DIRECCIONES SOBRE UNA SUPERFICIE

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1 SUPERFICIES- Caros S Chinea DIRECCIONES SOBRE UNA SUPERFICIE Líneas de curvatura rincia Direcciones rinciaes Nota: as nociones básicas que se manejan en este artícuo (formas fundamentaes, curvatura norma, teorema de Meusnier) ueden ser consutadas en a rimera arte, Suerficies_, en esta misma web (htt://ersonaesyacom/casanchi/mat/suerficies0htm) Sabemos que as direcciones sobre una suerficie S en un determinado unto P de a misma, resentan distinta curvatura r, y también, or consiuiente, distinta curvatura norma K r n, royección sobre e vector norma N r de vector de curvatura r en dicho unto P E sentido de vector de curvatura norma uede ser e mismo que e sentido de vector norma o bien uede ser de sentido contrario, esto es, uede ser a royección ositiva, neativa o nua, deendiendo de as dos formas fundamentaes, ya que sabemos que es K II n I Como I siemre es ositiva ( I dr dr ds > 0 ) e sino de K n viene determinado or a seunda forma fundamenta II Así, se tienen tres casos osibes: ) II 0 K > 0 E unto P se ama unto eítico > n ) II 0 K 0 E unto P se ama unto arabóico n ) II 0 K < 0 E unto P se ama unto hierbóico < n Para oder determinar de qué forma es e contacto con e ano tanente a a suerficie en e unto P, en cada uno de estos tres casos, debemos estabecer e

2 SUPERFICIES- Caros S Chinea rado de aroimación de a suerficie a ano tanente en cada situación Esto o odemos conseuir con e siuiente teorema Teorema 06: Si es T e ano tanente a a suerficie S en e unto P y es q un unto de S infinitamente róimo a P, entonces a distancia de q a ano tanente es iua a a mitad de II más un infinitésimo de tercer orden: d ( q, T ) II θ Siendo, os vectores de osición de ambos untos y ( ) r 0 q N a ecuación r de ano tanente, es dr d d q, y a distancia de unto q a! ano tanente es r d( q, T ) ( q ) N dr N d N d N! 0 r r r r r ( N N N ) θ II θ r Teorema 07: ) En un unto eítico toda a suerficie S está a un ado de ano tanente en dicho unto ) En un unto arabóico P se cume que a dirección en a que II0 es asintótica y tiene e mayor contacto osibe con e ano tanente ) En un unto hierbóico a suerficie corta a ano tanente

3 SUPERFICIES- Caros S Chinea ) Si es II > 0, a distancia es siemre ositiva: d ( q, T ) II θ > 0, y or consiuiente, os untos de a suerficie S se encuentran a un ado de ano tanente ) Si es II 0, a distancia es un infinitésimo de orden : d ( q, T ) θ 0 y a suerficie S está en a mayooimidad osibe a ano tanente T en a dirección en a que se anua a seunda forma fundamenta (dirección asintótica) ) Si es II < 0, a seunda forma fundamenta es indefinida y a suerficie no está totamente de mismo ado de ano tanente, es decir, o corta E ejemo más cásico de suerficie en a que se distinuen os tres tios de untos es e toro ) Los untos eteriores de a suerficie, enendrados a rotar ABC, son eíticos ) Los untos de as circunferencias que definen tanto e movimiento de unto A como e movimiento de unto C, son arabóicos ) Los untos interiores, enendrados a rotar e arco ADC, son hierbóicos De o anterior inferimos que en cada unto P de a suerficie ueden haber direcciones en donde se anua a curvatura norma (direcciones asintóticas de untos arabóicos), direcciones en donde a curvatura norma es ositiva (untos eíticos) y direcciones en donde a curvatura norma es neativa (untos hierbóicos) Podemos también tratar de encontrar aqueas direcciones en as que a curvatura norma resenta vaor máimo o vaor mínimo (resenta un etremo) Taes

4 SUPERFICIES- Caros S Chinea direcciones se aman rinciaes y as corresondientes curvaturas se denominan curvaturas rinciaes Para encontrar e vaor máimo o mínimo de a curvatura norma emearemos e cácuo diferencia, derivando e iuaando a cero a curvatura norma con resecto a a variabe dirección Si hacemos en II K n : I ( ) K n dk ( ) Bastará obtener os vaores de ara os cuaes n 0 d dk n ( ) ( )( ) ( )( ) d ( ) ( )( ) ( )( ) 0 [] de o cua: 0 ( ) ( ) [] ordenando [] con resecto a as otencias de : y os vaores de ( ) ( ) ( ) 0 de dicha ecuación de º rado: que hacen etrema a curvatura norma son as souciones ( ) 4( )( ) ( ) ( ) 4( )( ) ( ) que, or o demás, cumen que: [] 4

5 SUPERFICIES- Caros S Chinea Veamos como obtener os vaores máimo y mínimo de a curvatura norma mediante e siuiente teorema Teorema 08: Los vaores de as curvaturas rinciaes son as souciones K de a ecuación de seundo rado 0 De a iuadad [] y teniendo en cuenta a conocida equivaencia de roorciones: A B C D A B A r C B r D ea se tiene: de o cua: ( ) ( ) ( ( ) 0 ) 0 y siendo, odemos escribir de donde, finamente: [4] Asimismo odemos obtener a ecuación de as íneas de curvatura rincia de a suerficie S en un unto P Teorema 09: Las ecuación de as íneas de curvatura rincia viene dada or ( ) ( ) ( ) 0 De []: ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 5

6 SUPERFICIES- Caros S Chinea y sustituyendo : ( ) ( ) ( ) 0 que uede considerarse e desarroo de determinante 0 Teorema 0: Las íneas de curvatura son erendicuares Sean, Las direcciones as determinan os vectores: dr r, dr r r Veamos que su rocto interior es nuo: dr dr ( ( ) ) ( ) Sustituyendo as eresiones []: Resuta: dr dr ) ( ( ) ( ) ( ) 0 y as direcciones rinciaes son, efectivamente, erendicuares 6

7 SUPERFICIES- Caros S Chinea Teorema : Si son roorcionaes os coeficientes de ambas formas fundamentaes, entonces no hay direcciones rinciaes Es decir: ij c ij, i, j, n c Bastará sustituir en [4]: ( c ( c ) ) ( c ( c 0 c c ) 0 ) c c 0 ( c ) 0 ( c ) 0 c ( dobe) (Estos untos se denominan untos umbíicos) Coroario: Si, i, j, 0 ij 0 n trivia (os untos se dicen umbíicos arabóicos Todos os untos de un ano son umbíicos arabóicos) Teorema : La condición necesaria y suficiente ara que as íneas aramétricas, 0 y 0, sean íneas de curvatura es que - Veamos que es condición necesaria: Si as íneas aramétricas, 0 y 0, son íneas de curvatura, esto imica que son erendicuares or e teorema 0, ueo 0 Y de ser Veamos que es condición suficiente: 7

8 SUPERFICIES- Caros S Chinea Sustituyendo en a ecuación de as íneas de curvatura rincia: ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 Bibiorafía: ABELLANAS, Pedro, Geometría Básica, Ediciones Romo, Madrid, 969 STRUICK, DJ, Geometría Diferencia cásica, Auiar Ediciones, Madrid, 96 LELONG-FERRAND, Jacqueine, Geometrie Differentiee, Masson and Cie, Paris, 96 CHOQUET-BRUHAT, Yvonne, Geometrie Differentiee et systemes eterieurs, Dunod, París, 968 CARTAN, Eie, La theorie des roues finis et continus et a eometrie differentiee traitées ar e methode reere mobie, Gauthiers-Viars París, 97 Caros S Chinea casanchi@terraes 8