Apéndice 8: La recta real y el espacio métrico R n. Funciones de una variable: límites, continuidad y cálculo diferencial

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1 Apéndice 8: La recta real y el espacio métrico R n. Funciones de una variable: límites, continuidad y cálculo diferencial Operaciones simbólicas En este apartado tratamos de resolver algunos problemas que pudieran darse al realizar algunos límites no indeterminados. Cuando pongamos algún tipo de operación entre números o infinitos se entenderá que representan el límite de dos funciones que están en esa misma situación. Así por ejemplo, en el primer caso, cuando ponemos k + + queremos decir que dadas funciones f(x) y g(x) tales que en el punto correspondiente f(x) k y g(x) + se tiene que [f(x)+g(x)] + Sumas k + ± ± ( k R) ? +? Productos + si k> + k si k<? si k k si k> + si k<? si k + (+ ) + ( ) + + ( ) (+ ) k ± ( k R) k ( k R,k 6 ) + k Cocientes + si k> si k< si k k si k> + si k< si k?? Potencias k ( k R,k 6 ) + (+ ) + + (+ )?? k + si <k< + si k>? si k k + si <k< si k>? si k si k> k si k<? si k La expresión? significa indeterminación, es decir, que no se puede deducir el valor del límite a partir de esa expresión, no que el límite no exista, sino que el método empleado no nos sirve, habrá que utilizar otro. Recordemos que las indeterminaciones son:

2 Propiedades del valor absoluto La función valor absoluto verifica las siguientes propiedades: (a) x x. (b) x si y sólo si x. (c) x x x. (d) xy x y x, y. (e) x + y x + y x, y. (f) x + y x y x, y. Funciones a trozos Son las que toman valores de otras funciones según ciertos intervalos o conjuntos de números. Algunos ejemplos son: ( si x x si x ( x si x f(x) x g(x) sin x si x ]-, [ x si x ]-, [ e x x si x si x ]-4,-] Precisamente la última es la denominada función valor absoluto (que hemos comentado al principio del tema). La última gráfica es la esta función x 4 Gráfica de la función f(x) x 4 Límite de una función en un punto. Definiciones Definición: Sea f una función para la que en un punto a existe r> cumpliendo que B(a, r) {a} Domf. Diremos que un número L es el límite de f cuando la variable tiende hacia a (o simplemente el límite de f en a) si ε >, δ > tal que x con x a < δ,x6 a, setieneque f(x) L < ε En esta situación pondremos De otro modo: f(x) L ε >, δ > tal que x B(a, δ),x6 a, se cumple que f(x) B(L, ε) Observación: En los límites, si interesa, puede realizarse el cambio h x a. De este modo el límite cuando x tiende a a se transforma en un límite cuando h tiende a. Esto lo haremos, por ejemplo, en el caso de calcular la derivada como un límite. Definición: (Límites en el infinito) Diremosque f(x) L

3 cuando De otro modo: ε >, M > tal que x >M se cumple que f(x) L < ε ε >, M > tal que x ]M,+ [ se cumple que f(x) B(L, ε) De modo simétrico se ocurriría que f(x) L. x Observación: En estos límites también puede hacerse, si interesa, un cambio: h x. De este modo el límite cuando x tiende a se transforma en un límite cuando h tiende a. Definición: (Límites infinitos) Diremosque f(x) + cuando para todo número positivo M existe otro número positivo δ verificando que si x es un número tal que x a < δ, x 6 a, entonces f(x) > M. Matemáticamente puede expresarse así: Dicho de otro modo: M >, δ > tal que x con x a < δ,x6 a se cumple que f(x) >M. M >, δ > tal que x B(a, δ) {a} se cumple que f(x) ]M,+ [ Similarmente para el caso en que f(x). En general, diremos que f(x) cuando M >, δ > tal que x con x a < δ,x6 a se cumple que f(x) >M También queda la posibilidad de que una función en alguno de los infinitos tome valores infinitos, o sea cuando se tiene que f(x) ±. x ± El concepto de límite por la izquierda o por la derecha es análogo al de límite en general, sólo que acercándonos porpuntosqueesténalaizquierdaoaladerechadelpuntoenelquerealizamosellímite..aambosselesdenomina límites laterales de f en a. Definición: Diremos que el límite por la izquierda de una función f cuando la variable x tiende hacia el punto a es L si ε >, δ > tal que x cumpliendo que x a < δ,x<a,setieneque f(x) L < ε Simétricamente se define el límite por la derecha. Éstos los utilizaremos sobre todo en casos de funciones a trozos. Usaremos las notaciones límite por la izquierda límite por la derecha f(x) L f(x) L + f(x) x<a f(x) x>a f(x),x<a f(x),x>a Observación: Se cumple que existe f(x) si y sólo si existen f(x) y f(x) y coinciden. En ese caso los tres tienen el mismo valor. Ejemplos:. Sea f la función definida por Entonces f(x) x si x ]-, [ si x x si x ], [ x x f(x) x f(x) x + x x + yportantoexiste x f(x) yvale.

4 . Sea g la función definida por Entonces ( g(x) x +4si x x si x> g(x) x x g(x) x + x x yportantonoexiste x g(x). x x x + x + 5 Límites de funciones irracionales Ya hemos comentado que la regla que se utiliza en el límite de las funciones racionales (dividir por la potencia de x de mayor grado) es válida también para algunas funciones irracionales. Para poder aplicar el criterio dado en las racionales también a este caso debemos tener en cuenta varias cosas:. El grado de una expresión del tipo kp p(x), siendo p(x) un polinomio, se considera grado(p) k. Igual que ocurría para los polinomios si tenemos una expresión kp p(x) ± rp q(x) el grado de ésta es el máximo (similarmente si tenemos más de sumandos). entre grado(p) k y grado(q) r Pero se puede realizar este proceso de otro modo: Alahoradecalcularlímiteseponeun al que tenga el grado menor (numerador o denominador), y al otro, el coeficiente del término de mayor grado (incluida la raíz correspondiente). Si hay una suma de varios términos con ese mismo grado máximo, entonces se pone la suma de sendos coeficientes. De este modo obtendremos generalmente la solución, salvo que dé tanto en el numerador como en el denominador, en cuyo caso tendremos. Así los casos dudosos serán cuando para la parte de grado mayor (bien el numerador sólo, el denominador sólo, o los dos del mismo grado) aparece con más de un sumando de ese grado máximo, y ocurriendo además quelasumadeloscoeficientes correspondientes es nula. Estos casos dudosos pueden resolverse multiplicando numerador y denominador por expresiones elegidas de modo adecuado. El caso más sencillo es el del conjugado de una diferencia de raíces cuadradas. Veamos algunos ejemplos: Ejemplos:. x 4 x 6 (pues el grado del numerador, que vale, es menor que el del denominador, que vale ).. x + 6+x (pues los grados del numerador y del denominador coinciden, ambos valen ).. x + x + x+ x+ (pues el grado del numerador, que vale, es mayor que el del denominador, que es ). 4. ). x x 4 x 4x 5+ x+x (pues los grados del numerador y del denominador coinciden, ambos valen 5. 4 x x + x 4x + x+x + denominador, que es ). (pues el grado del numerador, que vale 4, es menor que el del 6. 5x x + x 4x x+x 5 (pues los grados del numerador y del denominador coinciden, ambos valen ). 4

5 7. Si aplicamos nuestro criterio en el x + x x+ x nos encontraríamos con que el resultado del límite sería (pues el grado del numerador, que vale que es ). En este caso se puede multiplicar por el conjugado del numerador para obtener x + x ( x + x )( x ++ x ) ( x ++ x ) Ahora el grado del denominador es mayor, luego el límite da +., es mayor que el del denominador, x + (x ) 4 x ++ x x ++ x 8. Si aplicamos nuestro criterio en el límite x+ x+ x+ nos encontraríamos con que el resultado del límite sería (pues los grados del numerador y del denominador coinciden, ambos valen ). 9. Si en el límite x+x x x+ encontraríamos con que el resultado del límite sería que el del denominador, que es intentamos aplicar el mismo criterio que para cocientes de polinomios nos (pues el grado del numerador, que vale, esmayor ). En este caso se puede multiplicar por el conjugado del numerador para obtener x + x x ( x + x x )( x + x + x ) x + x +( x + x + x ) x + x (x ) x + x + x + x + x x + x + x + x + x + x Ahora el grado del denominador es mayor, luego el límite da +. 4 x + x 4x x+x intentamos aplicar el mismo criterio del caso racional nos encontra-. Si en el límite ríamos con que el resultado del límite sería (pues el grado del numerador, que vale 4,esmenorque el del denominador, cuyo valor es ). En este caso se puede multiplicar por el conjugado del denominador para obtener 4 x + x 4x x +x 4 x +( x 4x + x +x ) ( x 4x x +x )( x 4x + x +x ) 4 x +( x 4x + x +x ) x 4x ( x +x ) 4 x + x 4x + 4 x + x +x ) 4x +x Ahora el grado de numerador y denominador es, luego el límite daría Si en el límite x 6 +4x x 6 x 4 4 x+4 intentamos aplicar el mismo criterio del caso racional nos encontraríamos con que el resultado del límite sería (pues el grado del numerador, que vale 6,esmayorqueeldel denominador que es ). En este caso se puede multiplicar por el conjugado del numerador para obtener x6 +4x x 6 x 5 4 x4 +4 ( x 6 +4x x 6 x 5 )( x 6 +4x + x 6 x 5 ) 4 x4 +4( x 6 +4x + x 6 x 5 ) x 6 +4x (x 6 x 5 ) 4 x4 +4 x 6 +4x + 4 x 4 +4 x 6 x 5 ) 4x + x 5 4 x4 +4 x 6 +4x + 4 x 4 +4 x 6 x 5 ) (pues el grado del numerador, que vale 5, es mayor que el del denominador, 4). 5

6 6 Continuidad Ejemplo: Analicemos la continuidad de la siguiente función en el punto x función ( x si x< f(x) si x Como f(x) x x x f(x) x + x + no existe f(x), por lo que la función f no es continua en x. x Ejemplo: Analicemos la continuidad de la siguiente función en todo punto f(x) ( sin x x(x ) si x 6, si x, Para x 6, la función admite los valores de la función sin x x(x ) la cual es continua en todos ellos, por ser un cociente de dos funciones continuas con denominador no nulo. Analicemos la continuidad en x y x. En el primero de ellos se tiene que sin x f(x) x x x(x ) sin x ( ) x x x x ycomof() se tiene que f es continua en x. Considerando el segundo punto se verifica que sin x f(x) x x x(x ) luego la función f no es continua en x. Continuidad lateral Si reemplazamos el límite, en la definición de continuidad, por el límite por la izquierda o el límite por la derecha, obtendremos los conceptos de continuidad por la izquierda y continuidad por la derecha. De hecho se tiene que una función es continua si lo es por la izquierda y por la derecha. 7 Equivalencias Definición: Diremos que funciones f y g son equivalentes en el punto a cuando f(x) g(x). En esta situación pondremos f(x) ' g(x) en a. A continuación ponemos algunas de las equivalencias más usadas: Ejemplos: sin x ' x cuando x tiende a log x ' x cuando x tiende a cos x ' x cuando x tiende a a n x n + a n x n a ' a n x n cuando x tiende a + (n,a n 6) log(a n x n + a n x n a ) ' log(x n ) cuando x tiende a + (n,a n > ) ( + x) k ' kx cuando x tiende a (k R).. sin[f(x)] ' f(x) si f(x) tiende a. Asíporejemplosin x ' x cuando x tiende a.. sin x ' x si x tiende a, porloquesin x ' x. 6

7 . cos[f(x)] ' [f(x)] / cuando f(x) tiende a. Asíporejemplo cos( x 8) ' [ x 8] / cuando x tiende a. 4. log[f(x)] ' f(x) cuando f(x) tiende a. Asíporejemplolog( + x) ' +x x cuando x tiende a. Observación: Las equivalencias pueden obtenerse mediante el polinomio de Taylor. Concretamente: el primer término (no nulo) del polinomio de Taylor de una función f en un punto a es una función equivalente a f en a. Ejemplo: Calculemos el siguiente límite: x x sin x cos x x x x sin x x x / x x x / sin x x x x /. x Observación: Como consecuencia de la equivalencia: log[f(x)] ' f(x) cuando f(x) tiende a, se deduce que en un límite f(x) g(x) en el que salga una indeterminación de la forma podemos aplicar la fórmula f(x)g(x) e g(x) log[f(x)] Ejemplo: Calculemos el siguiente límite: e log[f(x)] g(x) [f(x) ] f(x) e log[f(x)] g(x) [f(x) ] f(x) e g(x) [f(x) ] e g(x) [f(x) ] cos x x x x e x (cos x ) e x cos x x x e cos x x x cos x x x e e x e. 8 Más propiedades gráficas de las funciones derivables Si el límite en la definición de derivada lo hacemos sólo por la izquierda, respectivamente por la derecha, aparece el concepto de derivada por la izquierda (f (a)), respectivamente derivada por la derecha (f (a)). Además, puede verse que una función tiene derivada en a si y sólo si tiene derivada por los dos lados en a y el valor de ambas es el mismo (quealapostreseráelvalordeladerivada). Ejemplo: Calculemos las derivadas laterales en el punto a de la función f(x) x +si x< si x x + si x> Entonces f ( f(x) f() x + ) x x x x x f ( + ) x + f(x) f() x x + x x x x + y por tanto la función no tiene derivada en el (al no coincidir las derivadas laterales). Veamos a continuación la relación existente entre continuidad y derivabilidad. Al igual que ocurre cuando vimos la continuidad, hay algunos resultados importantes relacionados con la derivabilidad. Concretamente veremos el siguiente: Teorema de Rolle Sea f :[a, b] R una función continua, que además es derivable en ]a, b[. Si f(a) f(b) entonces existe algún punto interior c tal que f (c). Teorema de los Incrementos Finitos de Lagrange: Seaf :[a, b] R una función continua, que además es derivable en ]a, b[. Entonces existe algún punto c ]a, b[ tal que f(b) f(a) f (c) b a Definición de función creciente y de máximos y mínimos, tanto relativos como absolutos Una función f se dice que es creciente en un intervalo I si para cada par de puntos a<bdel intervalo se tiene que f(a) f(b) (se dice estrictamente creciente si para cada par de puntos a<bocurre que f(a) <f(b)). Justo al 7

8 contrario es el concepto de función decreciente, es decir, cuando para cada par de puntos a<bdel intervalo se tiene que f(a) f(b) (se dice estrictamente decreciente si para cada par de puntos a<bocurre que f(a) >f(b)). Una función f se dice que es monótona en un intervalo I si en dicho intervalo es creciente o decreciente. Diremos que una función f presenta en un punto a un máximo relativo cuando existe una bola B(a, r) tal que f(x) f(a) x B(a, r). Simétricamente se define el concepto de mínimo relativo, es decir, cuando existe una bola B(a, r) tal que f(a) f(x) x B(a, r). Se dice que una función f alcanza en el punto a el máximo absoluto en un conjunto Ω si f(a) f(x) x Ω De modo simétrico se define el concepto de mínimo absoluto de Ω si f(a) f(x) x Ω 8. Concavidad y convexidad Una de las definiciones clásicas de función convexa f en un intervalo es que en todo punto a del intervalo la recta tangente a la gráfica y f(x) en el punto (a, f(a)) queda por debajo de la gráfica. Simétricamente diremos que una función f es cóncava si la recta tangente a la gráfica y f(x) en todo punto (a, f(a)) queda por encima de la gráfica. La primera gráfica corresponde a una función cóncava y la segunda a una convexa: Observación: En algunos textos estos conceptos se definen de forma contraria (o incluso hay algunos que utilizan las denominaciones cóncava hacia abajo y cóncava hacia arriba). Cuando manejamos una función f derivable hasta dos veces entonces para determinar cuándo es convexa o cóncava basta determinar cuándo la función f es creciente o decreciente, pues en los intervalos en que f sea creciente f será convexa y en los intervalos en que f es decreciente f es convexa (esto equivale a analizar el signo de la función f, pues en los intervalos I en los que f (x) tenga signo positivo para todo punto x I la función f será convexa y en los intervalos I en los que f (x) tenga signo negativo para todo punto x I la función f será cóncava). Ejemplo: La función f(x) x cumple que f (x), por lo que es convexa en todo R. Ejemplo: La función f(x) x cumple que f (x) 6x, por lo que para x negativos f es cóncava y para x positivos f es convexa. 8. Puntos de inflexión Los puntos de inflexión de una función son los puntos en los que la función pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Si la función f es derivable dos veces (existe f )ya es un punto de inflexión entonces f (a). Para saber si este punto es realmente un punto de inflexión puede intentarse ver que f (a) 6. De todos modos, en la práctica el método más sencillo generalmente para determinar si un punto a enelquesecumplequef (a) es un punto de inflexión, es ver si la función es a un lado del punto cóncava y al otro convexa. Ejemplo: La función f(x) x cumple que f (x) 6x, porloqueenelpunto se anula esta segunda derivada. Como f () 6 6 se tiene que en dicho punto la función alcanza un punto de inflexión. 8

9 8. Representación gráfica de funciones Los conceptos anteriores, entre otros, son recursos que pueden servir para hacernos una idea de la representación gráfica de una función. Ejemplo: Representar gráficamente la función f(x) x x(x+). Se tiene que: Domf R {, }, f(x), f(x), f(x) +, f(x) x x + x x +,f (x) x +x+ x (x+), las raíces de f son,, la función decrece en los intervalos ]-, [ y ], + [ y crece en el intervalo ]-, [, f alcanza en x un mínimo relativo y en x un máximo relativo, f (x) (x x 9x 9) x (x+), la única raíz de f se alcanza en un valor α aproximado a 5., la función es convexa antes de ese valor y después es cóncava, f presenta en x α un punto de inflexión. Portodoloanteriorlagráfica de la función es: Más detalles teórico de los cambios de variable Recordemos que la regla de la cadena decía que (y f) (x) y (f(x)) f (x) opuestodeotromodo: dy dy df (x) (f(x)) dx dt dx (x) (donde llamamos t a la variable de que depende y, y hemos puesto Y y f). En el caso en que la función f es biyectiva, como existe una biyección entre {x Domf} y {t Im f} si para cada x posible llamamos t f(x) (con lo que Y (x) y(f(x)) y(t)) entonces la fórmula anterior puede expresarse así identificando f con t, o más abreviadamente así: dy dx df (x) dy (t) dt dx (x) dy dx dy dt dt dx A veces se identifica además Y con y con lo que la última expresión quedaría en la forma dy dx dy dt dt dx 9

10 Cálculo de límites usando desarrollos de Taylor Propiedad: Cuando la función f es derivable infinitas veces en una bola centrada en a ocurre que el resto es una función que se va haciendo más pequeña según nos acercamos a dicho punto. Concretamente se tiene que R n (x) (x a) n (también es cierto entonces que R n (x) (x a) k para cada k<n). Lo anterior suele expresarse diciendo que el resto de orden n es un infinitésimo de orden superior a n (lo cual significa que tiende a cero aunque lo dividamos por cualquier potencia de (x a) menor o igual que n). Esto lo interpretamos como que el resto es la suma de unos términos cada uno de los cuales tiene grado mayor estrictamente que n. Una notación matemática usual para esto consiste en decir que el resto es o((x a) n ), lo cual significa literalmente, infinitésimo de orden superior a n. El cálculo de determinados límites del tipo pueden realizarse a partir de los desarrollos de Taylor. Ejemplo: Para hallar el utilizaremos el desarrollo de la función en el punto a. Entonces el límite queda así: x sin x x x sin x x x sin x x [x x x! + R (x)] x x x 6 o(x ) x x x 6 o(x ) x 6 6. Observemos que sólo es necesario hallar el desarrollo hasta el primer término que no se cancele, pues los demás van a tener límite cero al tener potencias mayores de x. En nuestro caso se cancela x pero no x!