7.- Considere un mercado con n empresas que producen un bien homogéneo. La función

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1 7.- Considere un mercado con n empresas que producen un bien homogéneo. La función inversa de demanda es p(x) = a bx y todas las empresas tienen el mismo coste marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c). (i) Suponga que n = 3 y las tres empresas eligen simultáneamente sus niveles de producción. Obtenga la función de mejor respuesta de la empresa i ante las producciones de las demás empresas, f i (x -i ). Calcule la producción de cada empresa en el equilibrio de Cournot-Nash, la producción de la industria, el precio de equilibrio y el beneficio de cada empresa. Resolución Igual que el apartado (i) en el ejercicio 6 de la colección de problemas pero con n = 3 y b =. (ii) Considere el siguiente juego en tres etapas: Etapa : la empresa elige su nivel de producción x 0. Etapa : la empresa elige su nivel de producción x 0, después de observar x. Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x 3 0, después de observar x e x. a) Obtener el equilibrio perfecto en subjuegos, las producciones de las empresas, el precio de mercado y los beneficios. Es un juego de información perfecta y sin empates. Para este tipo de juegos el criterio de inducción retroactiva propone como solución el único equilibrio perfecto en subjuegos.

2 Estrategias de los jugadores: ) x 0. Una estrategia de la empresa es un nivel de producción. Representamos su espacio de estrategias como x 0 o x [0, ). ) Una estrategia para la empresa es una función que asocia una acción (una producción) a cada nodo (cada producción de la empresa ) que le corresponde: x( x ). 3) Una estrategia para la empresa 3 es una función que asocia una acción (una producción) a cada nodo (cada par de producciones de las empresas y ) que le corresponde: x3( x, x ). Resolvemos mediante inducción retroactiva. Etapa 3 Vamos a eliminar en cada subjuego las amenazas no creíbles o acciones dominadas de la empresa 3. Dadas unas producciones de las empresas y (un subjuego), ( x, x ), la única amenaza creíble consistirá en elegir por parte de la empresa 3 el nivel de producción que maximice beneficios: max Π ( x, x, x ) max p( x + x + x ) x C ( x ) max[ a b( x + x + x )] x cx x 0 x 0 x Π a c b( x + x ) = p( x + x + x ) + x p ( x + x + x ) C ( x ) = 0 () f ( x, x ) = x 3 ' ' Π 3 = ' '' '' p x + x + x + 3 x3p x + x + x 3 C3 x = 3 b < x3 ( ) ( ) ( ) 0 Teniendo en cuenta la restricción de no negatividad, x3 0, obtenemos:

3 a c b( x + x) f3( x, x) = max { f3( x, x),0} = max,0 Estrategia de la empresa 3 en el EPS.. Etapa La empresa anticipa que la empresa 3 se comportará en cada subjuego de acuerdo con a c b( x + x ) f3( x, x) = max f3( x, x),0 = max,0. La la estrategia { } función de beneficios en forma reducida para la empresa 3 es: Π ( x, x, f ( x, x )) p( x + x + f ( x, x )) x C ( x ). 3 3 Con demanda lineal y coste marginal constante, el beneficio en forma reducida para la empresa sería: Π ( x, x, f ( x, x )) [ a c b( x + x + f ( x, x ))] x 3 3 a c b( x + x) [ a c b( x + x + )] x a c + b( x + x ) a c b( x + x ) [ a c b( )] x [ ] x Vamos a eliminar en cada subjuego las amenazas no creíbles o acciones dominadas de la empresa. Dada una producción de la empresa (un subjuego) x la única amenaza creíble consistirá en elegir por parte de la empresa el nivel de producción que maximice beneficios: a c b( x + x ) max Π ( x, x, f ( x, x )) max[ ] x Π a c bx = 0 f ( x ) = x 3 x 0 x 0 Π < x 0 Teniendo en cuenta la restricción de no negatividad, x3 0, obtenemos: 3

4 a c bx f( x) = max { f( x ),0} = max,0 Estrategia de la empresa en el EPS.. Etapa La empresa anticipa que las empresa y 3 se comportarán en cada subjuego de a c bx f( x) = max f( x ),0 = max,0 acuerdo con las estrategias { } y a c b( x + x) f3( x, x) = max { f3( x, x),0} = max,0. La función de beneficios en forma reducida para la empresa es: ( ( )) ( ) Π x, f ( x ), f x, f ( x ) [ a c b( x + f ( x ) + f x, f ( x ) )] x 3 3 a c bx a c b( x + ) a c bx [ a c b( x + + )] x a c bx a c bx [ a c b( x + + )] x a c bx [ ] x 4 Luego el problema de la empresa será: a c bx max Π ( x, f ( x ), f ( x, f ( x ))) max[ ] x 4 dπ L a c = 0 a c x = 0 x = dx 3 x 0 x 0 d Π < 0 dx 4

5 L a c x = a c bx EPS f( x ) = max { f( x ),0} = max,0 a c b( x + x ) f x x { f x x } 3(, ) = max 3(, ),0 = max,0. Obtener las producciones de las empresas, la producción agregada y los beneficios es directo. (b) Obtenga otro equilibrio de Nash que no sea perfecto en subjuegos. Explique su respuesta. Vamos a fijarnos en un equilibrio de Nash en el que las empresas decidan producir las cantidades de Cournot. x a c a c a c = ; x( x ) =, x x ( x, x ) =, x e x 3. Es inmediato comprobar que efectivamente es un equilibrio de Nash pero como está basado en amenazas increíbles no es perfecto en subjuegos. (iii) Considere el siguiente juego en tres etapas: Etapa : la empresa elige su nivel de producción x 0. Etapa : la empresa elige su nivel de producción x 0, sin observar x. Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x 3 0, sin observar x e x. (a) Represente el juego en forma normal. (b) Obtenga el equilibrio de Nash y el equilibrio perfecto en subjuegos. Compare la solución con el equilibrio de Cournot. Un juego de elección secuencial pero de información imperfecta equivale a un juego simultáneo. Es decir, lo resolveríamos exactamente igual que el apartado (i). 5