xy si corresponde a la diferencial de alguna función f ( x, y ). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

Transcripción

1 E.D.O para Ingenieros CAPITULO ECUACIONES EXACTAS La sencilla ecuación d + d 0 es separable, pero también equivale a la diferencial del producto de por ; esto es, d + d d( ) 0 Al integrar obtenemos de inmediato la solución implícita c En cálculo diferencial, el lector deber recordar que si z f (, ) es una función de primeras derivadas parciales continuas en un región R del plano, su diferencial (que también se llama diferencial total) es Entonces, si f (, ) c de acuerdo con (1) df df dz d d (1) d + d df df d + d 0 () d d En otras palabras, dada una familia de curvas f (, ) de primer orden si calculamos la diferencial total; por ejemplo, si o en d 5 + ( 5 ) d ( 5 ) d 0 c, podemos generar una ecuación diferencial 5 c +, Para nuestros fines, es más importante darle vuelta al problema, o sea: dada una ecuación como d 5 d 5 + Podemos demostrar que la ecuación equivale a d( 5 + ) 0? DEFINICIÓN: Ecuación Eacta. Una ecuación diferencial M (, ) d + N(, ) d es una diferencial eacta en una región R del plano si corresponde a la diferencial de alguna función f (, ). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M (, ) d + N(, ) d 0 es una ecuación diferencial eacta (diferencial eacta o ecuación eacta), si la epresión del lado izquierdo es una diferencial eacta.

2 E.D.O para Ingenieros CAPITULO Ejemplo 01 (Ecuación diferencial eacta) La ecuación d + d 0 es eacta, porque Obsérvese que, en este ejemplo, si 1 + d d d M (, ) Entonces:, N(, ) El teorema.1 indica que esta igualdad de derivadas parciales no es una casualidad. Sean las funciones M (, ) e N(, ) continuas, con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a < < b, c < < d. Entonces, la condición necesaria suficiente para que M (, ) d + N(, ) d sea una diferencial eacta es que Demostración: (Demostración de la Necesidad) d M d N (4) d d Supongamos M (, ) N(, ) tienes primeras derivadas parciales continuas en toda (, ). Si la epresión M (, ) d + N(, ) d es eacta, si eiste una función f tal que, para todo de R, df df M (, ) d + N(, ) d d + d d d En consecuencia M (, ) N(, ) Y además: d La igualdad de las derivadas parciales mitas es consecuencia de la continuidad de las primeras derivadas parciales de M (, ) N(, ). E.D.O para Ingenieros 4 CAPITULO MÉTODO DE SOLUCIÓN Dada una ecuación de la forma M (, ) d + N(, ) d 0, se determina si es válida la igualdad (4). En caso afirmativo, eiste una función f para la cual M (, ). Podemos determinar f si integramos M (, ) con respecto a, manteniendo constante: f (, ) M (, ) d + g( ) (5) En donde la función arbitraria g( ) es la constante de integración. Ahora derivamos (5) con respecto a supondremos que N(, ) M (, ) d + g '( ) N(, ). Esto da g '( ) N (, ) M (, ) d (6) Por último integramos (6) con respecto a, sustituimos el resultado en la ecuación (5). La solución de la ecuación es f (, ) c. NOTA. Es pertinente hacer algunas observaciones. La primera es importante darse cuenta de que la epresión N(, ) M (, ) d en la ecuación (6) es independiente de porque: N N M N(, ) M (, ) d M (, ) d 0 En segundo lugar, también pudimos iniciar el procedimiento anterior suponiendo de N(, ) Después de integrar N con respecto a derivar el resultado, llegaríamos a los análogos de las ecuaciones (5) (6) que serían, respectivamente, f (, ) N(, ) d + h( ) h'( ) M (, ) N(, ) d En ambos casos, no se deben memorizar las fórmulas. (La suficiencia) Veamos que eiste una función f, para el cual M (, ) N(, ), siempre que se aplique la ecuación (4). En realidad, la construcción de la función f constitue un procedimiento básico para resolver las ecuaciones diferenciales eactas.

3 E.D.O para Ingenieros 5 CAPITULO Ejemplo 0 Solución de una ecuación diferencial eacta. E.D.O para Ingenieros 6 CAPITULO Ejemplo 0 Solución de una ecuación diferencial eacta Resolver: d + ( 1) d 0 Resolver ( e cos ) d + (e cos + ) d 0 Igualamos M (, ), N, tenemos: (, ) 1 En consecuencia la ecuación es eacta, de acuerdo con el teorema.1 eiste una función f (, ), tal que: Al integrar la primera de estas ecuaciones obtenemos f (, ) + g( )., 1 Determinamos la derivada parcial con respecto a, igualamos el resultado a N(, ) obtenemos: + g '( ) 1 N(, ) Por lo tanto, g '( ) 1 g( ). No es necesario incluir la constante de integración en este caso porque la solución es f (, ) En la siguiente figura se ilustra las curvas de la familia NOTA La solución de la ecuación no es c 1 c 1 c f (, ), sino que es f (, ) c. c o f (, ) 0, si se usa una constante en la integración de g '( ). Obsérvese que la ecuación 0 también se podría haber resuelto por separación de variables. La ecuación es eacta, porque e + sen cos Entonces, eiste una función f (, ), para el cual N f M (, ) N(, ) Para variar, comenzaremos con la hipótesis N(, ) Esto es, e cos + f (, ) e d cos d + d Recuérdese que la razón por la que sale del símbolo es que en la integración con respecto a se considera que es una constante ordinaria. Entonces f (, ) e sen + + h( ) + e cos h'( ) e cos M (, ) Así que h'( ) 0 o h( ) c, por consiguiente, una familia de soluciones es: Ejemplo 04 Un problema de valor inicial e c sen Resolver el problema de valor inicial (cos sen ) d + (1 ) d 0, (0). Solución La ecuación es eacta, porque: Entonces (1 ) f (, ) (1 ) + h( ) + h'( ) cos sen

4 E.D.O para Ingenieros 7 CAPITULO La última ecuación implica que h'( ) cos sen. Al integrar obtenemos Así. 1 h( ) (cos )( sen) d cos 1 (1 ) cos c1 o sea (1 ) cos c, Donde hemos reemplazado c c1 Para que se cumpla la condición inicial cuando 0, se requiere que: decir, que c. Así, una solución del problema es (1 ) cos 4(1) cos (0) c, es NOTA: Al probar si una ecuación es eacta se debe asegurar que tiene la forma precisa M (, ) d + N (, ) d 0. Quizá en ecuaciones haa una ecuación diferencial de la Ejemplo 05. forma C(, ) d H (, ) d. En este caso se debe reformular primero como G(, ) d H (, ) d 0, después identificar M (, ) G(, ) N(, ) H (, ), sólo entonces aplicar la ecuación (4). Resolver: + e + ( + cos ) ' 0 Epresamos la ecuación de la forma: d Como: + e + ( + cos ) 0 d ( + e ) d + ( + cos ) d 0 Entonces: Verificamos M (, ) + e N(, ) + cos ( + e ) ( + cos ) De lo anterior la ecuación diferencial es EXACTA. Calculando la función potencial f (que nos dará directamente las soluciones f (, ) C) Si M (, ) + e ( I) N(, ) + cos ( II ) Integrando ( I ) respecto de,se tiene: Derivando respecto de, lo anterior: f (, ) + e + g( ) ( ) E.D.O para Ingenieros 8 CAPITULO + g '( ) Igualando con ( II ), tenemos: + g '( ) + cos De aquí g '( ) cos [ ] d g( ) cos d Integrando respecto de g( ) sen + C1 Luego, reemplazando en ( ), obtenemos: f (, ) + e + sen + C1 Por lo tanto la solución de la E.D. es: f (, ) C0 + e + sen + C1 C0 Lo que es lo mismo: + e + sen + C 0 donde C C1 C0 Ejemplo 06. Resolver: De la epresión dada: M (, ) Verificamos ( ) 4 ( ) d + ( + 4) d 0 N (, ) ( 4) 4 De lo anterior la ecuación diferencial es EXACTA. Calculando la función potencial f (que nos dará directamente las soluciones f (, ) C) Si M (, ) ( I) Integrando ( II ) respecto de,se tiene: Derivando respecto de, lo anterior: Igualando con ( I ), tenemos: f g (, ) ( ) ( ) + g '( ) + g '( ) g [ ] De aquí '( ) Integrando respecto de g( ) Luego, reemplazando en ( ), obtenemos: Por lo tanto la solución de la E.D. es: f (, ) N + II d g( ) d f (, ) + 4 C + 4 C (, ) 4 ( )

5 E.D.O para Ingenieros 9 CAPITULO Ejemplo 07. Resolver: 1 d d + cos sen 0 1 La epresión podemos representar como: 4 + sen d cos d En este caso se tiene:: 1 M (, ) 4 + sen N(, ) + cos Verificamos sen sen + Además: Se observa que N cos sen, Como no se verifica la condición, podemos afirmar que la E.D. NO ES EXACTA. Ejemplo 08. Hallar el valor de k para que la ecuación diferencial sea eacta: 4 ( + k ) d + ( + 0 ) d 0 Vemos que: + 4 M (, ) k Para que sea diferencial eacta, se debe cumplir que: Por lo tanto: Igualando: N (, ) ( + k ) + 4k ( + 0 ) k + 40, resolviendo: 4 k 40 k 10 Rpta. E.D.O para Ingenieros 10 CAPITULO Ejemplo 09. Obtener una función M (, ) tal que la siguiente ecuación diferencial sea eacta: 1 Como : N(, ) e + + Para que la E.D. eacta se debe cumplir que: 1 M (, ) d + e + + d 0 Como: N 1 1 e + + e + e + Dela condición igualando: 1 e + e + 1 d M e + e + d Integrando lo anterior respecto de ( representa una constante), se obtiene: Entonces: Luego: Ejemplo ( 1) 1 M (, ) e + e + d e e g( ) ( 1) 1 M (, ) e + e + d e e g( ) M (, ) e + + g( ) Mostrar que la siguiente ecuación diferencial NO es una E.D. eacta: 6 d + (4 + 9 ) d 0 que al multiplicarla por De la E.D. (, ) 6 d + (4 + 9 ) d 0 Se tiene: M (, ) 6 Verificando se es una E.D. Eacta: ( 6 ) 6 µ es una E.D. eacta, por lo tanto puede resolverla. N(, ) ( )

6 E.D.O para Ingenieros 11 CAPITULO N Esto es,, por lo tanto NO es una E.D. Eacta. Si multiplicamos el factor La E.D resultante es: Llamando nuevamente: µ (, ) 6 d + (4 + 9 ) d 0 M (, ) 6 ( I) Verificando que es una E.D. Eacta: ( 6 ) 18 N + II ( ) (, ) 4 9 ( ) Integrando la primera ecuación en ( I ) respecto de (manteniendo a constante), se obtiene: f (, ) + g( ) Esto es por ( II ) igualando: 9 + g '( ) Luego: f (, ) g '( ) 4 9 g '( ) g( ) Por lo tanto, la solución general de la E.D. por ende de la ( I) es: Ejemplo 11. f (, ) C 4 C 4 + Mostrar que la E.D. ( sen + cos ) d + cos d 0 mostrar que el factor: µ (, ) al multiplicar a la E.D. se convierte en EXACTA resolverla. Si llamamos: M (, ) sen + cos Con lo que: En consecuencia: M sen + cos M N Si multiplicamos el factor µ (, ) NO es una E.D. EXACTA N(, ) cos cos sen + + ( sen cos ) d cos d 0 E.D.O para Ingenieros 1 CAPITULO Nuevamente llamamos: Con lo que: M (, ) sen + cos ( I) M sen + 4 cos N II luego, es una E.D. EXACTA (, ) cos ( ) Integrando la segunda ecuación ( II ) respecto de (manteniendo a constante), se obtiene: f + g (, ) cos ( ) ( ) cos sen + g '( ) sen + cos Esto es: g '( ) 0 g( ) k, reemplazado en ( ) + f (, ) cos k Por lo tanto, la solución general de la ED por ende de la es: cos k c1 + ECUACIONES EXACTAS (Resumen). cos c Son de ecuaciones diferenciales de la forma: M (, ) d + N(, ) d 0, Es decir: Se debe verificar que se cumple: cos c1 k d M (, ) ' d N(, ), Se busca una función f (, ) tal que df Md + Nd, la solución de la E.D. es f (, ) C. (Siendo C una constante).