ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja 1. A) Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la Regla de Barrow: 4x dx 3) I= π 0

Transcripción

1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja A) Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la Regla de Barrow: ) I= ( + ) ) I= / 4 π 0 cos 4) I= e ( + ) 6) I= 4 0 ( y) / dy B) Hallar el valor medio de las siguientes funciones en los intervalos dados ) y = entre [ ; 4 ] ) y = 5 entre [ - ; ] ) y = sen entre [ 0 ; π / ] C) Graficar la región determinada por las siguientes condiciones y determinar su área: ) y = +, y = 0, = y = ) y = +, y = 0 y = ) y = +, y = 0, = - y = 0 4) y = +, y = 0, = - 4 y = - 5) y = +, y = 0, = - 4 y = 0 6) y = +, y = 0, = - y = 7) y = +, y = 0, =, = - 8) y = +, y = 0 y = 9) y = cos, y = 0, = 0 y = π D) -Si el área encerrada por la recta y = +b, con b > 0, entre = y =, vale 6 ua. Cuál es el valor de b? -Si el área de la región delimitada por la recta y= -+, =0 y =a (con a >0), es / ua. Cuánto vale a? E) Epresar con la integral correspondiente el área de la región sombreada. Calcular dicha área.

2 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) F) Integrales inmediatas: ) I= ) I= b.cos - 4) I= 4.e.- 6) I= a./4 G) Integrales por descomposición: ) I= ( + ) 5 + u ) I= du u

3 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja (z ) dz 4) I= ( 5 + ) H) Resolver las siguientes situaciones problemáticas: ) Dada la función f ( ) =, buscar una primitiva suya, F(), tal que F(0) = 4. ) Determinar una primitiva de la función f ( ) = que pase por el punto (, 0 ). ) La aceleración de un móvil, en caída libre, debida a la gravedad, es constante y aproimadamente de 0 m / s. a) Hallar la función velocidad ( v(t) ) de un objeto que dejamos caer libremente desde una cierta altura y con velocidad inicial nula. b) Hallar la velocidad inicial si, ahora, la velocidad inicial fuese de m / s. (Sugerencia: tener presente que a = dv / dt ) 4) Si un objeto en caída libre tiene una velocidad inicial v 0, al cabo de t segundos, la velocidad del objeto viene dada por v = t + v 0. a) Hallar la función espacio recorrido ( e(t) ) ; es única? b) Y si en el instante inicial el móvil se encuentra a una altura de h metros? ( recordar que v = de/dt ). 5) Encontrar la función f sabiendo que f ()= 6 +, f(0) = y f()= 0 I ) Integrales por sustitución: ) I= /.( ) ) I= + (.sen(4) cos() ) 4) I= cos( π / 6) e + e 6) I=. sen 7) I= 4 + e 9) I= ( ) e a a / 8) I=. ( - ) / ln 0) I=

4 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja 4 ) I= + 4 ) I= ) I= ) I= (9 4 ) / 7) I= ( 6 ) / 8) I= ( 6) / 9) I= ( ) / J) Integrales por partes: ) I=. cos ) I= arctg e. sen () 4) I= ( + )/.ln ( + ) ln 6) I= sen ( ln ) 7) I= ( -+5 ). e - 8) I=. ch K) Integrales racionales: a) denominador con raíces simples 4 7 ) I= ) I= ( ).( + ) b) denominador con raíces reales múltiples

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja ) I= ( ).( ) ) I= + c) denominador con raíces complejas simples ) I= ( ).( ) ) I= ( + ).( + ) d) Resolver: + ) I= ( 9).( ) ) I= ( 6 + 0).( + ) L) Integrales irracionales algebraicas: / ) I= / + / / + ) I= / 6 / 4 / + M ) Integrales trigonométricas : ) I= sen ) I= sen.cos sen cos N) Resolver las siguientes integrales irracionales: / ) I= 6 + / ) I= ( ) / ( )

6 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja 6 Ñ) Resolver las siguientes integrales: ) I= 7.( 5 ) ) I= e + e (4 ) / 4) I= / ( + + 4) 6) I= (-). ( - ) / 7) I= ( ).( + ) + 8) I= 9) I= ) I= ) I= + ) I= sen 6 4) I= 4 ( ) / 6) I= arctg ( / ) 7) I=. ln(/ ) O) -La velocidad de un punto es igual a v = 0. t m / seg.. Hallar el espacio s, recorrido por el punto, durante un intervalo de tiempo t = 0 seg., transcurrido desde el comienzo de su movimiento. -Según datos empíricos la capacidad calorífica específica del agua, a la temperatura tº C ( 0 t 00 ) es igual a : sabiendo que Q = c = 0,998 5, t + 5,9 0-7 t cal/ gramo t c dt t Qué cantidad de calor ( Q) se necesita para calentar un gramo de agua desde 0º a 00º C? -Hallar el trabajo que es necesario realizar para estirar un resorte una longitud = 6 cm. sabiendo que:

7 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja 7 W = f() donde :f() : es la fuerza del resorte, en Kf ( kilogramos fuerza ) : es la longitud, en metros w : trabajo, en Kg-m ( Kilogramo-metros ) f() = 00 P) Calcular el área de la región limitada por las condiciones dadas. Graficar previamente. ) y =, y = ) y = 4, y = 8 ) y = e, y = e -, =, = - 4) y =, y = ( / ), y la recta y = 5) y = ( -/ ) +, y = 6) y =, y =, = 8 7) y = 5, y = + 8) Cuál es el área limitada por y =. e, cuando la abscisa varía entre = 0 y la abscisa para la que la función alcanza su punto máimo? 9) Cuál es el área limitada por y =, y la recta tangente a la parábola cúbica en el punto (,8 )? 0) Cuál es el área limitada por y = y la recta que pasa por su punto de infleión y el punto (,7 )? )Calcular el área de la dos partes en que la parábola y = divide al círculo + y = 8 Q) Dadas las siguientes integrales impropias a) Calcular y analizar si son convergentes, divergentes u oscilantes ) I= ) I= e - + 4) I= 5 6) I= e + e

8 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja 8 7) I= 0 cos b) Calcular : ) I= ) I= ) I= 0 6 / ( 6 ) 6) I= 0 ( ) / 7) I= 0 ln R) Calcular la longitud de arco de las siguientes curvas, en los intervalos indicados y = en el intervalo [,]. ) 4 y = + 4 8, ) ( ) ) y = ln(- ), 0 4) y = (-), desde el punto A(,0) hasta el punto B(,). S) Encontrar el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje o la recta que se especifica. ) y =, =, = alrededor del eje. ) y =, y =, 0, gira alrededor del eje. ) y =, y = 4, al girar alrededor de a ) el eje b ) la recta y = 6

9 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja 9 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS A) Integrales por sustitución: ) I= 4. cos ( 5 ) ) I= ( ) cos sen ( + ). ( + ) / 4) I= arcsen ( ) / 6) I= ) I= B) Integrales por partes: ) I=. sen ) I=. ln 4) I= ( e- ) e ( -4-7 ) e - C) Integrales irracionales: ) I= ( 9 ) / ) I= (4 ) / / ( 4) ( + 6 ) / 4) I= / (5 ) 6) I= / ( + + 7) 7) I= ( + 4 ) / 8) I= ( - ). ( ) /

10 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja 0 D) Integrales trigonométricas: ) I= cos ) I= cos sen. cos 4) I= cos E) a) Graficar la región limitada por las condiciones dadas. b) Calcular el área de dicha región. ) y =, y = ) y =, y = ) y = 4 4, y = 4 4) y =- ++8, y = + 5) y = ( / ), y = 4 - (/), = y = - 6) y = e, y = e -, = 0, = 7) y =, y = +, = - y = 8) y = ( / ) +, y = 9) y = ( + ). ( ), y = 0) y = tg, el eje OX y la recta = π / ) y = cos, y = cos, con 0 π F) - La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v 0 despreciando la resistencia del aire, se epresa por la fórmula v = v 0 g. t donde t es el tiempo transcurrido (seg.), g es la aceleración de la gravedad (9,8 m/ seg ). A qué distancia de la posición inicial se encontrará el cuerpo a los t segundos de haberlo lanzado? - La velocidad de movimiento de un punto es: v = t. e -0.0t m / seg. Hallar la distancia que recorrió el punto si estuvo en movimiento durante una hora. ( Considerar los límites de integración en segundos )

11 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA V : INTEGRALES Hoja Ejercicios para resolver con el software WinFun Integral Indefinida En la guía de actividades de Integrales se resolvieron en los ejercicios F) y G) las siguientes integrales indefinidas. ) I= ) I= bcos Considerar b = - 4) I= 4.e ( 5 ) I=.- 6) I= + ) 7) I= (z ) dz En cada inciso, hallar la gráfica de las funciones integrales (primitivas) que pasan por el punto: a) (-,0) b) (0,0) c) (/,0) Integral Definida ) Verificar con el programa los resultados obtenidos en las actividades de Integral Definida C), D), E) y P) incisos del al 7. ) Calcular las siguientes integrales definidas: a) π 0 5 cos b) + π ( 6 7 ) c) sen π ) Dada la función cúbica: f() = + +(/4)-(/4) a) Calcular la integral definida entre - y b) Calcular la integral definida entre la raíz menor y la raíz mayor. c) Calcular el área delimitada por f() ; el eje y = a, donde a es raíz de la función. d) Calcular el área delimitada por f() ; el eje ; = - y = Comparar las soluciones obtenidas, interpretar y concluir. e) Calcular el área encerrada entre f() y g()= + f) Calcular el área encerrada entre f() y g() = sen entre = -π y = π/ 4 ) Para cada uno de los casos que se indican a continuación, determinar si la integral definida f ( ) coincide con el área de la región comprendida entre el gráfico de f(), el eje, b a = a y = b. Justificar las respuestas: a) f() =, a = 0 y b = 9 b) f() =, = - y = 8