CAPITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Introducción

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1 CAPITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4.. Introducción Se denomina ecuación diferencial ordinaria a toda ecuación en la que aarecen una o varias derivadas de una función. Cuando las derivada que aarecen en una ecuación diferencial son derivadas totales, la ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial ordinaria, si en esta ecuación eisten derivadas arciales, la ecuación se denomina ecuación diferencial arcial Se denomina orden de una ecuación diferencial a la derivada en la ecuación que lo tenga maor Se llama grado de una ecuación diferencial a la otencia a que está elevada la derivada de maor orden Una ecuación diferencial ordinaria de rimer orden es una ecuación del tio: F (,, )=0, or ejemlo ' k orden grado 4 0 orden grado Se entiende or solución de una ecuación diferencial una relación entre las variables deendiente e indeendiente en la que no aarece ninguna derivada que, al sustituirse en la ecuación dada, la reduce a una identidad. La solución de una ecuación diferencial ordinaria de rimer orden contiene una constante arbitraria se denomina solución general En los roblemas de la física e ingeniería se requieren soluciones que satisfagan determinadas condiciones. De estas condiciones se obtiene la información con la cual es osible asignar valores a las constantes arbitrarias. Este tio de solución, que satisface estas condiciones dadas, se denomina solución articular, las condiciones que satisface se denominan condiciones iniciales. Así: C es la solución general de la ecuación diferencial: =. Suongamos la condición inicial (0) =, entonces C =, or tanto la solución articular es : = Veamos cuatro tios rinciales de ecuaciones diferenciales de rimer orden rimer grado. Variables searadas, Homogéneas, Lineales, Eactas

2 4.. Ecuaciones de variables searadas Las ecuaciones diferenciales de rimer orden rimer grado contienen el término rimera otencia, luego se ueden eresar en la forma elevado a la d d F, En muchos casos F(, ) se uede eresar como : F (, ) = f().g(). Entonces se uede oner d f d g d g f d Integrando se obtiene d f g dc Ejercicios de alicación. Integrar las siguientes ecuaciones de variables searadas cos d d, cos d d Para la rimera d d tang tang C cos cos Para la segunda d d Arco Tang =Arco Tang +C 4.. Ecuaciones Homogéneas Definición La función M(,) se dice homogénea de grado n si la suma de las otencias de e en cada termino de M es n : Así : M(, ) es homogénea de tercer grado.

3 Si una ecuación diferencial de rimer orden se uede eresar en la forma d d N, M, Siendo M N funciones homogéneas del mismo grado, se dice que la ecuación es homogénea. Si en la ecuación diferencial anterior siendo M N funciones homogéneas de grado n, es osible dividirlas entre eresar el lado derecho como una función de una sola variable v, donde se ha realizado el cambio = v. Por tanto se tiene d v d dv d M, N, f v de donde se deduce f dv v v d que es una ecuación diferencial de variables searadas Ejercicios de alicación. Integrar la ecuación diferencial: d d Cambio: = v d v d dv d v v d v dv v L v Lv LC Deshaciendo el cambio: L C Ce d. Integrar la ecuación diferencial: d Ecuación diferencial homogénea

4 v dv d v d v Cv v v v v v dv v Deshaciendo el cambio se obtiene: C 4.4. Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial de rimer orden del tio: q se dice lineal, a que tanto como aarecen en forma lineal. Para resolverla multilicamos la ecuación anterior or e d e d e d qe d El rimer miembro de esta ecuación es la derivada de e d, luego se verifica d d d d e q e La solución general será: e d q e d d C Ejercicios de alicación 4. Integrar la ecuación diferencial: e e Solución general d e d e e e C C 4.5. Ecuaciones diferenciales eactas Una ecuación diferencial de rimer orden: P(, ) d + Q(, ) d = 0, es una diferencial eacta si eiste una función otencial U(, ), tal que 4

5 d U = P d + Q d ( ) Si esta función U(, ) eiste, entonces la ecuación se convierte en d U = 0, lo cual nos conduce a la solución U (, ) = C.Sabemos U U du d d al comarar con la eresión ( ), se tiene du U U d d Pd Q d de donde se obtiene U U P, Q si suonemos que se verifica U U se obtiene, finalmente : P Q que es la condición ara que la eresión : P(, ) d + Q(, ) d sea diferencial eacta. Calculo de la función otencial: La condición vista anteriormente que es el teorema de Schwarz es una condición necesaria ara la eistencia de función otencial. Veamos ahora que cuando se cumle esta condición es osible obtener la función otencial. En efecto: de la relación U P U, Pd C Siendo C una constante de integración que es una función de la variable, a que al integrar resecto a la desemeña el ael de una constante. Así ues se tiene Pd U () 5

6 El segundo miembro de la eresión () no deende de, a que su derivada resecto de vale cero. Luego se obtiene Φ P Q d Ψ Φ Ψ d C De donde la función otencial buscada será U, P,d Ψd C Ejercicios de alicación 5. Integrar la ecuación diferencial: 4 d 4 d 0 Es una diferencial eacta.por tanto vamos a calcular la función U (, ) = C U U du d d 4 d ( 4 ) d U 4 U 4 4 d Φ U, U 4 4 Φ Φ C La solución de la ecuación diferencial es: C C 6. Integrar la ecuación diferencial: L d d 0 P Q 6

7 Calculo de la función otencial U U L U L d L Φ De donde se deduce U Φ d Φ L C Solución general de la ecuación diferencial: C L 4.6. Ecuaciones que se ueden transformar en eactas mediante el uso de factores de integración Sea la ecuación diferencial P(, ) d + Q (, ) d = 0 () suongamos que esta ecuación diferencial no es diferencial eacta. Se llama factor de integración a una función que designamos or (, ) esión P(, ) d +Q (, ) d = 0 (4) Sea diferencial eacta. Obligando a que la eresión (4) sea diferencial eacta se tiene que verificar P Q de donde se deduce P P Q Q (5) 7

8 En la ractica la integración de esta ecuación en derivadas arciales uede ser tan difícil como la ecuación original. Luego solo odremos encontrar factores de integración en algunos casos. Veamos algunos casos articulares de interés El factor integrante deende solo de. En este caso 0 en la ecuación anterior de donde se obtiene P Q Q F Si el lado derecho de la ecuación es función de, se obtiene una ecuación de variables searadas, or tanto se verifica Ce F d El factor integrante deende solo de. En este caso 0 en la ecuación (5), de donde se obtiene Q P P F El factor integrante deende de (, ). La ecuación diferencial tiene un factor integrante que deende de (, ), fu, En este caso se one fu, f(u) siendo u = u (, ), de donde se obtiene f(u ) P d + f(u) Q d =0 (6 ) Obligando a que la ecuación (6) sea diferencial eacta, se tiene f uu P fup fuu Q fuq de donde se obtiene u u f f u Q P P u Q Si tiene un factor integrante que deende de u, como el rimer miembro deende de u, el segundo también con lo cual se verifica 8

9 u u f f u Q P P u Q F(u) Ejercicios de alicación 6 d 6 d 7. Integrar la ecuación diferencial: 0 No es diferencial eacta. Calculo del factor integrante dμ μ d dμ d μ u La ecuación diferencial eacta será u u du d d 6 d 6 u 6 d u 6 u d 6 d Ψ De esta eresión se tiene u 6 6 Ψ Ψ C La integral general será: C C 4.7. Ecuación diferencial de Bernouilli La ecuación diferencial de Bernouilli, es una ecuación del tio A() B() m 0, R Para resolverla dividimos or m, con lo cual se tiene A m m B 0 9

10 Realizamos el cambio u, a continuación derivamos resecto de, con lo cual se tiene m u A m u B 0 que es una ecuación diferencial lineal. Finalmente se deshace el cambio se obtiene la solución general de la ecuación rimitiva Ejercicios de alicación 8. Resolver la ecuación diferencial: d d 0 Esta ecuación diferencial se uede oner en la forma 4 0 Cambio u, con lo cual se obtiene: u Ce Deshaciendo el cambio, se obtiene: Ce 4.8. Ecuaciones de rimer orden no lineales en Ecuación de Lagrange. Es una ecuación de la forma f Φ Derivando resecto a, haciendo =, se verifica f d d f Φ f f Φ d d d d d d Pongamos ahora 0

11 d d d d De donde se obtiene f f Φ, que da lugar a la ecuación lineal, f f Φ f de esta ecuación se obtiene una solución de la forma : C diferencial en forma aramétrica será Ψ C Ψ C f Φ. La solución general de la ecuación Caso articular: Si : - f() = 0, siendo 0 una raíz de esta ecuación, estando ( 0 ) definida, se uede comrobar que : Φ satisface la ecuación diferencial.si esta solución no se obtiene de la 0 0 solución general ara un valor articular de C, se dice entonces que es una solución singular. Ejercicios de alicación 9. Resolver la ecuación diferencial: e 0 Ecuación de Lagrange, ara resolverla hacemos =, a continuación derivamos resecto a, or tanto se tiene e d d e d e d d d e e se obtiene la ecuación lineal

12 e Las ecuaciones aramétricas del haz integral son Ce Ce 4.9. Ecuación diferencial de Clarunt Es un caso articular de la ecuación de Lagrange cuando f( ) =, se tiene: ' Φ(). Para resolverla alicamos el método anterior 0 Φ Φ 0 C La integral general es: = C + (C) Por otra arte de Φ 0 Φ, en este segundo caso la solución es Φ Φ Φ Estas ecuaciones son las ecuaciones aramétricas de una integral de la ecuación de Clarunt. Si se uede eliminar el arámetro, se obtiene una ecuación de la forma f (, )= 0 Esta curva integral se llama solución singular de la ecuación de Clarunt. La envolvente de la familia: = C +(C), se obtiene eliminando C en el sistema C 0Φ ΦC C es la curva envolvente de la familia de rectas dadas or la integral general. Luego odemos decir que a toda ecuación de Clarunt corresonde siemre una integral general una integral singular, obteniéndose la rimera al reemlazar la derivada de la función or una constante arbitraria resultando la segunda de la eliminación de la constante entre dicha integral general su derivada resecto a la constante, la integral general reresenta la tangente a una curva, la solución singular da la envolvente de aquellas rectas tangentes.

13 Ejercicios de alicación 0. Integrar la ecuación diferencial: La integral general se obtiene haciendo = C, or tanto la integral general es CC La integral singular se obtiene calculando la envolvente de la integral general CC 0 C Traectorias ortogonales Sea el haz de curvas: F(,, c ) =0, de ecuación diferencial : ( ).Se llama traectoria de un haz de curvas, a una curva que corta a todas las del haz bajo un mismo ángulo.se trata de hallar las traectorias de ángulo, a que la tangente a la curva la tangente a la traectoria forman un ángulo Fig. Sea tg tg los coeficientes angulares de la curva del haz de la traectoria asociada resectivamente, en el unto (, ). Se tiene entonces tgα tg β v tgβ tgv tgβtgv

14 Por tanto, si f(,, )=0 es la ecuación diferencial del haz dado, la de sus traectorias isogonales de ángulo v, será f(,, tgv ) 0 tgv Si se trata de traectorias ortogonales π π v, es decir, α β, la relación entre e resulta ser : Por tanto, la ecuación diferencial de las traectorias ortogonales será: f,, Traectorias ortogonales de ángulo en coordenadas olares Si la ecuación diferencial de la familia de curvas es 0 familia de curvas ortogonales vendrá dada or la ecuación f,θ,, la ecuación diferencial de la f, θ, 0 Ejercicios de alicación. Hallar las traectorias ortogonales del haz de curvas: m =C n m n C m n n n Ecuación diferencial del haz de curvas: m n 0 Dividiendo or n e m, haciendo, e integrando se obtiene n d m d n m C Que son cónicas con ejes los de coordenadas n d m d n m C 4

15 . Traectorias ortogonales del haz de cardioides: =C (+cos θ) C cosθ cosθ senθ Ecuación diferencial del haz de cardiodes: 0 Ecuación diferencial del haz de traectorias ortogonales cosθ senθ 0 d cosθ dθ senθ C El haz de curvas será: θ cos Ejercicios resueltos. Integrar la ecuación diferencial: a Cambio: = Y Y Y ay a a ad ad a e e e e C e C Y a a La solución general será Ce a a a a.integrar la ecuación diferencial:, calculando la solución articular que asa or el unto P (, -) 5

16 d e d e C dc C Solución articular: = -. Integrar la ecuación 0 deendiente de d d, calculando reviamente un factor integrante Calculo del factor integrante d d, de donde se obtiene La ecuación diferencial eacta será 0 U U U Φ Φ Φ Integral general: C 4. Resolver la ecuación diferencial 0 que deende del roducto (. ) d d, sabiendo que admite un factor integrante Sea: =f (u), siendo u =.. Calculo del factor integrante u u f f u f u u La nueva ecuación diferencial será 6

17 d d 0 Integral general: C 5. Resolver la ecuación diferencial: Ecuación de Bernouilli ( 0 Cambio u. La ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación lineal u u 4 Solución general de la ecuación lineal: u C 6 Solución general de la ecuación diferencial: 6 4 C 7. Integrar la ecuación diferencial: Ecuación de Bernouilli Cambio u. La ecuación dada se transforma en la ecuación lineal u 4u 4 Solución general de la ecuación lineal 7

18 u Ce Solución general de la ecuación diferencial dada: Ce 4 8. Integrar la ecuación diferencial: d d 4 4 d d 0 No es diferencial eacta. Calculo del factor integrante La ecuación eacta será: d d 0 Integral general: C 9. Integrar la ecuación diferencial: 0 d La ecuación diferencial adota la forma: d d d Integral general L C d b 0. Integrar la ecuación diferencial: 0 d a 8

19 La ecuación diferencial es: ba d a d 0 No es diferencial eacta.busquemos un factor integrante deendiente de a a Ecuación diferencial eacta Integral general: C bl a a b a d a a. Integrar la ecuación diferencial: 0 d 0 Ecuación diferencial lineal: d d e e d C Integral general C. Integrar la ecuación diferencial 4 4 0, determinando la solución articular que asa or el unto (, ) Ecuación diferencial lineal: d 4 d 4 Integral general: e e C C 4 Integral articular:. Integrar la ecuación diferencial: d d 0 9

20 No es diferencial eacta.busquemos un factor integrante que deende solo de d d La ecuación diferencial eacta será: 0 Integral general: C d d 4. Integrar la ecuación diferencial: 0 Hagamos el cambio: = v d = v d + d v v v d vd dv Simlificando se tiene dv v d e v e c Deshaciendo el cambio e C 5. Integrar la ecuación diferencial: ' 0 Ecuación diferencial lineal e d e d C 4 C 5 0

21 6. Integrar la ecuación diferencial: ' L 0 Ecuación diferencial de Bernouilli ' L ' L Cambio: ' u u' Se llega a la ecuación diferencial lineal L u' u u C L () C L ' 7. Integrar la ecuación diferencial: 0 Ecuación diferencial de variables searadas d d d d 4 C 8. Integrar la ecuación diferencial: ' Log ' Ecuación diferencial de Lagrange: =, se llega a la ecuación diferencial lineal '

22 C C Log 9. Integrar la ecuación diferencial: ' ' Ecuación diferencial de Clarunt Solución general: C C Integral singular: 0. Integrar la ecuación diferencial: ' - log' Solución general: C logc Integral singular: log. Integrar la ecuación diferencial: ' ' e Solución general: C e C Integral singular: log. Integrar la ecuación diferencial: ( - ) d + d =0 mediante un factor integrante Busquemos un factor integrante que deende de ' La ecuación diferencial d d 0 es eacta Integral general

23 L C

24 4

25 5