12 Integrales. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría. Completa la siguiente tabla: x 6. f(x) x 6 x 5. x n. f'(x) 4x 3.

Transcripción

1 Integrales. Reglas de integración Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: f() n f'() n f() n n + n + f'() 6 0 n n n Aplica la teoría. ( + ) d ( + ) 8. d + k. e / d e / + k. + d + L. d + L + + k 6. sen ( + ) d cos ( + ) + k 7. cos ( ) d sen ( ) + k 8. tg d L cos / + k 86 SOLUCIONARIO

2 9. e d e + k 7. e d e + k 0. (8 6 + ) d + + k. d 8. d 9. tg d L cos + k. d + k d L k. e tg e d L cos e + k. ( 7 6 ) d k 8. sen / d cos + k. ( ) d ( ) 0. / d / L. cos / d sen / + k 6. d k 7. d + k TEMA. INTEGRALES 87

3 . Integral indefinida y definida Piensa y calcula Calcula la integral F() = d tal que su gráfica pase por el punto (0, ) F() = + Aplica la teoría Calcula tres primitivas de cada una de las siguientes funciones:. f() = f() = sen / cos / cos / + cos / 7. f() = e e e + e 8. f() = ( + + ) d + L Calcula la primitiva de las siguientes funciones para que pasen por el punto que se indica en cada caso:. f() = por el punto (0, 0) P(0, 0) Calcula las siguientes integrales indefinidas: 9. ( 6 + ) d + + k. f() = e por el punto (0, ) e + 0. (sen cos ) d cos sen + k. d P(0, ) 88 SOLUCIONARIO

4 . f() = por el punto (0, ) + Calcula las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow: L + + P(0, ) 7. ( 6 + 0) d F() = + 0 F() F() = 0 = 8 = 6 u 8. e(/) d 6. f() = sen por el punto (π/, ) F() = L F(e) F() = 0 = u cos + 9. e d 0 F() = e F() F(0) = e u P(π/, ) 0. π/(cos ) d 0 F() = sen F(π/) F(0) = 0 = u. Cálculo de áreas Piensa y calcula Calcula mentalmente el área del recinto limitado por el eje y la recta f() = en el intervalo [, ] y = 8 u TEMA. INTEGRALES 89

5 Aplica la teoría Calcula el área del recinto limitado por el eje y cada una de las siguientes funciones en los intervalos que se indican.. f() = + + en el intervalo [, ] F() = cos A = F(π) F(0) = + = A = F(π) F(π) = = Área = A +A = + = u =. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = + + ; g() = + A A = F() = + + A 6 = F() F() = 9 = 0 7 A = F() F() = 9 = Área = A 6 7 +A = + = u. f() = / en el intervalo [, e] f() g() = F() = Área = F() F( ) = = u. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = ; g() = = = e A A F() = L Área = F(e) F() = 0 = u f() = g() =, = 0, = f() g() =. f() = sen en el intervalo [0, π] F() = A = F(0) F( ) = 0 = A 8 8 = F() F(0) = 0 = A π π A 8 7 Área = A +A = + = u 6. Calcula el área comprendida entre el eje y la siguiente función: f() = 90 SOLUCIONARIO

6 7. Calcula el área comprendida entre el eje y la siguiente función: f() = A A f() = 0 =, = F() = 6 6 Área = F() F( ) = = u f() = 0) =, = 0, = F() = A = F(0) F( ) = 0 + = A = F() F(0) = 0 = Área = A +A = + = 8 u. Aplicaciones de las integrales Piensa y calcula Sea la función f() = a) Calcula mentalmente el área comprendida entre el eje y la función f() en el intervalo [0, ] b) Calcula la epresión A() = t dt aplicando la regla de Barrow, y calcula F(). Cómo son los resultados? 0 a) 9 u b) F() = F() = 9 Los resultados son iguales. Aplica la teoría 8. Epresa la función área de la función f() = + en el intervalo [0, ] y calcula el valor del área del recinto limitado por el eje y f() en el intervalo [0, ] A() = (t + ) dt = + A() = u 0 9. Epresa la función área de la función f() = + en el intervalo [0, ] y calcula el valor del área del recinto limitado por el eje y f() en el intervalo [0, ] A() = (t + ) dt = + A() = 7 u 0 TEMA. INTEGRALES 9

7 0. La velocidad de un móvil en m/s se da por la función v(t) = 6 t/, donde t se mide en segundos. Calcula el espacio recorrido por el móvil en los primeros segundos. t 9 e = 0 ( 6 ) dt = m. Calcula la función que epresa la velocidad de un coche que mantiene una aceleración constante de m/s v(t) = 0 t dt = t. Una empresa que hace cajas de cartón para embalar tiene la siguiente función de ingreso marginal, en miles de euros: i() = 8 donde es el número de cajas vendidas en miles. a) Qué ingreso se obtiene por la venta de 000 cajas? b) Cuál es el ingreso adicional al pasar de 000 a 000 cajas vendidas? a) 0 ( ) 8 b) ( ) 8. El coste marginal, en millones de, de una empresa al fabricar motos se epresa por la función: c() = + / donde se mide en miles de unidades. Cuál es el coste adicional al pasar de 000 a 000 unidades? ( ) d = millones de euros. d = 8 mil euros. d = mil euros. 9 SOLUCIONARIO

8 Ejercicios y problemas. Reglas de integración. sen d cos. d L + k 6. ( + ) d ( + ) 6 + k 8 7. sen d 0 cos 8. d 6 9. e d e 0 d tg / d L cos / + k 7 6. d d L 66. e d e 67. cos d sen + k 60. ( ) d cos ( + ) d sen ( + ) 68. d L + k 69. ( + ) d ( + ) + k 9 TEMA. INTEGRALES 9

9 Ejercicios y problemas 70. cos d sen 7. e/ d e / + k d d + L 7 7. ( + ) d 7( + ) 7 ( + ). Integral indefinida y definida Calcula tres primitivas de cada una de las siguientes funciones: 78. f() = 6 8 F () = F () = + F () = 79. f() = / F () = L F () = L + 7 F () = L f() = tg / F () = L cos / F () = L cos / + F () = L cos / 8. f() = 6/ F () = / F () = / + 9 F () = / 7 Calcula las siguientes integrales indefinidas: 7. ( ) d + + k d 76. ( ) + k 8( ) 8. ( + + ) d k 8. (cos / tg ) d sen / + L cos + k 77. tg ( ) d L cos ( ) + k 8. d 9 9 SOLUCIONARIO

10 6 + ( ) 8. ( ( ) + ) d ( ) + L ( ) Calcula la primitiva de las siguientes funciones para que pasen por el punto que se indica en cada caso: 86. f() = ( ) por el punto (, ) 89. f() = cos / por el punto (π,) F() = sen / P(π, ) ( ) f() = e / por el punto (0, 0) P(, ) F() = e / 87. f() = / por el punto (, e) L + e P(0, 0) P(, e) Calcula las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow. 9. ( ) d 88. f() = por el punto (, ) + F() = F() F( ) = F() = d 0 P(, ) F() = F() F(0) = 9. d TEMA. INTEGRALES 9

11 Ejercicios y problemas F() = L F() F() = 6 L = 0 = π A A π/ π A 9. 0 πsen d F() = cos F(π) F(0) = F() = sen A =, A =, A = Área = u. Cálculo de áreas Calcula el área del recinto limitado por el eje y cada una de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 98. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = + ; g() = + 9. f() = 6/ en el intervalo [, e] = = e F() = 6 L Área = F(e) F() = 6 0 = 6 u 96. f() = e en el intervalo [0, ] f() = g() =, = f() g() = + F() = Área = F() F() = + = = u Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = ; g() = 0 = 0 = F() = e Área = F() F(0) = e u 97. f() = cos en el intervalo [0, π] f() = g() = 0, = g() f() = F() = Área = F() F(0) = 0 = u 96 SOLUCIONARIO

12 00. Calcula el área comprendida entre el eje y la siguiente función: f() = + 0. Epresa la función área de la función f() = e en el intervalo [0, ] y calcula el valor del área del recinto limitado por el eje y f() en el intervalo [0, ] A() = 0 e t dt = e A() = e u 0. La velocidad de un móvil en m/s se da por la función v(t) = + t, donde t se mide en segundos. Calcula el espacio recorrido por el móvil en los 6 primeros segundos. f() = 0 =, = F() = + Área = F() F( ) = + = u 0. Calcula el área comprendida entre el eje y la siguiente función: f() = e = 0 6( + t) dt = 0 m 0. Calcula las funciones que epresan la velocidad y el espacio recorrido por una pelota que cae libremente al vacío. Suponemos g = 0 m/s v(t) = 0 t0 dt = 0t e(t) = 0 t0t dt = t La función de ingreso marginal de un producto, en millones de euros, es: f() = 0 = 0, = F() = Área = F() F(0) = 0 = u. Aplicaciones de las integrales i() = donde es el número de unidades vendidas en miles. a) Qué ingreso se obtiene por la venta de 000 unidades? b) Cuál es el ingreso adicional al pasar de 000 a 000 unidades vendidas? 0. Epresa la función área de la función f() = + en el intervalo [0, ] y calcula el valor del área del recinto limitado por el eje y f() en el intervalo [0, ] A() = 0 (t + t) dt = + A() = 8 u a) 0 ( ) d = 6 millones de euros. b) ( ) d = 0 millones de euros. TEMA. INTEGRALES 97

13 Ejercicios y problemas Para ampliar 07. ( + + ) d 6 + L f() = e por el punto (, e) F() = e + ( ) 08. ( ( + ) + ) d P(, e) ( + ) L ( e/ 7 + ) d e / 7 + L 9 + k L 7. f() = por el punto (, ) F() = + P(, ) 0. ( sen ( + ) cos + tg ) d cos ( + ) sen L cos + k. f() = cos por el punto (π,) Calcula la primitiva de las siguientes funciones para que pasen por el punto que se indica en cada caso y haz el dibujo de la función integral para comprobarlo. F() = + sen. f() = por el punto (, ) F() = + P(π, ) P(, ) Calcula las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow, dibuja cada una de las funciones del integrando y haz la interpretación geométrica de la regla de Barrow.. 0 ( + ) d 98 SOLUCIONARIO

14 F() = + F() F(0) = 0 = u 8. π/sen d 0 F() = cos F(π/) F(0) = 0 + = u = 0 = π/ = 0 = El resultado obtenido, u, es el área de la zona coloreada. 6. d El resultado obtenido, u, es el área de la zona coloreada. ( ) F() = F() F() = 6 = u = = Calcula el área del recinto limitado por el eje y cada una de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 9. f() = / ( ) en el intervalo [, e + ] = e + = El resultado obtenido, u, es el área de la zona coloreada e d F() = L Área = F(e + ) F() = 0 = u F() = e F() F(0) = e u 0. f() = e en el intervalo [0, ] = 0 = El resultado obtenido, e u, es el área de la zona coloreada. = 0 = F() = e Área = F() F(0) = + = /e u e TEMA. INTEGRALES 99

15 Ejercicios y problemas. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = + ; g() = f() = 0 = 0, = F() = + Área = F() F(0) = 0 = u. Calcula el área comprendida por el eje y la función f() = f() = g() =, = f() g() = + F() = Área = F() F( ) = + = u 0. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = ; g() = f() = 0 = 0, = F() = 7 7 Área = F() F(0) = 0 = u A A 0. Epresa la función área A() en el intervalo [0, ] limitada por el eje y la función f() =. Dibuja la gráfica f() y A() e interpreta el resultado. f() = g() =, = 0, = f() g() = F() = A = A = / Área = / u. Calcula el área comprendida por el eje y la función f() = + A() = 0 (t ) dt = La función A() halla el área comprendida entre el eje y la recta y = en el intervalo [0, ] 0 6. Epresa la función área A() en el intervalo [, ] limitada por el eje y la función f() = / a) Dibuja la gráfica f() y A() e interpreta el resultado. b) Calcula el valor del área del recinto limitado por el eje y la función f() en el intervalo [, e] 00 SOLUCIONARIO

16 A() = dt = L t La función A() halla el área comprendida entre el eje y la hipérbola y = / en el intervalo [, ] b) A(e) = L e = u a) 7. La velocidad de un móvil en m/s viene dada por la función v(t) = + t, donde t se mide en segundos. Calcula el espacio recorrido por el móvil entre los y segundos. e(t) = ( + t) dt = t + t e() e() = 0 = 6 m Problemas 8. Dadas las curvas de los siguientes gráficos, halla la fórmula de cada una de ellas y luego calcula la integral indefinida. a) b) a) y = F() = b) y = F() = L a) y = + F() = + + k b) y = / F() = L + k 0. Dada la recta y = + a) haz el dibujo de la recta. b) calcula dos primitivas. c) representa en el mismo dibujo de la recta las dos primitivas. d) en qué se parecen las dos primitivas? 9. Dadas las curvas de los siguientes gráficos, halla la fórmula de cada una de ellas y luego calcula la integral indefinida. a) b) F () = + F () = + Una primitiva se obtiene de la otra por una traslación. TEMA. INTEGRALES 0

17 Ejercicios y problemas. Dada la recta del siguiente gráfico: a) halla la ecuación de la recta. b) calcula dos primitivas. c) representa en el mismo dibujo de la recta las dos primitivas. d) en qué se parecen las dos primitivas?. Calcula el área comprendida entre los ejes de coordenadas y la función f() = + + a) y = b) F () = F () = c) 0 F() = Área = F() F(0) = 0 = u d) Una primitiva se obtiene de la otra por traslación.. Dada la curva del siguiente gráfico, halla la fórmula y luego calcula la integral indefinida.. Dada la curva del siguiente gráfico: 0 π/ π π/ π 6 y = sen sen d = cos + k a) halla la fórmula de la función. b) calcula una primitiva y represéntala. c) en qué se parecen la primitiva y la función? a) y = e b) F() = e + c) Una primitiva se obtiene de la otra por una traslación.. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = + ; g() = f() = g() =, = f() g() = + 9 F() = +9 Área = F() F( ) = = 6 u 0 SOLUCIONARIO

18 0 6. Calcula el área comprendida por el eje y la función f() = f() = 0 = 0, = F() = Área = F() F(0) = 0 = u 9. Calcula el área comprendida por el eje y la función f() = + A f() = 0 =, = F() = Área = F() F( ) = 9 = u 7. Calcula el área comprendida por el eje y la función f() = + A f() = 0 =, =, =, = F() = + A = A = /,A = 76/ Área = 8 u 0. Dada la función f() = y una tangente a dicha curva y =, halla el punto de tangencia y el área comprendida por el eje de ordenadas, la curva y la tangente. A A A f() = 0 =, =, = F() = + A = A = Área = 8 u 8. Calcula el área comprendida por el eje y la función f() = = = Punto de tangencia: P(, ) f() g() = + F() = + Área = / u TEMA. INTEGRALES 0

19 Ejercicios y problemas. Calcula el área del recinto limitado por la función f() = y las tangentes a dicha curva en los puntos de corte con el eje de abscisas. Para profundizar. Representa la función: y = y sin utilizar el cálculo integral halla el área comprendida entre el eje y la función en el intervalo [, ] A A y = corta al eje de abcisas en los puntos A(, 0) y B(, 0) y = Recta tangente en el punto A(, 0) y ( ) = y = ( + ) y = 8 f() g() = + + A = 8/ u Recta tangente en el punto B(, 0) y () = y = ( ) y = 8 f() g() = + A = 8/ u Área = 6/ u Área = 6, u. Calcula el área del recinto limitado por el eje y la siguiente función en el intervalo que se indica: f() = tg en el intervalo [0, π/] = = 0 = = π/. El ritmo de crecimiento de una población de aves viene dado por la función f() = + + 8, donde se mide en años, y f(), en miles. En cuánto aumentarán las aves durante el segundo y el tercer año? ( + + 8) d = 6 miles de aves. π/ 0 tg d = L = 0, u 6. Calcula el área comprendida entre el eje,la recta = y la función f() = +. Una tubería se rompe y se pierde agua a una velocidad determinada por la función f(t) = + t, donde t se mide en minutos, y f(t), en litros por minuto. a) Cuál es la función que da la cantidad de agua perdida al cabo de minutos? b) Cuánta agua se pierde durante la cuarta hora? a) F() = 0 ( + t) dt = + b) F() F() = 0 = 8 litros. Área = + d = 8 u = 0 SOLUCIONARIO

20 7. Calcula el área comprendida entre los ejes y la función: f() = El número de nacimientos, en miles, en una población viene dado por la función: f() = + 6 donde se mide en años. El número de muertes,en miles,en la población viene dado por la función g() = 8 + 0, donde se mide en años. Calcula la variación de población entre el segundo y quinto año. 8 Área = 0 ( + ) d = u 8. Dadas las funciones: f() = k ; g() =, halla el valor de k para que el área comprendida entre las dos curvas sea 8/ u Resolviendo la ecuación k = se obtiene, = 0 y = /k /k 0 ( k ) d = 6k Variación de la población: f() g() = + 0 ( + 0) d = 9 mil personas. Resolviendo la ecuación: = 8 k = ± 6k a) k = 0. El coste marginal, en millones de euros, de una empresa al fabricar juguetes se epresa por la función c() = + / donde se mide en miles de unidades. Cuál es el coste adicional al pasar de 000 a 000 unidades? 0 Variación de la población: 9 ( + ) d = millones de euros. b) k = 0. El beneficio marginal, en millones de euros, que se obtiene de un determinado producto viene dado por la función: b() = + + donde son, en miles, las unidades producidas y vendidas. Calcula el beneficio conseguido al aumentar la producción de 000 a 000 unidades. ( + ) d = 6 millones de euros. TEMA. INTEGRALES 0

21 Ejercicios y problemas. Un móvil parte del reposo y tarda segundos en alcanzar una velocidad de 6 m/s. Mantiene esa velocidad durante segundos y comienza a frenar hasta pararse en segundos. Calcula el espacio que ha recorrido. 7 Área = 6 d + 6 d + 9( + 7) d = 0 7 = = m y = 6 y = 6/ y = SOLUCIONARIO

22 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso. Calcula la siguiente integral indefinida: (e sen ) d Resuelto en el libro del alumnado.. Calcula la integral: F() = ( ) d tal que su gráfica pase por el punto P(, ) Representa la integral obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris o DERIVE:. Calcula el área del recinto limitado por el eje y la función f() = en el intervalo [0, ] Resuelto en el libro del alumnado. 6. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso y tema. Resuelto en el libro del alumnado. Practica Calcula las siguientes integrales indefinidas: ( ) 7. ( + ) d L Calcula la integral: F() = ( + ) tal que su gráfica pase por el punto P(, ) Dibuja la integral obtenida para comprobar que pasa por dicho punto ( +e / ) d + e / 9. ) (sen ( + ) cos d cos ( + ) sen 6. Calcula la integral: F() = sen d tal que su gráfica pase por el punto P(π, ) Dibuja la integral obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. TEMA. INTEGRALES 07

23 Linu/Windows F() = cos 6. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = + ; g() = Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o DERIVE. 6. Calcula el área del recinto limitado por el eje y la función: f() = en el intervalo [, ] f() g() = + + Área = u 6. Calcula el área comprendida entre el eje y las funciones: f() = + y g() = A = /, A = /, A = / Área = u 8 f() g() = + Área = u 6. Calcula el área del recinto limitado por el eje y la función: f() = cos en el intervalo [0, π] 66. Calcula el área comprendida entre las funciones: f() = ; g() = + A =, A = Área = u 08 SOLUCIONARIO

24 Windows Derive f() g() = A = A = Área = u 67. Calcula el área comprendida por el eje y la siguiente función: f() = Un coche lleva una velocidad en m/s en función del tiempo según la función: v(t) = 8 t donde t se mide en segundos. Calcula el espacio que recorre el coche entre el primer y el tercer segundo tras iniciarse el movimiento. (8 t) dt = 8 m Área = u 68. Calcula el área comprendida por el eje y la siguiente función: f() = Una empresa que hace programas de software tiene una función de ingreso marginal: i() = donde es el número de programas vendidos. Cuál es el ingreso adicional al pasar de 000 a programas vendidos? ( 000 ) d = A = A = Área = u TEMA. INTEGRALES 09