Problemas Resueltos. 1. La distribución de la temperatura en una placa metálica, viene dada por la función: 70 =

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1 Problemas Resueltos 1. La distribución de la temperatura en una placa metálica, viene dada por la función: 70 T (, ) =, donde T está medida en grados centígrados,,z en metros z En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto(1,,)? Cuál es la máima tasa de incremento? Solución Se sabe que la gradiente de T es la dirección en la cual aumenta más rápido la temperatura. más rápido El gradiente de T es: f(,,z) = < f (,,z), f (,,z), f z (,,z) > = <,, ( z ) ( z ) ( z ) > f(1,,) =< ,, > La tasa máima de crecimiento es la longitud del vector gradiente f(1,,) = 169. Resolver la ecuación: 5 e + d = 0 Solución: 5 e + d = 0 d = - 5 e d = - 5 e 1 5 d = - e ( se logrado separar la variables) 1 Integrando cada término: d = - 5 e 1 e = - + c

2 . Resolver la ecuación: ( + ) + d = 0 Solución Veamos si la EDO es omogénea: P(, ) = + P(t, t) = (t ) + (t) =t ( + )= t P(,) P es omogénea de grado Q(, ) = Q es omogénea de grado Q(t, t) = (t )(t ) = t ( ) = t Q(, ) Luego, la EDO es omogénea. Hacemos el cambio de variable: z = = z d = dz + z ( + ) + d = 0 ( + (z) ) + (z) ( dz + z ) = 0 (1+z ) + z ( dz + z ) = 0 Dividiendo por : (1+z ) + z dz + z = 0 (1+z ) + z dz = 0 z dz Separando variables: = 1+ z 1 ln(1 + z ) = - ln() +cte 1 z 1 ln(1 + z ) + ln() = cte ln( 1+ ) = cte (1+z ) 1/ = cte (1+ z ) = cte Sustituendo z = : (1+ ) = cte + = c

3 Resolver la ecuación: ( d + ) + ( -) = 0. Solución Veamos si la Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O) es eacta: ( + ) Recordar: La ecuación diferencial: P + Q d = 0, es eacta si solo si =. d + ( -) = 0 ( 6) + ( + ) d = 0 (*) P(,) + Q(,) d = 0 P(,) = P 6 = Q(,) = Q + = = De esto, la E.D.O es eacta. Por lo tanto, su solución es: F(,)=c, de modo que : = P(,) = 6 (1) = Q(,)= + () De la ecuación (1) : = 6 F(,) = ( - 6) F(,) = + ϕ () () Luego, = ( - ) + ϕ () = + ϕ () () Reemplazando () en (): + = + ϕ () ϕ () = ϕ '( ) d = d ϕ () = (5) Reemplazando (5 ) en (): F(,) = +. Finalmente, + = c, es la solución de la ecuación ordinaria.

4 5 Resolver la ecuación: d = 0. Solución Veamos si la Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O) es eacta: d = 0 ( ) + d = 0 (*) P(,) + Q(,) d = 0 P(,) = P = 5 Q(,) = Q = De esto, la E.D.O no es eacta. Determinación de factores integrantes: Recordar: Si (P Q )/ Q es una función eclusiva de, entonces μ () = e el factor integrante. Si (Q P )/ P es una función eclusiva de, entonces μ ()= el factor integrante. P Q Q es Q P d e P es Si (P Q )/ Q = (5 - ) / = / es una función eclusiva de P Q Luego, μ () = e Q d μ () = e μ () = e ln μ () = Aora multiplicamos por el factor integrante μ ()=, a ambos miembros de la ecuación (*), obtenemos: ( ) + d = 0 ( ) + 5 d = 0 P(,) + Q(,) d = 0 P(,) = P = 5 =

5 Q(,) = 5 Q = 5 De esto, la E.D.O es eacta. Luego, eiste su solución es F(,) = c, de modo que : = P(,) = (1) = Q(,)= 5 () De la ecuación (1) : = F(,) = (5 + 8 ) 5 Luego, = ( + ) + ϕ () F(,) = + + ϕ () = 5 + ϕ () () Reemplazando () en (): 5 = 5 + ϕ () ϕ ()= 0 ϕ () = 0 () ϕ '( ) d = 0d Reemplazando ( ) en (): F(,) = Finalmente, Resolver: sec Solución sec = c, es la solución de la ecuación ordinaria. d d + = sen; (=1 + = sen d + (cos) =cos sen, P() Q() esta ecuación diferencial es lineal de primer orden su solución esta dada por: P() e = e P() Q() + C cos() e = e cos() sen()cos( ) + C Luego: ) + e sen sen = e sen()cos( C e sen = e sen (-1+sen) +C (1) sen 0 sen 0 Como: (=1 (=0; =1): 1 e = e (-1+sen +C C= () Reemplazando () en (1), obtenemos la solución: e sen = e sen (-1+sen) +.

6 d 7. Analizar si: f () +f() P() = Q(), puede ser transformada a una E.D.O lineal de primer orden. Solución Sea el cambio: z = f () Luego, d z df() df() d d = = = f '( ) (1) d d d d d Aora de la E.D. original de la ec.(1), obtenemos: es lineal. d z d +P() z = Q(), esta E.D. 8. Resolver: e d + e Solución: Haciendo: z = e = d z de = d d = e 1 d z d z Luego: + z = + () z = 6,esta ecuación diferencial es lineal de d d primer orden su solución esta dada por: d d e + z e = 6 C z e = e (6) + C z e e = e +C e = e +C Tomando logaritmos naturales obtenemos: + =Ln( e 9.Determinar un factor integrante de: (+ )d=0, si el factor integrante de es de la forma: u= m n. Solución: (+ )d=0 ( m n ) ( (+ )d) =( m n ) ( m n+1 - ( m+1 n + m+1 n+ )d= 0 Para que sea eacta debe cumplirse: = P(,) = m n+1 P = (n+1) m m +c)

7 Q(,) =- ( m+1 n + m+1 n+ Q ) = -(m+1)( m m + m m+ ) Igualando obtenemos: (n+1) m m =-(m+1)( m m + m m+ ) (n+1) m m =-(m+1)( m m )-(m+1) m m+ De esto, ( n + 1) = ( m + 1) ( m + 1) = 0 n = 1 => m = 1 Por lo tanto, el factor integrante buscado es: u= Sea f: si (, ) (0, definida por: f(, ) = +. 0 si (, ) = (0, a. Analizar si f tiene derivada direccional en el origen en cualquier dirección b. Analizar si f es diferenciable en (0, Solución: a. D u f ( 0 + a, 0 + b) f ( 0, f ( 0,, donde u=(a,b), con a + b = 1 0 Caso 1 b 0: D f ( 0, b Caso b=0: u a b a = = ( b ) b a ( b) + a 0 a ( b) ( b + a a b ) ( b + a ) D u f ( 0 + a, 0 + b) f ( 0, f ( 0 + a, 0 + f ( 0, ( a )( 0 f ( a, f ( 0, 0 + a 0 = 0 f ( 0, En cualquier caso, a si b 0 Dfu (0, = b 0 si b = 0 Conclusión: En cualquier dirección eiste la derivada direccional en (0,.

8 b. La función f es no es diferenciable en (0,, a que NO es continua en (0,, puesto que no eiste el lim f (, ), dado que: (, ) 0 S1={(,)/ =0}: lim f (, ) f (, 0 = 0 S={(,)/ = }: ( 0, ) (, ) S1 lim ( 0, ) (, ) S 0 f (, ) f (, 0 0 ( ) ) 0 ( ) + = 0 Ejercicios 1. Un equipo de oceanógrafo está elaborando un mapa del fondo del mar para intentar recuperar un antiguo barco undido. Por medio de un sonar, desarrollan un modelo: π D = sen, 0, 0, donde, denotan las distancias en kilométros D la profundidad en metros. Hallar la dirección de máimo cambio de profundidad en el punto de posición del barco. d. Resolver =. Además, determine la(s) solucion(es) singulares si eisten 1+ ce Rpta. =, solucion singular = - 1 ce d +. Resolver = + 8 Rpta. (+) 5 e =c(+) 5 e, propuesto Zill,pg57(prop19). Determine un solución continua que d + = f( ), donde (=0 ( 1+ e )/, 0 < 1 Rpta. ( e + ) e /, 1 < 5. Resolver 6 +(+9 )d=0, ()=1, Rpta + =1 ; 0 < 1 f( ) =, 0; > 1 6. Resolver (+ e / )- e / d =0, (1)=0, Rpta ln ln = / e 1 7. Resolver d = + +, (1)=0, Rpta ln / ln = e 1 d 8. Resolver = ( 1). Ec. Bernoulli 9. Resolver a. = e -, con (=0 b. (- ) + (1 - ) d = 0 c. (e + ) d - = 0, ()=0