JUEGOS ESTÁTICOS T. 4 VARIABLE CONTINUA Y APLICACIONES ECONÓMICAS. Universidad Carlos III de Madrid

Transcripción

1 JUEGOS ESTÁTICOS T. 4 VARIABLE CONTINUA Y APLICACIONES ECONÓMICAS Universidad Carlos III de Madrid

2 VARIABLE CONTINUA n En muchos juegos las estrategias uras que ueden elegir los jugadores no son, 3 o cualquier otro número finito, sino que hay infinitas osibilidades q Pensemos en dos oligoolistas que deben decidir qué cantidad de roducto saca al mercado. El esacio de estrategias es el intervalo [0,q i ] donde q i es la caacidad de roducción máxima ara la Emresa i. q Una estrategia mixta es otro ejemlo de variable continua n Resolveremos estos juegos encontrando la función de mejor resuesta o función de reacción que nos indica qué acción escogerá un jugador ( su mejor resuesta ) ara cada una de las osibles acciones de sus rivales.

3 Calculo de la función mejor resuesta n Dos casos: q Función de agos diferenciable (ej. roblemas de cometencia en cantidades, contribuciones voluntarias a un bien úblico) q La función de Mejor resuesta surge de la condición de rimer orden del rograma de maximización (si la función es cóncava) q Habrá que tener en cuenta las condiciones de orden suerior ara otros tios de funciones q Función de agos lineal o no diferenciable (ej. roblemas de rearto, cometencia en recios)

4 VARIABLE CONTINUA n La mayoría de las alicaciones económicas de juegos estáticos se caracterizan or tener un esacio de estrategias continuo n Estudiaremos las siguientes: q Cometencia en recios y cantidades q Contribuciones a un bien úblico

5 Cometencia en Cantidades Cournot Cometencia simultánea en cantidades Producto homogéneo Existe un recio que vacía el mercado Demanda directa: Q = D() ; D () < 0 Demanda inversa: P = (Q) Costes: C (q ),...,C n (q n ) Objetivo: max π i = max (Q) q i C i (q i ) q i >0

6 El duoolio de Cournot n Un bien es roducido or dos emresas: y. Las cantidades que roducen son q y q, resectivamente. Cada emresa elige su cantidad sin conocer la cantidad del rival. n El recio de mercado es P(Q)=a-Q, donde a es una constante y Q=q +q. n El coste ara la emresa i de roducir q i es C i (q i )=c i q i.

7 El juego con costes idénticos La forma Normal de este juego es: Ø Jugadores : {Emresa, Emresa } Ø Estrategias: S =[0, + ), S =[0, + ) Ø Pagos: u (q, q )=q (a-(q +q )-c) u (q, q )=q (a-(q +q )-c)

8 El Equilibrio n Un equilibrio de Nash q Un ar de cantidades (q *, q *) tales que q * es la mejor reuesta de la Emresa a la cantidad q * y q * es la mejor reuesta de la Emresa a la cantidad q * Ø Esto es, q * soluciona Max u (q, q *)=q (a-(q +q *)-c) sujeto a 0 q + q * soluciona Max u (q *, q )=q (a-(q *+q )-c) sujeto a 0 q +

9 Resolución Como encontrar el EN? Ø Mejor resuesta de la Emresa Max u (q *, q ) = q (a-(q +q )-c) sujeto a 0 q + CPO: a - q q c = 0 q = max{0,(a q c)/} Ø Mejor resuesta de la Emresa q = max{0,(a q c)/} FUNCIÓN DE MEJOR RESPUESTA de la Emresa

10 Resolución Suondremos que q i * a-c, y comrobaremos si se cumle esta hiótesis Ø El ar (q *, q *) es un EN si q * = (a q * c)/ q * = (a q * c)/ Ø Resolviendo estas dos ecuaciones nos da q * = q * = (a c)/3 < a-c

11 Resolución n Usando las funciones de mejor resuesta: Ø La función de MR de la Emresa MR (q ) = (a q c)/ si q < a c; 0, en otro caso Ø La función de MR de la Emresa MR (q ) = (a q c)/ si q < a c; 0, en otro caso a c q Equilibrio De Nash (a c)/ (a c)/ a c q

12 El Duoolio de Cournot. Costes asimétricos Demanda Lineal: =a-q, siendo Q = q + q Coste marginal constante: c i < a, i=, q Max (a-q i -q j -c i ) q i CPO : Función de mejor resuesta ara la emresa i, i=, R R MR i (q j ) = q i = max{0,(a-q j -c i )/} q Nótese que R i decrece con q j : SUSTITUTOS ESTRATÉGICOS.

13 Si resolvemos estas dos ecuaciones ara q y q, de nuevo suoniendo que ambas cantidades son no negativas, obtenemos q* i = (a- c i + c j )/3 La roducción de la emresa i disminuye con sus roios costes y aumenta con los de su rival. El efecto de sus roios costes es mayor que el de los costes de su rival. Las emresas más eficientes tienen mayores cuotas de mercado, ero aún así se roducen ineficiencias.

14 Imlicaciones Generales del Modelo de Cournot. Precio or encima del Coste Marginal Incentivos a reducir roducción si las cometidoras roducen a CMg. Precio inferior al Precio de Monoolio Incentivos a aumentar roducción si las otras emresas roducen la cantidad de monoolio 3. Si el número de emresas aumenta, el recio se reduce El recio tiende al coste marginal cuando el número de emresa tiende a infinito

15 Cometencia en recios. Modelo de Bertrand Suuestos del Modelo. Bien homogéneo. Cometencia simultánea en recios 3. Los consumidores comran al recio menor 4. No hay restricciones de caacidad, ambas emresas roducen cualquier cantidad a un coste marginal de c 0 si i > j q i = D( i )/ si i = j D( i ) si i < j

16 La Función de Demanda de la Emresa i dado P j Nótese que es DISCONTINUA i j D D( j )/ D( j ) q i

17 El juego de Bertrand La forma Normal Ø Jugadores: {Emresa, Emresa } Ø Estrategias: S =[0, + ), S =[0, + ) Ø Funciones de agos: > = < = > = < = if 0 if ) / )( ( if ) )( ( ), ( if 0 if ) / )( ( if ) )( ( ), ( a c a c u a c a c u

18 La función de reacción $ & ( ) = % & '& $ & ( ) = % & '& c ε monoolio c ε monoolio si c if monoolio > c if > monoolio si c if monoolio > c if > monoolio Nótese que si j c la mejor resuesta es cualquier recio suerior al del rival. Aquí estamos suoniendo que si una emresa está indiferente entre varios recios y uno de ellos es c, one =c.

19 Modelo de Bertrand () < c; π < 0 Subir el recio: π = 0 () = > c = - ε (3) > > c ; π = 0 = - ε; π > 0 (4) > = c ; π = π = 0 = - ε; π > 0 Único Equilibrio de Nash: = = c; π = π = 0 Cometencia erfecta con emresas!

20 La Paradoja de Bertrand n Paradoja de Bertrand: q Basta tener dos emresas en la industria ara obtener el resultado de cometencia erfecta n La aradoja de Bertrand surge orque la demanda y los beneficios son discontinuos: q Quien vende al menor recio se lleva toda la demanda n Cómo escaar a la Paradoja de Bertrand? q Producto diferenciado

21 Cometencia en recios con roducto diferenciado n Dos emresas roducen bienes diferenciados. Ambas eligen recios ara maximizar sus beneficios. n Sea el recio de la emresa y el recio de la emresa. Dados estos recios, la demanda de la emresa y de la emresa son, resectivamente, q = a - + b q = a - + b. n Ambas emresas tienen unos costes marginales de roducción iguales a c.

22 Calculamos las funciones de reacción n Emresa maximiza sus beneficios con resecto a su variable estratégica: su recio max ( c)(a + b ) c..o. : a + b + c = 0 MR ( ) = a + c + b n Procedemos de modo análogo ara la Emresa n El EN se calcula resolviendo las dos ecuaciones dadas or las funciones mejor resuesta teniendo en cuenta que los recios han de ser mayores que c n Obsérvese que si el recio de la emresa rival aumenta, la mejor resuesta es aumentar el recio roio: Los recios son comlementarios estratégicos.

23 Contribución voluntaria a un bien úblico n Dos consumidores: y han de decidir cuánto contribuir a un bien úblico, esto es c (la contribución del ) y c (la del ). El Consumidor tiene riqueza w y tiene riqueza w n La cantidad total de bien úblico será la suma de las contribuciones n Pagos: q u (c, c ) = (c + c )(w c ) q u (c, c ) = (c + c )(w c )

24 Cálculo del EN n Resolvamos los roblemas de maximización de los consumidores: Ø Max u (c, c ) = (c + c )(w c ) sujeto a 0 c w FOC: c = w c Ø De igual manera ara el Consumidor : FOC: c = w c

25 Cálculo del EN Las CPO constituyen las funciones de mejor resuesta de los consumidores Resolviendo el sistema encontramos c = w w 3 c = w w 3 Es fácil mostrar que la solución no es eficiente