Funciones exponenciales y logarítmicas

Transcripción

1 Funciones eonenciales y logarítmicas EJERCICIOS Realiza una tabla de valores y reresenta las funciones eonenciales. y = c) y = y = d) y = (,) 5 c) d) y =,,7,, y = y = ,,,7, 9,65 5,65 6,5,5,,6,6,56 y = (,) ,,,8,6 y c) y d) y = y = y = 5 y = (,) Estudia y reresenta estas funciones. y = y = y =, y = 8,7 7, 9,, 9, 7,7 8, y y = y = Qué ocurre si a = en una función eonencial? si a <? Si a =, la función eonencial es de la forma y = =, siendo una función constante igual a. si a <, la función no está definida. 8

2 SOLUCIONARIO Realiza una tabla de valores, y reresenta estas funciones eonenciales. y = y = c) y = c) y y = = y =,,8,5,,69,56 9,,88 8,8 8 y c) y = y = y = 5 Reresenta las funciones. y = y = y = 8 y = 9,7,,577,, y y = y = 6 Estudia y reresenta las funciones eonenciales. y = y = Razona si son decrecientes o no. y = = y = = 6,777,,5,75,65,565 9

3 Funciones eonenciales y logarítmicas y = y = Las dos funciones son decrecientes, orque son funciones eonenciales con bases menores que. 7 Dibuja la gráfica de la función y =, y a artir de ella, reresenta estas funciones eonenciales sin realizar las tablas de valores. y = y = + c) y = + d) y = y La gráfica de la función y = se obtiene trasladando la gráfica de la función y = tres unidades hacia la derecha, y la gráfica de la función y = +, una unidad hacia la izquierda. y = + y = c) y d) La gráfica de la función y = + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = una unidad hacia arriba, y la gráfica de la función y =, una unidad hacia abajo. y = + y = 8 Reresenta estas funciones ayudándote de la gráfica de la función y = 5. y = 5 ( ) + y = 5 (+) La gráfica de la función y = 5 ( ) + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = 5 una unidad hacia y = 5 ( ) + la derecha y tres unidades hacia arriba. La gráfica de la función y = 5 (+) se obtiene trasladando la gráfica de la función y = 5 una unidad hacia la izquierda y cuatro unidades hacia abajo. y = 5 ( + ) 5

4 SOLUCIONARIO 9 Reresenta y = a artir de y =. y = y = Halla el caital que obtendríamos en los 5 rimeros años al invertir, a interés comuesto, un caital de a un rédito del,5 %. 5 C f = 5, + = (,5) 5 = 56, Calcula, gráficamente, el caital que obtendremos al cabo de años y 6 meses al invertir, a interés comuesto,. a un rédito del 5 %. 5 C f =. + =. (,5) t t El caital, en cada instante, es una función eonencial. t C f =. (,5) t...5.5,5., Para conocer cuál es el caital al cabo de años y 6 meses hay que ver en la gráfica el valor corresondiente a =,5; que es.6. C f F,5 t La siguiente gráfica muestra la evolución de un caital invertido a interés comuesto. Calcula cuál es el caital que hemos invertido y elica cómo lo haces. C f.5..5 En la gráfica se observa que se han invertido., orque es el valor que le corresonde a t = T 5

5 Funciones eonenciales y logarítmicas Calcula, mediante la definición, los logaritmos. log 8 log 8 c) log. log 8 = = 8 y 8 = = log 8 = log 8 = = 8 y 8 = = log 8 = c) log. = =. = log. = Halla, mediante la definición, estos logaritmos. ln e log, c) log,5 ln e = e = e = log, = =, = = = =. c) log,5 = = = 5 Calcula, utilizando la gráfica de la función y =, el valor aroimado de log. Como log es, en la gráfica de la función y =, el valor de la abscisa que le corresonde al valor de la ordenada, entonces log =,6. 6 Halla los logaritmos, alicando sus roiedades y dejando indicado el resultado final. log 8 c) log e) log g) log 6 log d) log 5 f) log h) log 7 7 log log 5 = = log 8 8 log = log 5 = 5 log c) log = = = 9, log,77 5 log d) log5 = log5 = 5 log5 = 5 = 5, log 5 log e) log = = log 5 log 9 f) log = log6 9 = log6 + log9 = + = +, 5 = 8, 5 log g) log 6 = h) log 7 7 = 5

6 SOLUCIONARIO 7 Sabiendo que log =,, log =,77 y log 7 =,85, calcula los logaritmos decimales de los rimeros números naturales. Sabrías calcular log,5? el logaritmo de,5? log = log =, log =,77 log = log = log =, =,6 7 log 5 = log = log log =, =,699 log 6 = log ( ) = log + log =, +,77 =,778 log 7 =,85 log 8 = log = log =,9 log 9 = log = log =,95 log = 7 log,5 = log = log 7 log =,85, =,5 log,5 = log = log log =,77, =,76 8 Halla, sin ayuda de la calculadora, log 5 y log 5. Comrueba que su roducto es. log 5 log 5 = =, log log 5 log 5 = log log 5 = =,6 log 5 log 5 log log = log 5 9 Reresenta las siguientes funciones logarítmicas, ayudándote de la calculadora ara encontrar los valores de untos or los que asan. f() = log c) h() = log g() = log 5 d) i() = log c) d) f() = log g() = log 5 h() = log i() = log,9,9,55,6,9,, 6,585,969,89, ,9,55,86,9 5,69,5 y y = log 5 y = log c) y d) y = log y = log 5

7 Funciones eonenciales y logarítmicas Estudia y reresenta la siguiente función. El dominio es +. La imagen es. y = log + f() = log + 6,585 8,9 y = log + Sin construir una tabla de valores, reresenta la función logarítmica f () = log. log = log + log =, + log Por tanto, ara construir la gráfica de la función f() = log hay que trasladar la gráfica de la función log hacia arriba, unidades. f () Comrueba si los siguientes ares de funciones eonenciales y logarítmicas son o no funciones inversas. y = y = log y = y = c) y = log y = y = y = log, Las gráficas son simétricas resecto de la bisectriz del rimer y tercer cuadrantes y, or tanto, son inversas. 7 y = y = log y = y = Estas funciones no son inversas, orque, or ejemlo, el unto (, ) ertenece a la función y =, y, sin embargo, el unto (, ) no ertenece a la función y =. 5

8 SOLUCIONARIO c) y = log y = 6 Las gráficas son simétricas resecto de la bisectriz del rimer y tercer cuadrantes y, or tanto, son inversas. y = y = log Comrueba, sin reresentarlas, que la función y = log es la inversa de y =. Sea un unto (a, que ertenezca a la función y = log. b = log a b = a (b, es un unto de la función y =. Según la definición de función inversa que hemos visto, tiene inversa la función de roorcionalidad inversa y =? y = La inversa de y = es la misma función. 5 ACTIVIDADES Con ayuda de la calculadora, halla los valores que toma la función y =,5 ara estos valores de. = d) = g) = = e) = h) = c) = f) = i) = y =,5,56,6,6,,5 6,5 5,65 9,65 6 Coia y comleta la tabla de valores ara la función y = 5. y = 5,96,6,6,6,6667,7778,696 7,76 55

9 Funciones eonenciales y logarítmicas 7 Realiza una tabla de valores y reresenta las funciones eonenciales. y = 5 y = c) y = 5 d) y = 5 5 c) d) y y = 5,, 5 5 y = 5 5 5,, y = 5,, 5 5 y = 5 5 5,, y = 5 y = 5 c) y d) y = 5 y = 5 8 Analiza las semejanzas y diferencias de estas funciones eonenciales. f () = g( ) = f() = g ( ) =,65 6,5,5 6,65 f () = Las gráficas de ambas funciones son simétricas resecto del eje de ordenadas. El dominio de ambas funciones es y el recorrido es (, + ). Las gráficas de ambas funciones son continuas. La función f() es creciente y la función g() es decreciente. g ( ) = 9 Estudia y reresenta la función eonencial. y = y =,5,5,67, La función es continua en, su recorrido es (, + ), y es monótona decreciente. 56

10 SOLUCIONARIO Haz una tabla de valores de las funciones. y = y = Reresenta las funciones en los mismos ejes de coordenadas, y enumera sus roiedades. y =,, y =,5,5,5 y = El dominio de ambas funciones es y el recorrido es (, + ). Las gráficas de ambas funciones son continuas y crecientes. La gráfica de la función y = corta al eje de ordenadas en el unto (, ), y la gráfica de y = lo corta en (;,5). 5 5 y = Reresenta gráficamente y enumera las roiedades de las funciones. y =,5 y =,5 c) y =,5 d) y =,5 c) d) y =,5 y =,5 y =,5 y =,5,,8,8,,5,6,6,6,6,5,8,6,6,6,5,,6,6,6,5,58,6,6,6,5 5 5 y c) y d) y =,5 y =,5 y =,5 y =,5 Reresenta la función y = e. Recuerda que el número e es un número irracional cuyo valor aroimado es e =,788 La gráfica f() = e es: f () 57

11 Funciones eonenciales y logarítmicas Reresenta las siguientes funciones de tio eonencial. y = y = c) y = d) y = 5 c) d) y = y = y = y = 5,565,5 6,7,5,56,95 8,88,5, ,65,57 y c) y d) y = y = y = y = 5 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA LA EPRESIÓN ALGEBRAICA DE UNA FUNCIÓN EPONENCIAL A PARTIR DE SU GRÁFICA? Determina la eresión algebraica de esta función eonencial. PRIMERO. Se determina uno de los untos, distinto del unto (, ), or el que asa la gráfica. En este caso, la gráfica asa or el unto (, ). SEGUNDO. Se sustituyen estas coordenadas en la eresión algebraica de la función eonencial. =, y = y = a = a = TERCERO. Se calcula el valor de a. = a = a = ± a CUARTO. No se considera la solución negativa, ues en una función eonencial sucede que a >. La eresión algebraica de la función es y =. a 58

12 SOLUCIONARIO 5 Determina la eresión algebraica de estas funciones eonenciales. y = y = 6 Halla la eresión algebraica de las funciones. y = y = + 7 HAZLO ASÍ CÓMO SE REPRESENTA GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN EPONENCIAL, CONOCIENDO ALGUNAS DE SUS CARACTERÍSTICAS? Dibuja la gráfica de una función eonencial del tio y = a (+ que es creciente, no corta el eje y asa or los untos (, ) y (, 9). PRIMERO. Se reresentan los untos or los que asa la función. (, 9) SEGUNDO. Si la función es creciente, la arte situada junto al eje será la arte izquierda de la gráfica. si es decreciente, será su arte derecha. (, ) 59

13 Funciones eonenciales y logarítmicas 8 Dibuja la gráfica de una función eonencial que verifique estas condiciones. Ser decreciente. Cortar al eje en el unto (, ). No cortar al eje en ningún unto. Pasar or el unto,. Conociendo la forma que tiene la gráfica de la función eonencial, y teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, una osible gráfica sería: y = (, ), 9 Realiza la gráfica de una función eonencial que tenga las siguientes roiedades. Es creciente. Corta al eje en el unto (, ). Pasa or el unto (, ). Conociendo la forma que tiene la gráfica de la función eonencial, y teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, una osible gráfica sería: (, ) y = + 6 (, ) Construye la gráfica de la función eonencial que tiene estas roiedades. Es creciente. Corta al eje en el unto (, ). No corta al eje. Conociendo la forma que tiene la gráfica de la función eonencial, y teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, una osible gráfica sería: y = (, ) 6

14 SOLUCIONARIO Reresenta estas funciones. y = y = c) y = + 5 d) y = + Estas funciones se ueden reresentar trasladando las gráficas de las funciones y = e y =. y = y =,5,5,5,5 La gráfica de la función y = se obtiene trasladando la gráfica de la función y = dos unidades a la derecha. La gráfica de la función y = se obtiene trasladando la gráfica de la función y = dos unidades hacia abajo. c) La gráfica de la función y = + 5 se obtiene trasladando la gráfica de la función y = cinco unidades hacia arriba. d) La gráfica de la función y = + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = una unidad a la derecha. 6

15 Funciones eonenciales y logarítmicas Estudia y reresenta las funciones. y = + + c) y = 5 e) y = + y = + d) y = + f) y = + Estas funciones se ueden reresentar trasladando las gráficas de las funciones y =, y =, y = e y =. y = y = y = y =,, 9,65 La gráfica de la función y = + + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = dos unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba.,,,5, 9 9, 6 La gráfica de la función y = + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = en hacia la izquierda y tres unidades hacia arriba. c) La gráfica de la función y = 5 se obtiene trasladando la gráfica de la función y = una unidad hacia la derecha y cinco unidades hacia abajo. d) La gráfica de la función y = + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = tres unidades hacia la izquierda y hacia arriba. 6

16 SOLUCIONARIO e) La gráfica de la función 8 y = + = + se obtiene trasladando la gráfica de la función 8 y = en hacia arriba. f) La gráfica de la función y = + = + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = en hacia arriba. Relaciona cada función con su gráfica. f() = g() = 5 c) h() = 5 d) i() = 5 5 La gráfica de la función f() = se corresonde con la gráfica. La gráfica de la función g() = 5 se corresonde con la gráfica. La gráfica de la función h() = 5 se corresonde con la gráfica. La gráfica de la función i() = 5 5 se corresonde con la gráfica. 6

17 Funciones eonenciales y logarítmicas Las gráficas de estas funciones son traslaciones de la gráfica de y = 7. 5 Identifícala y escribe la eresión algebraica que corresonde a cada una de las gráficas. La gráfica es: y La gráfica es: y La gráfica es: y La gráfica es: y La gráfica 5 es: y = 7 = 7 = 7 = 7 + = Decide cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes sin reresentarlas. Elica cómo lo haces. y = c) y = y = +5 d) y = +5 y = = = La función es creciente, ues la base es >. y = +5 = 5 La función es decreciente. c) y = = = = La función es decreciente d) y = = = La función es decreciente. 6

18 SOLUCIONARIO 6 Una esecie de aramecio se reroduce or biartición, comletando su ciclo reroductivo cada hora. Calcula la eresión de la función que relaciona los aramecios, y, que hay en función del tiemo, t, en horas, que ha transcurrido desde que el rimero comienza a dividirse. Reresenta la función. La función que relaciona el número de bacterias, y, con el tiemo que ha transcurrido desde que emezó a dividirse, t, es y = t. t y = t Bacterias Tiemo Aunque dibujamos la gráfica continua, esta gráfica tiene sentido solo ara valores naturales de la variable y. 7 Calcula el caital que obtendríamos en los 5 rimeros años al invertir, a interés comuesto, un caital de. a un rédito del,65 %. C f =. + t 65, =. (,65) t t C f =. (,65) t

19 Funciones eonenciales y logarítmicas 8 Halla gráficamente el caital que tendremos al cabo de años y 6 meses al invertir, a interés comuesto,. a un rédito del 5 %. 5 C f =. + =. (,5) t t C f =. (,5) t. t Si queremos saber cuál será el caital al cabo de años y 6 meses tendremos que hallar, en la gráfica, el valor de la ordenada corresondiente al valor,5 de la abscisa. Observando la gráfica se ve que el caital es La siguiente gráfica muestra la evolución de un caital invertido, en, a interés comuesto. Calcula cuál es el caital invertido y elica cómo lo haces. C T Cuánto tiemo, en años, es necesario mantener la inversión ara dulicar el caital? Observando la gráfica se ve que se han invertido., orque es el valor que le corresonde a t =. Además, ara t = el caital es., luego el rédito es del 5%, y ara dulicar el caital, como la gráfica es eonencial, y crece cada vez más derisa, odemos calcular que se obtendrán. en años aroimadamente. Si queremos calcularlo de forma eacta usamos logaritmos: log. =. (,5) t = (,5) t t = =, años log 5, 66

20 SOLUCIONARIO 5 Calcula, mediante su definición, los siguientes logaritmos. log e) ln e log 9 8 f) ln e c) log.. g) log 7 d) log, h) log,65 log = log 5 = 5 e) ln e = log 9 8 = log 9 9 = f) ln e = c) log.. = log 6 = 6 g) log 7 = log 7 7 = d) log, = log 5 = 5 h) log,65 = log = 5 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULAN ALGUNOS LOGARITMOS UTILIZANDO SUS PROPIEDADES? Calcula log si log =,585. PRIMERO. Se descomone el número en factores rimos. = SEGUNDO. Se alican las roiedades del logaritmo de un roducto. log = log ( ) = log + log = + log =,585 5 Halla log utilizando las roiedades de los logaritmos. log = log ( ) = log + log = log + = =,69 + =,897 5 Calcula log 56, mediante las roiedades de los logaritmos, y da un resultado eacto. log 56 = log 8 = log ( ) = log = 5 Halla el resultado de estas eresiones, utilizando las roiedades de los logaritmos. log 6 + log log 7 9 log 8 + log 7 + log 5 5 c) log 5 65 log log 8 6 log + log 5 log 7 7 = + 5 = log + log + log 5 5 = + + = 9 c) log 5 5 log log 8 8 = + = 67

21 Funciones eonenciales y logarítmicas 55 Desarrolla las siguientes eresiones a b c a b log log c) 7 d c log log a + log b 5 + log c log d = log a + 5 log b + log c log d 6 7 log a + log 5 b 6 log c 7 = log a + log b log c 5 c) log + log log y log z = = log + log log y log z = = log log y log z y z 56 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA UN LOGARITMO MEDIANTE UN CAMBIO DE BASE? Calcula log, sabiendo que log =,585. PRIMERO. Se realiza un cambio de base. log log = log SEGUNDO. Se sustituyen el numerador y el denominador or sus valores. log log log = = = =, 68 log log, Si log e =,; cuánto vale ln? log e ln = ln = =,6, 58 Eresa en función de logaritmos neerianos, y obtén el resultado con la calculadora. log 5 6 log c) log 6 d) log 5 ln 6 log 5 6 = log 5 6 = =,5 ln 5 log = log log = ln = =,77 ln ln c) log 6 = log 6 = log 6 = =,57 ln 6 ln d) log 5 = 5 log = 5 =,855 ln 68

22 SOLUCIONARIO 59 Si el valor del logaritmo decimal de es,; calcula el valor de los siguientes logaritmos decimales. log c) log.5 e) log, log,5 d) log,6 f) log, log = log ( ) = log + log =, + =, log,5 = log = log = ( ), =,9 c) log.5 = log ( 5 ) = log + log 5 = + log 5 = = +,699 =,97 6 d) log,6 = log = log 6 log = log = log = =, =, e) log, = log = log log =, =,699 f) log, = log = log log = log log = = log log =, =,98 6 Reresenta las siguientes funciones logarítmicas, ayudándote de la calculadora. 5 f() = log c) h( ) = log g() = log d) i() = log c) d) 6 8 f() = log,69,69,69,898,959 g() = log,69,69,898,69,57,768 h ( ) = log = log 5 i() = log = log 5,6,,556,86, 5, ,69 y c) d) y = log y = log G y = log 5 y = log Observamos que i() es una función simétrica resecto del eje de ordenadas or ser una función ar; y como log = log ( ), eiste ara valores negativos. 69

23 Funciones eonenciales y logarítmicas 6 Haz una tabla de valores corresondiente a la función y = log. Reresenta la función y estudia sus roiedades. y = log,5 6, 8,5,6 La función y = log verifica que: Dom f = (, + ) La imagen de es : log = La imagen de es : log = La función es creciente orque >. 6 Esta gráfica ertenece a y = log. Dibuja las gráficas de estas funciones a artir de ella. y = log y = log ( + ) y = log = log + log = + log La gráfica de la función y = log se obtiene deslazando la gráfica de la función y = log una unidad hacia arriba. y = log La gráfica de la función y = log ( + ) se obtiene deslazando la gráfica de la función y = log tres unidades a la izquierda. F y = log y = log ( + ) 7

24 SOLUCIONARIO 6 Reresenta estas funciones logarítmicas sobre los mismos ejes de coordenadas. y = log y = log 9 c) y = log ( + ) d) y = log 9( + ) Halla la relación eistente entre sus gráficas. c) d) y = log y = log 9 = + log y = log ( + ) y = log 9( + ) = + log ( + ) 6 8,69,69,69,898,959,69,69,69,898,959,69,69,898,959,69,69,69,898,959,69 y = log 9(+ ) F y = log 9 F y = log ( + ) y = log La función y = log 9 se obtiene trasladando la función y = log dos unidades hacia arriba. La función y = log ( + ) se obtiene trasladando la función y = log tres unidades hacia la izquierda. La función y = log 9( + ) se obtiene trasladando la función y = log ( + ) dos unidades hacia arriba. 6 Calcula el valor aroimado de log, utilizando la gráfica de la función y =. y = log = log 5,, 7

25 Funciones eonenciales y logarítmicas 65 Relaciona cada gráfica con su eresión algebraica. y = ln y = ln ( + ) c) y = ln ( + ) Gráfica Gráfica c) Gráfica 66 Comrueba, gráfica y analíticamente, si los siguientes ares de funciones son inversos entre sí. Justifica tu resuesta. f( ) = log g( ) = y h( ) = y t( ) = + f( ) log = g ( ) =,5,5,585,5,65 Las gráficas son simétricas resecto de la bisectriz del rimer y tercer cuadrantes y, or tanto, son inversas. g() f () h() = t ( ) = h() t() Estas funciones son inversas, orque las gráficas son simétricas resecto de la bisectriz del rimer y tercer cuadrantes. 7

26 SOLUCIONARIO 67 Para cuáles de los siguientes valores de y q se verifica la igualdad log ( + q) = log + log q? q = q = o = q = c) = q q q = d) = q q + log + log q = log ( q) log + log q = log ( q) log ( + q) = log + log q log ( + q) = log ( q) q + q = q q = q ( q) = q = q = q = es imosible, orque el logaritmo de no eiste. = q = log ( + q) = log + log q log ( + ) log + log log q q q = = q = q q + q = q q q q = Solución no válida q = Solución no válida c) = q q q = q q q q = q q + q = q = Solución no válida d) = q q q = q + q + q q( q) = q( + q) q = Solución no válida Aunque oerando en cada caso aarecen soluciones, estas soluciones no son válidas al sustituir en la ecuación logarítmica. 68 Averigua cuál de estas afirmaciones es verdadera si >. log ( + ) < log ( + ) < c) log ( + ) > Es falso, ues ara = 99: log ( + 99) = > Para comrobarlo reresentamos las funciones y = log ( + ), y =. Así, comrobamos que, ara >, la recta y = siemre está or encima de la función logarítmica y = log ( + ). c) Es falso, orque ara = : log ( + ) =, < = 5, + y = y = log ( + ) 7

27 Funciones eonenciales y logarítmicas 69 Escribe cuántas cifras tiene el número escrito en el sistema decimal. El número de cifras es igual a la arte entera del logaritmo decimal más uno. log 6 = 6 log = 6,66 = 9,6; or lo que 6 tiene cifras. log 5 5 = 5 log 5 = 5,69897 = 7,7; or lo que 5 5 tiene 8 cifras. 7 Calcula el valor de a, sabiendo que a y b son números ositivos que verifican que a b = b a y b = 9a. b a a = b b = 9a a 9a = (9 a a 9a = 9 a a a a 8a = 9 a a 8 = 9 b = 9a a = b = 9a b = 9 a = 7 La suma de las cifras del número (.9n + ), siendo n >, no es un número etraordinariamente grande. Crees que la suma de las cifras de ese número deende de n? Cuánto vale eactamente? (.9n + ) =.8n +.9n + Considerando que n es un número entero ositivo, la suma de las cifras no deende del valor de n. La suma de las cifras de cada sumando es: + + = EN LA VIDA COTIDIANA 7 Como habrás observado, a la misma temeratura no todos sentimos igualmente el frío o el calor. Por ejemlo, a una temeratura de ºC sentirás más frío si sola un viento fuerte que si no hay viento. Este fenómeno se llama sensación térmica y deende de cada ersona. Belén tiene una beca ara estudiar en Moscú y está reocuada or la intensidad del frío en esa ciudad. Para calcular la sensación térmica en zonas frías, los arámetros que se tienen en cuenta son la temeratura y la velocidad del viento, siemre que la temeratura sea menor que 5 ºC y la velocidad de viento sea mayor que 5 km/h. 7

28 SOLUCIONARIO Para calcular la sensación térmica se utiliza un índice llamado Windchill. T s = K + K T + K V + K T V donde T s (en ºC) es la sensación térmica; K, K, K, K y P son cinco constantes distintas; K =,6, K =,7 y K =,. T es la temeratura del aire (en ºC) y Ves la velocidad del viento (en km/h). En Internet, Belén no ha encontrado los valores de K y P, ero sí ha localizado en los eriódicos estos datos ara determinarlos. Día T ( C) V (km/h) T S Lunes,8 Miércoles 5 5 6,9 Viernes , Si esta mañana ha escuchado or la radio que la sensación térmica en Moscú es de 7 ºC, cuál es la temeratura? La velocidad del viento es de km/h. Tomando el sistema de ecuaciones obtenido con los datos del lunes, del miércoles y del viernes tenemos que:, 8 = k +, 6 ( ) + (, 7) +, ( ) 6, 9 = k +, 6 ( 5) + (, 7) 5 +, ( 5) 5 8, = k +, 6 ( 7) + (, 7) 55 +, ( 7) 55, 8 = k 8, 6 6, 57 6, 7 = k 6, 57 6, 9 = k 9, 7, 7 5 7, 6 = k 7, 7 5 8, = k,, 7 55, 76 = k, , 7 = k 6 57, 7, 6 = k 7, , = 657, + 77, 5 6, 7 = k 6, 57, 76 = k, , = 657, + 7, 55 Calculamos a artir de cualquiera de las ecuaciones, or ejemlo en la segunda:,98 = 6,57 +,7 55,98 + 6,57 =,

29 Funciones eonenciales y logarítmicas Consideramos las funciones f() =,98 + 6,57 y g() =,7 55, y obtenemos mediante tanteo el valor de donde coinciden: f() g(),599,79,,98,55,,67,58, 7, 7,59 f() g(),9,98,55,,88,9,,87,99,,786,857,,79,8,5 5,86 5,88,6 6,99 6,95,7 8, 8,5 Es decir, las funciones se hacen iguales ara un valor de comrendido entre,6 y,7. Si tomamos como solución un valor aroimado =,6; calculamos el valor de k. 6,7 = k 6,57,6 k = 6,7 + 6,57,6 =,6 La fórmula del índice Windchill es: T S =,6 +,6 T,7 V,6 +, T V,6 Para T = 7 ºC y V = km/h: T S =,6 +,6 ( 7) +,7,6 +, ( 7),6 = 5,85 7 Una granja avícola está contaminando el agua de un río cercano con ácido úrico. Las autoridades le han comunicado que si los niveles de ácido úrico no bajan, en el róimo control, dentro de 6 meses cerrarán la granja. El nivel máimo ermitido de ácido úrico es,9. Lucía, la resonsable de seguridad de la granja, ha hecho un seguimiento del nivel de ácido úrico del río durante varios meses. En el informe que resenta detalla cómo el nivel de ácido úrico se uede describir mediante esta función. f(t) = ln (t + ) 5 ln (t + )

30 SOLUCIONARIO La función f(t) da el nivel de ácido úrico, siendo t el tiemo, en meses. f(t) t El nivel baja a artir del tercer mes desde el vertido. Bajará lo suficiente como ara que la granja ase los controles rogramados? Qué sucederá al cabo de un año? La concentración de ácido úrico dentro de seis meses será: f (6) = ln 7 5 ln =,86 Como la concentración es menor de,9, la fábrica seguirá funcionando. La concentración dentro de un año será: f () = ln 5 ln + 6 =,6 77