Tema 1. Lógica proposicional. Proposiciones. Cuanticadores. Métodos de demostración. Aplicación en otros campos del conocimiento. Evolución histórica.

Transcripción

1 Tema 1.1 Tema 1 Lógica roosicional. Proosiciones. Cuanticadores. Métodos de demostración. Alicación en otros camos del conocimiento. Evolución histórica. GUIÓN-ÍNDICE 1. Lógica roosicional 1.1. Proosiciones 1.2. Negación de roosiciones 1.3. Tablas de verdad 1.4. Tautología y contradicción 1.5. Álgebra de Boole de las roosiciones 2. Cuanticadores 2.1. Funciones roosicionales 2.2. Cuanticadores 2.3. Funciones roosicionales de varias variables 3. Razonamiento matemático 3.1. Teoría matemática 3.2. Verdad y validez 3.3. Razonamiento lógico 3.4. Métodos matemáticos de demostración 4. Alicación en otros camos del conocimiento 5. Evolución histórica

2 Tema 1.2 Profesores BIBLIOGRAFÍA MARTÍNEZ FREIRE, P. Lógica matemática. Editorial Biblioteca Matemática. Madrid, Este libro es un estudio de la teoría de las roosiciones. VARGA, T. Elementos de Lógica Matemática. Editorial Teide. Barcelona, Es un estudio de la teoría de las roosiciones, en las que se ve una relación con la teoría de los circuitos. LAKATOS, I. Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Alianza Universidad. Madrid, Texto escrito en forma de diálogo entre un rofesor y sus alumnos en el que se ueden encontrar muchos ejemlos matemáticos sobre la demostración. Es en esencia una negación del método deductivo ara la elaboración de conocimientos matemáticos. Recoge la mayoría de los concetos que se tratan en este tema. KLINE, M. Matemáticas. La érdida de la certidumbre. Siglo Veintiuno. Madrid, En la rimera arte, el texto recoge un estudio sobre la evolución de los rinciales resultados matemáticos. Desués y siguiendo el transcurso de la historia analiza la aarición de las aradojas y la crisis que esto suuso ara las matemáticas. Describe los fundamentos y las críticas de cada una de las distintas escuelas matemáticas de rinciios de siglo, y a continuación exlica los resultados de los últimos años en cuanto a lo relacionado con la fundamentación de las matemáticas. La narración es muy clara y agradable, y su lectura da una idea bastante recisa sobre los asectos que involucra el resente tema. En él se uede consultar cualquier aclaración sobre algún unto exuesto en el desarrollo del tema. Lectura recomendada.

3 Tema Lógica roosicional 1.1. Proosiciones Denición Se entiende or roosición todo enunciado que atribuye una cualidad o una roiedad a un objeto o un conjunto de objetos. Evidentemente, una roosición es verdadera o falsa, ero no ambas cosas a la vez. Para reresentar roosiciones emlearemos las letras ; q; r; ::: Se llama negación de una roosición ; se escribe k y se lee no " a la roosición contraria de : Proosición atómica Es toda roosición exresada de la forma más simle. Proosición molecular Si se juntan dos o varias roosiciones atómicas se obtiene una roosición molecular. Conjunción de roosiciones Una roosición molecular se llama conjunción de y q; si estas dos se encuentran ligadas mediante un término de enlace del tio y: La conjunción y q se reresenta así: ^ q: La conjunción ^ q será verdadera cuando lo sean y q: En los demás casos, ^ q será una roosición falsa. Disyunción de roosiciones Una roosición molecular se llama disyunción de y q si estas dos roosiciones se encuentran ligadas mediante un término de enlace del tio o: El término de enlace \o" uede tener tanto sentido inclusivo (la certeza de no excluye la certeza de q y recírocamente) como exclusivo (la certeza de excluye la certeza de q y recírocamente). La disyunción de y q se reresenta: _ q: Para oder hablar de disyunción no es reciso que aarezca el término o, basta con uno equivalente a él: ora, ya, bien,... La disyunción _ q será verdadera cuando lo sea, al menos, una de las dos roosiciones y q; sólo será falsa, si lo son las dos simultáneamente.

4 Tema 1.4 Profesores Imlicación de roosiciones Cuando se unen dos roosiciones y q mediante el término de enlace si... entonces..., la roosición molecular resultante se dice que es una imlicación ( imlica q) o una roosición condicional. Si imlica q se escribe ) q: La roosición recibe el nombre de hiótesis o condición, y q el de tesis o conclusión. Para oder hablar de imlicación, no es reciso que aarezca el término si... entonces..., uede servir cualquier otro giro de sentido equivalente. Una imlicación es falsa solamente cuando de una hiótesis verdadera se sigue una conclusión falsa. En los demás casos, la imlicación es verdadera. Imlicación recíroca, contraria y contrarrecíroca Dada la imlicación ) q; la imlicación q ) se llama imlicación recíroca de la anterior y la imlicación k ) kq es la contraria. Si ) q es cierta, q ) uede ser verdadera o falsa. Pero si ) q es falsa, q ) será verdadera, como uede verse fácilmente con las tablas. Dada la imlicación ) q; la imlicación kq ) k se llama imlicación contrarrecíroca de la anterior y ambas imlicaciones son verdaderas o ambas falsas. Equivalencia de roosiciones Dadas las roosiciones y q; si ambas se imlican mutuamente, esto es: ) q y q ) ; se dice que y q son equivalentes, y se escribe, q: El término de enlace que se emlea es sí y sólo sí. La equivalencia, q será verdadera si las dos roosiciones y q son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas; en los demás casos, la equivalencia es falsa Negación de roosiciones Denición Se llama negación de una roosición ; se escribe k y se lee no, a la roosición contraria de : Si es cierta, k es falsa. Si es falsa, k es verdadera. Negación de una conjunción La negación de una conjunción está dada or la fórmula k( ^ q), (k) _ (kq): DEM: Para demostrar que esta equivalencia es verdadera hemos de ver que las dos roosiciones, k( ^ q) y (k) _ (kq) son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. a) Suongamos k( ^ q) es falsa.

5 Tema 1.5 Entonces ( ^ q) es verdadera. Pero esto sucede sí y sólo si y son verdaderas. De aquí, (k) y (kq) son falsas; su disyunción también lo será: (k) _ (kq) es falsa. Luego k( ^ q) y (k) _ (kq) son simultáneamente falsas. b) Suongamos que k( ^ q) es verdadera. Entonces ( ^ q) es falsa. Esto sucede si al menos una de las dos roosiciones es falsa. Suongamos que es falsa; entonces (k) es verdadera. Y esto basta ara que (k)_(kq) sea verdadera. Luego k(^q) y (k) _ (kq) son simultáneamente verdaderas. c) Luego llegamos a la equivalencia Negación de una disyunción k( ^ q), (k) _ (kq): La negación de una disyunción está dada or la regla k( _ q), (k) ^ (kq): DEM: Para demostrar que esta equivalencia es verdadera hemos de ver que las dos roosiciones, k( _ q) y (k) ^ (kq) son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. a) Suongamos k( _ q) es falsa. Entonces ( _ q) es verdadera. Pero esto sucede sí al menos una de las dos roosiciones es verdaderas. Suogamos que lo sea : Entonces k es falsa y esto basta ara que (k) ^ (kq) sea falsa. Luego k( _ q) y (k) ^ (kq) son simultáneamente falsas. b) Suongamos que k( _ q) sea verdadera. Entonces _ q es falsa. Esto sucede si y q son las dos falsas. Es decir si (k) y (kq) son las dos verdaderas. Su conjunción también lo será: (k) ^ (kq) es verdadera. Luego k( _ q) y (k) ^ (kq) son simultáneamente verdaderas. c) Luego llegamos a la equivalencia Negación de una imlicación k( _ q), (k) ^ (kq): La negación de una imlicación está dada or k( ) q), ^ (kq): DEM: Para demostrar que esta equivalencia es verdadera, hemos de ver que las dos roosiciones, k( ) q) y ^ (kq) son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. a) Suongamos que k( ) q) sea falsa. Entonces ) q es verdadera. Puede serlo or hallarse en alguno de estos tres casos:

6 Tema 1.6 Profesores Primer caso: y q verdaderas. Entonces, es verdadera, y kq; falsa. De aquí, ^ (kq) es falsa. Segundo caso: es falsa y q es verdadera. Entonces, es falsa y (kq) es falsa. También lo será su conjunción: ^ (kq) es falsa. Tercer caso: y q son falsas. Entonces es falsa y (kq) es verdadera. De aquí que ^ (kq) es falsa. Luego en los tres casos hemos llegado a que ^ (kq) es falsa. De donde k( ) q) y ^ (kq) son simultáneamente falsas. b) Suongamos que k( ) q) es verdadera. Entonces ) q es falsa. Esto sólo uede suceder si es verdadera y q es falsa. De donde, y (kq) son verdaderas, y también lo es su conjunción: ^ (kq) es verdadera. Luego k( ) q) y ^ (kq) son simultáneamente verdaderas. c) Luego llegamos a la equivalencia Negación de una equivalencia k( ) q), ^ (kq): La negación de la equivalencia está dada or las fórmulas k(, q), [(k), q]; k(, q), [, (kq)]: DEM: Vamos a demostrar la rimera fórmula. Para comrobar que la equivalencia de enlace dominante es verdadera, hemos de ver que las dos roosiciones, k(, q) y [(k), q]; son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. a) Suongamos que k(, q) es falsa. Entonces, q es verdadera. Esto sucede si y q son simultáneamente verdaderas o falsas. De aquí que k y q serán o verdadera y falsa, o falsa y verdadera, resectivamente. De donde (k), q es falsa. Luego k(, q) y (k), q son simultáneamente falsas. b) Suongamos que k(, q) es verdadera. Entonces, q es falsa. Esto sucede si y q son o verdadera y falsa, o falsa y verdadera, resectivamente. De aquí k y q serán simultáneamente verdaderas o falsas. De donde (k), q es verdadera. Luego k(, q) y (k), q son simultáneamente verdaderas. c) Luego llegamos a la equivalencia: k(, q), (k), q: La segunda fórmula se demuestra de manera análoga. Doble negación Por doble negación entendemos la negación de la negación de una roosición y equivale a la arma-

7 Tema 1.7 ción de dicha roosición. Es decir k(k), : DEM: Para demostrar que esta equivalencia es verdadera, hemos de ver aquí también que las dos roosiciones k(k) y son simultáneamente verdaderas, o simultáneamente falsas. Suongamos que k(k) es falsa. Entonces (k) es verdadera. Y de aquí, es falsa. Luego k(k) y son simultáneamente falsas. Suongamos que k(k) es verdadera. Entonces (k) es falsa. Y de aquí, es verdadera. Luego k(k) y son simultáneamente verdaderas. Luego llegamos a la equivalencia k(k),, que también uede escribirse sin el aréntesis kk, : 1.3. Tablas de verdad Las letras ; q; r; ::: designan las roosiciones; con V y F designaremos verdadera y falsa, resectivamente. a) Conjunción q ^ q V V V V F F F V F F F F La conjunción ^ q es verdadera cuando los son y q; en los demás casos es falsa. b) Disyunción q _ q V V V V F V F V V F F F La disyunción es falsa cuando los son y q; en los demás casos es verdadera. c) Imlicación q ) q V V V V F F F V V F F V La imlicación es falsa sólo cuando de una hiótesis verdadera se sigue una conclusión falsa; en los demás casos es verdadera.

8 Tema 1.8 Profesores d) Equivalencia q, q V V V V F F F V F F F V La equivalencia es verdadera si las dos roosiciones son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas; en los demás casos es falsa. e) Negación V F k F V Si es verdadera, k es falsa. Y si es falsa, k es verdadera. Tablas de negación Las roosiciones cuya equivalencia queremos vericar, han de resentar sus columnas resectivamente iguales, ya que la equivalencia de dos roosiciones sólo es verdadera si las dos roosiciones son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. a) Negación de una conjunción: k( ^ q), (k) _ (kq): q ^ q k( ^ q) k kq (k) _ (kq) V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V b) Negación de una disyunción: k( ^ q), (k) _ (kq): q _ q k( _ q) k kq (k) ^ (kq) V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V c) Negación de una imlicación: k( ) q), ^ (kq): q ) q k( ) q) kq ^ (kq) V V V F V F F V F F V V V V F V V F F F F F F V F F V F

9 Tema 1.9 d) Negación de una equivalencia: k(, q), [(k), q]: q, q k(, q) k q (k), q V V V F F V F V F F V F F V F V F V V V V F F V F V F F e) Doble negación: kk, : Otras tablas de equivalencia k kk V F V F V F Mediante las tablas que a continuación se indican vamos a vericar algunas roiedades de las roosiciones. Igual que antes, las roosiciones equivalentes han de resentar sus columnas resectivamente iguales. a) Equivalencia de una imlicación: ( ) q), (k) _ q: ( ) q), (kq) ) (k): q ) q k q (k) _ q V V V F V V V F F F F F F V V V V V F F V V F V q ) q k q (k) _ q V V V F V V V F F F F F F V V V V V F F V V F V b) Conmutatividad de la conjunción: ( ^ q), (q ^ ): q ^ q q ^ V V V V V F F F F V F F F F F F c) Conmutatividad de la disyunción: ( _ q), (q _ ): q _ q q _ V V V V V F V V F V V V F F F F

10 Tema 1.10 Profesores d) Asociatividad de la conjunción: [ ^ (q ^ r)], [( ^ q) ^ r]: q r ^ q ( ^ q) ^ r q ^ r ^ (q ^ r) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F e) Asociatividad de la disyunción: [ _ (q _ r)], [( _ q) _ r]; análoga a la anterior. f) Distributividad de la conjunción resecto de la disyunción: [ ^ (q _ r)], [( ^ q) _ ( ^ r)]: q r _ q ^ (q _ r) ^ q ^ r ( ^ q) _ (q ^ r) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F V V F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F g) Distributividad de la disyunción resecto de la conjunción: [ _ (q ^ r)], [( _ q) ^ ( _ r)]: La demostración es análoga a la anterior. h) Idemotencia de la conjunción: ( ^ ), : ^ V V V F F F i) Idemotencia de la disyunción: ( _ ), : 1.4. Tautología y contradicción Denición de tautología _ V V V F F F Una tautología es una roosición molecular que es siemre verdadera, indeendientemente del valor de verdad o falsedad de sus artes constituyentes. En una tabla de verdad, la columna corresondiente a una tautología se caracteriza or tener únicamente términos V: De la misma denición se sigue que todas las tautologías son equivalentes.

11 Tema 1.11 Al referirnos a una tautología, cualquiera que sea, utilizaremos la notación f: Denición de contradicción o absurdo Una contradicción (o absurdo) es una roosición molecular que es siemre falsa, indeendientemente del valor de verdad o falsedad de sus artes constituyentes. En una tabla de verdad, la columna corresondiente a una contradicción, se caracteriza or tener únicamente términos F: De la misma denición se sigue que todas las contradicciones son equivalentes. Al referirnos a una contradicción, cualquiera que sea, utilizaremos la notación F: Proiedades 1 a. La negación de una tautología es una contradicción: kf, F: f kf F V F F 2 a. La negación de una contradicción es una tautología: kf, f: F kf f F V V 3 a. La disyunción de una roosición, y su contraria, es una tautología: [ _ (k)], f: k _ (k) f V F V V F V V V 4 a. La conjunción de una roosición y su contraria, es una contradicción: [ ^ (k)], F: k ^ (k) F V F F F F V F F 5 a. La conjunción de una roosición y una tautología es equivalente a la misma roosición: ( ^ f), : f ^ f V V V F V F 6 a. La disyunción de una roosición y una tautología es una tautología: ( _ f), f: f _ f V V V F V V 7 a. La conjunción de una roosición y una contradicción es una contradicción: ( ^ F), F: F ^ F V F F F F F 8 a. La disyunción de una roosición y una contradicción es equivalente a la misma roosición:

12 Tema 1.12 Profesores ( _ F), : 1.5. Álgebra de Boole de las roosiciones F ^ F V F V F F F Al conjunto de las roosiciones lógicas, rovisto de los términos de enlace equivalencia e imlicación, negación, disyunción y conjunción de roosiciones, y en el que consideramos la tautología y la contradicción como elementos articulares, tiene estructura de álgebra binaria de Boole (el calicativo de binaria o valorada roviene del hecho de que cada roosición lógica uede tomar el valor de verdadera o falsa). Idemotentes: _ q, ^ q, Conmutativas: _ q, q _ ^ q, q ^ Asociativas: _ (q _ r), ( _ q) _ r ^ (q ^ r), ( ^ q) ^ r Absorción, simlicativas o cancelativas: ^ ( _ q), _ ( ^ q), Distributivivas: _ (q ^ r), ( _ q) ^ ( _ r) ^ (q _ r), ( ^ q) _ ( ^ r) Elemento ínmo F : ^ F, F _ F, Elemento universal f : _ f, f ^ f, Leyes de De Morgan: k( _ q), (k) ^ (kq) k( ^ q), (k) _ (kq) 2. Cuanticadores 2.1. Funciones roosicionales Dado un conjunto M; sea una exresión en la que interviene un símbolo x; tal que cuando se sustituye x or un elemento cualquiera de M; la exresión se convierte en una roosición. Entonces se dice que dicha exresión es una función roosicional denida en M: Designando la función roosicional or (x); es x la variable, y ara exresar que x se ha de sustituir or elementos de M; se dice que x toma valores en M: EJEMPLO: Si M es el conjunto de los números naturales, (x) es x es un número ar es una función roosicional. Para x ar, la roosición es falsa, ara x imar la roosición es verdadera. Para cada a 2 M; la roosición (a) uede ser verdadera o falsa. Sin embargo, aunque ara cada elemento de M se uede decidir si la roosición corresondiente es verdadera o falsa, no se uede deducir que aquellos elementos de M ara los que la roosición (x) corresondiente sea verdadera, determinen un conjunto en sentido matemático. Por esta razón, hemos de admitir como axioma, que la totalidad de dichos elementos forman un conjunto: Si M es un conjunto y (x) una función roosicional, existe un único conjunto, cuyos elementos son todos los elementos x 2 M ara los cuales (x) es cierta. (Axioma de esecicación).

13 Tema 1.13 Denición El conjunto de elementos de M en los que (x) es cierta, es el conjunto de certeza de (x) en M: También se dice, que es el conjunto de verdad de (x) o el conjunto de valores de x que satisfacen a (x): Este conjunto se designa or fx 2 M : (x)g ó fx : (x)g: De acuerdo con estas notaciones, son lógicamente equivalentes: a 2 fx 2 M : (x)g y (a); ara todo a 2 M: Hay dos funciones roosicionales que corresonden a situaciones extremas: la función roosicional x = x; que es verdadera ara todo elemento del conjunto M y la roosición x 6= x que es falsa ara todo elemento de M; cualquiera que sea el conjunto M: El conjunto de certeza de la segunda roosición es el conjunto vacío, que odemos denir del siguiente modo. Denición El conjunto vacío, que se reresenta or ;; es fx 2 M : x 6= xg y ningún elemento de M ertenece al conjunto vacío. De esta denición resulta que, indeendientemente del conjunto M de la denición, el conjunto vacío ; es subconjunto de un conjunto C cualquiera. Si ; C fuese falso, existiría algún elemento de ; no contenido en C; lo que es absurdo, ues ; no contiene elementos. Por otra arte, es evidente que el conjunto fx 2 M : x = xg coincide con el conjunto M: La disyunción y la conjunción denidas ara dos roosiciones, se generalizan fácilmente ara un número nito de roosiciones en virtud de las roiedades asociativas y así se tiene que 1 ^ 2 ^ ^ n será una roosición que sólo será verdadera si todas las roosiciones comonentes son verdaderas. De forma análoga, 1 _ 2 n será una roosición que sólo es verdadera si or lo menos una de las roosiciones lo es Cuanticadores Una función roosicional (x); se uede interretar como un mecanismo generador de roosiciones, al dar a x valores de un conjunto M: Por tanto, al considerar la totalidad de estas roosiciones, odemos buscar una generalización de la disyunción y de la conjunción, en estos conjuntos de roosiciones, que en general no será nitos. El roblema que se lantea es análogo al de extender la denición y roiedades de las sumas nitas a las series ilimitadas. Una roosición análoga a la disyunción del caso nito, es aquella que sólo es verdadera cuando lo sean todas las roosiciones obtenidas de (x); al sustituir x or todos los elementos del conjunto M: Para esta roosición se acostumbra a utilizar la notación 8x : (x) que se lee ara todo x; (x)"; sobreentendiendo que x 2 M:

14 Tema 1.14 Profesores Una roosición análoga a la conjunción del caso nito, es aquella que sólo es verdadera cuando lo sea al menos una de las roosiciones obtenidas de (x); al sustituir x or todos los elementos de M: Utilizaremos la notación 9x : (x) que se lee existe un x; tal que (x)": Denición Para cada x"; o simbólicamente 8x; es un término que anteuesto a una función roosicional (x); origina la roosición ara todo x; (x)"; o simbólicamente 8x : (x); que sólo es verdadera cuando lo sean todas las roosiciones (x) con x 2 M: El símbolo 8 se denomina cuanticador universal. Denición Existe un x; tal que ; o simbólicamente 9x; es un término que anteuesto a una función roosicional (x); origina la roosición existe un x tal que (x)"; o simbólicamente 9x : (x); que sólo es verdadera cuando lo sea una al menos de las roosiciones (x) con x 2 M: El símbolo 9 se denomina cuanticador existencial. Con las roosiciones denidas or medio de los cuanticadores universal y existencial se uede oerar, construyendo nuevas roosiciones con los términos de enlace: ^; _; k; ) y,; obteniéndose los siguientes resultados: a) (8x : (x)) ^ (8x : q(x)), 8x : ((x) ^ q(x)) b) (8x : (x)) _ (8x : q(x)) ) 8x : ((x) _ q(x)) En esta segunda fórmula no uede sustituirse la imlicación or la equivalencia, como muestra el siguiente ejemlo: Sea M el conjunto de los números reales y las funciones roosicionales (x) y q(x) resectivamente x 0 y x 0: Es evidente que (x) _ q(x) es cierta ara todo x 2 M; or lo que el segundo miembro de la fórmula es una roosición verdadera, ero las dos roosiciones 8x : (x) y 8x : q(x); que comonen el rimer miembros son falsas. Para el cuanticador existencial se obtienen fórmulas análogas: c) (9x : (x)) _ (9x : q(x)), 9x : ((x) _ q(x)) d) (9x : (x)) ^ (9x : q(x)) ( 9x : ((x) ^ q(x)) Las leyes de De Morgan también ueden generalizarse en las siguientes fórmulas de negación de funciones roosicionales cuanticadas: e) k(8x : (x)), 9x : (k(x)) f) k(9x : (x)), 8x : (k(x)) Como se observa, de una fórmula se uede asar a la otra sin más que cambiar la roosición (x) or su contraria y cambiando igualmente a contraria la roosición obtenida. La leyes de De Morgan ueden enuncianse también en la forma: Si es falso que ara todo x sea cierta (x), entonces existe al menos un x ara el cual es falsa (x), y recírocamente. Al igual que en el caso nito, estas fórmulas ermiten denir el cuanticador universal or medio del existencial y la negación, y el cuanticador existencial or medio del universal y la negación. Sin más que alicar las fórmulas e) y f), obtenemos 8x : (x), k(9x : (k(x))); 9x : (x), k(8x : (k(x))):

15 Tema 1.15 La demostración de todas estas fórmulas en que intervienen cuanticadores es sencilla, ya que se trata simlemente de comrobar la equivalencia lógica de las roosiciones que intervienen en ambos miembros. Demostremos a) como ejemlo. Si 8x : (x) es falsa, en virtud de la denición, existe un x = a 2 M; ara el cual (a) es falsa. Entonces también es falsa (a) ^ q(a); luego 8x; (a) ^ q(a) es falsa. El mismo razonamiento es válido si 8x : q(x) es falsa. Por otra arte, si 8x : (x) y 8x : q(x) son verdaderas, ara todo x : (x) ^ q(x) es verdadera, luego lo mismo ocurre con 8x : (x) ^ q(x): 2.3. Funciones roosicionales de varias variables Si tenemos denida una función roosicional en un conjunto que es roducto cartesiano de dos conjutos, M = A B; la función roosicional se denomina función roosicional de dos variables y se designa como (x; y); donde x se uede sustituir or elementos de A e y or elementos de B: En general: Denición Una función roosicional (x) denida en un conjunto M que sea roducto de n conjuntos, M = A 1 A 2 A n ; se denomina función roosicional de n variables. Como la variable x toma valores en el conjunto M; cuyos elementos son n-las, se uede escribir x = (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); donde x i toma valores en A i : Por tanto la función roosicional de n variables se uede escribir en la forma (x 1 ; x 2 ; :::; x n ): Si en una función roosicional de dos variables (x; y) se sustituye una de ellas or un valor, se obtienen funciones roosicionales de una sola variable, a las cuales les son alicables los resultados obtenidos ara las mismas. Dada una función roosicional de dos variables (x; y); se ja un elemento x = a 2 A; y se obtiene la función roosicional (a; y) cuya variable y toma valores en B: Por medio de los cuanticadores existencial y universal se obtienen las roosiciones 9y : (a; y) y 8y : (a; y): Al variar a en el conjunto A las roosiciones anteriores se convierten en funciones roosicionales de una sola variable x; es decir 9y : (x; y) y 8y : (x; y); y or medio de los cuanticadores existencial y universal se obtienen las cuatro roosiciones siguientes 9x(9y : (x; y)); 8x(9y : (x; y)); 9x(8y : (x; y)); 8x(8y : (x; y)); que suelen escribirse sin el aréntesis que seara los cuanticadores. Si invertimos el orden de las variables se obtienen otras cuatro roosiciones. La rimera de las cuatro roosiciones anteriores se uede exresar con un solo cuanticador existencial resecto de la variable (x; y) 2 A B; ya que son equivalentes 9x; 9y : (x; y), 9(x; y) : (x; y) y de forma análoga la cuarta de las roosiciones: 8x; 8y : (x; y), 8(x; y) : (x; y): Esto mismo no uede hacerse con las otras dos roosiciones, ya que al cambiar el orden de los cuanticadores uede cambiar el valor lógico de una roosición, si bien se verica la siguiente regla: 9x; 8y : (x; y) ) 8y; 9x : (x; y): En efecto, si la roosición del rimer miembro es verdadera, también lo es la del segundo. Si 9x; 8y : (x; y) es verdadera, existe un a 2 A tal que ara todo y es (a; y) verdadera. En consecuencia, ara cada

16 Tema 1.16 Profesores y existe un x; que siemre es el mismo x = a; tal que (x; y) es verdadera, es decir que 8y; 9x : (x; y) es verdadera. La roosición 8y; 9x : (x; y) será verdadera, cuando ara cada y exista un x; que en general cambiará al variar y; tal que (x; y) sea verdadera. Si 9x; 8y : (x; y) es verdadera ara cada y existe un x; que no cambia al variar y; tal que (x; y) es verdadera. Esta condición es mucho más fuerte que la rimera. En conclusión, hemos visto que a artir de una función roosicional de dos variables se obtienen funciones roosicionales de una sola alicando un cuanticador, bien sea existencial o universal, y que alicando dos cuanticadores se obtienen roosiciones simles. Este método general se uede alicar a las funciones roosicionales de varias variables, enunciando que al alicar un cuanticador a una función roosicional de n variables se obtiene una función roosicional de n 1 variables. En la alicación de varios cuanticadores a una función roosicional hay que tener en cuenta las reglas que hemos visto: 1) Cuanticadores existenciales seguidos ueden ermutarse sin que la función roosicional tenga variación lógica. Lo mismo si se ermutan cuanticadores universales. 2) Si se ermuta un cuanticador existencial con otro universal situado desués, la función roosicional que se obtiene es consecuencia lógica de la anterior. 3. Razonamiento matemático 3.1. Teoría matemática Cada teoría suele llevar un esquema arecido: 1 o. Unas deniciones iniciales en las que se da categoría de existencia a los elementos u objetos matemáticos que se utilizarán en la teoría; estos objetos reciben el nombre de términos rimitivos. Por ejemlo, son términos rimitivos en la teoría geométrica las nociones de unto, recta, lano. 2 o. Unos rinciios básicos o axiomas que rigen estos elementos. Notemos que los axiomas se admiten sin demostración; a riori se consideran como verdaderos. Son, en cierto modo, las reglas que exresan el modo verdadero de relacionarse los términos rimitivos. También reciben el nombre de ostulados. De todos son conocidos, or ejemlo, los ostulados de Euclides, que rigen la geometría clásica. Los ostulados han de ser comatibles, es decir, no contradictorios; indeendientes entre sí, es decir, que no se deriven unos de otros, y sucientes en número. 3 o. Una serie de resultados osteriores, obtenidos a través de los teoremas; esto es, deducidos de los axiomas y de las deniciones. Este roceso recibe el nombre de demostración o deducción. A artir de estos teoremas ueden deducirse otros, obteniéndose, or n, las consecuencias o corolarios que comletan la teoría matemática Verdad y validez En lo que llevamos dicho en los aartados anteriores de este tema hemos estudiado las roosiciones lógicas, su verdad o falsedad. Pero alguien habrá odido quedar sorrendido de algunas armaciones; or ejemlo, de haber leído que

17 Tema 1.17 (3 + 6 = 2) ) (2 + 7 = 11) es una imlicación verdadera. Ciertamente lo es. Pero asos como este no aarecen en la demostración de ningún teorema. Es decir, hemos de distinguir lo que es verdadero y lo que es válido en razonamiento matemático. En lo que sigue vamos a examinar las condiciones de validez de los asos que se dan cuando se trata de desarrollar una teoría matemática Razonamiento lógico El razonamiento lógico, de manera análoga a la teoría matemática, consta de términos rimitivos (las roosiciones lógicas y los términos de enlace entre las mismas), axiomas o rinciios lógicos y reglas de inferencia lógica (que exlicitaremos a continuación). Su estudio está sobradamente justicado, ya que el razonamiento lógico es revio y subyace al razonamiento matemático. Veamos los axiomas y las reglas de inferencia usados en la lógica: a) Axiomas o rinciios lógicos Princiio de identidad Todo objeto de una teoría, cualquiera que sea su naturaleza, es igual a sí mismo. Princiio de exclusión Toda roosición relativa a un objeto es verdadera o es falsa; se excluye una tercera osibilidad. Princiio de contradicción Toda roosición relativa a un objeto no uede ser simultáneamente verdadera y falsa. b) Reglas de inferencia lógica Uno de los objetos rinciales de la lógica es deducir conclusiones a artir de un conjunto de roosiciones conocidas, llamadas remisas. Este rocedimiento de deducción recibe el nombre de inferencia lógica. Una inferencia lógica es válida cuando el aso de las remisas a la conclusión satisface alguna de las reglas de inferencia que a continuación veremos. Si las remisas son verdaderas, la conclusión que se sigue mediante una inferencia válida, es verdadera. Es decir, que no se uede deducir una conclusión falsa de unas remisas verdaderas mediante un razonamiento válido. Las reglas de inferencia lógica son: 1 a Regla de Modus onens

18 Tema 1.18 Profesores Suongamos que nos dan estas dos roosiciones como remisas: 1 a. Si hoy es jueves, mañana es viernes. 2 a. Hoy es jueves. Si sabemos que son ciertas estas dos remisas, la solución es clara: mañana es viernes. Podemos esquematizar el roceso de la siguiente forma: Sea : hoy es jueves. Sea q: mañana es viernes. Tenemos: ) q Notaremos que ha de saberse que la rimera remisa ) q; es verdadera. Esto es, que en el universo o sistema al que hacen referencia estas dos roosiciones y q; la imlicación esté asegurada or reglas roias de aquel universo o sistema. Análogamente, ha de conocerse la certeza de la roosición en su sistema de referencia. Sólo entonces uede asegurarse que la conclusión q es verdadera. 2 a Regla: Regla del silogismo Esquemáticamente, esta regla viene dada así: ) q q ) r ) r Como en la 1 a Regla, también aquí ha de conocerse la verdad de las dos imlicaciones que actúan como remisas. La conclusión es simlemente condicional. Aquí radica la diferencia con la 1 a Regla; en esta segunda, nada se dice sobre la verdad de : En el momento que aseguramos que es verdadera, or la 1 a Regla odremos deducir que r lo es también. 3 a Regla: Ley de las equivalencias lógicas Esta regla nos asegura que ara demostrar una roosición basta demostrar otra roosición equivalente a la dada. Admite diversas formas: a) Regla de la doble negación Como ya hemos visto,, kk: Por lo tanto, ara demostrar ; basta demostrar kk; y recírocamente. Esquemáticamente: kk kk

19 Tema 1.19 b) Leyes conmutativas Esquemáticamente: c) Leyes de De Morgan: ( ^ q), (q ^ ); ( _ q), (q _ ) ^ q q ^ _ q q _ k( ^ q), [(k) _ (kq)]; k( _ q), [(k) ^ (kq)] Esquemáticamente: k( ^ q) k( _ q) (k) _ (kq) (k) ^ (kq) d) Ley del contrarrecíroco: ( ) q), (kq ) k) Esquemáticamente: ) q kq ) kq kq ) k ) q e) Ley de las roosiciones bicondicionales: (, q), [( ) q) ^ (q ) )] Esquemáticamente: ) q, q q ) q ( ) q) ^ (q ) ), r 4 a Regla: Reglas de la conjunción y de la disyunción De las deniciones de conjunción y disyunción de roosiciones se deducen inmediatamente las siguientes reglas: a) Regla de la disyunción: b) Regla de simlicación conjuntiva: _ q k q ^ q c) Regla de la adjunción: q ^ q d) Regla de la simlicación disyuntiva: e) Regla de la adición: 5 a Regla: Regla de las remisas _ q _ q _ q kq ^ q q q ^ q q _ q Esta regla viene a decirnos que una remisa uede introducirse en cualquier momento de la demostración.

20 Tema 1.20 Profesores 3.4. Métodos matemáticos de demostración Como hemos visto, ara establecer una teoría matemática se arte de términos rimitivos y de axiomas; todo resultado osterior tiene categoría de teorema y necesita demostración. Una demostración es un caso articular de inferencia lógica. En la ráctica, el enunciado de un teorema consta de unas hiótesis, o roosiciones conocidas, y de una tesis o resultado que hay que deducir de las rimeras. Cada aso de la demostración ha de ser avalado or alguna de las reglas de inferencia lógica. En un conjunto, las reglas que nos ermiten asar de las hiótesis a las tesis constituyen los métodos de demostración. Los más emleados en el desarrollo de una teoría matemática son los siguientes: Demostración or imlicación directa Este método es el equivalente matemático de la regla lógica del modus onens. Sea la hiótesis de una roosición que suonemos verdadera, y sea la tesis una roosición q: Si a artir del conjunto de deniciones, axiomas y resultados revios uede asegurarse la certeza de la imlicación ) q; odemos armar que la tesis q es verdadera. Esquemáticamente, odemos reresentar así este método: ) q q Demostración or cadena de imlicaciones Este método es el equivalente matemático a la ley del silogismo. Sea la hiótesis de una roosición q; que suonemos verdadera, y sea la tesis una roosición r: A artir de la hiótesis hemos de construir las remisas que intervienen en la ley del silogismo. Recordemos que estas remisas tienen forma de imlicación: ) q; q ) r: Es fundamental conseguir la certeza de la roosición intermedia q; ara ello hemos de alicar el rimer método. Conseguida esta certeza y volviendo a alicar este rimer método, obtendremos la certeza de la tesis r: Esquemáticamente, uede reresentarse así: ) q q O de forma resumida q ) r r ) q q ) r r Este método admite una generalización, es decir, la osibilidad de más roosiciones intermedias. Demostración or reducción al absurdo Este método se aoya en la ley del contrarrecíroco.

21 Tema 1.21 Suongamos que queremos demostrar una tesis q a artir de una hiótesis ; es decir ) q: En virtud de la ley del contrarrecíroco, nos bastará demostrar que (kq) ) (k): Dicho de otra forma, la demostración or reducción al absurdo funciona así: Sea una hiótesis verdadera. Suongamos or un momento que la tesis q es falsa; es decir, que (kq) es verdadera. Entonces, a artir de (kq) se llega a comrobar que (o un resultado verdadero de la teoría) es falsa. De una tal contradicción o absurdo ( es a la vez verdadera y falsa) se deduce la falsedad de (kq); es decir, la certeza de q: Demostración mediante un contraejemlo En algunos casos se trata de comrobar que determinada imlicación, or ejemlo que ) q es falsa. Para ello hay que dar un contraejemlo, es decir, un ejemlo en el cual y (kq) sean simultáneamente verdaderos. Demostración or doble imlicación Se utiliza este método cuando se trata de demostrar la equivalencia entre dos roosiciones y q; es decir, q: Para ello es reciso demostrar cada una de las imlicaciones: ) q y q ) : Este método es el equivalente matemático de la ley de las roosiciones bicondicionales. Demostración or doble contenido Viene a ser un caso articular del método anterior. Se utiliza esta demostración cuando se trata de demostrar la igualdad de dos conjuntos, ya que en la teoría de conjuntos la igualdad se corresonde con la equivalencia lógica y el contenido con la imlicación lógica: (A = B), (A B y B A): 4. Alicación en otros camos del conocimiento En los negocios En 1936 el matemático Edmund C. Berkeley, que entonces trabajaba en la comañía de seguros Prudential Life Insurance Comany, alicó la lógica simbólica al roblema de la ordenación de agos de las ólizas de seguros: Muchos asegurados edían cambiar la fecha del ago de su óliza y había que tener en cuenta muchos factores de modo que las reglas de la comañía arecían cubrir todos los casos. Berkeley sosechó que las reglas no cubrían todos los casos y que algunas veces las reglas entraban en conicto y decidió traducir las cláusulas, combinaciones y acciones osibles a la lógica simbólica y mediante un análisis algebraico udo demostrar la existencia de reglas contradictorias que, analizando los archivos, comrobó que existían en la realidad. En la redacción de documentos La lógica matemática se ha utilizado en el análisis de las cláusulas de guerra y en las condiciones de emleo en contratos colectivos. En los contratos entre grandes cororaciones, la lógica matemática ha resultado muy útil ara analizarlos, ya que ueden ser muy comlicados y contener lagunas e incongruencias entre una maraña de síes, noes, íes, oes y eros. Un análisis bajo el unto de vista

22 Tema 1.22 Profesores de la lógica matemática uede aclarar esas cuestiones comlicadas ara los abogados. En el rigor en los censos La lógica se usa en el control de la exactitid de los censos y estadísticas. Si un encuestador informa que ha entrevistado 30 ersonas de las cuales 10 eran hombres y 12 eran mujeres, es evidente que las cuentas no salen, ero como las muestras son mucho mayores y se estudian muchas variables con muchas osibilidades, no es fácil detectar los errores. El uso de la lógica uede dar la resuesta adecuada. En la Biología En la universidad de Illinois, los rofesores Walter Pitts y Warren McCulloch fueron los rimeros en utilizar la lógica simbólica ara analizar las relaciones entre los 10 billones de células nerviosas del cerebro humano. En la Ingeniería La lógica simbólica se utiliza ara el análisis de los circuitos que se corresonden con el cálculo algebraico de álgebra de Boole. Con el uso generalizado del teléfono, de la televisión y de los ordenadores, se hizo necesario el estudio de las roiedades matemáticas de los circuitos con interrutores mecánicos, eléctricos o electromecánicos. En el diseño de las rimeras grandes máquinas de calcular, como Eniac que contenía aroximadamente válvulas y conexiones, uno de los roblemas más imortantes era reducir el número de válvulas. En la construcción del Mark III, ordenador totalmente electrónico, los ingenieros ensaron que necesitarían un circuito de 9 válvulas como mínimo, ero el uso de la lógica simbólica les demostró que 6 válvulas eran sucientes. En la Filosofía Los lógicos modernos han encontrado fallos en el sistema lógico de Aristóteles. De entre los 19 silogismos establecidos or Aristóteles y sus continuadores medievales, cuatro de ellos son rechazados hoy en día y el resto ueden reducirse a 5 teoremas. Actualmente, con el uso generalizado de los ordenadores, de los teléfonos móviles, de los localizadores vía satélite y de nuevos aaratos con los que nos sorrende cada año la industria electrónica, nadie duda ya de la utilidad de la lógica matemática que, de un modo u otro, está dentro de todos estos aaratos, en su diseño, en su fabricación y en su uso. Sin la lógica simbólica nada de lo que tenemos hoy sería igual. De todos modos la lógica simbólica no construirá nunca una máquina caaz de hacer al hombre todo el trabajo de su ensamiento, ero sí uede ayudar al ensamiento cientíco a liberarle de la tiranía de las alabras. 5. Evolución histórica La lógica formal comenzó con los silogismos de Aristóteles, de los cuales el más conocido es Todos los héroes son hombres, todos los hombres son mortales, luego todos los héroes son mortales. El lósofo griego rouso 14 silogismos de este tio y creyó que consitituían la mayor arte de las oeraciones del razonamiento. Los teólogos medievales añadieron cinco silogismos más y durante cientos de años esos 19 silogismos han sido el fundamento de la enseñanza de la lógica. A mediados del siglo XIX el álgebra invade un camo ajeno a las matemáticas: la lógica. En esa éoca los desarrollos de la lógica y de la matemática mostraban una diferencia rofunda. Mientras que en lógica las leyes del silogismo aristotélico se mantenían sin mayores adiciones o erfeccionamientos, el razonamiento matemático, indeendizándose cada vez más de aquellas leyes, seguía rogresando y roduciendo nuevos brotes. Hacia el siglo XVII comenzó a advertirse cierta analogía entre la reducción algebraica y las reglas silogísticas, en vista de que tanto en un caso como en el otro las letras vacías del álgebra odían llenarse con entes cualesquiera, odían también funcionar con roosiciones.

23 Tema 1.23 Leibniz abordó una rimera exresión de estas ideas, ya que desde su juventud, en os de un alfabeto de los ensamientos humanos y de un idioma universal, se rouso construir una caracterización universal, es decir un lenguaje simbólico caaz de exresar sin ambigüedad todos los ensamientos humanos, de forma que al surgir una controversia entre dos lósofos, éstos la zanjarían a la manera de los calculistas. Bastaría, en efecto, sentarse ante los ábacos, luma en mano, y como buenos amigos decirse: calculemos. Estas ideas fueron recursoras de muchos concetos actuales, ero aenas tuvieron inuencia, de ahí el estancamiento que hubo en este sentido en el siglo XVIII y comienzos del XIX, ya que revalecieron las ideas de Kant, ara quien no era necesaria ninguna nueva invención en la lógica. En la rimera mitad del siglo XIX las cosas cambiaron gracias a matemáticos ingleses, or una arte el gruo de los fundadores de la Analytical Society: Babbage, Peacock y Herschel, que destacaron el carácter lógico de los fundamentos de la matemática, y or otra Augustus de Morgan, matemático original según el cual los dos ojos de las ciencias exactas son la lógica y la matemática, que introdujo en 1838 la exresión inducción matemática con el sentido exacto que tiene hoy y ublicó una ingeniosa Colección de aradojas, obra óstuma aarecida en Posiblemente esos autores inuyeron en George Boole, quien se ocuó del tema desde 1847 y ublicó en 1854 su obra The Laws of Thought (Las leyes del ensamiento), que lo convirtió en el justo fundador de la lógica simbólica. Según Boole el objeto del libro era investigar las leyes fundamentales de las oeraciones de la mente, en virtud de las cuales se razona; exresarlas en el leguaje de un cálculo y sobre tal fundamento establecer la ciencia de la lógica y construir su método; hacer de ese método la base de un método general ara la alicación de la teoría matemática de las robabilidades y, nalmente, recoger de los diversos elementos de verdad que surgen en el curso de esta investigación algunas informaciones robables referentes a la naturaleza y constitución de la mente humana... Como se advierte en el árrafo anterior, hay cierta heterogeneidad en la nalidad y el contenido del libro de Boole, ero su contribución al desarrollo de la lógica matemática fue ermanente y de tal imortancia que hizo decir a Bertrand Russell que la matemática ura fue descubierta or Boole. Aunque en esta frase ueda verse el matiz artidario del logicista Russell, es indudable que el libro de Boole abrió nuevos horizontes a la investigación lógica. Desués de Boole la lógica avanzó en dos direcciones diferentes: or un lado hacia una estructura más rigurosa de la lógica misma, dirección que culmina en la monumental obra de Ernst D. Schröder sobre álgebra de la lógica, en cuatro volúmenes aarecidos entre 1890 y 1905 y, or el otro, hacia una vinculación cada vez más estrecha entre la matemática y la lógica, ara confundirse ambas y culminar en las actuales álgebras de Boole. La construcción de formalismos lógicos, en vista de su alicación a los fundamentos de la matemática, se inicia en forma indeendiente or Charles S. Peirce en Estados Unidos y or Friedrich G. Frege en Alemania. Peirce fue un lósofo, que se cuenta entre los fundadores del ragmatismo norteamericano y un matemático que se ocuó de lógica matemática, erfeccionando la lógica de Boole e introduciendo nuevos concetos, como los de valores y tablas de verdad. Por su arte Frege, en los trabajos que ublicó desde 1879 hasta comienzos del siglo XX, exuso en forma recisa y minuciosa concetos cuya imortancia, tanto en lógica como en matemática, se ondrían de maniesto más tarde, ero que en su tiemo, or el comlicado simbolismo emleado, no ejercieron gran inuencia y sólo se difundieron en el siglo XX or obra de

24 Tema 1.24 Profesores Russell rincialmente. De forma aralela aareció la contribución de los logísticos italianos encabezados or Giusee Peano, que cristalizó en los formularios matemáticos, aarecidos a nes de siglo XIX, en los que se roueso exoner, en un lenguaje uramente simbólico, no sólo la lógica matemática sino también los resultados más imortantes de diversas ramas matemáticas. Los trabajos de Peano y de sus colaboradores fueron criticados en su comienzo or el exceso de retensiones de la doctrina y or el emleo exclusivo de símbolos inusuales, ero el resultado nal fue favorable, ya que un gran número de los símbolos de Peano, como los de ertenencia, unión, intersección, se conservan actualmente. Ese trabajo contribuyó además a fortalecer las ideas que onían cada vez más claras las conexiones entre la lógica y las matemáticas. Esa corriente llevó a que Russell ublicara, en colaboración con Alfred North Whitehead, matemático de mentalidad losóca, entre 1910 y 1913, los Princiia mathematica, obra de síntesis en la que se combinan armoniosamente los resultados de Frege y de Peano o, como dice Bourbaki, la recisión de Frege con la comodidad de Peano. Esta obra reresenta, a comienzos del siglo XX, el trabajo más acabado de la lógica matemática, o dicho de otro modo, de acuerdo a su losofía, de la matemática como lógica. Los rogresos de la lógica matemática en el siglo XX están relacionadoscon el roblema de los fundamentos de la matemática. Pensemos en la aarición de las lógicas lurivalentes, que se inicia con las lógicas trivalentes, introducidas or Luitzen E. J. Brouwer en conexión con sus ideas intuicionistas, y culmina con el conceto de valor continuo de la verdad, valor intermedio entre el 1 que exresa la verdad y el 0 que exresa falsedad que recibe el nombre de robabilidad, conceto introducido en 1932 or Hans Reichenbach como base ara una teoría matemática de las robabilidades.

25 Tema 1.25 RESUMEN 1. Lógica roosicional 1.1. Proosiciones Denición de roosición. Proosición atómica. Proosición molecular. Conjunción de roosiciones: ^ q Disyunción de roosiciones: _ q Imlicación: ) q Imlicación recíroca q ) ; contraria k ) kq y contrarrecíroca kq ) k Equivalencia, q 1.2. Negación de roosiciones Dención Negación de una conjunción k( ^ q), [(k) _ (kq)] Negación de una disyunción k( _ q), [(k) ^ (kq)] Negación de una imlicación k( ) q), [ ^ (kq)] Negación de una equivalencia k(, q), [(k), q]; k(, q), [, (kq)] Doble negación k(k), 1.3. Tablas de verdad Tablas de la conjunción, disyunción, imlicación. equivalencia y negación. Tablas de negación. Otras tablas de equivalencia 1.4. Tautología y contradicción Denición de tautología. Denición de contradicción o absurdo. Proiedades Álgebra de Boole de las roosiciones Idemotentes: _ q, ; ^ q, Conmutativas: _ q, q _ ; ^ q, q ^ Asociativas: _ (q _ r), ( _ q) _ r; ^ (q ^ r), ( ^ q) ^ r Absorción, simlicativas o cancelativas: ^ ( _ q), ; _ ( ^ q), Distributivivas: _ (q ^ r), ( _ q) ^ ( _ r); ^ (q _ r), ( ^ q) _ ( ^ r)

26 Tema 1.26 Profesores Elemento ínmo F : ^ F, F; _ F, Elemento universal f : _ f, f; ^ f, Leyes de De Morgan: k( _ q), (k) ^ (kq); k( ^ q), (k) _ (kq) 2. Cuanticadores 2.1. Funciones roosicionales Es una exresión que se convierte en roosición al sustituir x or un elemento cualquiera de M: Si M es un conjunto y (x) una función roosicional, existe un único conjunto, cuyos elementos son todos los elementos x 2 M ara los cuales (x) es cierta. (Axioma de esecicación). El conjunto vacío es ; = fx 2 M : x 6= xg: 2.2. Cuanticadores Cuanticador universal 8x : (x) Cuanticador existencial 9x : (x) 2.3. Funciones roosicionales de varias variables Una función roosicional (x) denida en un conjunto M que sea roducto de n conjuntos, M = A 1 A 2 A n ; se denomina función roosicional de n variables. 3. Razonamiento matemático 3.1. Teoría matemática Cada teoría suele llevar un esquema arecido: 1. Unas deniciones iniciales. 2. Unos rinciios básicos o axiomas. 3. Una serie de resultados osteriores: teoremas Verdad y validez Hemos estudiado las roosiciones lógicas, su verdad o falsedad. Hemos de distinguir lo que es verdadero de lo que es válido en el razonamiento matemático Razonamiento lógico El razonamiento lógico consta de términos rimitivos, axiomas y reglas de inferencia. Los axiomas o rinciios lógicos usados son: Princiio de identidad, rinciio de exclusión y rinciio de contradicción. Las reglas de inferencia son:

27 Tema a : Regla de Modus onens 2 a : Regla del silogismo 3 a : Ley de equivalencias lógicas, que admite diversas formas. 4 a : Reglas de la conjunción y de la disyunción 5 a : Regla de las remisas 3.4. Métodos matemáticos de demostración - Demostración or imlicación directa - Demostración or cadena de imlicaciones - Demostración or reducción al absurdo - Demostración mediante un contraejemlo - Demostración or doble imlicación - Demostración or doble contenido 4. Alicación en otros camos del conocimiento - En los negocios: Berkeley en seguros. - En la redacción de documentos: cláusulas de guerra y contratos colectivos. - En el rigor de los censos: ara detectar errores. - En la Biología: relaciones entre neuronas del cerebro. - En la Ingeniería: análisis de circuitos y rimeros grandes ordenadores. - En Filosofía: cuatro silogismos falsos. - Actualmente: la lógica está dentro de todos los aaratos, su diseño y su uso. 5. Evolución histórica - Aristóles rouso 14 silogismos y los teólogos medievales anadieron cinco más. - A mediados del s. XVII se advirtió analogía entre: la reducción algebraica y las reglas del silogismo. - Leibniz buscó un alfabeto de los ensamientos y un idioma universal con un lenguaje simbólico. - Estas ideas fueron recursoras de muchos concetos actuales. - En la rimera mitad del s. XIX la lógica fundamentó las matemáticas, lo hicieron los fundadores de la Analitical Society y Augustus de Morgan. - Estos autores inuyeron en George Boole que ublicó The Laws of Thought. - Desués de Boole la lógica avanzó en dos direcciones diferentes: or un lado hacia una estructura más rigurosa y or otro a la vinculación de matemáticas y lógica. - La construcción de formalismos lógicos se inicia or Peirce y Frege. - De forma aralela contribuyen los logísticos italianos encabezados or Peano. - Russell y Whitehead ublicaron los Princiia mathematica, obra de síntesis que combina los resultados de Frege y Peano. - En el s. XX aarecen las lógicas lurivalentes y el conceto de valor continuo de la verdad.