EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PROPUESTOS EN EXÁMENES

Transcripción

1 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PROPUESTOS EN EXÁMENES. Sea el precio unitario de venta de un producto, e la oferta de dicho producto. Se sabe que la razón a la que cambia la oferta respecto al precio viene dado por la ecuación diferencial: ( + )d ( + )d = 0. Sabiendo que para = el valor de es 0 unidades, se pide hallar la oferta en función del precio. (Septiembre 00, reserva enero 00 res) + ( + )d ( + )d = 0 d = d = + d ln = ( + ) + = [ln + ln(+)]+ lnc = C(+). Sustituendo la condición dada se obtiene que C =, luego la oferta en función del precio es = ( + )..Señalemos por, en euros, el ingreso que se obtiene al vender unidades de un producto. Se sabe que la tasa a la que varía el ingreso respecto al número de unidades vendidas, viene dada por la siguiente ecuación diferencial: + = 0. Obtener, en función de, sabiendo que la venta de unidad produce un ingreso de euro. (Enero 00) Solución: + = 0 ( )d = d; integrando: = + C ; puesto que () = = + C C =, luego la solución es : = + = 0. Resolver la ecuación diferencial (+)d d = 0 (Septiembre 00) Q P (+ ) Puesto que = = depende sólo de, la ecuación diferencial P (+ ) posee un factor integrante µ que depende sólo de. Concretamente: dµ d dµ = = d ln µ=ln µ= µ µ + luego d d = 0 es diferencial eacta. Así pues f(,) = d = + C() f(,) dc() + = + = dc() = C() =. Luego la solución es: d d + =k 4. Sea, en euros, el ingreso obtenido por la venta de unidades de un producto. Se sabe que la tasa a la que varía el ingreso respecto al número de unidades vendidas, viene dada d ( 4) por la siguiente ecuación diferencial: =. Hállese en función de, sabiendo d ( ) que la venta de 0 unidades produce unos ingresos de 00 euros. (Septiembre 00, reserva) /9

2 ln = UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) Escribimos la ecuación diferencial en la forma: ( ) ( ) ( 4) ( ) imozas@el.uned.es d = d. Integrando: 4 4 = = + =, de donde = k 4 ( ) d d d d ln k ( ) =. Si = 0 00 = k 00 8 k = 8, luego: = 8 ( ) 5. Hallar un factor integrante que convierta en eacta la siguiente ecuación diferencial: ( )d d = 0 (Septiembre 00, reserva) Q P 4 Puesto que = depende sólo de, eiste factor integrante dependiente de, P a saber: µ 4 = lnµ = 4ln µ = 4 µ Así pues: d d = 0 será diferencial eacta f(,) = d C() 4 = + + C'() = C'() C() C 4 4 = = +. La solución general es pues: + +C=0 6. Resolver la ecuación diferencial: + =. (Septiembre 00, reserva) = ( d ) = d d = d ln = + ln C = Ce = Ce 7. El precio de venta de un producto, respecto a la cantidad demandada, cambia con d + 4 la razón epresada por la siguiente ecuación diferencial: = d. Obtener el precio + 6 en función de la demanda, sabiendo que cuando el precio es de 7,5 euros/unidad, la cantidad demandada es de 4 unidades. (Septiembre 004, reserva) /9

3 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) Podemos escribir la ecuación: ( + 4)d +( + 6)d = 0, que es diferencial eacta, como puede comprobarse. Así pues: ( + 4) d = + + C(). Derivando respecto de : + C () = + 6 C () = 6 C() = 6 + C. Luego, la solución general: + C + 6 +C = 0 =. Sustituendo los valores dados, se obtiene + 6 C = 4. La solución es: + 4 = Encontrar el factor integrante que convierte la siguiente ecuación diferencial en una ecuación diferencial eacta: td + 4 dt = 0. (Septiembre 004, reserva) Q P t La ecuación es de la forma Pd +Qdt = 0, se cumple que =, que depende P t sólo de t. Luego ha un factor integrante que depende de t. Será: µ ' = lnµ = ln t µ = t µ t 9. La tasa a la que cambia el precio de venta,, de un producto, respecto a su d ( + ) demanda,, viene dada por la siguiente ecuacion diferencial : =. Calcular el d + precio en función de la demanda, sabiendo que cuando el precio es de 5 euros, la demanda es de 5 unidades. (Feb 005, ª semana) Escribiendo la ecuación de la forma ( + )d + ( + )d = 0, podemos comprobar que es diferencial eacta, luego: ( + ) d = + C() + derivando respecto a, se debe cumplir: + C () = + C () = C() = C. La solución general es pues: + + = C. Para las condiciones dadas: = = C, de donde la solución: + + = 050 /9

4 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) (Sep Or) Escribimos la ecuación en la forma: ( )d + ( + 4)d = 0, pudiéndose f (, ) = d = + C(), comprobar que es diferencial eacta. Tenemos pues: ( ) df de donde = + C () = + 4 C () = 4 C() = C. Por tanto la solución es: d + = C puesto que para = 0 = 0, sustituendo se obtiene que C = 600, de donde: + = 600. Señalemos por, en euros, el ingreso que se obtiene al vender unidades de un producto. Se sabe que la tasa a la que varia el ingreso respecto al número de unidades vendidas, viene dada por la siguiente ecuación diferencial: ' + = 0 Obtener, en función de, sabiendo que la venta de unidad produce un ingreso de euro. (Sep 005. Res) + = 0 ( )d = d; integrando: = + C ; puesto que () = = + C C =, luego la solución es : = + = 0. (Enero 006. Or) Puede comprobarse que es una ecuación diferencial eacta. Se tendrá pues: f(, ) = ( ) d = C() Derivando respecto a, deberá ser: + C () = + + C () = + C() = + + C. Luego la solución es: C = 0 (Enero 006. Or) Se trata de resolver la ecuación diferencial lineal dada. Busquemos dos funciones u v tales que = u v sea solución: Tendremos: 4/9

5 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) u v 9 v 9 v u v + uv = + u ' v + u v' = + (I). Elijamos v tal que v' = 0 v ' = v =. Sustituendo en (I): u = + v u = + u = + C. Así pues la solución general es = + C 9. Para las condiciones dadas: = C 8 C = 0, luego: = (feb 06) Para t = 5, la razón a que disminue la demanda será: 50000e 0, 5 = e unidades/año. Las unidades demandadas entre los años serán: 0 0,t ,t e dt = [ e ] 0 0 = 50000(e ) , 5.- Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial: + ln = 0 (Feb 006 ª) Es una ecuación de Bernoulli. Dividiendo los dos miembros por, queda: + ln=0; hacemos el cambio = z = z sustituendo se obtiene: z + z ln = 0, que es una ecuación lineal. Hacemos z = u v z = u v + uv de donde sustituendo sacando factor común u: u v u(v v) ln = 0; haciendo v v = 0 v =, sustituendo: u ln = 0 u = ln u ln d = = (por partes) = ln + + C. Así pues, z = ln + + C, de donde = ln + + C (Feb 006 ª) La ecuación diferencial es lineal. Mediante el cambio = u v se obtiene que v =. Sustituendo queda: 0 u' + 0 = 0 0 u' = u = + + C. Por tanto = + C + 0. Haciendo = 9, =, se obtiene que C =. Luego el precio en función de la demanda: 5/9

6 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) = + 0 (sep 06) Planteado el problema conduce a la ecuación diferencial homogénea: d = con la condición () = d Efectuando el cambio de variable = u sustituendo, queda: du + ud u u u = = du = d (integrando) ln u = ln C d u u u u = C (deshaciendo el cambio) = + C 4 4 = + C. Sustituendo 4 =, se obtiene: = + C C = 8. La relación pedida es: = + 8 (sep 06 res) Escribiendo la ecuación diferencial en la forma d = d e integrando, queda: + ln + = + C + = C e = C e. Para la condición dada: 09 = Ce 4 0 C = 4 =. El coste pedido es: = e e 9.- Sea el precio unitario de venta de un producto, e su oferta. La razón a la que cambia la oferta respecto al precio, viene dada por la siguiente ecuación diferencial : d = 4 +. Hallar la oferta en función del precio, sabiendo que si el precio unitario es de d,5 euros, la demanda es de 56 unidades. (Nota : Tómese e = 0) (En. 07 ) Podemos integrar la ecuación diferencial, por ejemplo, como homogénea. Hacemos el cambio = u v. Sustituendo: v ' u v + uv = 4 + uv u(v v) = 4 u v (I). Hacemos v v = 0 =. v Integrando: ln v = v = e. Sustituendo en (I) queda: 4 u e = 0 u = 4e. Integrando (por partes): u = e + e d = e e + C. Así pues = e ( e e + C) = + Ce. Para las condiciones dadas: 56 = + C e = 4 + 0C C = 6/9

7 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) Luego la oferta en función del precio es: = + e. (sep 07) Tales curvas verifican = = d = = + C. Sus gráficas son parábolas. En la figura se han representado para C =, C =, C = 0, C =.. Hallar la ecuación del haz de curvas tales que la pendiente en cualquier punto de ellas es igual al doble de la ordenada del punto. Asimismo representar gráficamente el haz de curvas resultantes. (sep 07 res) ' Tales curvas verificarán que = = ln = + C (haciendo e C = K) = Ke. En la figura adjunta están representadas las curvas resultantes para distintos valores de K. El valor de la ordenada en el origen de cada curva es el correspondiente valor de K. Para K = 0, se obtiene el eje de abscisas..- (Sep 08) 7/9

8 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) En coordenadas polares: = ρcosθ d = cosθ dρ ρsenθ dθ = ρsenθ d = senθ dρ + ρcosθ dθ Sustituendo en la ecuación: ρ cos θ[ρcos θdρ ρ cosθsenθdθ + ρsen θdρ + ρ cosθsenθdθ] + + ρsenθ[ρsenθcosθdρ + ρ cos θdθ ρsenθcosθdρ + ρ sen θdθ] = 0 Simplificando: ρ cos θ ρdρ + ρsenθ ρ dθ =0 Dividiendo por ρ cos senθ θ queda dρ + d θ = 0 que es una ecuación diferencial de variables separadas. Integrándola: ρ = C cos θ = C. Deshaciendo el cambio: cosθ (08sep res) + = 0 ( )d = d; integrando: = + C ; puesto que () = = + C C =, luego la solución es : = + = 0 (09 en or) Se trata de una ecuación diferencial homogénea. Hacemos el cambio = u = u + u. Sustituendo en la ecuación: u + u = u + u u = u du = d u Integrando: = ln + C' u = = u ln + C ln + C 8/9

9 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) Para las condiciones dadas: 0 = 5 + C = 5 + C Así pues, el coste en función de los libros producidos: C = + = imozas@el.uned.es = 4 4 ln + 4 (09 en or) P Q Como ( ) ( + ) = = = Q ( + ) eiste un factor integrante µ que depende sólo de, cumpliéndose que: lnµ = ln µ = depende sólo de, µ ' = µ (09 feb ª) Podemos escribir la ecuación: e d = e d. Integrando: e = e + C = ln(e + C), que es la solución general. Para = 0 0 = ln(+c) + C = C = 0, luego = lne =, es la solución particular. (09 feb ª) La ecuación se puede escribir: ( + )d + ( + )d = 0 que, podemos comprobar, se trata de una ecuación diferencial eacta. Tendremos: f (, ) f(,) = ( + ) d = + + C() = + C () = + C () = C() = + C. Luego la solución general es: C = 0 4 Sustituendo = 4,5, = 5 C = 4. Despejando : =. + 9/9