TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO UNITARIO

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1 TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO UNITARIO 9 En este caítulo 9. Las funciones circulares 9. Gráficas de las funciones seno coseno 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas 9. Identidades eseciales 9.5 Funciones trigonométricas inversas 9.6 Ecuaciones trigonométricas Ejercicios de reaso Un oco de historia La eosición de la sección 8. desemboca directamente en una forma más analítica de estudiar la trigonometría, donde coseno seno se definen como las coordenadas, resectivamente, de un unto, ) en un círculo unitario. Esta interretación de seno coseno nos ermite definir las funciones trigonométricas como un número real, en lugar de un ángulo. Esta segunda aroimación a la trigonometría se utiliza en cálculo en alicaciones avanzadas de trigonometría. Además, una función trigonométrica de un número real se uede reresentar gráficamente como cualquier función ordinaria 5 f), donde la variable reresenta un número real en el dominio de f. Desde el unto de vista histórico, se desconoce quién realizó este imortante avance de los senos cosenos de ángulos a los senos senos de números reales. La forma de una cuerda de guitarra, fija en ambos etremos, se uede describir con las funciones trigonométricas de una variable. 89

2 9. Las funciones circulares Introducción En el caítulo 8 estudiamos las funciones trigonométricas de ángulos a sea en grados o radianes. En cálculo las ciencias es necesario considerar las funciones trigonométricas cuos dominios están formados or números reales no or ángulos. Para realizar la transición de ángulos a números reales debemos reconocer que a cada número real t corresonde un ángulo que mide t radianes. Como veremos a continuación, esta corresondencia se uede reresentar gráficamente con un círculo de radio centro en el origen en longitud de arco un sistema de coordenadas rectangulares. Este círculo se conoce como círculo unitario. De t radianes t la sección. se desrende que la ecuación del círculo unitario es 5. En esta sección nos centraremos en las funciones seno coseno. Las otras cuatro funciones trigonomé- tricas se estudiarán con ormenores en la sección 9.. Ahora consideraremos un ángulo central t en osición estándar, es decir, un ángulo cuo vértice se sitúa en el centro de un círculo su lado inicial coincide con el eje ositivo. Según la definición de medida en radianes ) de la sección 8., el ángulo t se define como + = t 5 s/r, la razón del arco subtendido de longitud s al radio r del círculo. Por el círculo unitario que se muestra en la FIGURA 9.., r 5, or tanto, t 5 s/ o t 5 s. En otras FIGURA 9.. Círculo unitario alabras: En un círculo unitario la medida en radianes de un ángulo de t radianes es igual a la medida t del arco subtendido. De lo anterior se desrende que ara cada número real t, el lado terminal de un ángulo de t radianes en osición estándar ha recorrido una distancia de t unidades en la circunferencia del círculo unitario: en sentido contrario al de las agujas del reloj si t 0 en el sentido de las agujas del reloj si t 0. Esta asociación de cada número real t con un ángulo de t radianes se ilustra en la FIGURA 9... t unidades t radianes, 0) t radianes, 0) t unidades a) t 0 b) t < 0 FIGURA 9.. El ángulo de t radianes subtiende un arco de longitud t unidades Funciones trigonométricas de los números reales Ahora estamos en condiciones de definir las funciones trigonométricas de un número real. Antes de roseguir, necesitamos la siguiente definición imortante. Definición 9.. Valores de las funciones trigonométricas El valor de una función trigonométrica de un número real t se define como el valor del ángulo de t radianes, siemre que ese valor eista. 90 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

3 Por ejemlo, el seno del número real / es sencillamente el seno del ángulo de /6 radianes que, como sabemos, es. Por tanto, no ha nada nuevo en realidad en evaluar las funciones trigonométricas de un número real. El círculo unitario es mu útil ara describir las funciones trigonométricas de los números reales. Si Pt) denota el unto de intersección del lado terminal del ángulo t con el círculo unitario 5 P, ) son las coordenadas rectangulares de este unto, entonces, or ) de la sección 8., tenemos sen t 5 r 5 5 cos t 5 r 5 5. Estas definiciones, además de las de las restantes cuatro funciones trigonométricas, se resumen a continuación. Definición 9.. Funciones trigonométricas Sea t cualquier número real Pt) 5 P, ), el unto de intersección en el círculo unitario con el lado terminal del ángulo de t radianes en osición estándar. Entonces, las seis funciones trigonométricas del número real t son: sen t 5 t a n t 5 cos t 5 cot t 5 ) s e c t 5 csc t 5. Por la rimera línea de ) de la definición 9.., de inmediato vemos que Para cualquier número real t, el coseno seno de t son las coordenadas, resectivamente, del unto P de intersección del lado terminal del ángulo de t radianes en osición estándar) con el círculo unitario figura 9..). + = P, ) = Pt) = cos t, sen t) t sen t cos t, 0) Como veremos en seguida, varias roiedades imortantes de las funciones seno coseno se ueden obtener de este resultado. Debido a la imortancia que tiene el círculo unitario en esta eosición, las funciones trigonométricas ) a menudo se conocen como funciones circulares. Varias roiedades de las funciones seno coseno se desrenden del hecho de que Pt) 5 cos t, sen t) se localiza en el círculo unitario. Por ejemlo, las coordenadas de Pt) deben satisfacer la ecuación del círculo: FIGURA 9.. Las coordenadas de Pt) son cos t, sen t) 5 Si sustituimos 5 cos t 5 sen t en la ecuación anterior, obtenemos el resultado conocido cos t sen t 5. Esta relación entre las funciones seno coseno es la más imortante de las identidades trigonométricas se conoce como identidad itagórica. Recuerde que esta identidad no es sólo válida ara los ángulos, como se elicó en las secciones 8. 8., sino que ahora vemos que también es válida ara todos los números reales t. Teorema 9.. Identidad itagórica Para todos los números reales t, sen t cos t 5 ) 9. Las funciones circulares 9

4 II sen t > 0 cos t < 0 0, ) sen t > 0 cos t > 0 I Límites de los valores de seno coseno Varias roiedades de las funciones seno coseno se desrenden del hecho de que Pt) 5 P, ) se localiza en el círculo unitario. Por ejemlo, se desrende que # # # # Puesto que 5 cos t 5 sen t, las inecuaciones siguientes equivalen a # cos t # # sen t # ) Las inecuaciones en ) también se ueden eresar con valores absolutos, como cos t # sen t #. Así, or ejemlo, no ha ningún número real t ara el cual sen t 5. Dominio rango Las observaciones en ) indican que tanto cos t como sen t ueden ser cualquier número comrendido en el intervalo [, ]. Por tanto, tenemos las funciones seno coseno, ft) 5 sen t gt) 5 cos t,, 0), 0) sen t < 0 sen t < 0 resectivamente, el dominio de cada una es el conjunto R de todos los números reales el cos t < 0 cos t > 0 rango es el intervalo [, ]. Los dominios rangos de las otras cuatro funciones trigonométricas se elicarán en la sección III IV 9.. 0, ) FIGURA 9.. Signos algebraicos de sen t cos t en los cuatro cuadrantes Signos de las funciones circulares Los signos de los valores de las funciones sen t cos t quedan determinados or el cuadrante en el que está situado el unto Pt), viceversa. Por ejemlo, si sen t cos t son negativos, entonces el unto Pt) el lado terminal del ángulo corresondiente de t radianes tiene que estar situado en el cuadrante III. En la FIGURA 9.. se muestran los signos de las funciones coseno seno cada uno de los cuatro cuadrantes. P) = cos, sen ) radianes FIGURA 9..5 El unto P) del ejemlo EJEMPLO Seno coseno de un número real Use la calculadora ara aroimar sen cos ofrezca una interretación geométrica de estos valores., 0) Solución Con la calculadora en modo de radianes, obtenemos cos < sen < Estos valores reresentan las coordenadas, resectivamente, del unto de intersección P) del lado terminal del ángulo de radianes en osición estándar, con el círculo unitario. Como se muestra en la FIGURA 9..5, este unto está situado en el segundo cuadrante, orque /,,. Esto también es de eserar en vista de la figura 9.., ues cos, la coordenada, es negativo sen, la coordenada, es ositivo. Periodicidad En la sección 8. vimos que los ángulos de t radianes t 6 radianes son coterminales, Por consiguiente, determinan el mismo unto P, ) en el círculo unitario. Por tanto, sen t 5 sen t 6 ) cos t 5 cos t 6 ) ) En otras alabras, las funciones seno coseno reiten sus valores cada unidades. También se desrende que ara cualquier entero n: sen t n) 5 sen t cos t n) 5 cos t. 5) Definición 9.. Funciones eriódicas Se dice que una función no constante f es eriódica si ha un número ositivo tal que ft) 5 ft ) 6) ara cada t en el dominio de f. Si es el número ositivo más equeño ara el cual 6) es verdadero, entonces se llama eriodo de la función f. 9 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

5 Las ecuaciones en ) imlican que las funciones seno coseno son eriódicas que el eriodo es #. Para entender que el eriodo de sen t es, observamos que eiste sólo un unto en el círculo unitario con coordenada, a saber, P/) 5 cos /)), sen /)) 5 0, ). Por tanto, sen t 5 sólo ara t 5, 6, 6, así sucesivamente. Por tanto, el valor ositivo más equeño osible de es. En resumen, la función seno ft) 5 sen t la función coseno gt) 5 cos t son eriódicas con eriodo ; es decir, ft) 5 ft ) gt ), resectivamente. Como referencia en el futuro, tenemos ara cada número real t. sen t ) 5 sen t cos t ) 5 cos t 7) EJEMPLO Usar la eriodicidad Evalúe a) sen 7/) b) cos /). Solución a) Debido a que 7/ es maor que uede escribirse 7, 5 se desrende de sen t ) 5 sen t, donde t 5 /, que b) Debido a que 7 sen 5 sen a b 5 sen 5! , d Véase la tabla 8.. Véase la rimera ecuación de 7). se desrende de cost n) 5 cos t, donde n 5 t 5 /, que 9 cos 5 cos a 6b 5 cos 5. Véase la segunda ecuación de 7). Proiedades de funciones imares ares La simetría del círculo unitario dota a las funciones circulares de varias roiedades adicionales. Para todo número real t, los untos Pt) Pt) en el círculo unitario se localizan en el lado terminal de un ángulo de t t radianes, resectivamente. Estos dos untos siemre serán simétricos con resecto al eje. La FIGURA 9..6 ilustra la situación ara un unto Pt) situado en el rimer cuadrante: las coordenadas de los dos untos son idénticas, ero las coordenadas tienen magnitudes iguales, ero signos ouestos. Las mismas simetrías serán válidas sin imortar el cuadrante que contenga Pt). Por tanto, ara ft) 5 sen t gt) 5 cos t cualquier número real t, ft) 5 ft) gt) 5 gt), resectivamente. Si alicamos las definiciones de funciones imares ares de la sección 5., tendremos el siguiente resultado: Pt) = cos t, sen t) t t P t) = cos t), sen t)) Teorema 9.. Funciones imares ares La función seno ft) 5 sen t es imar la función coseno gt) 5 cos t es ar; es decir, ara cada número real t, sent) 5 sen t cost) 5 cos t 8) FIGURA 9..6 Coordenadas de Pt) Pt) 9. Las funciones circulares 9

6 EJEMPLO Uso de las roiedades de funciones imares ares Obtenga los valores eactos de sen t cos t ara el número real t 5 /6. Solución Por 8), tenemos seno es una función imar sen a 6 b 5sen 6 5, d Véase la tabla 8.. coseno es una función ar cos a 6 b 5 cos 6 5!. Tenga en cuenta que los signos de las resuestas concuerdan con el hecho de que el lado terminal del ángulo /6 radianes está situado en el cuadrante IV. Para verificar las siguientes roiedades adicionales de las funciones seno coseno, se consideran las simetrías de los untos elegidos aroiadamente en el círculo unitario. Primero vimos los resultados de i) ii) en el siguiente teorema lanteado ara ángulos agudos en 5) de la sección 8.. P t = cos t, sen t = Teorema 9.. Proiedades adicionales Para todos los números reales t, i) cos a tb 5 sen t ii) sen a tb 5 cos t iii) cos t ) 5cos t iv) sen t ) 5sen t v) cos t) 5cos t vi) sen t) 5 sen t Pt) = cos t, sen t) Por ejemlo, ara justificar las roiedades i) ii) del teorema 9.. ara 0, t, /, considere la FIGURA Puesto que los untos Pt) P/ t) son simétricos con resecto, 0) a la recta 5, ara obtener las coordenadas de P/ t), intercambiamos las coordenadas de Pt). Por tanto, FIGURA 9..7 Justificación geométrica de i) ii) del teorema 9.. cos t 5 5 sen a tb sen t 5 5 cos a tb. En la sección 9. usaremos las roiedades i) ii) ara justificar dos fórmulas imortantes ara la función seno. EJEMPLO Uso del teorema 9.. En la tabla 8.. de la sección 8. vimos que cos /) 5 sen /6). Este resultado es un caso esecial de la roiedad i) del teorema 9..; con t 5 / vemos que alicación de la roiedad i) del teorema 9.. sen 6 5 sen a b 5 cos. Ángulo de referencia, segunda arte Como señalamos al rinciio de esta sección, ara cada número real t ha un ángulo único de t radianes en osición estándar que determina el unto Pt), que coordina cos t, sen t), en el círculo unitario. Como se muestra en la FIGURA 9..8, el lado terminal de todo ángulo de t radianes donde Pt) no está situado en un eje) 9 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

7 Pt) Pt ) Pt ) Pt ) t t t t t t Pt) Pt) FIGURA 9..8 El ángulo de referencia t es un ángulo agudo formará un ángulo agudo con el eje. En seguida odemos localizar un ángulo de t radianes en el rimer cuadrante que es congruente con este ángulo agudo. El ángulo de t radianes se conoce como ángulo de referencia ara cualquier número real t. Debido a la simetría del círculo unitario, las coordenadas de Pt ) serán iguales en valor absoluto a las coordenadas resectivas de Pt). Por tanto, sen t 5 6sen t cos t 5 6cos t Como se mostrará en los ejemlos siguientes, los ángulos de referencia se ueden usar ara obtener los valores de las funciones trigonométricas de todos los múltilos enteros de /6, / /. P =, EJEMPLO 5 Uso de un ángulo de referencia Obtenga los valores eactos de sen t cos t ara el número real dado: a) t 5 5/ b) t 5 /. Solución En rimer lugar, en cada arte obtenemos el ángulo de referencia corresondiente al número real t. a) Por la FIGURA 9..9, sabemos que un ángulo de t 5 5/ radianes determina un unto P5/) en el cuarto cuadrante tiene el ángulo de referencia t9 5 / radianes. Desués de ajustar los signos de las coordenadas de P/) 5 /,!/) ara obtener el unto P5/) 5 /,!/) del cuarto cuadrante, tenemos que ángulo de referencia T T 5 sen 5sen 5! 5 cos 5 cos 5. b) El unto P/) está situado en el tercer cuadrante tiene un ángulo de referencia / como se ilustra en la FIGURA Por tanto, sen a b 5sen 5! cos a b 5cos 5!. En ocasiones, ara obtener los valores trigonométricos de múltilos de las fracciones básicas de, debemos usar la eriodicidad o las roiedades de las funciones imares ares, además de los ángulos de referencia. 5 P =, 5 P =, FIGURA 9..9 Ángulo de referencia de la arte a) del ejemlo 5 P =, FIGURA 9..0 Ángulo de referencia de la arte b) del ejemlo 5 EJEMPLO 6 Uso de la eriodicidad el ángulo de referencia Obtenga los valores eactos de las coordenadas de P9/6) en el círculo unitario. Solución El unto P9/6) tiene las coordenadas cos 9/6)), sen 9/6). Para emezar, observamos que 9/6 es maor que, en consecuencia, debemos reescribir 9/6 como múltilo entero de más un número menor que. Por la división tenemos ) Las funciones circulares 95

8 5 P =, P =, 6 6 A continuación, or las ecuaciones de eriodicidad en 5) con n 5, sabemos que sen a 9 6 b 5 sen a5 6 b cos a9 6 b 5 cos a5 6 b. En seguida vemos, or la figura 9.., que el ángulo de referencia de 5/6 es /6. Puesto que P5/6) es un unto situado en el segundo cuadrante, su coordenada cos 5/6) es negativa su coordenada sen 5/6) es ositiva. Por último, usando el ángulo de referencia como se muestra en la figura 9.., simlemente ajustamos los signos algebraicos de las coordenadas de P/6) 5 cos/6)) sen/6): FIGURA 9.. Ángulo de referencia del ejemlo 6 9 cos 6 5 cos 5 6 5cos 6 5! 9 sen 6 5 sen sen 6 5. Por tanto, P9/6) 5!/, /). 9. Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas a 8, ara el número real t dado, a) localice el unto Pt) 5 cos t, sen t) en el círculo unitario b) obtenga los valores eactos de las coordenadas de Pt). No use la calculadora En los roblemas 9 a 6, ara el número real t dado, a) localice el unto Pt) 5 cos t, sen t) en el círculo unitario b) use la calculadora ara aroimar las coordenadas de Pt) En los roblemas 7 a, use la eriodicidad de sen t cos t ara obtener el valor eacto de la función trigonométrica. No use la calculadora. 7. sen cos 9 9. cos 0. sen a 5 b. cos 9. sen 0 7. sen 7. cos En los roblemas 5 a 0, justifique el lanteamiento dado con una de las roiedades de sen t cos t que estudiamos en esta sección. 96 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

9 5. sen 5 sen 6. cos /) 5 sen /) 7. sen ) 5 sen ) 8. cos cos.8 9. cos 0. 5 cos 0.) 0. cos.5 ) 5 cos.5. Puesto que cos t 5 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el segundo cuadrante, obtenga sen t.. Puesto que sen t 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el segundo cuadrante, obtenga cos t.. Puesto que sen t 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el tercer cuadrante, obtenga cos t.. Puesto que cos t 5 que Pt) es un unto en el círculo unitario en el cuarto cuadrante, obtenga sen t. En los roblemas 5 a 8, la coordenada del unto P5/8) en el círculo unitario es "!. Obtenga el valor eacto de la función trigonométrica dada. No use la calculadora cos 8 6. sen a 5 8 b 7. sen a 5 8 b 8. cos a 5 8 b En los roblemas 9 a, use el círculo unitario ara determinar todos los números reales t ara los cuales la igualdad dada es verdadera. 9. sen t 5!/ 0. cos t 5. cos t 5. sen t 5 Para la discusión. Suonga que f es una función eriódica con eriodo. Demuestre que F) 5 fa), a 0, es eriódica con eriodo /a. 9. Gráficas de las funciones seno coseno Introducción Una forma de estimular la comrensión de las funciones trigonométricas es eaminar sus gráficas. En esta sección eaminaremos las gráficas de las funciones seno coseno. Gráficas del seno del coseno En la sección 9. vimos que el dominio de la función seno, f t 5 sen t, es el conjunto de todos los números reales `, `, que su contradominio es el intervalo,. Como el eriodo de la función seno es, comenzaremos trazando su gráfica en el intervalo 0,. Se obtiene un bosquejo aroimado de la gráfica de la FIGURA 9..b) si se eaminan varias osiciones del unto Pt en el círculo unitario, como se ve en la figura 9..a). Cuando t varía de 0 a /, el valor de sen t aumenta de 0 hasta su valor máimo. Pero cuando t varía de / a /, el valor de sen t disminue desde hasta su valor P P ft) = sen t, 0 t 5 7 t 5 P P a) Círculo unitario b) Un ciclo de la gráfica de seno FIGURA 9.. Puntos Pt en un círculo, corresondientes a untos en la gráfica 9. Gráficas de las funciones seno coseno 97

10 Nota: cambio de símbolos mínimo,. Se ve que sen t cambia de ositivo a negativo cuando t 5. Cuando t está entre /, se ve que los valores corresondientes de sen t aumentan de a 0. Se dice que la gráfica de cualquier función eriódica, ara un intervalo de longitud igual a su eriodo, es un ciclo de su gráfica. En el caso de la función seno, la gráfica sobre el intervalo 0, de la figura 9..b) es un ciclo de la gráfica de f t 5 sen t. En adelante, recurriremos a los símbolos tradicionales ara graficar las funciones trigonométricas. Así, escribiremos f t 5 sen t en la forma f 5 sen o bien, simlemente 5 sen. La gráfica de una función eriódica se obtiene con facilidad trazando reetidamente un ciclo de su gráfica. En otras alabras, la gráfica de 5 sen en, or ejemlo, los intervalos, 0,, es la misma de la figura 9..b). Recuerde, de la sección 9., que la función seno es una función imar, orque f 5 sen 5 sen 5 f. Así, como se uede ver en la FIGURA 9.., la gráfica de 5 sen es simétrica con resecto al origen. = sen 5 7 FIGURA 9.. Gráfica de 5 sen Un ciclo Al trabajar de nuevo con el círculo unitario se uede obtener un ciclo de la gráfica de la función coseno g 5 cos en el intervalo 0,. En contraste con la gráfica de f 5 sen, donde f 0 5 f 5 0, en la función coseno se tiene g0 5 g 5. La FIGURA 9.. muestra un ciclo en rojo de 5 cos en 0,, junto con la etensión de ese ciclo en azul a los intervalos adacentes, 0,. En esta figura se ve que la gráfica de la función coseno es simétrica con resecto al eje. Es una consecuencia de que g sea una función ar: g 5 cos 5 cos 5 g. = cos 5 7 Un ciclo FIGURA 9.. Gráfica de 5 cos Un entero imar se uede escribir como n, donde n es un entero. Proiedades de las funciones seno coseno En este curso de matemáticas, en los que siguen, es imortante que conozca usted las coordenadas de las intersecciones de las gráficas de seno coseno con el eje ; es decir, las raíces de f 5 sen g 5 cos. Según la gráfica del seno en la figura 9.., se ve que las raíces de la función seno, o sea los números ara los que sen 5 0, son 5 0, ;, ;, ;, c son múltilos enteros de. En la gráfica del coseno en la figura 9.. se ve que cos 5 0 cuando 5 ;/, ;/, ;5/, c Esos números son múltilos enteros imares de /. Si n reresenta un entero, entonces n es un entero imar. Entonces, las raíces de f 5 sen de g 5 cos se ueden eresar en forma comacta como sigue. 98 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

11 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO El dominio de f) 5 sen el dominio de g) 5 cos es el conjunto de números reales, es decir, `, `). El rango de f) 5 sen el rango de g) 5 cos es el intervalo [, ] en el eje. Los ceros de f) 5 sen son 5 n, n un entero. Los ceros de g) 5 cos son 5 n )/, n un entero. La gráfica de f) 5 sen es simétrica con resecto al origen. La gráfica de g) 5 cos es simétrica con resecto al eje. L a s funciones f) 5 sen g) 5 cos son continuas en el intervalo `, `). Al alicar la le distributiva, el resultado en ) con frecuencia se escribe 5 / n. Como hicimos en los caítulos, se ueden obtener variaciones de las gráficas básicas de seno coseno mediante transformaciones rígidas no rígidas. En lo que queda de esta descrición eaminaremos gráficas de funciones de la forma 5 A sen B C D o bien 5 A cos B C D, ) donde A, B, C D son constantes reales. = sen Gráficas de 5 A sen D 5 A cos D casos eseciales de ): 5 A sen 5 A cos. Comenzaremos eaminando los Para A. 0, las gráficas de esas funciones son un estiramiento vertical o una comresión vertical de las gráficas de 5 sen o de 5 cos. En el caso de A, 0, las gráficas también se reflejan en el eje. Por ejemlo, como muestra la FIGURA 9.., se obtiene la gráfica de 5 sen estirando verticalmente la gráfica de 5 sen or un factor de. Nótese que los valores máimo mínimo de 5 sen están en los mismos valores de que los valores máimos mínimos de 5 sen. En general, la distancia máima de cualquier unto en la gráfica de 5 A sen, o 5 A cos, al eje, es 0 A 0. Al número 0 A 0 se le llama amlitud de las funciones o de sus gráficas. La amlitud de las funciones básicas 5 sen 5 cos es 0 A 0 5. En general, si una función eriódica f es continua, entonces, en un intervalo cerrado de longitud igual a su eriodo, f tiene un valor máimo M también un valor mínimo m. La amlitud se define or amlitud 5 M m. ) EJEMPLO Gráfica de coseno comrimida verticalmente Graficar 5 cos. Solución La gráfica de 5 cos es la de 5 cos comrimida verticalmente or un factor de, reflejada desués en el eje. Si A 5, se ve que la amlitud de la función es 0 A La gráfica de 5 cos en el intervalo 0, se muestra en rojo en la FIGURA FIGURA 9.. Estiramiento vertical de 5 sen = cos = cos = sen FIGURA 9..5 Gráfica de la función del ejemlo Las gráficas de 5 A sen D 5 A cos D 9. Gráficas de las funciones seno coseno 99

12 = + sen FIGURA 9..6 Gráfica de 5 sen deslazada unidad hacia arriba son las gráficas de 5 A sen 5 A cos deslazadas verticalmente hacia arriba cuando D. 0, hacia abajo cuando D, 0. Por ejemlo, la gráfica de 5 sen es la gráfica de 5 sen figura 9.. deslazada unidad hacia arriba. La amlitud de la gráfica de 5 A sen D, o de 5 A cos D sigue siendo 0 A 0. Nótese que en la gráfica de la FIGURA 9..6, el máimo de 5 sen es 5, en 5 /, el mínimo es 5 en 5 /. De acuerdo con ), la amlitud de 5 sen es, entonces, 5. Si se interreta a como comodín ara aartar lugar, en las ecuaciones ) ), se ueden determinar las coordenadas de las intersecciones con el eje de las gráficas de las funciones seno coseno, de la forma 5 A sen B 5 A cos B que veremos a continuación. Por ejemlo, ara resolver sen 5 0, de acuerdo con ) sucede que 5 n de modo que 5 n, n 5 0, ;, ;, c, esto es, 5 0,, 5,, ; 5, así sucesivamente. Véase la FIGURA ; ; ; = sen = sen 5 7 Un ciclo de = sen Un ciclo de = sen FIGURA 9..7 Comaración de las gráficas de 5 sen 5 sen Tenga cuidado aquí; sen? sen. Gráficas de 5 A sen B de 5 A cos B Ahora eaminaremos la gráfica de 5 sen B ara B. 0. La función tiene amlitud, orque A 5. Como el eriodo de 5 sen es, un ciclo de la gráfica de 5 sen B comienza en 5 0 se comenzarán a reetir sus valores cuando B 5. En otras alabras, un ciclo de la función 5 sen B se comleta en el intervalo definido or 0 # B #. Esta desigualdad se divide entre B, se ve que el eriodo de la función 5 sen B es /B, que la gráfica en el intervalo 0, /B es un ciclo de su gráfica. Por ejemlo, el eriodo de 5 sen es / 5, or lo que un ciclo de la gráfica se comleta en el intervalo 0,. La figura 9..7 muestra que se comletan dos ciclos de la gráfica de 5 sen en rojo en azul en el intervalo 0,, mientras que la gráfica de 5 sen en verde ha comletado sólo un ciclo. En términos de transformaciones, se uede caracterizar el ciclo de 5 sen en 0, como una comresión horizontal del ciclo de 5 sen en 0,. En resumen, las gráficas de 5 A sen B 5 A cos B ara B. 0 tienen amlitud 0 A 0 eriodo /B, las dos. = cos = cos FIGURA 9..8 Gráfica de la función del ejemlo EJEMPLO Gráfica del coseno comrimida horizontalmente Determinar el eriodo de 5 cos graficar la función. Solución En razón de que B 5, se ve que el eriodo de 5 cos es / 5 /. Se llega a la conclusión que la gráfica de 5 cos es la de 5 cos comrimida horizontalmente. Para graficar la función se traza un ciclo del coseno con amlitud en el intervalo 0, / a continuación se usa la eriodicidad ara etender la gráfica. La FIGURA 9..8 muestra cuatro ciclos comletos de 5 cos el ciclo básico en rojo, la gráfica 00 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

13 etendida en azul un ciclo de 5 cos en verde en 0,. Nótese que 5 cos llega a su mínimo en 5 /, orque cos / 5 cos 5, llega a su máimo en 5 /, orque cos / 5 cos 5. Si B, 0 en 5 A sen B o 5 A cos B, se ueden usar las roiedades ar/imar vea 8 de la sección 9. ara escribir la función con B ositiva. Esto se ve en el siguiente ejemlo. EJEMPLO Gráfica del seno estirada horizontalmente Determinar la amlitud el eriodo de 5 sen A B. Graficar la función. Solución Como se requiere que B. 0, usaremos sen 5 sen ara reformular la función como sigue: 5 sen A B 5sen. Si se identifica A 5, se ve que la amlitud es 0 A Ahora bien, con B 5, se ve que el eriodo es / 5. Por consiguiente se uede interretar al ciclo de 5sen en 0, como un estiramiento horizontal una refleión en el eje, orque A, 0 del ciclo de 5 sen en 0,. La FIGURA 9..9 muestra que en el intervalo 0,, la gráfica de 5sen en azul comleta un ciclo, mientras que la gráfica de 5 sen en verde hace dos ciclos. = sen = sen FIGURA 9..9 Gráfica de la función del ejemlo Gráficas de 5 A sen B C 5 A cos B C Hemos visto que las gráficas básicas de 5 sen 5 cos se ueden estirar o comrimir verticalmente 5 A sen 5 A cos, se ueden deslazar verticalmente 5 A sen D 5 A cos D, estirarse o comrimirse horizontalmente 5 A sen B D 5 A cos B D. Las gráficas de 5 A senb C D 5 A cosb C D son las gráficas de 5 A sen B D 5 A cos B D deslazadas horizontalmente. En el resto de esta descrición nos concentraremos en las gráficas de 5 A sen B C 5 A cosb C. Por ejemlo, de acuerdo con la sección 5., la gráfica de 5 cos / es la gráfica básica del coseno deslazada hacia la derecha. En la FIGURA 9..0 la gráfica de 5 cos / en rojo en el intervalo 0, es un ciclo de 5 cos en el intervalo /, / en azul, ero deslazada horizontalmente / unidades hacia la derecha. De igual modo, las gráficas de 5 sen / 5 sen / son las gráficas básicas del seno deslazadas / unidades hacia la izquierda hacia la derecha, resectivamente. Véanse las FIGURAS Si se comaran las gráficas en rojo de las figuras 9..0 a 9.. con las gráficas de las figuras , se ve que la gráfica del coseno deslazada / unidades hacia la derecha es la gráfica del seno, = cos = sen = sen = cos FIGURA 9..0 Gráfica del seno deslazada horizontalmente = sen + FIGURA 9.. Gráfica del seno deslazada horizontalmente = sen FIGURA 9.. Senoide deslazada horizontalmente 9. Gráficas de las funciones seno coseno 0

14 la gráfica del seno deslazada / unidades hacia la izquierda es la gráfica del coseno la gráfica del seno deslazada / unidades hacia la derecha es la gráfica del coseno reflejada en el eje. En otras alabras, hemos comrobado gráficamente las identidades cosa sena b 5cos. b 5 sen, sena b 5 cos ) Ahora eaminaremos la gráfica de 5 A senb C ara B. 0. Como los valores de sen B C van de a, entonces A sen B C varía entre A A. Esto es, la amlitud de 5 A sen B C es 0 A 0. También, como B C varía de 0 a, la gráfica hace un ciclo comleto. Al resolver B C 5 0 B C 5, se ve que un ciclo se comleta cuando varía de C/B hasta C/B. Por consiguiente, la función 5 A sen B C tiene como eriodo C B Además, si f 5 A sen B, entonces C a B b 5 B. fa C B b 5 A sen Ba C b 5 A senb C. ) B El resultado de indica que se uede obtener la gráfica de 5 A sen B C deslazando la gráfica de f 5 A sen B horizontalmente, una distancia 0 C 0 B. Si C, 0, el deslazamiento es hacia la derecha, mientras que si C. 0, el deslazamiento es hacia la izquierda. El número 0 C 0 B se llama deslazamiento de fase, o desfasamiento, de la gráfica de 5 A sen B C. EJEMPLO Ecuación de un coseno deslazado La gráfica de 5 0 cos está deslazada / unidades hacia la derecha. Deducir su ecuación. Solución Si se escribe f 5 0 cos se alica la ecuación, se ve que fa b 5 0 cos a b o sea 5 0 cos a b. En la última ecuación se identificaría a C 5 /. El deslazamiento de fase es /. Téngalo en cuenta. Como cosa ráctica, el deslazamiento de fase de 5 A sen B C se uede obtener sacando B como factor común de B C. 5 A sen B C 5 A sen Ba C B b. Por comodidad, resumiremos la información anterior. GRÁFICAS DE UN SENO O COSENO DESPLAZADAS Las gráficas de 5 A senb C 5 A cosb C, B. 0, son, resectivamente, las de 5 A sen B 5 A cos B, deslazadas horizontalmente 0 C 0 / B. El deslazamiento es hacia la derecha si C, 0, hacia la izquierda si C. 0. El número 0 C 0 / B se llama deslazamiento de fase. La amlitud de cada gráfica es 0 A 0 el eriodo de cada gráfica es /B. 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

15 EJEMPLO 5 Gráfica del seno deslazada horizontalmente Graficar 5 sen /. Solución Para comarar, rimero graficaremos 5 sen. La amlitud de 5 sen es 0 A 0 5, su eriodo es / 5. Así, un ciclo de 5 sen se comleta en el intervalo 0,. Entonces, etendemos la gráfica hacia el intervalo adacente,, como se indica en azul en la FIGURA 9... A continuación se vuelve a escribir 5 sen / sacando como factor común de /: 5 sena b 5 sen a 6 b. 6 = sen = sen 7 6 FIGURA 9.. Gráfica de la función del ejemlo 5 En esta última forma se ve que el deslazamiento de fase es /6. La gráfica de la función dada, que se ve en rojo en la figura 9.., se obtiene deslazando /6 unidades hacia la derecha la gráfica de 5 sen. Recuerde que eso quiere decir que si, es un unto en la gráfica en azul, entonces /6, es el unto corresondiente en la gráfica roja. Por ejemlo, son dos coordenadas de intersecciones con el eje de la gráfica en azul. Por consiguiente, 5 0 /6 5 /6 5 /6 5 7/6 son coordenadas de intersecciones con el eje de la gráfica en rojo, deslazada. Estos números se indican con flechas en la figura 9... EJEMPLO 6 Gráficas deslazadas horizontalmente Determinar la amlitud, el eriodo, el deslazamiento de fase la dirección del deslazamiento horizontal de cada una de las funciones siguientes. a) 5 5 cosa5 b b) 58 sena b Solución a) Primero se identifican A 5 5, B 5 5 C 5 /. Entonces, la amlitud es 0 A 0 5 5, el eriodo es /B 5 /5. El deslazamiento de fase se uede calcular a sea or 0 0 / / 5 5 /0, o bien ordenando la función como sigue: 5 5 cos 5a 0 b. La última forma indica que la gráfica de 5 5 cos 5 / es la gráfica de 5 5 cos 5 deslazada /0 unidades hacia la derecha. b) Como A 5 8, la amlitud es 0 A Con B 5, el eriodo es / 5. El se saca como factor común de /, queda 58 sena b 58 sen a 8 b se ve que el deslazamiento de fase es /8. La gráfica de 5 8 sen / es la de 5 8 sen deslazada /8 unidades hacia la izquierda. EJEMPLO 7 Gráfica del coseno deslazada horizontalmente Graficar 5 cos. Solución La amlitud de 5 cos es 0 A 0 5, el eriodo es / 5. Entonces, un ciclo de 5 cos se comleta en el intervalo 0,. En la FIGURA 9.. se muestran dos ciclos de la gráfica de 5 cos. Las intersecciones con el eje de esta gráfica corresonden a los valores de ara los cuales cos 5 0. De acuerdo con, eso quiere decir que 5 n /, o sea 5 n /, n un entero. En otras alabras, ara n 5 0,,,,,, c se ve que 5 ; ; 5,, ;, así sucesivamente. Ahora, si se reacomoda la función dada como sigue: 5 cos = cos + ) = cos FIGURA 9.. Gráfica de la función del ejemlo 7 9. Gráficas de las funciones seno coseno 0

16 se ve que el deslazamiento de fase es. La gráfica de 5 cos en rojo en la figura 9.. se obtiene deslazando la gráfica de 5 cos una unidad hacia la izquierda. Eso quiere decir que las intersecciones con el eje son iguales ara ambas gráficas. I 0 0 It) = 0 sen 0 t 0 0 FIGURA 9..5 Gráfica de la corriente del ejemlo 8 60 t EJEMPLO 8 Corriente alterna La corriente I en ameres que asa or un conductor de un circuito de corriente alterna se determina con It 5 0 sen 0t, donde t es el tiemo eresado en segundos. Trazar el ciclo de la gráfica. Cuál es el valor máimo de la corriente? Solución La gráfica tiene una amlitud de 0, su eriodo es / Por consiguiente, se traza un ciclo de la gráfica del seno básica en el intervalo C0, 60D, como se ve en la FIGURA En la figura se ve que el valor máimo de la corriente es I 5 0 ameres, se resenta cuando t 5 0 de segundo, a que IA0B 5 0 sena0 # 0B 5 0 sen Ejercicios Las resuestas a los roblemas imares seleccionados comienzan en la ágina RESP-. En los roblemas a 6 alique las técnicas de deslazar, estirar, comrimir reflejar, ara trazar al menos un ciclo de la gráfica de la función.. 5 cos. 5 cos. 5 sen 8. FIGURA 9..7 Gráfica del roblema 8. 5 sen 5. 5 cos sen En los roblemas 7 a 0, la figura muestra un ciclo de una senoide o cosenoide. De acuerdo con la figura, determine A D deduzca una ecuación de la forma 5 A sen D, o 5 A cos D de la gráfica. FIGURA 9..8 Gráfica del roblema FIGURA 9..6 Gráfica del roblema 7 FIGURA 9..9 Gráfica del roblema 0 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

17 En los roblemas a 6, use las relaciones de la sección 9. ara determinar las intersecciones con el eje de la gráfica de la función indicada. No trace la gráfica.. 5 sen. 5cos. 5 0 cos. 5 sen sena b. FIGURA 9.. Gráfica del roblema 6. 5 cos En los roblemas 7 8, determine las intersecciones con el eje de la gráfica de la función, en el intervalo 0,. A continuación, alicando la eriodicidad, determine todas las intersecciones sen 8. 5 cos En los roblemas 9 a, la figura muestra un ciclo de una gráfica del coseno o seno. De acuerdo con la figura, determine A B, deduzca una ecuación de la forma 5 A sen B o 5 A cos B de la gráfica. 9.. FIGURA 9.. Gráfica del roblema. FIGURA 9..5 Gráfica del roblema FIGURA 9..0 Gráfica del roblema 9 En los roblemas 5 a, determine la amlitud el eriodo de la función. Trace cuando menos un ciclo de la gráfica sen FIGURA 9.. Gráfica del roblema sen 7. 5 cos cos. FIGURA 9.. Gráfica del roblema 9. 5 sen 0. 5 sen. 5 cos. 5 sen 9. Gráficas de las funciones seno coseno 05

18 En los roblemas a, determine amlitud, eriodo deslazamiento de fase de la función. Trace al menos un ciclo de la gráfica.. 5 sen a 6 b En los roblemas 9 50, verifique gráficamente la identidad. 9. cos 5cos 50. sen 5sen. 5 sen a b 5. 5 cos a b 6. 5 cos a 6 b 7. 5 cos a b Alicaciones diversas 5. Péndulo El deslazamiento angular u de un éndulo, resecto a la vertical en el momento t segundos, se determina con ut 5 u 0 cos vt, donde u 0 es el deslazamiento inicial cuando t 5 0 segundos. Véase la FIGURA Para v 5 rad/s u 0 5 /0, trace dos ciclos de la función resultante sen a b 9. 5 sen a b θ cos a b θ. 5 sen a b. 5 cos a b En los roblemas, escriba la ecuación de la función cua gráfica se describe en alabras.. La gráfica de 5 cos se estira verticalmente or un factor de, a continuación se deslaza 5 unidades hacia abajo. Un ciclo de 5 cos en 0, se comrime a 0, / el ciclo comrimido se deslaza / unidades horizontalmente hacia la izquierda.. Un ciclo de 5 sen en 0, se estira hasta 0, 8 a continuación, el ciclo estirado se deslaza / unidades horizontalmente hacia la derecha. La gráfica también se comrime verticalmente or un factor de, a continuación se refleja en el eje. En los roblemas 5 a 8, determine las funciones seno coseno, deslazadas horizontalmente, de manera que cada función satisfaga las condiciones dadas. Grafique las funciones. 5. Amlitud, eriodo /, deslazada / unidades hacia la derecha. 6. Amlitud, eriodo, deslazada / unidades hacia la izquierda. 7. Amlitud 0.7, eriodo 0.5, deslazada unidades hacia la derecha. 8. Amlitud 5, eriodo, deslazada / unidades hacia la izquierda. FIGURA 9..6 Péndulo del roblema 5 5. Corriente En cierto circuito eléctrico, la corriente I, en ameres, cuando el tiemo es t, en segundos es It 5 0 cos a0 t b. Trace dos ciclos de la gráfica de I en función del tiemo t. 5. Profundidad del agua La rofundidad d del agua, a la entrada de un uerto equeño cuando el tiemo es t, se modela con una función de la forma dt 5 A sen Bat b C, donde A es la mitad de la diferencia entre las rofundidades cuando las mareas son altas bajas; /B, B. 0, es el eriodo de la marea C es la rofundidad romedio. Suonga que el eriodo de la marea es de horas, que la rofundidad en la leamar marea alta es de 8 ies, que en la bajamar es de 6 ies. Trace dos ciclos de la gráfica de d. 5. Temeratura Fahrenheit Suonga que Tt sen t 8, 0 # t # es un modelo matemático de la temeratura Fahrenheit a las t horas desués de medianoche, en cierto día de la semana. 06 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

19 a) Cuál es la temeratura a las 8 a.m.? b) A cuál o cuáles horas T t 5 60? c) Trace la gráfica de T. d) Calcule las temeraturas máima mínima, los tiemos en que se resentan. Problemas ara calculadora En los roblemas 55 a 58, use una calculadora ara investigar si la función es eriódica. 55. f 5 sen a b 57. f 5 cos 58. f 5 sen Para la discusión En los roblemas 59 60, busque el eriodo de la función dada. 59. f 5 sen sen 60. f 5 sen cos f 5 sen 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas Introducción Se definen cuatro funciones trigonométricas más, en términos de recírocos cocientes de las funciones seno coseno. En esta sección eaminaremos las roiedades las gráficas de estas nuevas funciones. Comenzaremos con unas definiciones. Definición 9.. Otras cuatro funciones trigonométricas Las funciones tangente, cotangente, secante cosecante se reresentan or tan, cot, sec csc, resectivamente, se definen como sigue: sen tan 5 cot 5 cos cos, sen, ) sec 5 csc 5 cos, sen. ) Observe que las funciones tangente cotangente se relacionan como sigue: cot 5 cos sen 5 5 sen tan. cos De acuerdo con las definiciones en ) con el resultado anterior, cot, sec csc se llaman funciones recírocas. Dominio contradominio Debido a que las funciones en ) ) son cocientes, el dominio de cada función consiste en el conjunto de los números reales, eceto aquellos números ara los cuales el denominador es cero. Hemos visto en ), de la sección 9., que cos 5 0 cuando 5 n /, n 5 0, ;, ;, c, así el dominio de tan de sec es 5 0 n /, n 5 0, ;, ;, c6. De igual manera, de acuerdo con ) de la sección 9., sen 5 0 ara 5 n, n 5 0, ;, ;, c, or lo que el dominio de cot de csc es 5 0 n, n 5 0, ;, ;, c6. 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas 07

20 Ya sabemos que los valores de las funciones seno coseno están acotados, esto es, que 0 sen 0 # 0 cos 0 #. De acuerdo con estas desigualdades, II III tan < 0 cot < 0 sec < 0 csc > 0 tan > 0 cot > 0 sec < 0 csc < 0 tan > 0 cot > 0 sec > 0 csc > 0 tan < 0 cot < 0 sec > 0 csc < 0 FIGURA 9.. Signos de las funciones tan, cot, sec csc en los cuatro cuadrantes I IV 0 sec 0 5 ` cos ` 5 $ ) 0 cos 0 0 csc 0 5 ` sen ` 5 $. ) 0sen 0 Recuerde que una desigualdad como ) quiere decir que sec $, o sec #. Por consiguiente, el contradominio de la función secante es `, <, `. La desigualdad en ) imlica que la función cosecante tiene el mismo contradominio `, <, `. Cuando se consideran las gráficas de las funciones tangente cotangente se ve que tienen el mismo contradominio: `, `. Si se interreta a como un ángulo, la FIGURA 9.. ilustra los signos algebraicos de las funciones tangente, cotangente, secante cosecante en cada uno de los cuatro cuadrantes. Se verifican con facilidad usando los signos de las funciones seno coseno que aarecen en la figura 9... TABLA tan cot sec csc 6 0 " " " " 0 " " " " EJEMPLO Regreso al ejemlo de la sección 9. Determinar tan, cot, sec csc ara 5 /6. t a n s e c Solución En el ejemlo de la sección 9. se vio que sen a 6 b 5sen 6 5 cos a 6 b 5 cos 6 5 ". Por consiguiente, de acuerdo con las definiciones en ) ): a 6 b 5 / "/ 5 " a 6 b 5 "/ 5 ", c s c, c o t a 6 b 5 "/ / 5 ", También se odría haber d usado cot 5 /tan a 6 b 5 / 5. La tabla 9.., que resume algunos valores imortantes de la tangente, cotangente, secante cosecante, se formó usando los valores de seno coseno de la sección 9.. Un guión en la tabla indica que la función trigonométrica no está definida en ese valor de en articular. Véanse también los roblemas 9 50 en los ejercicios 9.. Periodicidad Como las funciones seno coseno son eriódicas cada, cada una de las funciones en en tienen un eriodo de. Pero, de acuerdo con el teorema 9.. de la sección 9., iv) del teorema 9.. tan ) 5 sen ) cos ) 5 sen cos 5 tan. iii) del teorema 9.. Entonces, la eresión 5 imlica que tan cot son eriódicas, con un eriodo #. En el caso de la función tangente, tan 5 0 sólo si sen 5 0; esto es, sólo si 5 0, ;, ; así sucesivamente. Por consiguiente, el número ositivo menor ara el cual tan 5 tan es 5. La función cotangente tiene el mismo eriodo, orque es recíroca de la función tangente. Las funciones secante cosecante son eriódicas, con eriodo. Por consiguiente, sec 5 sec csc 5 csc 6) ara todo número real ara el cual estén definidas las funciones. 5) 08 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

21 Las funciones tangente cotangente son eriódicas, con eriodo P. Por consiguiente, tan 5 tan cot 5 cot 7) ara todo número real ara el cual estén definidas las funciones. Gráficas de 5 tan 5 cot Los números que hacen que los denominadores de tan, cot, sec csc sean iguales a cero corresonden a asíntotas verticales en sus gráficas. Por ejemlo, recomendamos al lector que con una calculadora verifique que tan S ` como S tan S ` como S. En otras alabras, 5 / 5 / son asíntotas verticales. La gráfica de 5 tan en el intervalo /, /, que muestra la FIGURA 9.. es un ciclo de la gráfica de 5 tan. Alicando la eriodicidad se uede etender el ciclo de la figura 9.. a intervalos adacentes de longitud, que se ven en la FIGURA 9... Las intersecciones con el eje en la gráfica de la función tangente están en 0, 0, ;, 0, ;, 0, c, las asíntotas verticales de la gráfica son 5 ;/, ;/, ;5/, c La gráfica de 5 cot se arece a la gráfica de la función tangente, véase la FIGURA 9... En este caso, la gráfica de 5 cot en el intervalo 0, es un ciclo de la gráfica de 5 cot. Las intersecciones con el eje de la función cotangente están en ;/, 0, ;/, 0, ;5/, 0 c las asíntotas verticales de la gráfica son 5 0, ;, ;, ;, c. Es un buen momento ara reasar el recuadro 7) de la sección 6.6. = tan = cot FIGURA 9.. Un ciclo de la gráfica de 5 tan FIGURA 9.. Gráfica de 5 tan FIGURA 9.. Gráfica de 5 cot Note que las gráficas de 5 tan 5 cot son simétricas con resecto al origen, orque tan 5 tan, cot 5 cot. Teorema 9.. Funciones imares La función tangente f) 5 tan la función cotangente g) 5 cot son funciones imares tales que tan ) 5 tan cot ) 5 cot 8) ara todo número real cuas funciones están definidas. Gráficas de sec csc Ya se sabe que ara 5 sec 5 csc, 0 0 $, or lo que no uede haber alguna arte de sus gráficas en la faja horizontal,, en el lano cartesiano. Por consiguiente, las gráficas de 5 sec 5 csc no tienen intersecciones con el eje. Tanto 5 sec como 5 csc tienen el eriodo. Las asíntotas verticales de la gráfica de 5 sec son las mismas que las de 5 tan, es decir, 5 ;/, ;/, ;5/, c Como 5 cos es una función ar, también lo es 5 sec 5 /cos. La gráfica 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas 09

22 de 5 sec es simétrica con resecto al eje. Por otra arte, las asíntotas verticales de la gráfica de 5 csc son iguales a las de 5 cot, es decir, 5 0, ;, ;, ;,... Como 5 sen es una función imar, también lo es 5 csc 5 /sen. La gráfica de 5 csc es simétrica con resecto al origen. Un ciclo de la gráfica de 5 sec en 0, se etiende al intervalo, 0 or la eriodicidad o la simetría con resecto al eje en la FIGURA De igual modo, en la FIGURA 9..6 se etendió un ciclo de 5 csc en 0, al intervalo, 0, or eriodicidad o or simetría con resecto al origen. = sec = csc FIGURA 9..5 Gráfica de 5 sec FIGURA 9..6 Gráfica de 5 csc Transformaciones gráficas En forma arecida a las gráficas de seno coseno, se ueden alicar transformaciones rígidas no rígidas a las gráficas de 5 tan, 5 cot, 5 sec 5 csc. Por ejemlo, una función como 5 A tan B C D se uede analizar como sigue: estiramiento/comresión/refleión vertical T 5 A tan B C D c estiramiento/comresión horizontal al cambiar el eriodo deslazamiento vertical T c deslazamiento horizontal 9) Si B. 0, entonces el eriodo de 5 A tan B C 5 A cot B C es /B, 0) mientras que el eriodo de 5 A sec B C 5 A csc B C es /B. ) De las seis funciones trigonométricas, sólo las funciones seno coseno tienen amlitud. Como se vio en 9), el número A en cada caso se uede interretar como un estiramiento o una comresión vertical de la gráfica. Sin embargo, debe uno tener en cuenta que las funciones en 0) ) no tienen amlitud, orque ninguna de ellas tiene un valor máimo ni uno mínimo. EJEMPLO Comaración de gráficas Determinar el eriodo, las intersecciones con el eje las asíntotas verticales de la gráfica de 5 tan. Graficar la función en 0,. Solución Si hacemos que B 5, se ve de 0) que el eriodo es /. Como tan 5 sen /cos, las intersecciones con el eje de la gráfica están en las raíces de sen. De acuerdo con, de la sección 9., sen 5 0 ara 5 n de modo que 5 n, n 5 0, ;, ;, c 0 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario

23 Esto es, 5 0, ;/, ;/ 5, ;/, ;/ 5, así sucesivamente. Las intersecciones con el eje están en 0, 0, ;/, 0, ;, 0, ;/, 0,... Las asíntotas verticales de la gráfica están en las raíces de cos. De acuerdo con de la sección 9., los números ara los que cos 5 0 se determinan como sigue: 5 n de modo que 5 n, n 5 0, ;, ;, c Esto es, las asíntotas verticales son 5 ;/, ;/, ;5/,... En el intervalo 0,, la gráfica de 5 tan tiene tres cruces con el eje en 0, 0, /, 0, 0, dos asíntotas verticales, 5 / 5 /. En la FIGURA 9..7 hemos comarado las gráficas de 5 tan 5 tan en el mismo intervalo. La gráfica de 5 tan es una comresión horizontal de la gráfica de 5 tan. a) = tan en [0, ] EJEMPLO Comaración de gráficas Comarar un ciclo de las gráficas de 5 tan 5 tan /. Solución La gráfica de 5 tan / es la de 5 tan deslazada horizontalmente / unidades hacia la derecha. La intersección, 0, 0, de la gráfica de 5 tan, se deslazan a /, 0 en la gráfica de 5 tan /. Las asíntotas verticales 5 / 5 / ara la gráfica de 5 tan están deslazadas a 5 / 5 / de la gráfica de 5 tan /. En las FIGURAS 9..8a) 9..8b) se ve, resectivamente, que un ciclo de la gráfica de 5 tan en el intervalo /, / está deslazado hacia la derecha formando un ciclo de la gráfica de 5 tan / en el intervalo /, /. b) = tan en [0, ] FIGURA 9..7 Gráfica de las funciones del ejemlo a) Ciclo de = tan b) Ciclo de = tan /) en /, /) en /, /) FIGURA 9..8 Gráfica de las funciones en el ejemlo Como hicimos en el análisis de las gráficas de 5 A sen B C 5 A cos B C, se uede determinar la cantidad de deslazamiento horizontal de gráficas de funciones como 5 A tan B C 5 A sec B C, sacando el número B. 0 como factor común de B C. EJEMPLO Dos deslazamientos dos comresiones Graficar 5 sec /. Solución Descomondremos el análisis de la gráfica en cuatro artes, que serán or transformaciones. 9. Gráficas de otras funciones trigonométricas

24 a) Comresión horizontal b) Comresión vertical refleión en el eje FIGURA 9..9 Gráfica de la función del ejemlo 5 c) Traslación horizontal d) Traslación vertical i) Un ciclo de la gráfica de 5 sec sucede en 0,. Como el eriodo de 5 sec es /, un ciclo de su gráfica ocua el intervalo 0, /. En otras alabras, la gráfica de 5 sec es una comresión horizontal de la gráfica de 5 sec. Como sec 5 /cos, las asíntotas verticales están en las raíces de cos. De acuerdo con la sección 9., se ve que 5 n o sea que 5 n, n 5 0, ;, ;, c 6 La FIGURA 9..9a) muestra dos ciclos de la gráfica de 5 sec ; un ciclo en /, 0 otro en 0, /. Dentro de esos intervalos, las asíntotas verticales son 5 /, 5 /6, 5 /6 5 /. ii) La gráfica de 5 sec es la de 5 sec comrimida verticalmente or un factor de, desués reflejada en el eje. Véase la figura 9..9b). iii) Se saca a como factor común de /, se ve en 5 seca b 5 sec a 6 b que la gráfica de 5 sec / es la de 5 sec, deslazada /6 unidades hacia la derecha. Si se deslazan los dos intervalos, /, 0 0, /, en la figura 9..9b), /6 unidades hacia la derecha, se ve en la figura 9..9c) que ha dos ciclos de 5 sec / en los intervalos /, /6 /6, 5/6. Las asíntotas verticales 5 /, 5 /6, 5 /6 5 / que se ven en la figura 9..9b) están deslazadas a 5 /, 5 0, 5 / 5 /. Observe que la intersección con el eje en A0, B de la figura 9..9b) ahora se mueve a A/6, B en la figura 9..9c). iv Por último se obtiene la gráfica 5 sec / de la figura 9..9d) deslazando la gráfica de 5 sec / en la figura 9..9c), dos unidades hacia arriba. CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario