Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1. Ejercicios

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1 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Ejercicios Tema 9: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal. Comprobar que todas las funciones de la familia y = c, c R, son soluciones de la ecuación diferencial y = y 2. Eiste alguna otra solución?. Dibujarlas y sacar conclusiones. Sol.: Si, la solución y = 0. Conclusión: Por cada punto del plano pasa una única solución. 2. Comprobar que todas las funciones de la familia y = ce a, c R, son soluciones de la ecuación diferencial y = ay, a 0. Eiste alguna otra solución?. Dibujarlas y sacar conclusiones. Sol.: No. Conclusión: Por cada punto del plano pasa una única solución. 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) y = y (b) y = (+y2 ) y (c) y = 2y 2 Sol.: (a) y = k e, k R. (b) + y 2 = ke 2, k > 0. (c) y = 4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas: (a) ( y)y + y 2 = 0 (b) 2 y = y( + y) (c) y y +yy = 2 Sol.: (a) y = k e y, k R. (b) y = k > 0., c R; e y = c c ln, c R; e y = 0. (c) 2 +y 2 = k e arctan y, 5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas: (a) y = y +y (b) y = +y+ +y (c) yy = 4 + 3y 2 (d) (2 + y + 5)y = arctan y Sol.: (a) 2 + (y ) 2 = k e, k 0. (b) + y = k e +y, k R. (c) (y 4 + 2) 4 ( y + 2) = k, k R. (d) (y ) 3 (y ) = k, k R. 6. Representar los campos de direcciones de las ecuaciones diferenciales: (a) y = y (b) yy =

2 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 2 indicando la posible representación gráfica de sus soluciones. Sol.: (a) y = k e, k R. (b) 2 + y 2 = k, k > Estudiar la eistencia y unicidad de soluciones para los problemas de Cauchy (a) { y = e 2 y(0) = 0 (b) { y = y 2/3 y(0) = 0 Sol.: (a) Eiste solución y es única: y = 0 e t2 dt. (b) Eiste solución pero no es única: y = 3 27 e y = Hallar el conjunto abierto donde la ecuación diferencial y cos y++sen y = 0 admite solución y es única. Sol.: Ω = { (, y) : y π 2 + kπ, k Z}. 9. Aplicar el método iterativo de Picard para resolver el problema de Cauchy { y = y Sol.: ϕ n () = n k=0 k k! n e. y(0) = 0. Hallar las ecuaciones diferenciales asociadas a las familias de curvas (a) y = c, c R. (b) y = a + be, a, b R. Sol.: (a) y = y. (b) ( )y + y y = 0.. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = c, c R. Hallar también las θ-trayectorias, para θ π 2. Sol.: Trayectorias ortogonales: 2 + y 2 = c, c > 0. θ-trayectorias: 2 + y 2 = k e 2 tan θ arctan y, k > Si la temperatura del aire es de 20 C, y un cuerpo disminuye su temperatura de 00 C a 60 C en 20 minutos, en cuánto tiempo disminuirá su temperatura a 30 C?. Sol.: hora. 3. Está nevando con regularidad. A las 2:00 sale una máquina quitanieves que recorre en la primera hora 2 Km. y en la segunda Km. A qué hora empezó a nevar? Nota: Se admitirá como hipótesis que la cantidad de nieve quitada por la máquina en unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de nieve encontrada. La altura encontrada es proporcional al tiempo que lleva nevando. Sol.: h Resolver la ecuación diferencial lineal ( + )y 2y = ( + ) 4. Sol.: y = ( + ) 2 ( c ), c R. 5. Resolver las siguientes ecuaciónes diferenciales de Bernouilli:

3 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 3 (a) y + y = 3 y 3 (b) y + y = y 2 ln Sol.: (a) y 2 = c e 2, c R; e y = 0. (b) y 6. Resolver ecuación diferencial (de Riccati): ( + 3 ) y + 2y y + = 0 = ln + + k, k R; e y = 0. sabiendo que admite una solución particular de la forma y = a + b. Sol.: y = +3, c R; e y =. 2 +c 7. Resolver la ecuación diferencial eacta: (2 + e y ) d + e y dy = 0 y hallar la solución particular que pasa por el punto (, 0). Sol.: 2 + e y = k, k R. Sol. particular: y = ln ( 2 ) en (0, 2). 8. Estudiar si la ecuación diferencial y(y + ) d dy = 0 es eacta. Comprobarlo también después de multiplicarla por y 2. Resolverla y sacar conclusiones. Sol.: y = k, k R; e y = Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales sabiendo que admiten un factor integrante del tipo que se indica: (a) y d + ( 2 y ) dy = 0; µ(, y) = µ(). (b) y ( 2 y 2 + y ) d + ( 2 y 2 ) dy = 0; (c) y ( 2 + y 2) d + ( dy y d) = 0; Sol.: µ(, y) = µ(y). µ(, y) = 3 ϕ ( y ). (a) µ(, y) =. y2 2 2 y = c, c R. (b) µ(, y) = y(y+). y ln y = k, k R; y = 0; y y + = 0. (c) µ(, y) = y( 2 +y 2 ). 2 + y 2 = ky 2 e 2, k > Estudiar los dominios de eistencia y unicidad de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) y + y 2 = 0. (b) y = (c) y = y. 3 y 2. (d) ( )y = 2 y 2 sen + 3 y + y. (e) y ( = 2 +y 2 ). (f) ( + 7)y = ln(y + ) + y. Sol.: (a) D = {(, y) : <, y < }. (b) D = {(, y) : >, y 0}. (c) D = {(, y) : y 0}. (d) D = {(, y) :, kπ, k Z, y 0, y }. (e) D = { (, y) : 2 + y 2 <, 0 }. (f) D = {(, y) : y >, 7, y < }.

4 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 2. Estudiar los dominios de eistencia y unicidad de la ecuación diferencial y = + y, y hallar por el método iterativo de Picard la solución al problema: { y = + y Sol.: R 2. y = 2e. y(0) = 22. Dada la ecuación y = y + ( )ϕ() + 7, ϕ C(, ), hallar la intersección de las rectas tangentes en (, 0) y (, ) a las soluciones que pasan por esos puntos. Sol.: (0, 7). 23. Hallar la curva que pasa por (, 3) y es ortogonal a todas las rectas que pasan por el punto (, ). Sol.: ( + ) 2 + (y ) 2 = Estudiar los dominios de eistencia y unicidad de la ecuación diferencial y = y y. Hallar las soluciones particulares que pasan por los puntos (0, ) y (, 0). Sol.: R 2. y = e y = Encontrar la solución eacta del problema de Cauchy: { y = 2( + y) y(0) = 0 Aplicar el método de Picard para hallar las cuatro primeras aproimaciones a la solución, y comparar con la solución eacta. Sol.: y = e Encontrar la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias de curvas: (a) y = c. (b) y = c 2. (c) y = ce. Sol.: (a) 2 y 2 = k, k R. (b) 2 + 2y 2 = k, k > 0. (c) y = k, k R. 27. Los puntos medios de los segmentos de tangente a una curva comprendidos entre el punto de contacto y el eje OX describen la parábola y 2 = 2. Hallar la curva, sabiendo que pasa por el punto (, 2). +ln 2 ln y Sol.: = 4 y Si la población de un país se duplica en 50 años, en cuántos años será triple suponiendo que la velocidad de crecimiento es proporcional al número de habitantes?. Sol.: 79, 25 años. 50 ln 3 ln Obténgase la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias: (a) y(c + ) =. (b) 2 + (y c) 2 = c 2.

5 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 5 Sol.: (a) 3 + y 3 = c, c R. (b) ( c) 2 + y 2 = c 2, c Demostrar que: (a) la ecuación y = f(a + by + c) se reduce a una ecuación de variables separables mediante el cambio de variable dependiente z = a + by + c. (b) la ecuación y = F ( a+by+c d+ey+f ) se reduce a una ecuación homogénea mediante el cambio de variables u = a + by + c y v = d + ey + f, siempre que ae bd. Eaminar el caso ae = bd. (c) Aplicar los dos apartados anteriores a la resolución de las ecuaciones diferenciales: i. y = ( + y) 2. ii. y = sen 2 ( y + ). iii. ( + y)y = 2y. iv. (y + + ) d + (2y ) dy = 0. Sol.: (i) y = tan(+c), c R. (ii) tan( y+) = +c, c R; y y+ = π 2 +kπ, k Z. (iii) ( y + ) 2 = c(2y ), c R; y 2y = 0. (iv) + y = ce 2y, c R. 3. Resolver la ecuación: [sen( + 2y) + 3 cos( + 2y)] d + 6 cos( + 2y) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma sen n ( + 2y), n N. Sol.: µ(, y) = sen 2 ( + 2y). sen 3 ( + 2y) = k, k R. 32. Supongamos que para la función F (, y, y ) eisten unos valores reales de k y m tales que F (t, t k y, t k y ) = t m F (, y, y ) Demostrar que en tal caso la ecuación diferencial F (, y, y ) = 0 se reduce a una ecuación homogénea mediante el cambio de variable dependiente y = z k. Aplicar lo anterior a la resolución de las ecuaciones diferenciales: (a) 2 y = 2y( + y). (b) 3 2 y = 2y ( ) y 3. ( ) Sol.: (a) y = 2 2, c R; e y = 0. (b) y = 3 (ln +c) 2 ln +c, c R; e y = Hallar la condición para que la ecuación diferencial P (, y) d+q(, y) dy = 0 admita un factor integrante de la forma µ(, y) = f( m y n ), m, n N. Aplicarlo a resolver: y d ( y 2 + ln ) dy = 0 Sol.: µ(, y) =. ln y 2 y y = c, c R; e y = Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) (2y ) d + (2y 2 + 2y ) dy = 0.

6 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 6 (b) 2 y = 2y ( + y ). (c) = (y + y) + 2. (d) (3y + y 2 ) d + (3y + 2 ) dy = 0. (e) 2 dt (t + t 3 ) d = 0. (f) ( 2 + y 2 + ) d + y dy = 0. Sol.: (a) 2 y y 2 y = c, c R. (b) y = 2, c R; e y = 0. (c) (ln +c) 2 y = c+ + 2, c R. (d) y( + y) = c, c R. (e) = c 2, c R; y t = 0. (f) t y 2 = ce 2, c > Dada la ecuación yp (, y) d + Q(, y) dy = 0, donde P y Q son funciones de y, demostrar que µ(, y) = (P Q)y es un factor integrante. Aplicar lo anterior a la resolución de la ecuación diferencial: y( 2 y 2 + y) d + ( 2 y 2 ) dy = 0 Sol.: µ(, y) = y(y+). y ln y = k, k R; y = 0 y y + = Resolver la ecuación diferencial: ( y y 3 ) d + (2y 3 + 3y 2 3 ) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante del tipo µ(, y) = f( + y). Sol.: µ(, y) = (+y) y 2 y = c, c R; e y =. 37. Resolver la ecuación diferencial: ( + 2)e cos y d ( + 5)e sen y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(, y) = f(). Sol.: µ(, y) =. e cos y = c, c R. (+5) 4 (+5) Detallar el conjunto de condiciones que se han de verificar para que la ecuación P (, y) d + Q(, y) dy = 0 admita un factor integrante de la forma µ(, y) = ϕ(e y ). Aplicar lo anterior a la resolución de la ecuación: ( ) ( y 2e + d + 2 ey e ) dy = 0 Sol.: µ(, y) = e y. y 2 + 2e y = k, k R. 39. Resolver la ecuación: ( cos sen 2 y sen y) d + cos y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante ) de la forma µ(, y) = β() sen 2 y. Sol.: µ(, y) = e = c, c R; e y = kπ, k Z. ( e sen 2 y. sen y + sen +cos 2

7 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Resolver la ecuación: (y ln y + ye ) d + ( + y cos y) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante que depende de una única variable. Sol.: µ(, y) = y. ln y + e + sen y = k, k R; e y = Sabiendo que µ(, y) = 3y 2 es un factor integrante de la ecuación: ( y 2 ) d + Q(y) dy = 0 y (a) Determinar Q(y). (b) Resolver la ecuación resultante. Sol.: (a) Q(y) = y 2. (b) 3 3y = k, k R. 42. Integrar la ecuación diferencial ( 2 y 2 ) d + 2y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(, y) = f( 2 + y 2 ). Sol.: µ(, y == ( 2 +y 2 ). 2 + y 2 = k, k La velocidad de crecimiento de una población es proporcional a la población en cada instante. En cierto cultivo de bacterias, el número de estas se ha setuplicado en 0 horas. Qué tiempo tardó la población en duplicar su número inicial?. Sol.: 0 ln 2 ln 6 3, 8685 horas. 44. Encontrar la curva o curvas que verifican que la proyección sobre el eje OX de la parte de la tangente entre (, y) y el eje OX tiene longitud. Sol.: y = ke ±, k Una curva pasa del origen al primer cuadrante. El área bajo la curva de (0, 0) a (, y) es un tercio del área del rectángulo que, con lados paralelos a los ejes, tiene esos puntos como vértices opuestos. Encontrar la ecuación de la curva. Sol.: y = k 2, k > Hallar la solución general de la ecuación: y + y + = sen Encontrar la solución particular que pasa por el punto ( π 2, ) y decir cuál es su dominio de definición. Sol.: y = c+sen + cos, c R. y = π 2 +sen + cos, definida en (, + ). 47. Resolver el siguiente problema de Cauchy: { y + y = 2 sen y(0) = Sol.: y = sen cos + 2e.

8 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Dada la ecuación diferencial 6y d + ( ) dy = 0 (a) Determinar un factor integrante de la forma µ(, y) = yβ(). (b) Hallar todas sus soluciones. Sol.: (a) µ(, y) = y. (b) y 2 ( ) = c, c R. 49. Hallar todas las soluciones de la ecuación diferencial: ( 2 + y 2 + ) d + y dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante que depende de una única variable. Sol.: µ(, y) =. 2 ( y 2) = c, c R. 50. Dada la ecuación diferencial: y = 2 y 2 + y (a) Determinar los dominios de eistencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones. (c) Resolver el problema de Cauchy: { y = 2 y 2 + y y(e π ) = 0 Sol.: (a) D = {(, y) : > y }. (b) y = sen(c + ln ), c R; e y = ±. (c) y = sen(ln π). 5. Dada la ecuación diferencial ( 2 )y + y( y) = 0 (a) Determinar los dominios del plano donde se puede asegurar eistencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones. (c) Hallar las soluciones que pasan por los puntos (, ), (, 2) y ( 2, /2). Sol.: (a) D = {(, y) : ±} (b) y =, c R; e y = 0. +c 2

9 Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 9 (c) Por el punto (, ) pasan infinitas soluciones: y =, c R. Por +c 2 el punto (, 2) no pasa ninguna solución. Por el punto ( 2, 2 ) pasa la única solución: y = La aceleración de un cierto automóvil deportivo es, en cada instante, proporcional a la diferencia entre 250 Km/h y la velocidad que lleva. Sabiendo que el automóvil pasa del reposo a la velocidad de 00 Km/h en 0 segundos, cuánto tiempo necesitará para pasar del reposo a 200 Km/h?. ln 5 Sol.: 3, 5 segundos. 360 ln Dada la ecuación diferencial 2 y + 2y y 3 = 0 (a) Determinar los dominios del plano donde se puede asegurar eistencia y unicidad de soluciones. (b) Hallar todas sus soluciones. (c) Hallar las soluciones que pasan por los puntos (0, 0), (, 0) y (, ). Sol.: (a) D = {(, y) : 0} (b) y = ± 5 2+5c 5, c R; e y = 0. (c) Por el punto (0, 0) pasan todas las soluciones de la ecuación. Por el punto (, 0) pasa la única solución y = 0. Por el punto (, ) pasa la única solución: y = (Febrero 999) Resolver la ecuación diferencial ( ) e y + 23 y d + 4 ( + y) dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(, y) = 2 f(y). Sol.: µ(, y) = 2 e y, y la solución es: 2 2 ye y 2 = c, c R. 55. (Febrero 999) Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas ( + y) 2 = k 2, k > 0. Sol.: 2 + y 2 = c, c R.