Matemáticas - Guía 1 Proposiciones

Transcripción

1 LOGROS: 1. Reconoce el conceto e roosición. 2. Clasifica las roosiciones en simles y comuestas. 3. Resuelve roosiciones comuestas utilizando los conectivos lógicos. 4. Halla el valor de verdad de una roosición a través de la conjunción, disyunción e imlicación. 5. Construye la tabla de verdad de una roosición comuesta. PREPARATE: 1. Para que la roosición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso, x debe reemlazarse or: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 2. Escribir el signo +, -, x o /, ara que las exresiones sean roosiciones verdaderas. a) 5 3 = 8 b) 28 7 = 4 c) 12 4 = 36 d) = Cuáles de los siguientes enunciados uede considerarse como roosiciones? a) Un triángulo es un olígono de tres ángulos. b) La filosofía es triangular. c) Un cuadrado es una figura lana de cuatro lados. d) Un cuadrado es un olígono de cuatro ángulos rectos. e) Un rectángulo es un olígono de cuatro ángulos rectos. f) Medellín es ciudad de eterna rimavera. g) Un rectángulo es una figura verde. h) Todas las naranjas son amarillas. i) Algunas manzanas son rojas. Área de Matemáticas Página 1 de 7

2 Proosiciones La lógica es toda una discilina en la que las recesiones y el razonamiento son fundamentales. Es estudiada también or la filosofía, ero, aquí nos referiremos or lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre el que se desarrolla toda esta teoría se llama roosición. De todo lo anterior una roosición es una oración con sentido comleto de la cual se uede determinar que es cierta o que es falsa. Ejemlo: 1. La sal es un comuesto químico < es un número imar 4. El sol sale de noche = 30 Las oraciones 1, 2, 3, 4 y 5. Son roosiciones aunque no todas son verdaderas siguen siendo roosiciones. A esta roiedad de las roosiciones de ser verdadera o falsa se le llama valor de verdad. Las exresiones: Vendrás a mi casa esta tarde? Y m + 3 = 5 no son roosiciones, ues no se uede decir si son falsas o verdaderas. Las roosiciones se reresentan con letras minúsculas, usualmente, q, r, s, t,.. Así, la roosición Colombia está ubicada Euroa se reresenta or: : Colombia está ubicada Euroa y la roosición = 8 se reresenta: q: = 8 El valor de verdad de una roosición se determina asignándole los adjetivos Verdadero (V) o Falso (F), según corresonda. Proosiciones Simles Una roosición simle es una afirmación que consta de una sola oración gramatical, es decir no tieie alabras de enlace tales como: y, o, entonces, si y solo si, entre otras. Por ejemlo, son roosiciones simles r: 5 es divisor de 30. s: Marte es el laneta más equeño. Negación de las roosiciones simles: Una roosición simle se niega anteoniéndole la frase no es cierto que o agregando la alabra no, con el fin de significar lo contrario. Si reresenta una roosición simle, la negación de esta roosición se simboliza ~; se lee no y su valor de verdad será contrario al valor de verdad de la roosición inicial. Por ejemlo: Proosición Si : 5 es divisor de 30. (V). Si r: Un triangulo tiene cuatro lados (F) Negación ~ No es cierto que 5 es divisor de 30. (F). ~r: No es cierto que un triangulo tiene cuatro lados (V). Área de Matemáticas Página 2 de 7

3 Proosiciones comuestas y conectivos lógicos Proosiciones comuestas Una roosición comuesta es una afirmación que consta de dos o más roosiciones simles unidas or los conectores: y, o, si, entonces, si y solo si y no. Por ejemlo las siguientes afirmaciones son roosiciones comuestas: Bogotá es la caital de Cundinamarca y Neiva es la caital de Huila; la nariz es un órgano de los sentidos o la nariz sirve ara oler; si me llamo Pedro, entonces, mi nombre emieza con ; El equio clasifica si y solo si gana. Conectivos lógicos Se llaman conectivos lógicos a las artículas de enlace usadas ara unir dos o más roosiciones simles. Cada conectivo lógico tiene un símbolo que lo reresenta y recibe un nombre esecial or la función que desemeña dentro de la roosición. Así en la roosición, Pedro camina y come, el conectivo lógico es la y; en la roosición: si un olígono tiene tres lados, entonces es un triangulo, el conectivo lógico es si entonces Conectivo lógico Notación Nombre Y Conjunción O Disyunción Si entonces Imlicación Si y solo si Equivalencia Negación Negación Conjunción Anteriormente vimos que la unión de roosiciones simles da lugar a roosiciones comuestas. El rimer caso que veremos de roosiciones comuestas será la conjunción. Cuando dos roosiciones simles se combinan mediante la alabra «y», la roosición comuesta resultante se le llama conjunción. La conjunción de dos roosiciones y q se simboliza: q y se lee y q Así : 5 es un numero rimo y q: 16 es un numero comuesto, la conjunción de las roosiciones y q es: q: 5 es un numero rimo y 16 es un numero comuesto. Valor de verdad en la Conjunción El valor de verdad en una roosición comuesta, deende del valor de verdad de cada una de las roosiciones simles que la comonen. Se sabe que una roosición simle uede ser verdadera o falsa. Por esta razón si y q son dos roosiciones simles, los valores de verdad de q son cuatro, si se tienen en cuenta las relaciones que se ueden establecer entre esos valores de verdad de las roosiciones simles. Así, Si y q son verdaderas, entonces q es verdadera. Si es verdadera y q es falsa, entonces q es falsa. Si es falsa y q es falsa, entonces q es falsa Podemos concluir fácilmente que una conjunción es verdadera solo cuando las roosiciones simles que la comonen son verdaderas. Veamos lo anterior en una tabla ara comrenderlo más fácilmente: TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN q q V F F F V F F F F Área de Matemáticas Página 3 de 7

4 Disyunción Recibe el nombre de disyunción de dos roosiciones simles y q, la roosición que se obtiene al enunciar seguida de q, unidas or la artícula de enlace o. La disyunción de dos roosiciones y q se simboliza: q y se lee o q. Así, si P: 3 es un numero ar y q: 24 es un numero rimo, la disyunción de las roosiciones y q es: q: 3 es un número ar o 24 es un número rimo. La disyunción es falsa solo cuando las roosiciones que la comonen son falsas. Veamos la tabla de verdad de la Disyunción ara comrenderla más fácilmente: TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN q V F V F V V F F F Imlicación Se llama imlicación de dos roosiciones y q, a la roosición que se obtiene al enunciar q a continuación de, unidas or la artícula de enlace si entonces. En la imlicación, existe una relación de deendencia entre y q, que erite afirmar que la roosición imlica la roosición q; o que la roosición q se reduce lógicamente a la roosición. La imlicación entre las roosiciones y q se simboliza: q, y se uede lee: imlica q; si entonces q; q se reduce lógicamente de. En la imlicación q, es condición suficiente ara que q suceda; y q es condición necesaria ara que ocurra. Además, recibe el nombre de antecedente o hiótesis y q recibe el nombre de consecuente o tesis. Valor de verdad en la Imlicación Si y q son dos roosiciones simles, los osibles valores de verdad de mejor este conceto. q son cuatro. Analicemos el siguiente ejemlo ara comrender Juan le dice a su hijo: Si aruebas el examen, entonces sales a cine. 1. El hijo arueba el examen y va al cine. En este caso, arobar el examen es condición suficiente ara ir al cine. La roosición es verdadera. P y q son verdaderas, q es verdadera 2. El hijo arueba el examen, ero no va a cine. En este caso, arobar el examen no es condición suficiente ara ir al cine. La roosición es falsa. Si es verdadera y q es falsa, qes falsa. 3. El hijo no arueba el examen, ero el va a cine. En este caso observamos que arobar el examen era condición suficiente ero no necesaria ara ir a cine. La roosición es verdadera. Si es falsa y q es verdadera, q es verdadera. 4. El hijo no arueba el examen y no va al cine. En este caso, no se dá la condición suficiente (arobar el examen), y, como consecuencia, el hijo no va a cine. La roosición es verdadera. Si es falsa y q es falsa, q es verdadera. Área de Matemáticas Página 4 de 7

5 A artir del análisis de la roosición: Si aruebas el examen,, entonces, sales a cine, los valores de verdad de la imlicación se ueden escribir en una tabla de verdad. La imlicación es falsa, solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente q es falso. Veamos la tabla de verdad de la Imlicación ara comrenderla más fácilmente: TABLA DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN q V F F F V V F F V Equivalencia Dos roosiciones y q son equivalentes, cuando es condición necesaria y suficiente ara q y a su vez, q es condición necesaria y suficiente ara. Es decir, q y q se cumlen simultáneamente. La equivalencia de las roosiciones y q se simboliza: q q y se lee si y solo si q. Por ejemlo: Se uede formar una equivalencia con las roosiciones: j: El olígono es un triangulo y r: El olígono tiene tres lados. Así, r: El olígono es un triangulo, si y solo si tiene tres lados. En efecto, ser triangulo es condición necesaria y suficiente ara tener tres lados, y a su vez, tener tres lados es condición necesaria y suficiente ara ser triangulo. Valor de verdad de la equivalencia La equivalencia es verdadera, sólo cuando las dos roosiciones son verdaderas o las dos son falsas. Los osibles valores de verdad de la equivalencia se ueden observar con facilidad, en la tabla de verdad resentada a continuación: TABLA DE VERDAD DE LA EQUIVALENCIA q V F F F V F F F V Área de Matemáticas Página 5 de 7

6 1. Reasa la teoría Resonde las siguientes reguntas: a) Qué son roosiciones? b) Qué son roosiciones simles? c) Qué son roosiciones comuestas? d) Qué es el valor de verdad de una roosición? e) Cómo se reresentan las roosiciones simles? f) Cuáles son los elementos de enlace y ara qué sirven? g) Qué es una tabla de verdad? h) La roosición comuesta que utiliza el término de enlace y es una? i) La roosición comuesta que utiliza el término de enlace no se llama? j) La roosición situada antes del término de enlace en una roosición condicional se llama? k) La roosición situada desués del término de enlace en una roosición condicional se llama? 2. Subraya cuales de las siguientes exresiones son roosiciones. a) Enero es el rimer mes del año. b) Qué día es hoy? c) = 10 d) Estoy muy cansado! e) Armando está estudiando 3. Simboliza cada una de las roosiciones y asígnale su valor de verdad: a) 5 es un número ar b) 4 x 5 = 20 c) Ocho aumentado en catorce es igual a veintidós d) Un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos. e) El río amazonas no asa or Colombia f) Las ranas no son animales anfibios 4. Analiza Analiza las roosiciones que aarecen a continuación: roosición 2 es un número rimo Negación de la roosición Negación de la negación 2 no es un número rimo ( ) No es cierto que 2 no es un número rimo a) Asigna el valor de verdad a cada una de las roosiciones anteriores. b) Qué significa negar una roosición? c) Comara con ( ) Qué ocurre cuando niegas una roosición que ya está negada? d) Niega las roosiciones del ejercicio anterior y asigna el valor de verdad Área de Matemáticas Página 6 de 7

7 5. Construye las roosiciones comuestas a artir de las siguientes roosiciones simles: : 2 es divisor de 6 q: 6 es múltilo de 2 r: el roducto de 2 y 3 es 6. a) q : b) q r : c) r : d) q : e) q : f) ( q) r : g) ( q) r : h) ( q) r : 6. Comleta el valor de verdad en cada una de las siguientes tablas. Área de Matemáticas Página 7 de 7