Cálculo Diferencial e Integral - Grá ca de una función. Farith J. Briceño N.

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1 Cálculo Diferencial e Integral - Grá ca de una función. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Teorema de monotonía. De nición de máimos y mínimos locales y globales. Concavidad y untos de in eión. Grá ca de una función real. Código : MAT-CDI.9 Ejercicios resueltos Ejemlo : Encuentre valores a, b, c y d tales que f () = a + b + c + d tenga un mínimo relativo de en = 0 y un máimo relativo de en =. Solución : Tenemos que f () = a + b + c + d asa or los untos (0 ) y ( ), así f (0) = a (0) + b (0) + c (0) + d = =) d = y f () = a () + b () + c () = =) a + b + c = 7 Por otra arte f 0 (0) = 0 y f 0 () = 0, entonces como f 0 () = a + b + c así y f 0 (0) = 0 =) a (0) + b (0) + c = 0 =) c = 0 f 0 () = 0 =) b () + a () = 0 =) a + b = 0 Resolvemos el sistema de ecuaciones ( a + b = 7, Luego a + b = 0 =) a = y b = a = b = c = 0 d = F Ejemlo : Determine monotonía, valores etremos, concavidad y untos de in eión de la función f () = = = Solución : Observemos, en rimer lugar, que el dominio de la función en [0 ), ara conocer la monotonía de la función debemos estudiar el signo de su rimera derivada, donde f 0 viene dada or f 0 () = = = 0 = = 0 = 0 = = estudiamos el signo de f 0, f 0 + Monotonía % & " " mínimo máimo donde, los valores etremos son Para el valor mínimo : f (0) = (0) = (0) = = 0

2 entonces Crecimiento : Para el valor máimo : f = = = = 9 0 Decrecimiento : Valor mínimo : (0 0) Valor máimo : 9 Estudiemos, ahora, la concavidad de la función f, ara ello calculamos la segunda derivada f 00 () = 0 0 = 0 = = = + = veamos el signo de f 00 (0 ) ( + ) = + f 0 Concavidad y or lo tanto, f siemre es concava hacia abajo. Finalmente Crecimiento : 0 Decrecimiento : Valor mínimo : (0 0) Valor máimo : 9 Concava hacia arriba :? Concava hacia abajo : (0 ) Punto de in eión : No tiene Ejemlo : Se tiene un alambre de m de longitud y se divide en dos trozos ara formar un cuadrado y un círculo. Eresar el área total encerrada en ambas guras en función de, siendo el lado del cuadrado. Hallar el dominio donde está de nida la función. Dónde debe cortarse el alambre si la suma de las dos áreas debe ser minima.? Solución : Del alambre de m debemos formar un cuadrado y un circulo de tal forma que cada lado del cuadrado mida m. F Sea la longitud del lado del cuadrado. El área del cuadrado es A cuadrado = (lado), mientras que, el área del circulo es A circulo = (radio), or lo tanto A cuadrado = deduzcamos el radio del circulo, observemos que el erímetro del círculo es, que es la longitud del alambre que tenemos ara forma la gura geométrica, uesto que el erímetro del círculo es P = (radio), entonces, = (radio) =) radio =

3 or lo tanto, A circulo = =) A circulo = ( ) : Luego, el area total es A total () = A cuadrado + A circulo = ( ) + cuyo dominio es Dom A total = (0 ). Busquemos donde esta función alcanza sus valores etremos, ara ellos derivamos A = A total y buscamos sus untos críticos, A 0 () = +! 0 ( ) = Punto crítico estacionario : = 0 =) = =) = =) ( + ) = =) = + Usamos el criterio de la segunda derivada ara conocer si en este unto estacionario se alcanza un valor mínimo ó un valor máimo. 0 f 00 () = = + observemos que f 00 siemre es ositiva, en artícular en =, or lo tanto, f tiene un valor mínimo en + =, así, se debe cortar el alambre en este unto ara obtener el área minima. + F Ejemlo : Encuentre los untos de la arábola = y que están más cercanos al unto (0 0) Solución : Sea A ( y) un unto de la arábola = y, entonces la distancia entre el unto A y el unto B (0 0) viene dada or d (A B) = q ( 0) + (y 0) = q ( 0) + y Función que deende de y y uesto que, el unto A ( y) está sobre la arábola, entonces dicho unto satisface la ecuación de la arábola, de allí, = y, y tenemos que y =, así, d (A B) = r ( 0) + Función que deende de deseamos hallar un valor mínimo de la función d (), ara ello derivamos, ero observe que la función d es la comosición de la función raíz cuadrada y de la función cuadrática, como la función raíz cuadrada es creciente, entonces, odemos hallar el valor mínimo de la función f () = ( 0) + y donde la función f alcance su valor mínimo, allí también lo alcanza la función d Busquemos, entonces, donde la función f alcanza su valor mínimo, derivamos ( or qué?) f 0 () = ( 0) + Punto crítico estacionario : f 0 () = 0 =) ( 0) + = 0 =) ( 0) = =) = 9 Usamos el criterio de la segunda derivada ara conocer si en este unto estacionario se alcanza un valor mínimo ó un valor máimo. f 00 () = ( 0) + 0 = observemos que f 00 siemre es ositiva, en artícular en = 9, or lo tanto, f tiene un valor mínimo en = 9, así, y = r 9 9 =) y =

4 Luego, los untos de la arábola = y que están más cercanos al unto (0 0) son r! r! y F Ejemlo 5 : Gra que f () = = = Solución : Para obtener un esbozo de la grá ca de f se recomienda conocer : Dominio : Punto de corte con los ejes : Valor(es) máimo(s) : Valor(es) mínimo(s) 5: Intervalos de decrecimiento 6: Intervalos de crecimiento 7: Concavidad hacia arriba : Concavidad hacia abajo 9: Puntos de in eión 0: Asíntota horizontal : Asíntota vertical : Asíntota oblicua En el ejemlo se estudiaron gran arte de estas roiedades de la función f, nos falta conocer los untos de cortes con los sjes coordenados y el comortamiento asintótico. Puntos de cortes con los ejes : Eje : (y = 0) 0 = = = =) = ( ) = 0 =) = 0 y = or lo tanto, f corta al eje en los untos (0 0) y ( 0). Eje y : ( = 0) or lo tanto, f corta al eje y en el unto (0 0). Comortamiento asintótico : y = (0) = (0) = =) y = 0 Asíntota vertical : Como Dom f = [0 ), la función no tiene asíntota vertical Asíntota horizontal : el cual es una indeterminación de la forma = or lo que f Asíntota oblicua : lim! no tiene asíntota horizontal. lim f () = lim = =!! f () = = m = lim = lim!! el cual es una indeterminación de la forma este caso, dividimos entre or lo que f Finalmente m = lim! no tiene asíntota oblicua., levantamos la indeterminación = = lim! = ( ) = = ( ) = lim = lim!! =, dividimos cada término de la eresión entre la mayor otencia, en = = lim!! = Dominio : [0 ) Punto corte con el eje : (0 0) ( 0) Punto corte con el eje y : (0 0) Crecimiento : 0 Decrecimiento : Valor mínimo : (0 0) Valor máimo : 9 Concava hacia arriba :? Concava hacia abajo : (0 ) Punto de in eión : No tiene Asínota vertical : No tiene Asínota horizontal : No tiene Asínota oblicua : No tiene

5 y F Ejemlo 6 : Gra que f () = ( ) Solución :Para obtener un esbozo de la grá ca de f se recomienda conocer : Dominio : Punto de corte con los ejes : Valor(es) máimo(s) : Valor(es) mínimo(s) 5: Intervalos de decrecimiento 6: Intervalos de crecimiento 7: Concavidad hacia arriba : Concavidad hacia abajo 9: Puntos de in eión 0: Asíntota horizontal : Asíntota vertical : Asíntota oblicua Dominio : Observemos que la función f tiene sentido sólo si 6=, luego Dom f = R fg. Puntos de cortes con los ejes : Eje : (y = 0) or lo tanto, f corta al eje en el unto (0 0). Eje y : ( = 0) 0 = ( ) =) = 0 =) = 0 y = or lo tanto, f corta al eje y en el unto (0 0). (0) ((0) ) =) y = 0 Monotonía : Para conocer la monotonía de la función debemos estudiar el signo de su rimera derivada, donde f 0 viene dada or! 0 f 0 0 ( ) ( ) 0 () = ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) estudiamos el signo de f 0, ( 0) (0 ) ( ) ( ) ( ) + + f Monotonía % % & % " " No es valor etremo mínimo 5

6 donde, el valor etremo es entonces () Valor mínimo : f () = (() ) = 7 Crecimiento : ( 0) [ (0 ) [ ( ) Decrecimiento : ( ) Valor mínimo : 7 Valor máimo : No tiene Concavidad : Estudiemos, ahora, la concavidad de la función f, ara ello calculamos la segunda derivada! 0 f 00 () = ( ) ( ) = ( ) 0 ( ) ( ) 0 6 ( ) 6 = ( ) veamos el signo de f 00 ( 0) (0 ) ( ) ( ) donde, el unto de in eión es entonces f Concavidad _ ^ ^ " " Punto de in eión No es unto de in eión Punto de in eión : f (0) = (0) ((0) ) = 0 Concava hacia arriba : (0 ) [ ( ) Concava hacia abajo : ( 0) Punto de in eión : (0 0) Comortamiento asintótico : Asíntota vertical : Como Dom f = R fg, entonces, una osible asíntota vertical es =. luego, = es una asíntota vertical. lim f () = lim!! ( ) = Asíntota horizontal : el cual es una indeterminación de la forma este caso, dividimos entre lim f () = lim!! ( ), dividimos cada término de la eresión entre la mayor otencia, en lim! ( ) = lim! + = lim! +! similarmente or lo que f lim! ( ) = lim! no tiene asíntota horizontal. + = lim! +! 6

7 Asíntota oblicua : f () m = lim = lim!! ( ) = lim! ( ) = lim! ( ) = lim! = lim! el cual es una indeterminación de la forma este caso, dividimos entre lim!, dividimos cada término de la eresión entre la mayor otencia, en = lim! = lim! or lo tanto, m = () =, calculamos el unto de corte de la asíntota oblicua con el eje y,! ( ) b = lim (f () m) = lim!! ( ) = lim! ( ) = lim! ( ) = el cual es una indeterminación de la forma este caso, dividimos entre, así,, dividimos cada término de la eresión entre la mayor otencia, en b = lim! ( ) = : Similarmente ara, or lo que f tiene una asíntota oblicua igual a y = +. Finalmente Dominio :R fg Punto corte con el eje : (0 0) Punto corte con el eje y : (0 0) Crecimiento : ( 0) [ (0 ) [ ( ) Decrecimiento : ( ) Valor mínimo : 7 Valor máimo : No tiene, Concava hacia arriba : (0 ) [ ( ) Concava hacia abajo : ( 0) Punto de in eión : (0 0) Asínota vertical : = Asínota horizontal : No tiene Asínota oblicua : y = + y F Ejercicios. Encuentre los intervalos en los que f es creciente o decreciente. : f () = 0 : f () = + : f () = + 5 : f () = + + 5: f () = + 6: f () = + 7

8 7: f () = : f () = ( ) 9: f () = : f () = + + : f () = ( ) : f () = : f () = 6 : f () = = ( ) 5: f () = =5 ( + ) 6: f () = 7: f () = : f () = + + 9: f () = 6 7 0: f () = : f () = tan tan. Qué condiciones sobre a, b y c harán a f () = a + b + c + d siemre creciente?. Considere la función f () = A + B + C, siendo A > 0. Demuestre que f () 0, ara toda, sí y solo sí, B AC 0. Use el Teorema de monotonia ara demostrar cada roosición si 0 < < y (a) < y (b) < y (c) > y 5. Suonga que f 0 () > 0 y g 0 () > 0, ara toda. Qué condiciones adicionales simles (si las hay) se necesitan ara garantizar que (a) f () + g () es creciente ara toda (b) f () g () es creciente ara toda (c) f (g ()) es creciente ara toda? 6. Demuestre que a + a < b + siemre que < a < b b 7. Demuestre que tan b tan a > b siemre que 0 < a < b < a. Encuentre los valores etremos locales y absolutos de la función dada : f () = + 6 : f () = + = 0:5 : f () = : g () = : h () = + 0 6: g () = sen cos = = 9. Encuentre los valores máimos y mínimos locales de las funciones f dadas en el ejercicio 0. Si f 0 () = ( + ) ( + ) ( ) ( ), Qué valor de hace de f () un máimo local? Un mínimo local?. Considere la función f () = +. Demuestre que el mínimo relativo es mayor que el máimo relativo.. Demuestre que f () = a + b c + d no tiene valores criticos cuando ad bc 6= 0. Qué sucede cuando ad bc = 0.. Encuentre valores a, b y c tales que f () = a + b + c tenga un máimo relativo de 6 en = y que la grá ca de f tenga intersección y igual a.. Encuentre valores a, b, c y d tales que f () = a + b + c + d tenga un mínimo relativo de en = 0 y un máimo relativo de en =. 5. Para cada una de las siguientes funciones encuentre los intervalos de concavidad : f () = : f () = + 5 : f () = + : g () = 6 5: g () = 6: g () = + 7 7: f () = : h () = 9: f () = + 0: F () = = = : G () = + : G () = + : P () = = ( + ) = : Q () = arcsen 5: f () = sen 6: g () = cos 7: h (t) = t + arctan t : f (t) = t + cos t

9 6. Demuestre que la grá ca de una función olinomial cuadrática f () = a + b + c, a 6= 0, es cóncava hacia arriba en el eje cuando a > 0 y cóncava hacia abajo cuando a < Determine a y b tal que f () = a + b tenga el unto ( ) como un unto de in eión.. Si f () = a + b, determinar a y b tales que la grá ca de f tenga un unto de in eión en ( ) 9. Encuentre una función cúbica f () = a + b + c + d que tenga un valor máimo local de en = y un valor mínimo local de 0 en = 0. Para qué valores de a y b la función f () = + a + b + tendrá un máimo local cuando = y un mínimo local cuando =?. Si f () = a + b + c + d, determinar a, b, c y d tales que f tenga un etremos relativo en (0 ) y tal que la grá ca de f tenga un unto de in eión en ( ). Suonga que f 00 () > 0 y g 00 () > 0, ara toda. Qué condiciones adicionales simles (si las hay) se necesitan ara garantizar que (a) f () + g () es cóncava hacia arriba ara toda (b) f () g () es cóncava hacia arriba ara toda (c) f (g ()) es cóncava hacia arriba ara toda?. Demuestre que una ecuación cuadrática no tiene untos de in eión.. Demuestre que una ecuación cúbica tiene eactamente un unto de in eión. 5. Encuentre valores a, b y c tales que f () = a + b + c ase or ( 0) y tenga un unto de in eión en ( ). 6. Obtenga valores de a, b y c tales que la grá ca de f () = a + b + c tenga una tangente horizontal en el unto de in eión ( ). 7. Sea f () = ( 0 ) n, donde n es un entero ositivo. (a) Demuestre que ( 0 0) es un unto de in eión de la grá ca de f si n es imar. (b) Demuestre que ( 0 0) no es un unto de in eión de la grá ca de f, ero que corresonde a un mínimo relativo cuando n es ar.. Qué conclusiones uede sacar acerca de f de la información f 0 (c) = f 00 (c) = 0 y f 000 (c) = 0? 9. Determine monotonía, valores etremos, concavidad y untos de in eión de la función : h () = + : g () = + + : f () = : g () = ( ) = 5: f () = = (6 ) = 6: f () = 5 5 7: f () = + : f () = = = 9: f () = + 0: f () = = = : g () = : f () = 5 : h () = + 5: y = + : g () = + = 6: f () = + 0. Bosqueje la osible grá ca de una función f que tenga las siguientes roiedades: a) f es continua b) f ( ) = f () = c) f 0 () = 0 si > d) f 00 () < 0 si <. Bosqueje la osible grá ca de una función f que tenga las siguientes roiedades a) f es continua b) f () = f (6) = c) f 0 () = 0 f 0 () > 0 ara 6= 0 f 0 (6) = d) f 00 (6) = 0 f 00 () > 0 ara < < 6 f 00 () < 0 ara > 6. Bosqueje la osible grá ca de una función f que tenga las siguientes roiedades: (a) f es continua en (0 ) (b) f tiene una máimo relativo en =, ero f 0 () no eiste. 9

10 . Trazar la grá ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes a) lim f () = b) lim!!0 f () = c) f (0) = d) lim f () = e) lim f () = 0!0 +!. Dibuje la grá ca de una función continua f en el intervalo [0 6] que satisfaga todas las condiciones establecidas. f (0) = f () = f () = f (6) = 0 f (0) = f () = 0 f (6) = >< f 0 () > 0 en (0 ) f 0 () < 0 en ( ) [ ( 6) >< (a) (b) f 0 () < 0 en (0 ) f 0 () > 0 en ( 6) f 0 () = f 0 () = 0 f 00 () > 0 en (0 ) [ ( ) >: >: f 00 () > 0 en (0 5) f 00 () < 0 en (5 6) f 00 () < 0 en ( ) [ ( 6) f (0) = f () = f (6) = 0 f (0) = f () = f () = f () = f (6) = 0 (c) >< >: f 0 () < 0 en (0 ) [ ( 6) f 0 () = 0 f 00 () < 0 en (0 ) [ ( 6) f 00 () > 0 en ( ) (d) >< >: f 0 () > 0 en (0 ) f 0 () < 0 en ( ) [ ( 5) f 0 () = f 0 () = 0 f 0 () = en (5 6) f 00 () < 0 en (0 ) [ ( 5) f 00 () > 0 en ( ) 5. Dibuje una grá ca de una función continua f que cumla con las siguientes roiedades f ( ) = 0 f (0) = f (0) = 0 (a) >< >: f 0 () no eiste f 0 (5) = 0 f 0 () > 0 en < y > 5 f 0 () < 0 en ( 5) (b) >< >: f 0 ( ) = 0 f 0 (0) = 0 f 0 () = 0 f 0 () < 0 en < y < < 0 f 0 () > 0 en 0 < < y > f ( ) = 0 f () = 0 f (0) = 5 f () = 0 (c) >< >: f 0 () = 0 f 00 () = 0 f 00 () = 0 f 00 () < 0 en < y > f 00 () > 0 en < < (d) >< >: f 0 () = 0 f 00 () no eiste f 00 () > 0 en < f 00 () < 0 en > 6. Bosqueje la osible grá ca de una función f que tenga las siguientes roiedades (a) f es continua en toda su etensión (b) f ( ) = (c) f 0 () < 0, ara <, f 0 () > 0, ara >, f 00 () < 0, ara 6=. 7. Bosqueje la osible grá ca de una función f que tenga las siguientes roiedades (a) f es continua en toda su etensión (b) f ( ) =, f (0) = 0, f () = (c) f 0 ( ) = 0, f 0 () = 0, f 0 () > 0, ara <, f 0 () > 0, ara < <, f 0 () < 0, ara >. (d) f 00 ( ) = 0, f 00 (0) = 0, f 00 () < 0, ara >, f 00 () > 0, ara < < 0, f 00 () < 0, ara > 0.. Bosqueje la osible grá ca de una función f que tenga las siguientes roiedades: a) f (0) = f () = f ( ) = c) f 0 () > 0 ara < 0 f 0 () < 0 ara > 0 b) f 0 (0) = 0 d) f 00 () < 0 ara jj < f 00 () > 0 ara jj >. 9. Gra que una función que satisfaga las siguientes condiciones Función Función Máimo local en (0 ) Mínimo local en ( 6) Asíntota vertical en = Asíntota oblicua y = Sin asíntotas horizontales Sin untos de in eión Máimo local en ( ) Mínimo local en ( ) Puntos de In eión en ( 0), (0 ) y (6 ) Asíntota horizontal en y =, cuando! Sin asíntota horizontal cuando! Sin asíntotas verticales 0

11 Función Función Función ar Mínimo local en ( ) Puntos de In eión en ( ) y ( 0) lim! f () = Simétrica con el origen Asíntota vertical en = Asíntota horizontal en y = No hay untos de la grá ca ara Función 5 Función 6 Simétrica con el eje y Asíntota vertical en = Mínimos en ( 0) y ( ) Máimo en (0 ) Punto de in eión en (= ) No tiene asíntota horizontal Simétrica con el origen Máimo local en ( ) Mínimo local en ( ) Puntos de In eión en ( : :), (0 0) y (: :) Sin asíntotas horizontales Sin asíntotas verticales 0. Las siguientes tablas reresentan las características rinciales de ciertas funciones reales de variable real, esbozar sus grá cas. (a) = (b) f 0 () f 00 () f () & = & & 0 (c) (d) (e) f 0 () f 00 () f () & % 5 % & 5 & % 0 f 0 () + + f 00 () f () % % & & 0 f 0 () + + f 00 () + + f () % & & % 0 f 0 () + + f 00 () f () & & % % & &

12 (f) 0 f 0 () + f 00 () + 5 f () & 6 & % & 0 (g) 0 f 0 () f 00 () + + f () % % 0 % % (h) 6 f 0 () + + f 00 () f () % & % & & (i) 5 f 0 () + f 00 () f () & 0 & % & (j) f 0 () f 00 () + + f () & % & & % % & % 0 (k) 0 f 0 () + + f 00 () + + f () % 0 % & & 0

13 . La siguiente grá ca corresonde a la derivada de una cierta función f: a. Halle los etremos relativos de dicha función b. Trace una grá ca aroimada de f a) b) c) d). Dadas las siguientes grá cas de funciones, construya una tabla que contenga:. Signo de f 0 y f 00. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Valores etremos.. Intervalos de concavidad y untos de in eión Eseci que el dominio y el rango de la función. a) b) c) d)

14 . Gra que las siguientes funciones, haciendo el análisis corresondiente : f () = + ( ) = : f () = ( + ) + : f () = : f () = 5: y = : y = + 7: y = + ( )= : f () = + 9: y = + + 0: f () = ( ) : f () = = + = : y = ( + ) : y = ( ) ( + ) : f () = 7: f () = : f () = r : f () = : f () = 5: f () = = 6: y = + 9: f () = = 0: f () = + 5 : y = 5 = 5= : f () = +. Encuentre dos números cuyo roducto sea y la suma de sus cuadrados sea mínima. 5. Dos ostes de 5 m y 0 m de altura, están situados a una distancia de m y se quieren unir sus etremos sueriores or una cable que en un unto intermedio debe tocar el suelo. Ubicar el unto donde el cable toca el iso ara que la longitud sea mínima. 6. Un triángulo rectángulo está formado or los segmentos ositivos y una recta que asa or el unto ( ). Hallar los vértices de modo que su área sea mínima. 7. El erímetro combinado de un triángulo equilátero y de un cuadrado es 0. Hallar las dimensiones de ambas guras que roducen la mínima área total.. Un camesino tiene 00 metros de alambre y quiere usarlos ara formar tres lados de un huerto rectangular siendo el cuarto lado la ared de la casa Cuáles dimensiones del huerto encerrarán la máima área osible con el alambre? 9. Encontrar las dimensiones del rectángulo de erímetro mínimo cuya área es de 6m 50. Determine dos números no negativos cuya suma sea 0 y cuyo roducto sea tan grande como sea osible. 5. El barco A está a 0 millas del unto O a medianoche y se dirige hacia el Oeste a 5 mi/h. El barco B está a 0 millas al Norte de O a medianoche y se dirige hacia el Sur a 5 mi/h. Calcular cuándo están más cercanos los dos barcos entre sí y calcular esa distancia mínima. 5. Un hombre se encuentra en un unto A de la orilla de un río rectilíneo de km. de ancho y desea llegar a un unto B, situado a km. río abajo en la orilla ouesta, lo más ráidamente. El hombre uede remar en su bote cruzando el río directamente hacia el unto C y luego correr hacia B, o bien uede remar directo hacia B, o uede remar hasta cierto unto D entre C y B, luego correr hacia B. Si rema a 6 km/h y corre a km/h. En qué unto se debe desembarcar ara llegar al unto B lo más ronto osible? 5. Un cable de longitud l se va a cortar en dos trozos ara formar con ellos un cuadrado y un triángulo equilátero. Donde hacer el corte si la suma de las dos áreas debe ser mínima? 5. Juan tiene 00 ies de tela de alambre con la que lanea cercar un atio rectangular ara su erro. Si desea que el área sea máima. Cuáles deben ser las dimensiones? 55. Una hoja de roaganda debe contener 50 cm de material imreso, con cm de margen arriba y abajo y cm de márgenes laterales. Qué dimensiones debe tener la hoja ara que el gasto de ael sea mínimo? 56. Si una cabilla de 0 cm de longitud se dobla ara formar una L", cuál es la distancia más corta que eiste entre los etremos de la cabilla doblada? 57. Una ventana tiene forma rectángular en la arte inferior y semicircular en la arte suerior. Hallar las dimensiones cuando el erímetro es de m y el área es máima. 5. La sección transversal de una viga rectangular de madera cortada de un tronco circular de diámetro 0 cm. tiene longitud y anchura y. La resistencia de la viga varia en roorción directa al roducto de la longitud y al cuadrado del ancho. Calcular las dimensiones de la sección transversal de la viga de mayor resistencia.

15 59. Hallar la distancia mínima del unto P ( ) a la arábola y =. 60. Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas de iezas de cartón de ul cuadradas, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar ara obtener una caja cuyo volumen sea el mayor osible. 6. La granja Victoria tiene 0 ies de tela de alambre con la que se lanea cercar un corral rectangular al lado de un granero de 00 ies de largo, como se muestra en la gura (el lado que está junto al granero no necesita cerca). Cuáles son las dimensiones del corral de máima área? 6. La granja Victoria del Problema 6 decide hacer tres corrales idénticos con sus 0 ies de tela de alambre, como se muestra en la gura. Qué dimensiones debe tener el cercado total ara que el área de los corrales sea tan grande como se ueda? 6. Suonga que el dueño de la granja del Problema 6 decide usar 0 ies de cerca ara construir un corral rectangular que se ajuste a una esquina de 0 0 ies, como se muestra en la gura (toda la esquina debe ser arovechada y no necesita barda). Qué dimensiones darán al corral la área máima? Ejercicio 6 Ejercicio 6 Ejercicio 6 6. Un alambre de longitud metro se va a cortar en dos artes. Una se dobla ara formar un cuadrado y la otra ara formar un círculo. Dónde debe cortarse el alambre si la suma de las dos áreas debe ser mínima? 65. P es un unto en el rimer cuadrante sobre la curva y = 7. Por P se traza la tangente a la curva y sean A y B los untos en que corta a los ejes coordenados. Hallar la ordenada de P ara que AB sea mínimo. 66. Dos ostes de 5 m y 7 m de altura, tienen una searación de 0 m y se han de sujetar con cables jados en un solo unto, desde el suelo a los etremos sueriores de los ostes. Dónde se han de jar los cables ara que la cantidad a emlear sea mínima? 67. Encuentre los untos de la arábola = y que están más cercanos al unto (0 0) 6. Se va a cortar una viga rectangular de un tronco de sección transversal circular. Si la resistencia de una viga es roorcional al ancho y al cuadrado de su altura. Encontrar las dimensiones de la sección transversal que da la viga de mayor resistencia. 69. Una ágina ara imresión va a contener ul de área imresa, un margen de ul en las artes suerior e inferior y un margen de ul en los lados. Cuáles son las dimensiones de la ágina más equeña que llenaría estas condiciones? :: Creciente : Decreciente : :: Creciente : [ Decreciente : :: Creciente : ( ) [ Decreciente : :: Creciente :R Decreciente :? Resuestas: Ejercicios :5: Creciente : [ ( ) Decreciente : :6: Creciente : ( 0) [ ( ) Decreciente : ( ) [ (0 ) :7: Creciente : ( ) [ (0 ) Decreciente : ( 0) [ ( ) :: Creciente : 0 [ ( ) Decreciente : ( 0) [ :9: Creciente : ( ) [ ( ) [ ( ) Decreciente : ( ) [ ( ) :0: Creciente : ( ) Decreciente : ( ) :: Creciente : ( 0) [ 0 7 [ ( ) Decreciente : 7 :: Creciente : Decreciente : [ :: Creciente : ( ) Decreciente : ( 6) :: Creciente : 0 [ ( ) Decreciente : ( 0) [ :5: Creciente : 6 0 [ (0 ) Decreciente : 6 :6: Creciente : Decreciente : :7: Creciente : 0 Decreciente : + 7 :: Creciente : [ 7 Decreciente : + 7 :9: Creciente : ( 0) [ 7 6 [ 7 6 Decreciente : (0 ) :0: Creciente : ( ) Decreciente : ( ) :: Creciente : + n + n j n Z Decreciente : n + n j n Z : a > 0 y b ac < 0 7 5

16 5:a: Ninguna 5:b: f () > 0 y g () > 0 5:c: Ninguna :: Valor mínimo : ( ) Valor máimo : ( ) :: Valor mínimo : ( ) Valores máimos : 5 0 :: Valores mínimos : Valores máimos : :: Valores mínimos : ( ) ( ) Valores máimos : ( ) (0 ) :5: Valores mínimos : (0 ) ( ) Valor máimo : 5 :6: Valor mínimo : Valores máimos : 9:: Valor mínimo : No tiene, Valor máimo : 9:: Valor mínimo : 9 Valor máimo : + 9 9:: Valor mínimo : 6 Valor máimo : ( 6) 9:: No tiene valores etremos 9:5: Valor mínimo : ( 0) Valor máimo : 7 9:6: Valores mínimos : ( 0) ( 5) Valor máimo : (0 ) 9:7: Valor mínimo : (0 0) Valores máimos : ( ) ( ) 9:: Valores mínimos : (0 0) ( 0) Valor máimo : 6 9:9: Valores mínimos : ( ) ( 6) Valores máimos : ( 6) ( ) 9:0: Valor mínimo : ( ) Valor máimo : No tiene 9:: Valor mínimo : ( 0) Valor máimo : 7 f 7 9:: Valores mínimos : ( 0) Valores máimos : ( 0) 9:: Valor mínimo : (6 0) Valor máimo : 9:: Valores mínimos : (0 0) ( 0) Valor máimo : 9 9:5: Valor mínimo : Valor máimo : No tiene 6 9:6: Valor mínimo : No tiene, Valor máimo : 9:7: Valores mínimos : (0 0) ( 0) Valor máimo : 6 9:: Valor mínimo : Valor máimo : :9: Valor mínimo : ( ) Valor máimo : (0 0) 9:0: Valor mínimo : ( 0) Valor máimo : No tiene 9:: Valor mínimo : + n j n Z Valor máimo : No tiene 0: Mínimo en : = Máimo en : = : a = b = c = : a = b = c = 0 d = 5:: Concava : Hacia arriba : (0 ) Hacia abajo : ( 0) 5:: Concava : Hacia arriba : 5 6 Hacia aba jo : 5 6 5:: Concava : Hacia arriba : Hacia aba jo : 5:: Concava : Hacia arriba : ( ) [ ( ) Hacia aba jo : ( ) 5:5: Concava : Hacia arriba : (0 ) Hacia abajo : ( 0) 5:6: Concava : Hacia arriba : ( ) Hacia abajo : ( ) 5:7: Concava : Hacia arriba : 0 [ Hacia abajo : [ 0 5 5:: Concava : Hacia arriba : ( ) [ [ ( ) Hacia aba jo : 5 5 [ 5 5:9: Concava : Hacia arriba : [ ( ) Hacia aba jo : 5:0: Concava : Hacia arriba : ( ) [ (0 ) Hacia abajo : ( 0) 5:: Concava : Hacia arriba : (0 ) Hacia abajo : ( 0) 5:: Concava : Hacia arriba : ( ) Hacia abajo : No tiene 5:: Concava : Hacia arriba : ( ) [ ( 0) Hacia abajo : (0 ) 5:: Concava : Hacia arriba : ( ) Hacia abajo : No tiene 5:5: Concava : Hacia arriba : (n ) (n + ) j n Z Hacia aba jo : (n + ) (n + ) j n Z 5:6: Concava : Hacia arriba : (n + ) (n + ) j n Z Hacia aba jo : (n ) (n + ) j n Z 5:7: Concava : Hacia arriba : ( 0) Hacia abajo : (0 ) 5:: Concava : Hacia arriba : (n + ) (n + ) j n Z Hacia aba jo : (n ) (n + ) j n Z 7: a = 9 b = : a = b = 9: a = 9 b = c = d = 7 9 0: a = 6 b = : a = b = c = 0 d = :a: Ninguna :b: g () > 0 f () > 0 f g con la misma monotonia :c: f 0 (g ()) > 0 5: a = 6 b = c = 6: a = b = c = 9:: Creciente :R Decreciente :? Valor Mínimo : No tiene, Valor Máimo : No tiene, Concava hacia arriba : (0 ) Concava hacia abajo : ( 0) Punto de in eión : (0 ) 9:: Creciente : ( ) [ (0 ) Decreciente : ( 0) f g Valor Mínimo : (0 ) Valor Máimo : ( 5) Concava hacia arriba : ( ) Concava hacia abajo : ( ) Punto de in eión : No tiene 9:: Creciente : Decreciente : 0 Valor Mínimo : Valor Máimo : (0 0) Concava hacia arriba : (0 ) Concava hacia abajo :? Punto de in eión : No tiene 9:: Creciente : Decreciente : [ ( ) Valor Mínimo : No tiene, Valor Máimo : Concava hacia arriba : 9 5 Concava hacia aba jo : 9 5 [ ( ) Punto de in eión : :5: Creciente : ( 0) [ (0 ) [ (6 ) Decreciente : ( 6) Valor Mínimo : (0 0) Valor Máimo : Concava hacia arriba : ( 6) [ (6 ) Concava hacia aba jo : ( 0) Punto de in eión : (0 0) 9:6: Creciente : ( ) [ ( ) Decreciente : ( ) Valor Mínimo : ( ) Valor Máimo : ( ) Concava hacia arriba : 0 [ Concava hacia abajo : [ 0 Punto de in eión : (0 0) 7 7 9:7: Creciente : (0 ) Decreciente : ( 0) Valor Mínimo : (0 0) Valor Máimo : No tiene, Concava hacia arriba : ( ) Concava hacia abajo :? Punto de in eión : No tiene 9:: Creciente : Decreciente : f0g Valor Mínimo : 5 Valor Máimo : No tiene, Concava hacia arriba : [ (0 ) Concava hacia aba jo : 0 Punto de in eión : 6 9 (0 0)

17 9:9: Creciente : Decreciente : Valor Mínimo : No tiene, Valor Máimo : Concava hacia arriba :? Concava hacia abajo :R Punto de in eión : No tiene 9:0: Creciente : 0 Decreciente : Valor Mínimo : (0 0) Valor Máimo : 9 Concava hacia arriba :? Concava hacia abajo : (0 ) Punto de in eión : No tiene 9:: Creciente :R Decreciente :? Valor Mínimo : No tiene, Valor Máimo : No tiene, Concava hacia arriba : ( ) Concava hacia abajo : ( ) Punto de in eión : No tiene 9:: Creciente :R Decreciente :? Valor Mínimo : No tiene, Valor Máimo : No tiene, Concava hacia arriba : (0 ) Concava hacia aba jo : ( 0) Punto de in eión : (0 ) 9:: Creciente : ( ) Decreciente : ( ) Valor Mínimo : ( 6) Valor Máimo : No tiene, Concava hacia arriba : ( 0) [ Concava hacia aba jo : 0 Punto de in eión : (0 5) 5 7 9:: Creciente : Decreciente : 0 Valor Mínimo : No tiene, Valor Máimo : Concava hacia arriba : (0 ) Concava hacia aba jo : ( ) Punto de in eión : :5: Creciente : ( ) [ (0 ) Decreciente : ( 0) Valor Mínimo : (0 0) Valor Máimo : ( ) Concava hacia arriba : ( ) Concava hacia abajo : ( ) Punto de in eión : No tiene 9:6: Creciente :R Decreciente :? Valor Mínimo : No tiene, Valor Máimo : No tiene, Concava hacia arriba : ( ) Concava hacia aba jo :? Punto de in eión : No tiene : y 5: = 9 6: (0 0) : ( 0) : (0 6) 7: Lado del cuadrado : Lado del triángulo : 9+ : : No eiste 50: = 5 y y = 5 5: = 5 : y = 5 y d = 5 5: 9 7 km: 5: Se corta en l 9+ 5: : = 9 y = 56: 5 57: = y = ( ) 5: Ancho = 0 Altura = : 60: = 6: = 0 y = 0 6: 0 0 6: : Mínimo : + (+) (+) 99 Se corta en + 65: y = 6 66: = 5 67: 9 r! 9 9 r! 9. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Cálculo". Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo". Gruo Editorial Iberoamericano. Bibliografía Cálculo Diferencial e Integral - Grá ca de una función. Última actualizacón: Octubre 00 Farith Briceño farith_7@hotmail.com 7