Tema 12: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I: Apéndice

Transcripción

1 Tema : Cálculo diferencial de funciones de varias variables I: Aéndice Ejercicio: Comrobar que la derivada direccional de la función f, ) + si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) en el origen en la dirección del vector, ) es infinita. Ejercicio: Hallar las derivadas arciales de la función + ) f, ) + si, ) 6, 0) 0 si, ), 0) en, 0). Ejercicio: Hallar las derivadas direccionales arciales de la función 3 f, ) + si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) en 0, 0). Comrobar que en el origen no es continua ni tiene derivada arcial con resecto a ara ser eactos, da infinito), ero sí tiene derivada arcial con resecto a finita. Ejercicio: Comrobar que la función f, ) + )sin + ) si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) es continua en el origen, aunque en dicho unto no tiene derivadas arciales. Derivadas arciales de orden suerior Sea una función ara la que eiste la derivada arcial lantearse si esta nueva función i f : R n R m en todos los untos de una bola B 0,r). Entonces tiene sentido i : R n R m definida al menos en dicha bola), osee derivadas arciales en el unto 0. Si eistiese la derivada arcial de i con resecto a la variable j diremos que eiste la derivada arcial segunda o de orden ) def con resecto a i j en 0 i ) j 0 ) f i j 0 ) En caso de eistir alguna derivada arcial f i j de orden en una bola B 0,r) tiene sentido lantearse la eistencia de la derivada arcial de esta función en 0 con resecto a alguna variable k. A esta se le llamará derivada arcial tercera o de orden 3) def con resecto a i, j k en 0 f i j ) 3 f 0 ) 0 ) k i j k así sucesivamente. También en el caso de las derivadas terceras, cuartas, etc. ueden utilizarse abreviaturas del tio 3 f 3 f i i i 3 i 3 f i i j 3 f i j

2 cuando se deriva más de una vez con resecto de alguna variable. Ejemlo: Calculemos las derivadas arciales rimeras segundas de la función f, ) + si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) en el origen. Es un sencillo ejercicio haciéndolo or la definición, como derivadas direccionales) calcular las derivadas arciales rimeras las cuales valen 0, 0) 0, 0) 0 Para la derivadas arciales segundas necesitamos saber ues lo que valen la funciones, ), ) nosóloen el 0, 0) sino también en los otros untos, )). Es sencillo determinar que ara todo unto distinto del origen. Entonces, ) ) + ), ) 3 + ) f 0, 0) ) 0, 0) D,0) 0, 0) [0, 0) + t, 0)] 0, 0) t t, 0) 0 0 t t 00 f 0, 0) ) 0, 0) D 0,) 0, 0) [0, 0) + t0, )] 0, 0) t 0,t) 0 t t f 0, 0) ) 0, 0) D,0) 0, 0) [0, 0) + t, 0)] 0, 0) t t, 0) 0 0 t t 00 f 0, 0) ) 0, 0) D 0,) 0, 0) [0, 0) + t0, )] 0, 0) t 0,t) 0 0 t t 00 Como vemos, en este caso f 0, 0) 6 f 0, 0) 0 a sabemos que no tienen or qué coincidir, a menos que se eija a la función la condición de ser C ). Diferenciabilidad Para una función de una variable f : R R un unto 0,setienequef es diferenciable en 0 cuando eiste una alicación lineal T : R R de modo que f 0 + ) f 0 ) T ) 0oequivalentemente 0 f 0 + ) f 0 ) T ) 0 0

3 Este conceto es equivalente a la derivabilidad de f en 0 eistencia de derivada en 0 ), es decir, que eiste es finito el valor f 0 f 0 + ) f 0 ) 0 ) 0 0 de hecho se cumle que T ) f 0 0 ) T ) f 0 0 ) Veamos a continuación la última herramienta que vamos a utilizar ara determinar si una función f : R n R es o no diferenciable en un unto 0 a,..., a n ): Si todas las derivadas arciales de f en 0 eisten con valor finito entonces sabemos que de ser diferenciable f en el unto 0 ocurriría que ara cualquier vector,..., n ) R n se tendría que la diferencial de f en 0 seríalafunciónt : R n R definida or T,..., n ) 0 ) ) n n Entonces debería cumlirse que el siguiente límite eiste es nulo fa +,..., a n + n ) fa,..., a n ) T,..., n ),..., n ) 0,...,0) n En caso de ser esto cierto tendríamos que f es una función diferenciable en el unto 0 que efectivamente df 0 )T ; en caso de no eistir tal límite o de eistir no valer cero, f no sería diferenciable en el unto 0. Ejemlo: Estudiemos la continuidad la diferenciabilidad en el unto 0, 0) de la función definida, si, ) 6 0, 0), or f, ) 4 + f0, 0) 0 En caso de ser diferenciables hallaremos la diferencial en 0, 0). La función sí es diferenciable en el unto), ues sus derivadas arciales en el unto) son nulas el límite lanteado ara la diferencial,) 0,0) 4 + [ 0, 0) + 0, 0)] +,) 0,0) 4 + [0 +0 ] +,) 0,0) uede verse en coordenadas olares), luego ,) 0,0) 4 + ) 3 eiste es nulo df 0, 0)v,v )0 v +0 v 0 es decir, la diferencial es la función constante igual a 0. Ejercicio: En el análisis de la función f, ) + en el unto 0, 0) robar que es continua ero no tiene derivadas arciales finitas. Ejercicio: En el análisis de la función sin f, ) + ) si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) 3

4 en el unto 0, 0) robar que es continua, tiene derivada arcial con resecto a la segunda variable, ero no con resecto a la rimera. Por tanto no es diferenciable en dicho unto. Ejemlo: La función f, ) + si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) tiene derivadas arciales en todo unto éstas valen 4, ) + ) si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) 4, ) + ) si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) el cálculo se deja ara el lector). Además ambas arciales son continuas en el origen. Veámoslo. Para lo hacemos en olares: cos θ 4 sin 4 θ L cos θ, sin θ) cos θ sin 4 θ 0 0 es indeendiente de θ. Además cos θ, sin θ) L cos θ sin 4 θ 0 F ) esta función es indeendiente de θ con límite 0. Entonces,) 0,0), ) L 00, 0) Eso acaba de justificar que es una función continua en 0, 0). Similarmente ocurre los cálculos se dejan como ejercicio) con. Podemos concluir entonces que f es diferenciable en el origen, ues las dos derivadas arciales, ), ) son continuas en 0, 0) es decir f es de clase C en 0.0)). Ejemlo: La función sin f, ) + ) si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) tiene derivadas arciales éstas valen, ) + ) cos + )+ sin + ) si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) 3, ) + ) cos + )+ sin + ) si, ) 6 0, 0) 0 si, ) 0, 0) las cuales uede comrobarse que no son continuas en el origen. Por otro lado, se tiene que,) 0,0) f, ) f0, 0) [ 0, 0) + 0, 0)] +,) 0,0),) 0,0) sin + ) + 0 sin + ) 0 [0 +0 ] + se uede usar coordenadas olares ara ver que el límite anterior es nulo), luego f es diferenciable en el origen. Ejemlo: La función f, ) 4

5 es diferenciable de hecho es de clase C ) en el unto, 3), ues es combinación de funciones así lo son cociente de olinomios con denominador que no se anula en dicho unto). Ejemlo: La función f, ) 6 sin + + es diferenciable de hecho es de clase C ) en todo unto, ues es combinación de funciones así lo son olinomios, trigonométricas, cocientes con denominador no nulo). 3 Fórmulas de la regla de la cadena Vamos a ver cómo calcular las derivadas arciales de una comosición de funciones de la forma R n f R m g R k a artir de las derivadas arciales de f deg. Denotemos or,..., n ) a las variables de R n, u,..., u m alas variables de R m f,..., f m a las funciones coordenadas de f. Entonces a la hora de hallar la derivada arcial con resecto a i de la función g f se tiene que g f) mx ) f)) j ) f)) )+ f)) ) f)) m ) i u j j i u i u i u m i ouestodeotraforma mx D i g f)) D j gf)) D i f j ) D gf)) D i f )+D gf)) D i f ) D m gf)) D i f m ) j Dicha fórmula es la versión de la regla de la cadena o Teorema de la función comuesta) ara las derivadas arciales. De hecho es tíico oner las fórmulas oniendo tanto f i como u i. De este modo una notación usual de la última fórmula incluso abreviando sin oner los untos en los que se evalúan) es g f) mx u j i u j j i es decir, g f) i u u i + u u i u m u m i Nota: Todas estas fórmulas anteriores ueden obtenerse a artir de la versión matricial de la regla de la cadena, vista al rinciio de la sección. Es más, mediante el modo matricial no sería necesario arenderse las fórmulas dadas aquí, ues ara obtener la comonente k-ésima de la función g f) ) i bastaría con multilicar la fila k de la matriz Jgf)) or la columna i-ésima de la matriz Jf). Nota: En el caso articular de funciones reales R f R g R tendríamos la regla de la cadena usual, es decir, g f) ) f)) u ) sesuoneque es la variable de f queu es la variable de g) o uesto de otra forma g f) 0 ) g 0 f)) f 0 ) Ejemlo: Consideremos funciones R 3 f R g R definidas or 5

6 f,, z) z 3,cos ) gu, v) e u v, +v ) Hallemos las derivadas arciales de la función comuesta g f. Obtenemos en rimer lugar que u u, v) eu v, 0) v u, v) eu v, v) or lo que u f,, z)) ez 3) cos, 0) v g,, z)) ez 3) cos, cos) g f) Ahora bien,, z) gf,, z))) u f,, z)),, z)+ v f,, z)),, z) suoniendo que denotamos a las funciones coordenadas de f or f,, z) z 3 f,, z) cos Entonces se tiene que,, z) 0,, z) sin g f) luego,, z) e z 3) cos, 0) 0+ e z 3) cos, cos) sin ) sin e z 3) cos, sin cos ). También se verifica que g f),, z) gf,, z))) u f,, z)),, z)+ v f,, z)),, z) como,, z) 3,, z) sin se tiene que g f),, z) e z 3) cos, 0) 3) + e z 3) cos, cos) sin ) [sin 6]e z 3) cos, sin cos ). Finalmente como g f),, z) gf,, z))) f,, z)),, z)+ v f,, z)),, z) como,, z),, z) 0 se tiene que g f),, z) e z 3) cos, 0) + e z 3) cos, cos) 0e z 3) cos, 0) Las derivadas arciales de g f ueden calcularse también de modo directo ues a artir de f g odemos construir g f : R 3 R definida or g f,, z) gf,, z)) gz 3, cos ) e z 3) cos, +cos ) tendríamos que g f) sin e z 3) cos, sin cos ) g f) [ sin 6]e z 3) cos, sin cos ) g f) z e z 3) cos, 0) En este ejemlo concreto es más sencilla esta última última forma, la forma directa. Esto suele ocurrir cuando tengamos las eresiones de las funciones ara las que tengamos que hacer la comosición. No obstante, si referimos utilizar las matrices jacobianas tengamos en cuenta que Jgf,, z)) u f,, z)) v f,, z)) z 3) cos z 3) cos e e 0 cos que Jf,, z),, z),, z),, z) 0 3,, z),, z),, z) sin sin 0 ortanto g f),, z) g f) g f),, z),, z) Jg f),, z) Jgf,, z)) Jf,, z) 6

7 or tanto g f) z 3) cos z 3) cos e e 0 cos 0 3 sin sin 0 sin e z 3) cos sin 6)e z 3) cos z 3) cos e sin cos sin cos 0,, z) es la rimera columna de la matriz, g f) 4 Cambios de coordenadas,, z) la segunda g f),, z) la tercera. Imaginemos que tenemos una función g : Ω R n R m que deende de las variables o coordenadas,..., n ) que realizamos un cambio a las coordenadas u,..., u n ). Suongamos que el cambio está dado or la función Φ Φ,..., Φ n ):Ω 0 Ω es decir, Φ deende de las variables u,..., u n ) de modo que En forma etendida tendremos En forma etendida tendremos,..., n )Φu,..., u n ) Φ u,..., u n ) Φ u,..., u n )... n Φ n u,...,u n ) Si Φ Ψ Ψ,..., Ψ n ) se tiene que u,..., u n )Ψ,..., n ). u Ψ,..., n ) u Ψ,..., n )... u n Ψ n,..., n ) Una eresión que deenda de g de algunas de sus derivadas arciales resecto de las variables,..., n ) odemos reresentarla en función de la comosición de g Φ G o sea, g G Φ G Ψ) de algunas de sus derivadas arciales resecto de las variables u,...,u n ) sin más que realizar el cambio de coordenadas. Esto se traduce en que cada vez que aarezca alguna variable i ésta será reemlazada or Φ i u,..., u n ) cadavezqueaarezca alguna derivada arcial i alicaremos la fórmula g Ψ),..., n ),..., n ) i i nx j nx j G u j Ψ,..., n )) Ψ j i,..., n ) G u j u,..., u n ) Ψ j i Φu,..., u n )) 7

8 Como se dijo en la regla de la cadena, en general es tíico en vez de Ψj i oner uj i. En este caso también es común usar el mismo nombre ara f que ara F. Entonces abreviadamente la fórmula queda así Ejemlos: i nx j G u j u j i. Coordenadas olares) La alicación que nos da el cambio es Φ : Ω 0 Ω dado or donde Φ, θ) cos θ, sin θ), ) Ω R {, ) : 0, 0} Ω 0 {, θ) :0<, 0 < θ < π} Esto suele eresarse habitualmente diciendo que hacemos el cambio de coordenadas cos θ sin θ Geométricamente reresenta la longitud del segmento que une, ) conelorigenθ ]0, π[ el ángulo que forma el semieje OX ositivo { 0, 0} con dicho segmento Desejando se obtiene el cambio inverso Φ + θ arctan es decir Φ, ) +, arctan ), θ) teniendo en cuenta que este último deseje se realiza en el cuadrante, > 0, haciéndose de otro modo en los otros cuadrantes). Ahora ueden obtenerse las derivadas arciales del cambio Φ cosθ sin θ sinθ cos θ or tanto su jacobiano JΦ, θ) cos θ sin θ sin θ cos θ Y el jacobiano de Φ a artir de las derivadas arciales + + luego JΦ, ) o tomándolo como inverso del otro jacobiano JΦ, ) JΦ, θ) cos θ sin θ + + sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ

9 Si tenemos ahora una función g : R R se ueden relacionar sus arciales resecto de unas coordenadas de otras, bien de modo directo: sin θ cos θ + cos θ sin θ + o bien utilizando matrices jacobianas: sin θ cos θ cos θ sin θ + cos θ sin θ sin θ cos θ. Coordenadas cilíndricas) La alicación que nos da el cambio es Φ : Ω 0 Ω dado or donde Φ, θ,z) cos θ, sin θ,z),, z) Ω R 3 {,, z) : 0, 0} Ω 0 {, θ,z):0<, 0 < θ < π} Esto suele eresarse habitualmente diciendo que hacemos el cambio de coordenadas cos θ sin θ z z Geométricamente reresenta la longitud del segmento que une,, 0) con el origen o lo que es lo mismo, la distancia del unto,, z) al eje 0Z) θ ]0, π[ el ángulo que forma el semieje { 0, z 0} con dicho segmento. El cambio inverso Φ se obtiene desejando + θ arctan z z es decir Φ,, z) +, arctan,z), θ,z) teniendo en cuenta que este último deseje se realiza en el cuadrante, > 0, haciéndose de otro modo en los otros cuadrantes). Obtengamos ahora el jacobiano del cambio Φ JΦ, θ, z) cos θ sin θ 0 sin θ cos θ

10 también el jacobiano del cambio inverso Φ, bien a artir de las derivadas arciales de, θ,z) como funciones de,, z) o bien como inverso del anterior. En cualquier caso sale cos θ sin θ 0 cos θ sin θ 0 0 JΦ, θ,z) sin θ cos θ 0 sin θ cos θ Si tenemos ahora una función g : R 3 R se ueden relacionar sus arciales resecto de unas coordenadas de otras, bien de modo directo: sin θ cos θ + cos θ sin θ + o bien utilizando matrices jacobianas: sin θ cos θ cos θ sin θ + cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Coordenadas esféricas) La alicación que nos da el cambio es Φ : Ω 0 Ω dado or donde Φ, θ, φ) cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ),, z) Ω R 3 {,, z) : 0, 0} Ω 0 {, θ, φ) :0<, 0 < θ < π, 0 < φ < π} Esto suele eresarse habitualmente diciendo que hacemos el cambio de coordenadas cos θ sin φ sin θ sin φ z cos φ Geométricamente reresenta la longitud del segmento que une,, z) con el origen, θ el ángulo medido de 0 a π) queformaelsemieje{ 0, z 0} con la roección del segmento anterior sobre el lano z 0,φ el ángulo medido de 0 a π) que forma el eje OZ ositivo {,, z) : 0,z >0} con el segmento inicial. El cambio inverso Φ se obtiene desejando + + z θ arctan z φ arccos + + z 0

11 es decir, θ, φ) Φ,, z) + + z, arctan, arccos z + + z ) Los jacobianos valen JΦ, θ, φ) cos θ sin φ sin θ sin φ cos θ cos φ sin θ sin φ cos θ sin φ sin θ cos φ cos φ 0 sin φ el jacobiano inverso uede calcularse a artir de la inversa JΦ, θ, φ) ) cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ JΦ,, z) JΦ, θ, φ) sin θ cos θ Si tenemos ahora una función + +z + + +z z z + +z ) + sin φ cos θ cos φ z + +z z ) + g : R 3 R + +z ) sin φ 0 sin θ cos φ sin φ se ueden relacionar sus arciales resecto de unas coordenadas de otras, así: cos θ cos φ + sinθsin φ + cos θ sin θ cos φ + sin φ sin φ cosθsin φ sin θ sin φ cosφ obienasí cos θ sin φ sin θ sin φ + cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ sin θ cos θ sin φ cos θ cos φ sin θ sin φ + cos θ sin φ sin φ 0 sin θ cos φ sin φ + sin θ cos φ cos φ sin φ Coordenadas arabólicas) La alicación que nos da el cambio es Φ : R 3 R 3 dada or Φ, θ, φ) ξη cos φ, ξη sin φ, ξ η )),, z) Esto suele eresarse habitualmente diciendo que hacemos el cambio de coordenadas ξη cos φ ξη sin φ z ξ η )

12 con ξ, η > 0, 0 < φ < π, calcular las matrices jacobianas del cambio de coordenadas en ambos sentidos, una inversa de la otra), ambas en arabólicas.para simlificar los desejes que vamos a realizar vamos a tomar 0 < φ < π lo cual reercutirá en que estaremos en el cuadrante, > 0). En rimer lugar tan φ luego φ arctan ), cos φ +, sin φ + Como Por otro lado + ξ η, η + ξ comoη ξ z se tiene que ξ z + ξ entoncesξ 4 zξ + )0 De aquí se deduce que ξ z ± 4z +4 + ) z ± + + z ara que esto sea ositivo debe cogerse el signo + q En definitiva ξ z z s Entonces η + + ξ z z ortantoη + z z ξ + + z q z z ξη cos φ ξ + η )ξ η cos φ ξ + η η entonces z+ + +z ) + ) + +z Similarmente Finalmente z+ + +z ) r + z+ + +z ξη cos φξ ξ η ξ 4 η ξη cos φ ξ +η ) sin φ + ξη + ξ η sin φ ξη ξ ξ + η η + η cos φ ξ + η ξ + ξ cos φ ξ + η η sin φ ξη ξ η sin φ ξ + η η ξ sin φ ξ + η cos φ ξη ξ ξ + η η + η sin φ ξ + η ξ + ξ sin φ ξ + η η + cos φ ξη + +z z + ξ qz z + ξ η ) ξ +η ) ξ cosφ η ξ +η ) ) cosφξ ξ ξξ + η ) ξ cos φ ξ + η ξ ξ + η entonces η + z )+ ) + +z z+ + +z ) r + z+ + +z 0 ξ ξ + η η + ξ η ξ ξ +η ξ 4 η ξ ξ + η ξ η ξ + η η ξ + η η

13 5 El teorema de la función inversa Sabemos que una función biectiva inectiva suraectiva) f : A B tiene inversa f : B A recordemos que la inversa de f es una función denotada or f : B A que cumle que f f A f f B ). Podemos lantearnos el comrobar si una función f : A B, cona, B R n,declasec k con k ) es biectiva. Puede ocurrir que aunque no sea globalmente biectiva, es decir que no eista su inversa, sí sea localmente biectiva, es decir que eista un conjunto U A, demaneraquef : U fu) sí sea biectiva. Estudiar eso va a ser recisamente nuestra cuestión ahora. Más eactamente vamos a ver una condición suficiente mediante la cual odamos garantizar que la alicación va a ser biectiva en un entorno de un unto: Teorema: de la función inversa) Seaf : R n R n una función de clase C k k ) definida en una bola centrada en un unto 0.Si Jf 0 ) 6 0entonces eiste una bola B 0,r) de modo fb 0,r)) es abierto tal que la restricción f : B 0,r) fb 0,r)) es una biección, es decir, f tiene inversa local f : fb 0,r)) B 0,r), siendo ésta de nuevo de clase C k. Ejemlo: Veamos en qué untos odemos deducir a artir del Teorema de la función inversa que la función f : R R dada or f, ), 3) tiene inversa local.como se tiene que f,) f, 3) deducimos que Jf, ) 3. Deestemodoodemosasegurarqueentodountonoertenecienteala 3 recta 3 0uede alicarse el Teorema de la función inversa deducir que f tiene inversa local. 3