Ejercicios de Derivadas parciales., simplificar:
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- María Victoria Zúñiga Cuenca
- hace 5 años
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1 Ejercicios de Derivadas arciales Pregunta Si: ( ( (, simlificar: E Nos iden: E (I Tenemos: ( ( ( De donde: Reemlaando en (I: E ( ( ( Simlificando: E 6 Pregunta, demostrar ue: k, Dada la función: f(, ln( donde k es una constante. Hallar el valor de k. Nos iden k Dato: k (α Tenemos: f(, ln( Necesitamos las rimeras derivadas arciales de con resecto a e.
2 uscando : Derivamos con resecto a ( ( ( ( uscando : Derivamos con resecto a ( ( 0 ( ( Reemlaamos lo obtenido en (α: ( k ( k ( ( k
3 k De donde: k Constante Pregunta Dada la función cumla: f(,, hallar los valores de e tal ue se cuando Tenemos: Nos iden: f(, los valores de e Dato: Cuando : O en forma euivalente: (I Necesitamos encontrar uscando :,. Para encontrar derivamos f(, con resecto a : hora, ara encontrar derivamos con resecto a : ( (II uscando : Para encontrar derivamos f(, con resecto a : ln hora, ara encontrar ( ln ln derivamos con resecto a : (III (ln
4 uscando : Para encontrar odemos derivar con resecto a o odemos derivar con resecto a. Haremos lo rimero. Tenemos: ln licamos la regla del roducto [ ].ln. [ ].ln [ ln ] (IV Reemlaando (II, (III (IV en (I: ( ( ( [ ln ] ( (ln ( ln (ln [ ( ln (ln ] ( ( [ ln (ln ] Simlificando: ln (ln Factoriamos simlificamos: ln (ln (ln ln 0 Resolviendo la ecuación: i ln de donde: e ii ln de donde: e Dado ue :. Con e : e ln ln ln( e
5 . Con Pregunta ln Resuesta : ( e e ln ln e ln ( ln ln Resuesta Dada la función: f(,, hallar el valor de las constantes k k sabiendo ue se cumle ue: i k. ii k era arte: Nos iden k Dato: k (I uscamos las derivadas arciales de con resecto a e : Tenemos: f(, f(, f(, Derivando con resecto a : (II Derivando con resecto a : (III
6 Reemlaando (II (III en (I: [ ] [ ] k De donde k da arte: Nos iden k ( k ( k ( Dato: k (α Para calcular k necesitamos:, De (II: De (II: De (III: Derivando con resecto a : Derivando con resecto a : 0 Derivando con resecto a : Reemlaando estos resultados en (α: ( (0 ( k ( Pregunta 5 k ( k ( De donde: k Si: e, a. Hallar el valor de m sabiendo ue m( b. Hallar los valores de sabiendo ue:
7 Parte a. Nos iden: el valor de m Dato: m( (α Dato: (β Tenemos: e e uscamos las derivadas arciales de con resecto a e : ( : (e e ( e e ( : e ( (I e (II Reemlaamos (I (II en (β: ( e e ( e e e e e (III Reemlaamos (III en (α: e m( Parte b. e e Luego: m Resuesta Nos iden: los valores de m( e m( e
8 Dato: (θ De (III tenemos: e uscamos las derivadas arciales de con resecto a e : : (e ( e ( e e : ( e ( ( e ( Reemlaamos ( ( en (θ: ( e e ( e e e e e Podemos reescribir: Pregunta 6 e De donde:, Resuesta Dada la función: n f(, ln, si se cumle ue: Nos iden 5n 7.hallar el valor de 5n 7. Dato: (I uscamos las derivadas arciales de con resecto a e :
9 Tenemos: n f(, ln ( n f(, ln ( f(, ln n : ( n ( n( (II : ( n ( n( (III Reemlaando (II (III en (I: n( n( n( ( n( Pregunta 7 De donde n n Luego: 5 n 7 Las ecuaciones de la demanda ara dos artículos ue son roducidos or un monoolista son: 6 7 donde las cantidades están dadas en miles de unidades los recios de cada artículo están dados en dólares or unidad.
10 Parte a. a. Hallar el ingreso marginal relativo al roducto de este monoolista, cuando los recios de los artículos son $7.00 $.00 ara los artículos resectivamente. b. Si cuesta $ $ roducir cada unidad del artículo resectivamente, hallar el recio del artículo ara ue las utilidades marginales sean nulas. Nos iden: Ingreso marginal relativo al roducto cuando 7, Es decir: I cuando 7, Dato: Ecuaciones de Demanda (I 6 7 (II Dado ue el Ingreso marginal es la derivada del Ingreso con resecto a la cantidad, debemos formar la función Ingreso en términos de las cantidades, es decir I f(,. Para ello las ecuaciones de demanda deben estar eresadas de forma ue los recios estén en términos de las cantidades. Sumamos (I (II: Reemlaamos en (II: 7 ( 0 La función Ingreso total será: I I ( ( 0 I 0 Ingreso marginal relativo al roducto : I 0 (α Cuando 7, : 6 (7 ( 7 (7 (
11 I Con, en (α: 0 ( ( I $/unid Parte b. Nos iden: Dato: tilidades marginales deben ser nulas Debemos construir la función tilidad: Tenemos la función Ingreso total: I 0 De acuerdo a los datos, formamos la función Costo total: C CF La función tilidad será: I C tilidades marginales: 7 CF 7 Por dato: Resolviendo:. 5,
12 Pregunta 8 Las ecuaciones de la demanda ara dos artículos roducidos or un monoolista son: Donde reresentan las cantidades de los artículos ; reresentan los recios de cada artículo. Hallar los ingresos marginales, cuando las cantidades demandadas de los artículos son resectivamente 7 8 unidades resectivamente. Nos iden: Ingresos marginales cuando 7 8. Debemos formar la función Ingreso total I en términos de las cantidades : I f(,. Para esto es necesario ue las ecuaciones de demanda ueden eresadas en términos de las cantidades : f(, f(,. Tenemos: ( ( De (: ( Reemlaamos ( en (: 79
13 9 ( Reemlaando ( en (: 9 8 (5 Ingreso total: I Reemlaando ( (5: 9 I 9 I, f( I Los ingresos marginales estarán dados or: mg I I mg I I Evaluando ara 7 8 : 7 6 (8 (7 I mg (8 (7 I mg
14 Pregunta 9 Si ( ln(, hallar el valor de la constante k ara ue se verifiue: (k. Nos iden: k Dato: (k (α Tenemos: ln( ( ( ln( Necesitamos las segundas derivadas arciales de ero. uscando : Derivamos con resecto a : licamos la regla del roducto (ln( ( ( ln( Derivamos con resecto a : (( ( ( ( ( ( (I ( do. uscando : Derivamos con resecto a : licamos la regla del roducto ( ln( ( (
15 ln( Derivamos con resecto a : ( ( ( ( ( ( ( (II ( ero. uscando : Derivamos con resecto a : ( ( ( ( ( ( ( (III ( Reemlaamos (I, (II (III en (α: ( ( (k ( ( (k ( ( ( (k k ( k De donde: k ± Resuesta
16 Pregunta 0 Si f(,, calcular el valor de: E e f (e, e f (e, f (e, Tenemos: f(, Nos iden: E e f (e, e f (e, f (e, (I Necesitamos encontrar f, f f. ero. Para encontrar f derivamos f(, con resecto a : f hora, ara encontrar f derivamos f con resecto a : f ( 0 Evaluando en ( e, : f (e, e (II do. Para encontrar f derivamos f(, con resecto a : f ln hora, ara encontrar f derivamos f con resecto a : f ( ln ln (ln f Evaluando en ( e, : f (e, e (ln e e (III ero. Para encontrar f odemos derivar f con resecto a o odemos derivar f con resecto a. Haremos lo rimero. Tenemos: f ln f f [ ].ln. [ ].ln f [ ln ]
17 Reemlaando (II, (III (IV en (I: E e E 5e Evaluando en ( e, : f (e, e ( ln e e (IV ( e ( e ( e Pregunta Si (,,, hallar el valor de la constante k tal ue: k Dato: k (α Para encontrar el valor de k necesitamos las segundas derivadas arciales de. Tenemos: uscando : Derivamos con resecto a : ( Derivamos con resecto a : licamos la regla del cociente ( ( (
18 ( Damos mínimo común múltilo en el numerador ( Reducimos alicamos el roducto de etremos medios ( (I Nótese ue la función es simétrica con resecto a sus variables,. De acuerdo a esto las derivadas arciales también serán simétricas or lo ue odemos inferirlas. artir de obtenido en (I odemos decir ue: (II (III Reemlaando (I, (II (III en (α: k k ( k ( k De donde: k Resuesta
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