Ecuaciones diferenciales de variables separables.

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Encarnación Ávila Torregrosa
hace 7 años
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1 Ecuaciones diferenciales de variables separables. Una ecuación diferencial ordinaria separable es una ecuación diferencial que puede escribirse de la forma u( ) g u o más brevemente, considerando a como la función de dada por ( ) {Ecuacion} u, una ecuación diferencial que puede escribirse como g, Podemos escribir la ecuación () como Puesto que es una función de, tenemos que integrar {Ecuacion} para obtener g, g. {Ecuacion}. Por lo tanto, podemos lo que da lugar a una ecuación que define de manera eplícita o implícita la solución de la ecuación diferencial. En el proceso de solución de una ecuación diferencial separable, puede ser conveniente escribir la ecuación diferencial en forma de diferenciales. Por ejemplo, la ecuación diferencial. se escribe en forma de diferenciales como El único propósito de esta notación es aclarar que, para obtener la solución de la ecuación diferencial, el lado izquierdo de la ecuación a de integrarse con respecto a, mientras que el lado dereco de la ecuación a de integrarse con respecto a. Definición: una ecuación diferencial ordinaria EDO, de primer orden de la forma F, se dice de variables separables si es posible factorizar F,, f ( ) g( ) F Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia: Procedimiento: Paso i. Factorizar el segundo miembro (factorizar: F, f ( ) g( ) en la forma ) si tal factorización no es posible, se conclue que la ED no es de variables separables el procedimiento no continua.

2 Paso ii: Separar las variables. Hacer algebra para poner variables diferentes en lados diferentes: g F f, f() g Paso iii. Integrar. Integrando la epresión con respecto a obtenemos: f g o simplemente f g Paso iv. C Despejar opcional. Debido a que representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir, tener como solución una epresión de la forma: epresión en en caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma eplícita, en caso contrario (cuando no fue posible despejar ), se dice que la solución está en forma implícita. Ejemplo. Resuelve la ED: C Primero revisamos si la ED es de variables separables f g Separando las variables tenemos: Integrando alcanzamos: La epresión constante C. si graficamos las soluciones para diferentes valores de C tenemos: C representa una familia de soluciones: una solución para cada valor de la

3 Ejemplo. La ecuación diferencial, {Ecuacion} es separable. Al escribirla en forma diferencial tenemos, donde es necesario acer la restricción de que 0. Al integrar ambos lados obtenemos C, de modo que la solución de la ecuación diferencial C viene dada por la ecuación. Antes de dar más ejemplos de ecuaciones diferenciales separables, es conveniente acer una aclaración usando en el ejemplo anterior. Aunque las ecuaciones diferenciales separables son relativamente fáciles de resolver (siempre cuando podamos evaluar las integrales que surjan en el proceso de solución), debemos tomar ciertas precauciones, pues resulta que puede aber más soluciones que las obtenidas por un proceso como el que se izo en el ejemplo anterior. Es mu fácil darse cuenta que la función dada por 0 también una solución de la ecuación diferencial {Ecuacion}, que no puede ser obtenida a partir de la solución general con ninguna elección de la constante C. De eco, para C obtener la solución general fue necesario acer la restricción de que 0. es Así pues, vemos que en el proceso de solución de una ecuación diferencial separable pueden acerse restricciones que afectan el resultado final. Una solución no obtenible a partir de la solución general es comúnmente llamada solución singular o independiente. Ejemplo. Encontrar la solución general de la ecuación - {Ecuacion}, Encontrar además una solución que no pueda ser obtenida a partir de la solución general. Para comenzar, debemos notar que la ecuación anterior sólo tiene sentido si -,, -,. Si, además,, podemos dividir la ecuación {Ecuacion}, entre luego - - escribirla en forma de diferenciales como,. - -

4 Al evaluar las integrales obtenemos - - C, que es una ecuación que define la solución de la ecuación diferencial {Ecuacion} de manera implícita. Sin embargo, la función dada por, necesariamente ecluida en la obtención de la solución general, es también una solución de la ecuación diferencial {Ecuacion}. Ejemplo. Dada la ecuación diferencial Separamos " " con su" " Se integran ambos lados sen su" " encontrar su solución: sen - cos C Ejemplo. Dada la ecuación diferencial encontrar su solución: factorizamos para poder separar las variables reordenamos la epresion una vez separadas se integran ambas partes este el resultado - ln - ln C Un problema con valores (condicionales) iniciales consiste de una ecuación diferencial de un punto del plano, sujeto a ( ) el problema consiste en encontrar una función f 0 : 0 solución a la ecuación diferencial que además cumpla ). ( 0 ) 0 ( es decir, que al evaluar dica función en 0 el valor resultante sea 0

5 Generalmente este problema se resuelve primero encontrando la solución general (aparece C arbitraria) posteriormente se sustituen los datos del punto 0, 0 para determinar el valor de C. Resuelva el problema con condiciones iniciales: Por el ejemplo de esta sección, la solución general es sujeto a C ; como el punto, 0 0 Debe cumplir : C ; por tanto C la solución buscada es:, ó, si graficamos la solución para los diferentes valores de C con respecto a C (en color rojo) tenemos: Ejemplo 6. Determine el valor de siendo la solución que satisface 0 0 Tenemos que C sustituendo 0 0, 0 0 tenemos C 0 separando variables: a la ED: - 0 integrando tenemos: por tanto la solución particular es: ó por tanto el valor para es. Ejemplo 7. En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 00. Al cabo de 0 minutos es de 00. Indicar cuál será el número estimado al cabo de 0 minutos. Recuerde que el modelo dp utilizado en estos problemas es k P dt

6 Separando variables e integrando alcanzamos: dp k dt ln (P) k t C despejando P: P k t C C k t k t P e e e Ce Puesto que para t=0 el número inicial es de P=00: C e k o 0 00 Ce C k o 0 k para t=0, el número es de 00: 00 C e 00e k ln 0, 00 por tanto para 0 0 0,000 t=0 tendremos: P( t 0 ) 00 e k 00 e 0 Ejercicios Calcular por variables separables: e 8. ln Referencias Bibliográficas. Zill, Dennis G. Micael R. Cullen. (009). Ecuaciones diferenciales con problemas en la frontera. Séptima edición. Editorial Progreso S.A. Méico D.F. ISBN-: José Ignacio Aranda Iriarte (007). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid. José Ignacio Aranda Iriarte (008). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid. Bo and Di Prima. (99). Ecuaciones diferenciales problemas con valores en la frontera" ISBN ;

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