casos que sí es posible resolverla: a) Se conoce una solución particular y 1 (x) Se realiza el cambio de variable y = y 1 + u entonces y = y 1 + u sustituyendo en (1) y 1 + u + P(y 1 + u) + Q(y 1 + u) 2 = R operando y agrupando términos: (y 1 + Py 1 + Qy 2 1 ) + u + (P + 2Qy 1 )u + Qu 2 = R como y 1 es solución particular de (1), entonces y 1 + Py 1 + Qy 1 2 = R y (2) se reduce a u + (P + 2Qy 1 )u + Qu 2 = 0 que es una ecuación de Bernouilli con n = 2 en la que se realiza el cambio v = 1 u que la reduce a v (P + 2Qy 1 )v Q = 0 En resumen, sustituyendo (4) en (2), entonces el cambio de variable v = 1 y y 1 convierte a (1) en v (P + 2Qy 1 )v = Q que es lineal en v y v. (2) (3) (4) Ejemplo. Sabiendo que la ecuación de Riccati y + 2x 4 1 x y x3 y 2 = x 5 admite la solución particular y 1 = x, se realiza el cambio de variable v = 1 y y 1 que la convierte en lineal en v y v. v + 1 v = x3 x 22

23 b) Se conocen dos soluciones particulares y 1 (x) e y 2 (x) Con y 1 se realiza el cambio v = 1 y y 1 (5) que convierte a (1) en v (P + 2Qy 1 )v = Q Conocida otra solución particular y 2, entonces 1 w = (6) y 2 y 1 (7) es solución de (6) w (P + 2Qy 1 )w = Q Restanto (6) y (8) miembro a miembro: (v w) (P + 2Qy 1 )(v w) = 0 d(v w) (P + 2Qy 1 )(v w) = 0 que es una ecuación en variables separadas: d(v w) (v w) = (P + 2Qy 1) integrando d(v w) (v w) = (P + 2Qy 1) Con (5), (7) y (9) se determina y. v w = Ke (P+2Qy 1 ) (8) (9) Ejemplo. Sabiendo que la ecuación de Riccati admite dos soluciones particulares se realizan los cambios de variable es decir y se obtiene y + (2x 1)y y 2 = x 2 x + 1 y 1 = x, y 2 = x 1 v = 1 y y 1 ; w = 1 y 2 y 1 v = 1 y x ; w = 1 x 1 x = 1 v + 1 = Ke [2x 1+2( 1)x] c) Se conocen tres soluciones particulares y 1 (x), y 2 (x) ey 3 (x) Con y 1 e y 2 se realizan los cambios v = 1 1 ; w = y y 1 y 2 y 1 y se obtiene v w = k 1 e (P+2Qy 1 ) Análogamente y 1 e y 3 se realizan los cambios (10) 23

24 y se obtiene Restando (10) y (11): v = 1 y y 1 ; t = 1 y 3 y 1 v t = k 2 e (P+2Qy 1 ) t w = (k 1 k 2 )e (P+2Qy 1 ) Dividiendo (10) entre (12) y llamando K = k 1 /(k 1 k 2 ): v w t w = K ecuación que con v = ; w = ; t = y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 permite calcular y sin necesidad de realizar ninguna integración. (11) (12) Ejemplo. Sabiendo que la ecuación de Riccati y + (2x 1)y y 2 = x 2 x + 1 admite tres soluciones particulares 1 y 1 = x, y 2 = x 1, y 3 = x + e x 1 se realizan los cambios de variable indicados: 1 y x 1 x 1 x = K x + e x 1 x x 1 x operando 1 y = x + Ke x 1 24

25 TEMA 5 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN NO LINEALES EN y 1. ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES EN y Toda ecuación diferencial algebraica resoluble en y P 0 (x, y) + P 1 (x, y) y + P 2 (x, y)y 2 + P 3 (x, y)y 3 + P m (x, y)y m = 0 se puede descomponer, despejando y, en ecuaciones lineales (tantas como raíces tenga el polinomio algebraico): y = f 1 (x, y) ; y = f 2 (x, y) ;. ; y = f m (x, y) cada una de las cuales tiene su haz integral φ 1 (x, y, K) ; φ 2 (x, y, K) ; ; φ m (x, y, K) Obsérvese que por cada punto del dominio en el que y toma valores reales pasan m curvas integrales. Ejemplo. Resolver la ecuación Despejando y es decir Integrando yy 2 + (x y)y x = 0 y = y x ± (x y)2 + 4xx 2y y = 1 ; y = x/y y = x + K ; y 2 + x 2 = K 2. ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES EN y O EN x a) Ecuación resoluble en y Es de la forma Se realiza el cambio por tanto derivando y = f(x, y ) y = p y = f(x, p) p = f x + f p y despejando / = p f x f p se obtiene una ecuación diferencial que podría ser más sencilla de resolver. Ejemplo. Resolver la ecuación Despejando y realizando el cambio entonces derivando respecto a x x 3 y 2 + x 2 yy + 1 = 0 y = 1 x 2 y xy y = p y = 1 x 2 p xx 25

26 es decir o Del factor se obtiene p = 2xx + x2 / x 4 p 2 p x 2p + x = 1 x 3 p2 2p + x 2p + x 1 1 x 3 p 2 = 0 2p + x = 0 y se sustituye en la ecuación diferencial: K 2 p = K x 2 x + KK + 1 = 0 (1) o Del factor resulta 1 1 x 3 p 2 = 0 p = x 3/2 = x 3/2 integrando y = 2/ x Esta solución es singular porque no satisface la solución general (1). b) Ecuación resoluble en x Es de la forma Se realiza el cambio por tanto derivando x = f(y, y ) y = p x = f(y, p) 1 = f y p + f p p y despejando / = 1 pf y ff p se obtiene una ecuación diferencial que podría ser más sencilla de resolver. Ejemplo. Resolver la ecuación x = y + y 2 Con el cambio y = p se convierte en Derivando respecto a x integrando x = p + p 2 1 = (1 + 2p) p = (p + 2p 2 ) y = p p3 3 + C (3) (2) Las expresiones (2) y (3) resuelven la ecuación diferencial. 26

27 3. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAGRANGE Es de la forma y = xx(y ) + g(y ) Se resuelve con el cambio y = p y = xx(p) + g(p) Derivando respecto a x p = f(p) + xf (p) + g (p) que es lineal tomando p como variable y x como función. Su solución es x = e f (p) p f(p) g (p) p f(p) e f (p) p f(p) + k Ejemplo. Resolver la ecuación y = 2xy + ln y. Con el cambio y = p se convierte en y = 2xx + ln p Derivando respecto a x p = 2p + 2x + 1 p o bien = 2 p x 1 p 2 lineal tomando p como variable y x como función, cuya solución es (1) Las expresiones (1) y (2) resuelven la ecuación diferencial. 4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT x = K p 2 1 p (2) Esta ecuación es de Lagrange con f(y ) y y = xy + g(y ) pero no se puede resolver con el procedimiento anterior pues se anula el denominador p f(p) = 0 sin embargo, se observa que el haz integral es y = xx + g(k) pues derivando se obtiene y = K. Ejemplo. La solución de la y = xy + ay 2 + bb es y = xx + ak 2 + bb. 27

28 TEMA 6 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO 1. GÉNESIS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. FAMILIAS DE CURVAS CON DOS PARÁMETROS Si la familia de curvas F(x, y, K 1, K 2 ) = 0 (1) define y como función implícita y derivable de x, se puede derivar F respecto a x: F x + F y y = 0 (2) y derivando de nuevo F x 2 + 2F xx y + F y 2y 2 + F y y = 0 (3) Las expresiones (1), (2) y (3) permiten eliminar las constantes K 1, K 2 para obtener la ecuación diferencial de segundo orden de la familia (1): f(x, y, y, y ) = 0 (4) La expresión (1) es la familia integral o integral general de (4). Cada una de las curvas de la familia se llama integral particular. 2. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EQUIVALENTE A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN: MÉTODO DE PICARD Como es equivalente a y las condiciones iniciales equivalen a y = f(x, y, y ) y = z z = f(x, y, z) y(x 0 ) = y 0 ; y (x 0 ) = y 0 (1) y(x 0 ) = y 0 ; z(x 0 ) = z 0 El sistema (1), de primer orden, se puede resolver por el método de Picard, como se hizo con las ecuaciones diferenciales de primer orden, formando las sucesiones convergentes siguientes: 1ª aproximación: x y 1 = y 0 + z 0 2ª aproximación: y así sucesivamente: x x 0 z 1 = z 0 + f(x, y 0, z 0 ) x 0 x y 2 = y 0 + z 1 x x 0 z 2 = z 0 + f(x, y 1, z 1 ) x 0 28

29 x y n+1 = y 0 + z n x 0 x z n+1 = z 0 + f(x, y n, z n ) x 0 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN n: SISTEMA EQUIVALENTE Todo lo sucedido con las ecuaciones de segundo orden se generaliza para las de orden n. Dada la ecuación F(x, y, K 1, K 2,, K n ) = 0 (1) que depende de n constantes independientes, si se pueden eliminar mediante (1) y las ecuaciones que resultan de derivarla n veces, se obtiene la ecuación diferencial f x, y, y, y,, y (n) = 0 (2) que satisfacen todas las curvas de la familia (1), llamada integral general de (2), donde y (n) es la derivada nsima. Además, la expresión y (n) = f(x, y, y, y,, y (n 1) ) (3) equivale a un sistema de n ecuaciones de primer orden obtenidas considerando y, y,, y (n 1) como incógnitas nuevas; es decir: y = z ; y = s ; ; y (n 2) = u ; y (n 1) = v, (3) equivale al sistema de n ecuaciones de primer orden y = z ; z = s ; ; u = v ; v = f(x, y, z, s,, v) 4. ECUACIONES DIFERENCIALES CUYO ORDEN PUEDE REBAJARSE a) Ecuaciones en las que falta la y En la ecuación f x, y, y,, y (n) = 0 basta que la nueva función incógnita sea y = p para que se reduzca a una de un orden inferior: f x, p, p,, p (n 1) = 0 Ejemplo. La ecuación y = y x + y 2, mediante el cambio y = p se transforma en la de Clairaut p = p x + p 2. b) Ecuaciones en las que falta la x En la ecuación f y, y, y,, y (n) = 0 (1) tomando y como nueva variable, y que la nueva función incógnita sea y = p como y = = = p ; y = p = d2 p dy 2 p2 + 2 p ; ; etc. Al expresar las derivadas de y mediante las de p, con órdenes de derivación rebajados en una unidad, (1) se transforma en 29

30 F y, p, p,, p (n 1) = 0 Ejemplo. Aplicando los cambios señalados a la ecuación 1 + y 2 = yy, se transforma en 1 + p 2 = yy / de variables separadas. c) Ecuaciones en las que falta la y y la x La ecuación f y, y,, y (n) = 0 mediante el cambio y = p se simplifica, muy especialmente en las de segundo orden y = f(y ) pues = f(p) ; = ; x = f(p) f(p) + K 1 y = ppp = ppp ppp ; y = f(p) f(p) + K 2 obteniendo las ecuaciones de la familia de curvas integrales en función de p. Ejemplo. La ecuación (1 + y 2 ) 3 = ay se convierte en (1 + p 2 ) 3 = a /, de manera que x = a (1 + p 2 ) + K p 3 1 = a 1 + p + K p 2 1 ; y = a (1 + p 2 ) + K = a 1 + p + K 2 2 de donde (x K 1 ) 2 + (y K 2 ) 2 = a 2 d) Ecuaciones de la forma y (n) = f(y (n 2) ) Como y (n) = f(y (n 2) ) se reduce a una ecuación de segundo orden empleando el cambio de variable z = y (n 2) se analizan las ecuaciones de segundo orden que carecen de y y de x; es decir: y = f(y) Multiplicando ambos miembros por la identidad y = : y y = f(y) integrando 1 2 y 2 = f(y) + C 1 por tanto = 2 f(y) + K 1 es decir, una ecuación de primer orden de variables separadas cuya integral es x = + K 2 2 f(y) + K 1 5. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS EN y, y, y (n) Sea tal que f x, y, y,, y (n) = 0 f x, tt, ty,, ty (n) = t k f x, y, y,, y (n) ; k > 0 30 (1)

31 entonces (1) puede escribirse de la siguiente manera Realizando el cambio es decir cuyas derivadas son o bien y k f x, 1, y y, y y,, y(n) y = 0 f x, 1, y y, y y,, y(n) y = 0 (2) z = y y y = zz y = z y + zy = y(z + z 2 ) y = y(z + 2zz ) + y (z + z 2 ) = y(z + 3zz + z 3 ) y y = z + z 2 y y = z + 3zz + z Como todos los cocientes y (i) /y son funciones exclusivamente de z y sus derivadas, la expresión (2) se convierte en otra de orden n 1 en z: g x, z, z, z,, z (n 1) = 0 Por ejemplo, aplicando el cambio a la ecuación homogénea de segundo orden y + P(x)y + Q(x)y = 0 se convierte en que es de Riccati. z + z 2 + P(x)z + Q(x) = 0 31

32 TEMA 7 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n 1. PROPIEDADES GENERALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n. Se entiende por ecuación diferencial lineal de orden n a la que es de primer grado en y y en sus n derivadas: a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 2 (x)y + a n 1 (x)y + a n (x)y = F(x) (1) En la expresión anterior, denominada ecuación completa o no homogénea, los coeficientes a 0, a 1,..., a n y el segundo miembro F pueden ser constantes o funciones de x. Si F(x) = 0, la ecuación resultante se llama homogénea o incompleta. a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 2 (x)y + a n 1 (x)y + a n (x)y = 0 Designado por D a la operación de derivar respecto a la variable independiente DD = y ; D 2 y = y ; D 3 y = y ; ; D n y = y (n) entonces el primer miembro de (1) y (2) es a 0 D n y + a 1 D n 1 y + a n 2 D n 2 y + + a n 1 DD + a n y que también se puede escribir simbólicamente P(D)y = (a 0 D n + a 1 D n 1 + a n 2 D n a n 1 D + a n )y siendo P(D) un polinomio simbólico en D, cuya significado es el de un operador o conjunto de operaciones que se efectúan con la función situada a la derecha de P(D), de manera que (1) es: P(D)y = F(x) (2) 2. PROPIEDADES DEL OPERADOR PRIMER MIEMBRO P(D) a) Se puede permutar con cualquier factor constante k P(D)kk = kk(d)y b) Es distributivo P(D)(y 1 + y 2 ) = P(D)y 1 + P(D)y 2 [P 1 (D) + P 2 (D)]y = P 1 (D)y + P 2 (D)y Las propiedades a) y b) se concretan diciendo que P(D) es un operador lineal. 3. COMBINACIÓN LINEAL DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN INCOMPLETA De las propiedades de P(D) se desprende que: Toda combinación lineal, con coeficientes constantes, de soluciones de la ecuación homogénea P(D)y = 0 es también solución de ella. En efecto, si se conocen las soluciones y 1, y 2,..., y n de P(D)y = 0 P(D)y 1 = 0 ; P(D)y 2 = 0 ; ; P(D)y n = 0 como P(D)[K 1 y 1 + K 2 y K n y n ] = K 1 P(D)y 1 + K 2 P(D)y K n P(D)y 2 = 0 entonces la función y = K 1 y 1 + K 2 y K n y n es también solución de P(D) = 0. Las constantes arbitrarias K 1, K 2,, K n son independientes salvo que alguna de las soluciones y 1, y 2,, y n pueda expresarse como combinación lineal de coeficientes constantes de las demás. Por 32

33 ejemplo, e x, e x y cosh x son soluciones de y y = 0; por tanto también lo será y = K 1 e x + K 2 e x + K 3 cosh x, pero no se trata de una solución independiente pues cosh x es 1/2(e x + e x ). 4. CONDICIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL Se demuestra que La condición necesaria y suficiente para que n soluciones particulares y 1, y 2,, y n de la ecuación homogénea P(D) = 0 sean linealmente dependientes (es decir, α 1 y 1 + α 2 y α n y n = 0, siendo α i coeficientes constantes no todos nulos) es que su determinante W (llamado wronskiano) sea nulo en algún punto: y 1 y 2 y n W = y 1 y 2 y n = 0 (n 1) y 1 (n 1) y 2 (n 1) y n 5. EXPRESIÓN DE LA INTEGRAL GENERAL Siguiendo un procedimiento análogo al desarrollado para la ecuación lineal de primer orden, se demuestra que: La integral general de la ecuación lineal HOMOGÉNEA P(D) = 0 de orden n se forma construyendo una combinación lineal de n soluciones particulares de ella que sean linealmente independientes. La integral general de la ecuación lineal COMPLETA P(D) = F(x) de orden n se forma agregando a la integral general de la homogénea una solución particular de la completa. y ssssssón ggggggg = y ssssssón ll hhhhhénnn + y uuu ssssssón pppppppppp ll cccccccc 6. MÉTODO DE VARIACIÓN DE LAS CONSTANTES Supongamos conocida la integral general de la ecuación homogénea P(D)y = 0 formada por n soluciones y 1, y 2,, y n linealmente independientes: y = K 1 y 1 + K 2 y K n y n (1) Tal como se hizo con la ecuación de primer orden, sustituyamos las constantes K i por funciones convenientes de x para que (1) sea integral de la ecuación completa P(D)y = F(x) (2) En estas condiciones, tras derivar n 1 veces se obtiene el siguiente sistema K 1 y 1 + K 2 y K n y n = 0 K 1 y 1 + K 2 y K n y n = 0 K 1 y 1 (n 2) + K2 y 2 (n 2) + + Kn y n (n 2) = 0 K (n 1) 1 y 1 + (n 1) K2 y (n 1) F(x) Kn y n = a 0 (3) que permite calcular las derivadas K 1, K 2,, K n pues el determinante de sus coeficientes es el wronskiano W (distinto de cero por ser las n soluciones y 1, y 2,, y n linealmente independientes). Por tanto: K 1 = φ 1 (x) ; K 2 = φ 2 (x) ; ; K n = φ n (x) Integrando y sustituyendo en (1) se obtiene la expresión de la integral general de la ecuación completa: 33

34 y = y 1 φ 1 (x) + C 1 + y 2 φ 2 (x) + C y n φ n (x) + C 2 Ejemplo. Se conocen las integrales particulares y 1 = x 2, y 2 = 1/x de la ecuación homogénea de x 2 y 2y = x 3 e x. Calculemos la integral general mediante el método de variación de las constantes. La solución será de la forma y = K 1 (x)y 1 + K 2 (x)y 2 = K 1 (x)x 2 + K 2 (x) x El sistema (3) que proporciona K 1 y K 2 es: K 1 x 2 + K 2 x = 0 K 1 2x K 2 x 2 = x3 e x x 2 del que resulta cuyas integrales son K 1 = 1 3 ex ; K 2 = 1 3 x3 e x y la integral general es K 1 = 1 3 ex + C 1 ; K 2 = 1 3 ex ( x 3 + 3x 2 6x + 6) + C 2 y = K 1 (x)x 2 + K 2 (x) x = C 1 x 2 + C 2 x + ex x + 2 x 2 7. DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN MEDIANTE CONDICIONES INICIALES En la solución general y = K 1 (x)y 1 + K 2 (x)y K n (x)y n o bien y solcuión general = y solución de la homogénea + y una solución particular de la completa están incluidas todas las soluciones de la ecuación homogénea y la completa. Cada una de estas soluciones puede individualizarse dando valores a la función y y a sus n 1 primeras derivadas para un valor x 0 concreto. Basta resolver el sistema formado por las n ecuaciones que permiten calcular las constantes de integración. Se aclara con un ejemplo. Ejemplo. Determinar la solución particular del ejemplo anterior para que se cumplan las condiciones siguientes: y(1) = 0 e y (1) = 1. En K 1 x 2 + K 2 x = 0 K 1 2x K 2 x 2 = x3 e x x 2 se aplican las condiciones citadas, es decir: las soluciones de este sistema son y la integral particular buscada es 0 = C 1 + C 2 + e 1 = 2C 1 C 2 C 1 = 1 3 (1 e) ; C 2 = 1 (1 + 2e) 3 y = 1 3 (1 e)x2 1 3 (1 + 2e) 1 x + ex x + 2 x 2 8. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE VARIACIÓN DE LAS CONSTANTES CUANDO SE CONOCE UN NÚMERO INSUFICIENTE DE INTEGRALES PARTICULARES DE LA ECUACIÓN INCOMPLETA Conocidas m < n soluciones particulares de la homogénea P(D)y = 0 de orden n, el método de variación de las constantes reduce la integración de la completa P(D)y = F(x) a la de otra de orden m n. Comprobémoslo en la ecuación de segundo orden y + P(x)y + Q(x)y = F(x) (1) Si y 1 (x) es una solución particular de la homogénea y + P(x)y + Q(x)y = 0 34

35 (2) también será solución de (2) el producto por una constante Ky 1 (x). Ahora bien, sustituyendo K por una función conveniente K(x) se puede conseguir que K(x)y 1 (x) sea solución de (1). Derivando y = Ky 1 ; y = Ky 1 + K y 1 ; y = Ky 1 + 2K y 1 + K y 1 sustituyendo en (1) y teniendo en cuenta que y 1 es solución de (2) resulta: K [2y 1 + y 1 P(x)] + y 1 = F(x) (3) que es una ecuación lineal de primer orden en K (x). Por tanto, mediante dos integraciones se calcula K(x). Para hallar la integral general de la homogénea basta hacer F(x) = 0 en (3) que se convierte en una ecuación de variables separadas: = 2 y 1 cuya integral es K K = K 1 35 y 1 P(x) 2 e P(x) y 1 que integrada nuevamente y sustituida en y = Ky 1, da la integral general de la homogénea P(D)y = 0: y = y 1 K 1 e P(x)dx y K 2 Ejemplo. Se conoce la integral particular y 1 = x 2 de la ecuación homogénea de x 2 y 2y = 0 que escrita de la forma (2) es: La expresión (4) es: 9. FÓRMULA DE LIOUVILLE y 2 x 2 y = 0 y = x 2 K 1 x 4 + +K 2 = K 1 x + K 2x 2 Dadas n soluciones y 1, y 2,, y n linealmente independientes de la ecuación homogénea de la forma y (n) + P(x)y (n 1) + Q(x)y (n 2) + + R(x)y = 0 (1) donde el coeficiente de y (n) se ha reducido a la unidad, si en la integral general y = K 1 y 1 + K 2 y K n y n (2) se eliminan las constantes K i empleando la expresión (2) y sus n derivadas, obtenemos y y 1 y 2 y n y y 1 y 2 y n = 0 y (n) (n) (n) (n) y 1 y 2 y n (3) que es otra forma de la misma ecuación diferencial; es decir, existe una identidad entre las expresiones (1) y (3). Desarrollando (3) por la primera columna se obtiene y (n) W y (n 1) W + = 0 (4) donde W es el wronskiano y W su derivada: y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n y 1 y W = ; W = 2 y n (n 2) (n 2) y 1 y 2 y 1 (n 1) Identificando (1) y (4) resulta y 2 (n 1) y n (n 2) y n (n 1) (n 2) (n 2) y 1 y 2 y 1 (n) y 2 (n) y n (n 2) y n (n) (4)

36 es decir P(x) = W W W = Ke P(x) conocida como fórmula de Liouville. La constante K puede ser distinta para cada sistema de soluciones. (5) Ejemplo. En la ecuación y y = 0 es P(x) = 0, si se adoptan como soluciones particulares independientes e x y e x el wronskino es W = 2, mientras que si se eligen como soluciones particulares independientes cosh x y sinh x (por este orden), entonces W = 1. 36

37 TEMA 8 MÉTODOS CLÁSICOS DE INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES Si son constantes los coeficientes a i de a 0 y (n) + a 1 y (n 1) + + a 2 y + a n 1 y + a n y = 0 ; P(D)y = 0 se ensayan soluciones de la forma y = e rx Derivando DD = re rr ; D 2 y = r 2 e rr ; ; D n y = r n e rr y sustituyendo en (1) P(D)e rr = e rr (a 0 r n + a 1 r n a 2 r 2 + a n 1 r + a n ) = e rr P(r) = 0 Al no anularse e rr entonces debe ser cero el llamado polinomio característico: P(r) = 0 A cada raíz α de P(r) le corresponde, por tanto, una solución de la forma y α = e αα A continuación se indica la solución de (1) para cada una de los cuatro tipos de raíces posibles de P(r): (1) a) Por cada α, raíz real simple y = C 1 e αα Ejemplo. El polinomio característico de la ecuación y + y 2y = 0 es r 3 + r 2 2r = 0 cuyas raíces son 0, 1 y 2. Por tanto la integral general es y = C 1 + C 2 e x + C 3 e 2x. b) Por cada α, raíz real múltiple con grado de multiplicidad k y = e αα (C 1 + C 2 x + C 3 x C k x k 1 ) Ejemplo. El polinomio característico de y (3) 6y + 12y 8y = 0 es r 3 6r r 8 = 0 que tiene en r = 2 una raíz triple. Por tanto la integral general es y = (C 1 + C 2 x + C 3 x 2 )e 2x. c) Por cada α = p ± qq, raíz compleja simple y = e pp (C 1 cos qq + C 2 sen qq) = K 1 e pp sen(qq + K 2 ) Ejemplo. El polinomio característico de y 2y + 5y = 0 es r 2 2r + 5 = 0 cuyas raíces son 1 + 2i y 1 2i. Por tanto, la integral general es y = e x (C 1 cos 2x + C 2 sen 2x) = K 1 e x sen(2x + K 2 ). d) Por cada α = p ± qq, raíz compleja múltiple con grado de multiplicidad k y = e pp C 1 + C 2 x + C 3 x C k x k 1 cos qq + D 1 + D 2 x + D 3 x D k x k 1 sen qq Ejemplo. El polinomio característico de y (5) + 2y (3) + y = 0 es r 5 + 2r 3 + r = 0 cuyas raíces son r 1 = 0; r 2 = i (doble) y r 3 = i (doble). Por tanto, la integral general es y = C 1 + (C 2 + C 3 x) cos x + (C 4 + C 5 x) sen x 2. ECUACIÓN DIFERENCIAL COMPLETA DE COEFICIENTES CONSTANTES Sea P(D)y = F(x) A continuación se estudia la solución según sea la forma de F(x): 37

38 a) F(x) = ae αα Se ensayan soluciones de la forma: y = bx k e αα siendo k el grado de multiplicidad de α en el polinomio característico P(r). Ejemplo 1. En y 2y + 5y = 2e x, como α = 1 no es raíz de P(r) = r 2 2r + 5, entonces se ensaya y = bx 0 e x. Sustituyendo y, y e y en la ecuación diferencial resulta b = 1/4. Por tanto, la integral general es y = e x (C 1 cos 2x + C 2 sen 2x) e x. Ejemplo 2. En y (3) + y 2y = e x, como α = 1 es raíz simple de P(r) = r 3 + 2r 2 2r, entonces se ensaya y = bx 1 e x. Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta b = 1/3. Por tanto, la integral general es y = C 1 + C 2 e x + C 3 e 2x 1 3 xex. b) F(x) = a ccc ββ + b sss ββ Se ensayan soluciones de la forma: y = cx k cos ββ + dx k sen ββ siendo k el grado de multiplicidad de ββ en el polinomio característico P(r). Ejemplo 1. En y 2y + 5y = 3 sen x, como ββ = 1i no es raíz de P(r) = r 2 2r + 5, entonces se ensaya y = cx 0 cos x + dx 0 sen x. Sustituyendo y, y e y en la ecuación diferencial, resulta c = 3/10 y d = 3/5. Por tanto, la integral general es y = e x (C 1 cos 2x + C 2 sen 2x) + 3 cos x + 3 sen x Ejemplo 2. En y + y = sen x, como ββ = 1i es raíz simple de P(r) = r 2 + 1, entonces se ensaya y = cx 1 cos x + dx 1 sen x. Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta c = 1/2 y d = 0. Por tanto, la integral general es y = C 1 sen x + C 2 cos x 1/2 x cos x. c) Si F(x) es un polinomio f(x) de exponentes naturales en x, incluido F(x) constante Debido a que la derivada de un polinomio es otro de grado inferior en una unidad: o Si en el primer miembro de la ecuación diferencial existe el término y, se ensaya un polinomio g(x) de coeficientes indeterminados del mismo grado que f(x). o Si no existe y, pero sí y, se ensaya el polinomio g(x) aunque aumentando un grado todos sus términos. o Si tampoco existe y, pero si y, se ensaya el polinomio g(x) aunque aumentando dos grados todos sus términos. Y así sucesivamente. Ejemplo 1. En y 2y + 5y = 3x 2 x se ensaya y = ax 2 + bb + c. Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta a = 3/5, b = 7/25 y c = 16/125. Ejemplo 2. En y + y = 3x 2 x se ensaya y = ax 3 + bx 2 + cc. Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta a = 1, b = 7/2 y c = 7. d) Si F(x) es una suma de funciones de los tipos a), b) y c), una solución particular es la suma de las integrales particulares correspondientes a cada sumando Ejemplo. En y 2y + 5y = 2e x + 3 sen x + 3x 2 x, la integral general es: y = e x (C 1 cos 2x + C 2 sen 2x) e x cos x sen x x x ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER Son ecuaciones de la forma a 0 x n y (n) + a 1 x n 1 y (n 1) + + a 2 x 2 y + a n 1 xy + a n y = F(x) que se reducen a una de coeficientes constantes mediante el cambio de variable (1) 38