114 Fundamentos de Matemáticas. Unidad III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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1 114 Fundamentos de Matemáticas Unidad III Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2 115 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Capítulo 7 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7.1 Introducción, conceptos e ideas básicas Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas aplicaciones de la ingeniería como modelos matemáticos de diversos sistemas físicos y de otros tipos, y muchas de las leyes y relaciones se modelan matemáticamente como ecuaciones diferenciales. Siempre que intervenga la razón de cambio de una función, como la velocidad, la aceleración, la desintegración, etc., se llegará a una ecuación diferencial. Definición Una ecuación diferencial ordinaria EDO es aquella que contiene una o varias derivadas de una función desconocida de una variable, y se quiere determinar a partir de la ecuación Suele denominarse por y = y a esa función buscada y por la variable sobre la que se deriva. Así, por ejemplo, se usan indistintamente las notaciones y e dy d : y = cos d y d + 4y = dy d y y + e y = + y El término ordinarias las distinque de las ecuaciones diferenciales parciales en las que la solución depende de dos o más variables. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta. Definición Una ecuación diferencial ordinaria de orden n genérica suele representarse mediante la epresión F ; y, dy d,..., dn y d n = F ; y, y,..., y n = 0 y se dice que una función y = f, definida en un intervalo I R y con derivada n-ésima en el intervalo, es una solución eplícita de la ecuación diferencial si la verifica en cada punto de I. Es decir, si F ; f, f,..., f n = 0 para cada I. Se dice que g, y = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial si define implícitamente a una función f que es una solución eplícita de la ecuación diferencial. Ejemplo La ecuación diferencial + y y = 0 tiene a + y 5 = 0 como solución implícita en el intervalo 5, 5, que define implícitamente la solución eplícita y = f = 5. En efecto, si y = y, derivando respecto a la ecuación implícita +y 5 = 0 se tiene +y y = 0 derivación en implícitas de donde se obtiene la ecuación de partida + y y = 0. Igualmente, para f = 5 es f = 5, y se cumple que es una solución eplícita + f f = = = 0 Algunas ecuaciones resolubles Disponemos de algunas ecuaciones diferenciales que podemos resolver y ya hemos resuelto, por ejemplo y = cos. Es evidente que la podemos resolver, pues y = cos = y = cosd = sen + C No solo hemos encontrado una solución sino que hemos encontrado todas las soluciones posibles. Para cada valor concreto de la contante C tendremos una solución particular de la ecuación diferencial, y a la epresión paramétrica que las define se le denomina solución general. Si lo que buscamos es una solución concreta, que por ejemplo en = 0 valga 5 y0 = 5, la solución pedida será la que cumpla ambas condiciones: en este caso, y = sen + 5. Como la solución general depende de un único parámetro, un única condición añadida determina su valor; incluir más condiciones a cumplir que parámetros a fijar supone que o bien hay condiciones superfluas o no hay solución.

3 116 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7.1 Introducción, conceptos e ideas básicas Definición Este tipo de ecuaciones diferenciales con condiciones adicionales que se refieren todas al mismo punto, se denominan problemas de valores iniciales o problemas de Cauchy y se epresan en la forma { y y = f, y = f; y, y ; y y 0 = y 0 = y 0 ; 0 y 0 = y 1 Cuando las condiciones se refieren a más de un punto se dicen Problemas de contorno y que no trataremos. Nota: En general, una ecuación diferencial de orden n tiene soluciones dependientes de n parámetros. y = cos = y = sen + C 1 = y = sen +C 1 d = cos + C 1 + C Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Antes de seguir buscando nuevos métodos de resolución, fijemos notaciones, condiciones y recursos que nos aseguren soluciones y resultados. Para ello comencemos por las más sencillas?, las de primer orden: Definición Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden escribirse mediante las epresiones: F ; y, y = 0 y = f, y M, yd + N, ydy = 0 que suelen denominarse la forma general o implícita, la forma normal y la forma diferencial, todas ellas válidas y puede usarse una u otra según interese en cada caso ver nota siguiente Nota: La manipulación de los términos de la ecuación diferencial para cambiar de una forma a otra que pueda facilitarnos la resolución, no cambia el grueso de las soluciones, aunque sí puede eliminar alguna solución concreta o añadirla Ejemplo Las eprersiones, y y 1 = 0, y = y 1 y d 1 dy = 0 y 1 son formas distintas de la misma ecuación diferencial, pero la función y = 0 no puede ser una solución en la forma diferencial y sí lo es de las otras formas ver el o ejemplo de la subsección 7..1 de Ecuaciones diferenciales separables Teorema de eistencia y unicidad Sea la ecuación diferencial y = f, y. Si f es una función continua en un abierto y coneo D de R f y si es también continua en D y 0, y 0 D, entonces eiste una única función y = ϕ definida en un entorno de 0 que es solución del problema de Cauchy { y = f, y y 0 = y 0 Muy burdamente, coneo significa un conjunto en un sólo trozo. Es evidente que si no se cumplen las hipótesis, ni eistencia ni unicidad está garantizada aunque puedan ocurrir como en el siguiente ejemplo: Ejemplo Para la ecuación diferencial y = y 1, se tiene que f, y = y 1 es continua en y 0 y f lo es en y > 0. Luego en 0, 0 no se cumplen las { hipótesis del teorema, sin embargo tanto y 1 = 0 como y y = 4 16 son soluciones del problema de Cauchy = y 1 y0 = 0 Ambas verifican la condición en el punto y como y 1 1 = 0 e y 1 = 0 se tiene que 0 = y 1 = y 1 1 = 0. Idénticamente, y 1 = 4 e y = 3 3 4, luego 4 = 4 también cumple la ecuación. Observación Han aparecido aquí funciones de varias variables y conviene matizar un par de cosas sobre su uso, dado que no se han estudiado. Las funciones de las que hablamos son funciones reales que dependen de varias variables, pero se construye la continuidad de manera identica a como se hace en una variable, por lo que las condiciones para la continudad son parecidas. Del mismo modo, la derivación es distinta bastante diferente pero son clave las derivadas parciales, que no es más que una derivada normal respecto a una variable donde suponemos para derivar que las otras variables son constantes. Para enfatizarlo se escribe d f, y o df, y cuyo significado nos es más conocido. Así, para f, y = y y 3 d + y es f, y = d f, y = y y3 y f, y = 6y + 1

4 117 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7. Métodos de resolución 7. Métodos de resolución La resolución de estas ecuaciones diferenciales se basa en la búsqueda de primitivas en un sentido amplio, de funciones de una variable y de funciones de dos variables. Los dos primeros métodos que veremos marcan estas dos pautas de resolución y todos los demás han de reducirse a alguno de ellos 7..1 Ecuaciones diferenciales separables Definición 19.- Si la ecuación diferencial y = f, y puede escribirse en la forma gy y = f o mejor gy dy = f d se denomina ecuación diferencial separable o de variables separables Y como parece indicar la segunda opción, se resuelven mediante integraciones independientes en cada una de las variables e y : Una solución y debe cumplir la ecuación gy y = f, luego ambos términos serán funciones de, por lo que integrando en ambos lados de la igualdad y un sencillo cambio de variable { } y = t gy y d = f d y gt dt = f d d = dt { } y = y que en el fondo es y gy dy = f d d = dy Luego, si denotamos por las mayúsculas a sendas primitivas, se tiene que Gy = F + C. Por lo que la función Gy F = C es la solución general implícita de la ecuación diferencial Ejemplo La ecuación diferencial + y dy d = 0 es separable pues y y = ó y dy = d = y dy = d = y = + C = + y = C = K que es la solución general, con K 0. Ejemplo La ecuación diferencial y = y 1 1 es separable, pues puede escribirse como y 1 dy d = y 1 dy = d = y 1 = + C = y 1 = 4 + C = y = 4 + K y la solución general de es y = K para todo K R. Ahora bien, para obtener hemos dividido 1 por y 1 y, puesto que buscamos una solución de la forma y = y, la función constantemente 0 no puede ser solución de, pero sí resulta ser una solución de 1. Es decir, todas las soluciones de la ecuación inicial 1 son y = 0 e y = 4 + K, para cada K R. Las soluciones, como esta y = 0, que no aparecen incluidas en la epresión con parámetros de la solución suelen denominarse soluciones singulares. 7.. Ecuaciones diferenciales eactas La eistencia de una solución implícita, que es una función real de dos variables y cuya derivación debe reconstruir la ecuación diferencial, nos indica el método para la resolución: buscar esa primitiva cuya derivada es la ecuación. Una función ϕ, y = C que define implícitamente una función y, es también una solución implícita de la ecuación diferencial. Derivando respecto a, se tiene ϕ + ϕ = 0 ϕ dy d + ϕ = 0, con epresiones más comunes: f, y y + f 1, y = 0 f 1, y d + f, y dy = 0

5 118 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7. Métodos de resolución Definición Una ecuación de primer orden dada en la forma diferencial por M, y d + N, y dy = 0 se dice que es eacta en un abierto y coneo D si eiste ϕ tal que ϕ ϕ, y = M, y, y = N, y para cada, y D. Entonces, ϕ, y = C es la solución general de la ecuación diferencial. Teorema Si se cumple que tal que ϕ, y = M, y y ϕ M N, y =, y, y = N, y en cada punto de D. en cada punto de un abierto y conveo D, eiste ϕ Calculo de ϕ: Si sabemos que ϕ eiste, podemos hacerlo sencillamente obligando a que cumpla lo que tiene que cumplir. Para ilustrar el método, consideremos el siguiente ejemplo de ecuación diferencial eacta: y +y cos d + y+3y +sen dy = 0 ya que y +y cos = y+cos = y+3y +sen ϕ debe verificar que ϕ, y = M, y = y +y cos, luego considerando y como constante, ϕ debe ser una primitiva de M, es decir, ϕ, y = M, y d = y + y cos d = y + y sen + Ky siendo Ky la constante de integración, que será constante respecto a pero que podría contener alguna constante y recordad, en este punto consideramos y como constante ϕ también debe verificar que ϕ, y = N, y = y+3y +sen, luego debe verificarse que y+3y +sen = ϕ, y = y + y sen + Ky = y + sen + K y De donde, K y = 3y y por consiguiente Ky = K ydy = 3y dy = y 3 + C con C la constante de integración. Luego hemos construido ϕ, y = y + y sen + Ky = y + y sen + y 3 + C y se tiene entonces que y + y sen + y 3 + C = 0 es la solución general implícita de la ecuación diferencial Observaciones Unas consideraciones interesantes sobre este cálculo y el método 1.- En el segundo paso, K y es una función de y, luego constante o con la variable y, pero en ningún caso debe tener la variable. Si esto sucede, o bien hemos errado en los cálculos o bien la ecuación diferencial no es eacta.- Antes de intertar calcular la función ϕ, debe comprobarse que la ecuación diferencial es eacta 3.- La construcción de ϕ puede hacerse también intercambiando las variables e y en los dos pasos, es decir, comenzando por considerar ϕ una primitiva de N respecto a y. De hecho, conviene comenzar por la que tenga el cálculo de la primitiva más sencillo. 4.- Es evidente del planteamiento de este método, que se están usando las variables e y como independientes, y también es independiente el cálculo de la función primitiva. El resultado es independiente de si buscamos una solución y = y o una = y; nosotros decidiremos de que tipo buscamos y nos aseguraremos entonces de que todas esas soluciones se encuentren. Nota: La ecuaciones separables también son ecuaciones eactas, pues si gy y = f, entonces en la forma diferencial f d gy dy = 0 se cumple obviamente la condición anterior.

6 119 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7. Métodos de resolución 7..3 Factores integrales Desgraciadamente, las ecuaciones diferenciales no son habitualmente eactas, pero en ocasiones lo son si se multiplican por una función adecuada. Definición Se dice que la función µ, y no nula en un abierto, es un factor integrante de la ecuación M, y d + N, y dy = 0 si la ecuación diferencial µ, y M, y d + N, y dy = 0 µ, ym, y d + µ, yn, y dy = 0 es eacta. Observar que si µ, y es no nula, las soluciones de la nueva ecuación solo pueden ser soluciones de la ecuación inicial. En caso de no ser así, deben comprobarse aquellas soluciones que provengan de µ, y = 0. Buscar factores integrantes cualesquiera no es tarea fácil, pero no es ecesivamente complejo si el factor depende de una sola variable: Factores integrales de la forma µ o µy Veamos las condiciones para admitir un factor integrante dependiente únicamente de la variable. La función µ es un factor integrante si cumple que M, y µ de donde µm, y = µn, y M, y µ M,y N, y N,y N, y µ = ep M,y = N, y µ = N, yµ = µ µ N,y N,y = f = d. + µ N, y M,y N,y N, y d = µ µ d = ln µ Analogamente, para un factor integrante de la forma µy debe ser µ y µy = M N M = fy. Ejemplo La ecuación seny d + y cosy dy = 0 admite un factor integrante µ. En efecto, M N = cosy y y cosy = 3y cosy y se eliminan todas las y si dividimos por N, de donde M N N = cosy y y cosy y cosy = 3y cosy y cosy = 3 = µ µ 3 ln µ = d = ln 3 = µ = 3. Luego es eacta la ecuación: 3 seny d + 4 y cosy dy = 0 Resolviendo, ϕ, y = M, yd = M N = cosy y 4 3 y cosy = 0 3 seny d = 4 seny + Ky y como 4 y cosy = N, y = ϕ = 4 cosy y + K y = K y = 0 = Ky = C de donde, 4 seny = C o 4 seny = C es la solución general. Comprobar que también admite un factor integral de la forma µy y resolverla.

7 10 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7. Métodos de resolución 7..4 Ecuaciones lineales Un caso de factor integrante son las ecuaciones lineales, que admiten siempre un factor µ. Pero que son reconocibles por: Definición Se dice que una ecuación diferencial de orden uno es lineal, si puede escribirse en la forma y su factor integral es, dy + P y = Q d µ = ep P d = e P d. En efecto, si P y Q d + dy = 0 se llega al resultado lnµ = se tiene M N N = P 0 1 = P = µ µ de donde P d = µ = e P d. Entonces, como µp = µ, se tiene µy + P y = µ y + µ P y = µ Q µ y + µ y = µ Q µ y = µ Q µy = µq d = y = 1 µ µq d Luego no sólo estas ecuaciones lineales ofrecen una solución alcanzable con un método sencillo, sino que además la solución viene directamente dada de forma eplícita algo no ecesivamente habitual como hemos visto. Las ecuaciones diferenciales lineales aparecen con mucha frecuencia en las aplicaciones prácticas y, al igual que aquí, su generalización a órdenes superiores ofrece uno de los pocos tipos de ecuaciones resolubles por métodos generales siempre y cuando podamos encontrar las primitivas, claro!. Ejemplo La ecuación y + + y = e es lineal, si la escribimos en la forma y + + y = e. Además, 1 + d = + ln = + ln y su factor integrante es µ = e +ln = e. De donde e y + e + y = e e y = e e y = y = e + C e y = e + Ke e d = e + C 7..5 Ecuaciones un poco especiales * Ecuaciones de Bernoulli Es una especie de generalización de la lineal, por lo que puede remitirse a una de ellas, pero también admite un factor integrante que genariza el de la lineal Definición Se dice que una ecuación diferencial de orden uno es de Bernoulli, si puede escribirse en la forma dy d + P y = Qyα α R y que se convierte en lineal con el cambio ν = y 1 α. Además, directamente admite el factor integral µ, y = 1 P d y α ep 1 αp d = e1 α y α Ejercicio Comprobar que la ecuación diferencial y = y + y3 es de Bernoulli, y obtener su solución y + y = C mediante el cambio a una lineal y también directamente con el factor de integración.

8 11 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7.3 Aplicaciones Ecuaciones reducibles a separables Proposición Si una ecuación diferencial y = f, y puede epresarse en la forma y y = f, y = g el cambio y = z la convierte en una ecuación de variables separables en y z Nota: Una caracterización sencilla para este tipo es comprobar si se cumple que M1, y N1, y = M,y N,y, pues entonces obtenemos g y directamente. En particular, se obtiene rápidamente este resultado si M y N son polinomios cuyos monomios son todos del mismo grado ver ejemplo siguiente. Ejemplo La ecuación 3y d + y dy = 0 es reducible a separables, pues M, y N, y = + 3y y = 3y y = 3 y 1 y Entonces haciendo el cambio y = z, con dy = z d + dz, se tiene 3y d + y dy = 0 3z d + zz d + dz = 0 1 3z d + z d + 3 z dz = 0 1 z d + 3 z dz = 0 3 z dz = 1 z d = z z 1 dz = d = 1 z 3 1 z dz = d Luego ln 1 z = ln + C C R = ln 1 z = ln K K > 0 = y 3 = C C R = y = 3 C con C R. Las soluciones z = ±1 dividimos por 1 z, es decir y = ± han sido eliminadas, sin embargo están incluidas en la solución general con C = 0 Ejercicio Comprobar que, en el ejemplo, las soluciones y = e y = lo son de la ecuación diferencial inicial y no contradicen el Teorema de eistencia y unicidad para un problema de valores iniciales en 1, 1, ni en 1, 1 y tampoco en 0, Aplicaciones Como ya hemos comentado que muchas de las leyes y relaciones científicas obtienen su epresión mediante este tipo de ecuaciones y, en particular, casi todas las epresiones de los sucesos con variaciones de magnitudes relacionadas variación de la velocidad en funcion del tiempo, crecimiento de cultivos según la temperatura, Trayectorias ortogonales Un fácil ejemplo del uso de las ecuaciones diferenciales lo encontramos en la búsqueda de trayectorias ortogonales curvas que intersecan a otras con ángulos rectos, cuya dualidad aparece con frecuencia: meridianos y paralelos terráqueos, curvas de fuerza y líneas equipotenciales de los campos eléctricos,... Dada una familia uniparamétrica de curvas F, y, c = 0 para cada valor de c la ecuación representa una curva en R, puede representarse mediante una ecuación diferencial de la forma y = f, y derivando implícitamente F, y, c = 0 y eliminando el parámetro entre ambas ecuaciones Definición Si una familia de curvas viene representada por y = f, y, entonces las trayectorias ortogonales de la familia deben cumplir la ecuación diferencial y = 1 f, y

9 1 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7.4 Ejercicios Nota: : Baste recordar que en una curva y = g, la pendiente en un punto 0 viene dada por m = g 0 y la recta ortogonal tiene que tener de pendiente 1 m Trayectorias de ángulo β Estas trayectorias se puede generalizar a cualquier ángulo, aunque no sea un ángulo recto. Si buscamos las trayectorias que formen un ángulo β con la familia y = f, y, como esto significa que y = f, y = tg α, para que las curvas buscadas formen con ellas un ángulo β deben cumplir la condición y = tgα + β. Luego, al ser α = arctgf, y, se tiene que es la ecuación a resolver. y = tgα + β = 7.3. Modelado de problemas tg α + tg β f, y + tg β = 1 tg α tg β 1 f, y tg β Hay muchos problemas que pueden modelarse como ecuaciones diferenciales: velocidad de caida de un paracaidista, desintegración radiactiva, variaciones de temperatura,... o por ejemplo variaciones de las mezclas, que es el ejemplo que vamos a usar. Quizá sea la manera más sencilla de verlo. Ejemplo Un tanque contiene 00 l de agua en los que hay disueltos 40 kg de sal. Al tanque, le entran 10 l/min cada uno de los cuales contiene 0 7 kg de sal disuelta y, la mezcla homogénea sale a razón de 5 l/min. Encontrar la cantidad de sal yt que hay en el tanque en cualquier tiempo t. La variación de sal en la unidad de tiempo, y = dy dt, es por supuesto la cantidad entrante menos la saliente: entran 10 l/min a 0 7 Kg/l que suponen 10 l min 0 7 kg l = 7 Kg min y salen 5 l/min de una salmuera formada por los yt kilos de sal que hay en este momento disueltos en los t 5t litros actuales en cada unidad de tiempo añadimos 10 litros y quitamos 5, por lo que aumentamos a razón de 5 litros por unidad de tiempo. Luego tenemos el problema de valores iniciales y t = 7 yt t puesto que incialmente t = 0 eistían 40 kilos de sal en el agua. 7.4 Ejercicios y0 = Probar que y = e e t dt es una solución de la ecuación y = y Para que valores de la constante m sera y = e m solución de la ecuación y + y 5y + y = Comprobar que la ecuación diferencial yy = + 1y + 1 es separable y encontrar la curva y solución cumpliendo que y1 = Comprobar que las siguientes ecuaciones son eactas y resolverlas: a 3 y + e y d e y ydy = 0 b y 3 1 d 1+9 c e y 1 sen y sen d + cos cos y yey sen sen y dy = 0 d y d+ dy 1 y + d = 0 dy + 3 y = Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, comprobar si son separables y si son eactas o admiten un factor de integración de la forma µ y µy. Resolverlas por esos métodos. dy a d = y 1 e +y b y = y+3 y+3 +4y c e yy = e y + e y d 4 + y 4 d y 3 dy = 0 e y + yd dy = 0 f + ydy = 1 yd g y y = y d dy h y = y +y i + 3y 1d 4 + 1dy = 0 j + y dy + y yd = 0 k sen y y = y sen y + l y + yd + y 3 dy = 0

10 13 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7.4 Ejercicios Se sabe que la ecuación P, yd + + y dy = 0 admite como factor integrante a µ =, que d dp, y = 3y y que P 0, 1 = 0. Encontrar P, y y hallar la solución de la ecuación que pasa por el punto 0, y 0 = 1, Comprobar que son lineales en y o en y resolverlas: a y + + y = e b y + y = 1 1+e c y + y cos = sen d y y d + dy = 0 e + = e y d f dy + y + y 3 = 0 g y dy y = h d = y+3 1 i y d + + y 1 y dy = Resolver la ecuación diferencial de orden dos y + y = Resolver la ecuación 0 ytdt = y Probar que el cambio de variable z = gy convierte a la ecuación g yy + gyp = f en una ecuación lineal en z. Utilizar esto para resolver la ecuación e y yy + = Comprobar que el cambio de variable y = z, con dy = zd + dz, convierte la ecuación + y y d + y + y dy = 0 en una separable en las variables y z, y resolverla Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = ce ++1, con c una constante arbitraria Hallar la familia ortogonal de curvas a la familia de curvas dadas por la ecuación y = lntg + c 7.01 Encontrar la curva de la familia de trayectorias ortogonales a y 3 + c = 3 que pasa por el punto 3, Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El área bajo el arco de la curva entre 0, 0 y, y es un tercio del área del rectángulo que tiene a esos puntos como vértices opuestos. Hallar la ecuación de las curvas que cumplen dicha condición y la familia de curvas ortogonales a ellas 7.03 Un gran deposito contiene 1000 litros de agua en la que estan disueltos 30 Kgs. de polvo de tinta. A partir del instante t = 0 se introduce agua pura a razon de 3 l/min y la mezcla sale del deposito a razon de l/min. Encontrar la función que rige la cantidad de tinta en cada momento 7.04 Un deposito tiene 00 Kg. de sal disueltos en 1000 litros de agua. A partir del instante t = 0 se introduce agua pura a razon de l/min y la salmuera que se mantiene homogénea sale del deposito a razon de l/min. Cuánto tiempo se necesitará para reducir la cantidad de sal a la mitad? 7.05 En un deposito con 1 m 3 de salmuera se comienza a introducir agua pura a razon de 3 litros por minuto y la mezcla que se mantiene homogénea sale del deposito a razon de l/min. Si al cabo de 1000 minutos quedan en la mezcla 0 kg de sal, cuánta sal había en el momento de comenzar a echar el agua? 7.06 Un vino tinto se saca de la bodega a 10 grados centigrados y se deja reposar en un cuarto con temperatura de 3 grados. Calcular la fórmula para la temperatura en función del tiempo, si el vino tarda 10 min. en alcanzar 13 grados. Se supone que se verifica la ley de Newton: la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre él y el medio que le rodea Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas por hora en el momento en el que se le agota el combustible. Si el agua se opone a su movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad, y si en una milla de recorrido reduce su velocidad a 30 millas por hora, a qué distancia se detendrá? 7.08 Un tanque contiene 800 litros de salmuera en la que se han disuelto 8 kgs. de sal. A partir del instante t=0 comienza a entrar salmuera, con una concentración de 50 grs. de sal por litro, a razón de 4 litros por minuto. La mezcla se mantiene homogénea y abandona el tanque a razón de 8 litros por minuto. a Hallar la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora. b Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando solo quedan 00 litros de salmuera.