Cálculo I Me-003. Universidad Técnica Nacional (UTN)

Transcripción

1 Cálculo I Me-003 Universidad Técnica Nacional (UTN) 07

2 ii

3 Índice general. Límite y continuidad de una función.. Noción intuitiva Ejemlos Proiedades de los límites Ténicas ara el cálculo de límites Sustitución directa Transformación de la función Racionalización Otras técnicas ara calcular límites Ejemlos Ejercicios Límites Laterales Límite lateral or la dereca Límite lateral or la izquierda Ejemlos Límite de la función valor absoluto Ejemlos Ejercicios Límites In nitos Reglas de límites in nitos Ejemlos Ejercicios Límites al in nito Límites in nitos al in nito Reglas de límites in nitos al in nito Resumen sobre los límites in nitos Cálculo de límites in nitos iii

4 iv ÍNDICE GENERAL.3.. Ejemlos Ejercicios Límites trigonométricos Ejemlos Ejercicios Funciones continuas y discontinuas en un unto y un intervalo Ejemlos Proiedades de las funciones continuas Discontinuidad de funciones Discontinuidad evitable Ejemlo Discontinuidad inevitable Ejemlos Funciones continuas en intervalos Ejemlos Ejercicios Soluciones Ejercicios (ágina 7) Ejercicios (ágina 45) Ejercicios (ágina 50) Ejercicios (ágina 59) Ejercicios (ágina 65) Derivada de una función 9.. Un roblema relativo a velocidad Derivada de una función Ejemlos Ejercicios Derivación or medio de tablas Tabla de derivación de las funciones rinciales Ejemlos Reglas rinciales ara allar la derivada Ejemlos Regla ara derivar funciones comuestas Ejemlos Ejercicios Diferencial de una función Ejemlos

5 iv ÍNDICE GENERAL.7. Ejercicios Derivadas de orden suerior Ejemlos Derivación imlícita Ejemlos Diferenciación logarítmica Ejemlos Ejercicios

6 Caítulo Límite y continuidad de una función.. Noción intuitiva ) Cómo se comorta la función f() = 4 cerca de =? Dominio máimo = R fg Calcule f() Veamos como se comorta la función f() = 4 en la tabla de valores: ;9 ;99 ;999 ;00 ;0 ; f() 3;9 3;99 3;999? 4;00 4;0 4; Note que la función f() = 4 or la izquierda al valor 4 se aroima tanto or la dereca como Grá co de la función f() = 4

7 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN y Se dice que!4 = 4 ) Sea g() = Dominio máimo = R fg Calcule f() Veamos como se comorta la función g() = en la tabla de valores: 0;9 0;99 0;999 ;00 ;0 ; g() ;9 ;99 ;999? ;00 ;0 ; Note que la función g() = or la izquierda al valor se aroima tanto or la dereca como Grá co de la función g() =

8 .. NOCIÓN INTUITIVA 3 y Se dice que! = 3) Sea f() = +, si, si > Calcule f() Veamos como se comorta la función f() en la tabla de valores: ;9 ;99 ;999 ;00 ;0 ; f() ;9 ;99 ; ;004 4;04 4;4 Grá co de la función f() = +, si, si >

9 4 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN y Tenemos que! f() = 4 y f() = 3, como los límites or la dereca! + y la izquierda no se aroiman al mismo número se dice que el límite de la función f() no eiste cuando tiende a. De nición La noción de que f() tiende a un número L cuando tiende a un número a se uede de nir: Si f() uede aroimarse arbitrariamente a un número nito L tomando su cientemente cercano, ero distinto de un número a tando or la izquierda como or la dereca entonces tenemos: f() = L!a Lo dico anteriormente se uede eresar de la siguiente manera: Sea f una función de nida en A R y a un unto tal que a A entonces f() = L si dado " > 0 eiste un > 0 tal que si 0 < j aj <!a entonces jf() Lj < "

10 .. NOCIÓN INTUITIVA 5... Ejemlos Calcule los siguientes límites. 3 + a)! + Al realizar la resectiva tabla de valores se obtiene que: ; ;0 ;00-0;999-0;99-0;9 f() 3;3 3;03 3;003? ;99 ;9 ;7 Se tiene que la función f() = como or la izquierda al valor 3, or lo que! se aroima tanto or la dereca = 3. b) + Al realizar la resectiva tabla de valores se obtiene que: 0; 0;0 0;00 0 0;00 0;0 0; f() ;948 ;994 ;999? ;0004 ;004 ;048 Se tiene que la función f() = se aroima tanto or la dereca + como or la izquierda al valor, or lo que =. +

11 6 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN c) De acuerdo a la grá ca calcule: y a)! f() c)! + f() e)! f() b)! 4 f() d)! f() f)! f() Nota: El conceto de límite no ace mención del valor que toma la función en ese unto, ya que el conceto de límite de la función es indeendiente del valor que toma la función en ese unto.

12 .. NOCIÓN INTUITIVA 7 d) sin Al realizar la resectiva tabla de valores se obtiene que: 0;03 0;0 0;0 0 0;0 0;0 0;3 f() ? Se tiene que la función f() = sin or la izquierda al valor, or lo que sin =. se aroima tanto or la dereca como e) Sea f() =, calcular f() Debemos calcular entonces. Al realizar la resectiva tabla de valores se obtiene que: 0; 0;0 0;00 0 0;00 0;0 0; f() ? Se tiene que la función f() = se aroima tanto or la dereca como or la izquierda a valores cada vez más grandes, or lo que = : f) Sea f() = + 4, si 5, si >, calcular! f(). Al realizar la resectiva tabla de valores se obtiene que: 0;9 0;99 0;999 ;00 ;0 ; f() Tenemos que! f() = 4 y f() =, como los límites or la! + dereca y la izquierda no se aroiman al mismo número se dice que el límite de la función f() no eiste cuando tiende a.

13 8 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.. Proiedades de los límites Si a y b son números reales, n Z +, f y g son funciones que oseen límites cuando tiende a a, entonces:. Si el límite eiste es único.. Función identidad:!a = a 3. Función constante:!a b = b 4. Múltilo escalar:!a bf() = b!a f() 5. Suma o diferencia:!a [f() g()] =!a f()!a g() f() f() 6. Cociente:!a g() =!a, con g() 6= 0. g()!a i n 7. Potencia: [f ()] n = f ()!a!a 8. Radical: q n f () = n f ()!a!a 9. Límites trigonométricos: sin =, cos = 0

14 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 9.3. Ténicas ara el cálculo de límites Cuando se calcula el límite de una función en un unto se emlean los teoremas enunciados anteriormente, sin embargo eisten otras técnicas que se resumen de la siguiente manera. Emlear sustitución directa siemre que sea osible. Si la función contiene un cociente y se origina la forma indeterminada 0, se alican transformaciones 0 algebraicas ara evitar que se anule el denominador. En esete caso eisten dos métodos a utilizar: a) Simli car la fracción a través de la alicación de métodos de factorización. b) Racionalizando la fracción ara obtener un denominador que tienda a un límite diferente de cero..3.. Sustitución directa 3 )! + Para calcular este límite se evaluará a 3 + 3! + = ( ) 3 ( ) + = 3 + = 5 3 Así obtenemos que! + = 5 sustituyendo =. ) ( )

15 0 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN De manera similar evaluando en = 0 se obtiene: ( ) = 3 (0) (0) 4 + 6(0) = Así obtenemos que ( ) =.3.. Transformación de la función Factorización )! Para calcular este límite rimero se deberá a factorizar = 3 + Recuerde que: a) a b = (a b) (a + b) = ( ) ( + ) 3 + = ( ) ( + ) ( ) ( ) b) 3 + se uede factorizar utilizando insección: = ( + ) ( ) 3 3, de donde 3 + = ( ) ( ) Luego de aber factorizado la eresión! = ( + )! ( ) = 4 Así obtenemos que! = se obtiene que:

16 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES )!a a + a 3 a 3 Factorizando la eresión a + a 3 a 3 obtenemos: a + a 3 a 3 = ( ) + ( a + a) 3 a 3 = ( ) + a ( + ) ( a) ( + a + a ) = ( ) a ( ) ( a) ( + a + a ) = ( ) ( a) ( a) ( + a + a ) = ( ) ( a) ( a) ( + a + a ) = + a + a Así obtenemos que!a a + a 3 a 3 =!a a + a + Aora evaluando en = a tenemos que:!a a + a + = a a a + a + a = a a + a + a = a 3a a + a Así obtenemos que = a!a 3 a 3 3a 3)! Al factorizar utilizando insección obtenemos:, de donde = ( ) ( 3)

17 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Así , de donde 7 + = ( 4) ( 3) = ( ) ( 3) ( 4) ( 3) 5 + 6!3 7 + = ( )!3 ( 4) = = ( ) ( 4) Así obtenemos que! = or lo que: 4)! 4 Para calcular este límite debemos factorizar la eresión 4 utilizaremos la fórmula notable a b = (a b) (a + b)., ara ello 4 = ( ) = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) De esta manera obtenermos que:! 4 = ( ) ( + ) ( + )! Por lo que! 4 = 4 =! ( + ) ( + ) = )! Para calcular este límite debemos factorizar la eresión ( + 5 3) y ( 3 + 7), ara ello utilizaremos el método de insección la fórmula notable: a 3 + b 3 = (a + b) (a ab + b ).

18 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 3 Al factorizar ( + 5 3) y ( 3 + 7) tenemos que: , de donde = ( + 3) ( ) = = ( + 3) ( 3 + 9) De esta manera obtenemos que: + 5 3! =! De donde! ( + 3) ( ) ( + 3) ( 3 + 9) =! 3 =! = )! Para calcular este límite debemos factorizar ( ) y ( 3 + 3) utilizando división sintética. Para los osibles ceros son: y. Tomando el valor obtenemos Por lo que = ( ) ( ) De manera similar ara los osibles ceros son: y 3. Tomando el valor obtenermos

19 4 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Por lo que = ( ) ( + + 3) De esta manera obtenemos que: ! De donde! =! ( ) ( ) ( ) ( + + 3) =! =! = Racionalización )! + + Para calcular este tio de límites es necesario racionalizar, ara ello debemos recordar: a) Todo número multilicado or da como resultado el mismo número b) Todo número dividido or si mismo da como resultado c) la fórmula notable: a b = (a b) (a + b) Alicando los untos antes descritos tenemos que: = = = ( + ) + + = + ( + ) + + =

20 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 5 + ( + ) + + = + ( + ) + + = + + De esta manera obtenemos que:! + + = =! + + )!4 4 De manera similar al ejemlo anterior ara calcular este límite es necesario acer uso de la racionalización. 4 = 4 = 4 + = ( 4) ( + ) + ( ) ( + ) = ( 4) ( + ) ( ) = ( 4) ( + ) ( ) = De esta manera obtenemos que: 4 = + = 4!4!4 ( 4) ( + ) 4 = + 3)! Para calcular este límite tenemos que: 3 9!9 8 = 3 ( 3)!9 (9 ) 3 =!9 ( 3) (9 ) = 3 3!9 9 Hasta aquí emos factorizado y utilizado la roiedad número 4 de los límites, 3 aora nuestro roblema se resume a la eresión la cual es necesario 9 racionalizar.

21 6 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 3 9 = 3 9 = = ( 3) ( + 3) + 3 (9 ) ( + 3) ( ) 3 (9 ) ( + 3) = 9 (9 ) ( + 3) = (9 ) (9 ) ( + 3) = + 3 De esta manera obtenemos que: 3 3!9 9 = 3 = 3! = 4 = 4) Para este límite se tiene que: = = = = (7) 49 + (3) = (49 (49 + )) (9 (9 + )) = (49 49 ) (9 9 ) = = De esta manera obtenemos que: = = 3 7

22 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Otras técnicas ara calcular límites )!3 3 9 Factorizando 9 obtenemos que: 9 = 3 = (3 ) (3 + ) Luego simli camos la fracción 3 3 = 3 3 De esta manera:!3 3 9 =!3 ( 3) 3 (3 ) (3 + ) =!3 ( 3)!3 3 (3 ) (3 + ) =!3 3 (3 y obtenemos: ( 3) 3 (3 ) (3 + ) (3 ) ) (3 + ) =!3 3 (3 + ) = 54 = )!4 6 4 Simli cando la fracción.se tiene que: 6 6 = 6 6 Luego debemos factorizar 6 6 = 4 = (4 ) (4 + )

23 8 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Finaente obtenemos que:!4 6 4 =! =!4 (4 ) (4 + ) 6 4 =!4 (4 ) (4 + ) 6 4 =!4 (4 ) (4 + ) 6 ( 4) =!4 ( 4) (4 + ) 6 ( 4) =!4 (4 + ) 6 = 3 3) 3 ( + ) 5 ( + ) + 7 ( ) Tenemos que: 3 ( + ) 5 ( + ) + 7 ( ) 3 ( + + ) ( + + ) ( ) = = = = = = 6 5 = 4)!

24 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 9 Tenemos que: = ( ) ( + ) = ( + ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) = + De esta manera:! =! + = 5)! 3 3 = 3 ( 3 ) ( 3 ) = ( 3 ) ( 3 ) + 3 i + ( ) ( 3 ) + 3 i = + ( 3 ) 3 ( ) ( 3 ) + 3 i = + ( ) ( 3 ) + 3 i = + ( 3 ) De esta manera:! 3 =! ( 3 ) = 3

25 0 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.3.5. Ejemlos 3 )! =! ( ) ( + + ) =! + + =! + + = + + = 3 )! + =! ( + ) ( ) =! + = 3 3)! =! ( ) ( + ) =! ( ) ( + ) =! ( + ) = 4) = ( ) = = 5)! + = ( ) ( + )! + =! = + 3 6)! + =! ( + ) ( ) = + = 5! 7)!3 + + = = 5

26 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 3 8)! + ( + ) ( 3) =! + =! 3 = 5 9) = = = = = = )!3 9 =!3 3 3 =!3 3 ( 3) ( + 3) =!3 + 3 = )! + = ( + ) ( + + )! + =! + + = 3 + )! + = ( + ) ( + + )! + =! + + = 3 3)! 4 =! 4 =! =! ( ) ( ) ( + ) =! + = )! = ( ) ( 3)! ( + ) ( ) = 3! + = 3

27 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN )! = ( + 3) ( + )! ( + ) ( + ) = + 3! + = ) = =!4!4 +!4 + + = ( 4) ( + )!4 ( ) ( + ) = ( 4) ( + )!4 ( ( 4) ( + ) ) = ()!4 4 + = 4!4 = (9 ) ( + 3) 7) = =!9 3! !9 ( 3) ( + 3) = (9 ) ( + 3)!9 ( (9 ) ( + 3) ) = 3!9 9 =!9 ( 9) ( + 3) 9 =!9 ( + 3) = 6 + 8)! =! ( ) ( + ) = +!4 ( 3 64) ( + ) =!4 ( ) ( ) ( + ) =!4!4 ( ) ( + ) = 9 4 ( 4) ( ) ( + ) = 3 79 ( 9) ( ) ( 9) ( ) ( + 3) 9) = =!9 3!9 3!9 ( 3) ( = + 3)

28 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 3 ( 9) ( ) ( + 3)!9 ( ( 9) ( ) ( + 3) ) = 3!9 9 =!9 ( ) ( + 3) = = = = = = = = 0) = = = i ( + ) i = + + (4 + 4) + + = = = = )! + 3 =! =! =

29 4 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN i ( ) i! = = + 3 +! [4 ( + 3)] +! ( ) ( ) = [4 3] +! ( ) + = =! + 6 )! =!3 5 8 ( + ) ( 3) ( 3) ( ) ( + ) =!3 + ( ) ( + ) = Resecto al olinomio se utilizó división sintética ara su factorización De esta manera = ( 3) ( ), luego alicando insección en 3 se tiene que ( 3) ( ) = ( 3) ( + ) ( ) 5 3)!5 0 =!5 ( 5) (5 + ) ( 5) =!5 (5 + ) = )! ( 3) ( + ) ( + ) =! ( + ) = ( + ) ( 6) = ( + ) ( + ) ( 3) ( 3) ( + ) =! =

30 .3. TÉNICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 5 5) 3 = ( 3) = 3 = 3 6)! 3 8 =! ( ) ( + + 4) =! = + 5 7)! 5 5 = ( 5) = = 5 8)! = = = 0 9 = 0 9) + = ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = (0 + ) = 4 30) ( + ) + ( + ) ( + ) = = ( + + ) = = + + = +

31 6 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 3) 4 ( + ) ( + ) (4 ) = 4 ( + + ) ( + ) (4 ) = = = (4 + 8 ) = = 8 4 3)! =! = (4 ) ! (4 ) =! 9 ( + 5) = (4 ) ! 9 5 (4 ) =! 9 5 = (4 ) = 3 +! = 6!

32 .4. EJERCICIOS 7.4. Ejercicios. Halle el valor de cada límite si eiste. )! + + )! )!3 5 4)! 5)! 3 r )! )! )! 3 9)! )! ) 4 + ) + 3) 4) 5 4 5) 8 0 6)! )! 8)!7 9)!5 0)! )! ( ) ) )! ) 8 ( + ) 3 5 ( + ) + 6 ( )

33 8 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN u u 5) u! u 6)!a 7) 8)!3 3 a + a a )! )! 3)!4 4 3)! 33) q ( + ) ) 3 ( + ) 5 ( + ) (3 5). Determinar los siguientes límites, utilizando ara ello la reresentación grá ca de la función g(), que se da a continuación: )! 3 g() ) g() 3)! g() 4)! g() 5)!4 g() 6)! g() 7)! g()

34 .4. EJERCICIOS 9 3. Encuentre los límites de la grá ca de la dereca: )! f() )! f() 3)!3 f() 4) f() 5) + f() 6) f() 7)! f() 8)! + f() 9) f() 0) f() 4. Encuentre los siguientes límites: )! )! + 3 3)! + 4)! 5) (3 + ) 9 6)! )! ) 0 9)!7 0) )! )! ( ) 3) ( )

35 30 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN + 6 4)! ) ( + ) 6 6)! )! )! )! )!5 5 )!3 ( 3) 8 ) ( + ) 3)! 3 4) (3 + ) 9 5)! + 6 6)! ) (5 ) 5 8)! ) ( + ) ) t!0 ( + t) 4 t 3) t! t + t 6 t 4 3)! ) (3 + ) 3 34)! 35)! ) ( + ) 37)! ) r! r r + 5r 7 39)! )! 3 a + b a b 4 4)! )! )!

36 .4. EJERCICIOS 3 9 t 44) t!9 3 t 4 s 45) s!6 s 6 t 46) t!0 t t t 47) t! t t ) t!0 t 3 49)! ) + 3 5)!5 5 5 w 6 + w 5) w! w )! )!+ 55) 5 3! )! + ln ( ) 57) e )! ) r!+ 4 r 4 r + r + r )! !+ 6) 6)! 63)!+ 64)! 65)!

37 3 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 8 >< 5. Para la función f() = >: los límites siguientes: si < 3 + si 3 < si 0 9 >= >; encuentre )!3 + f() )!3 f() 3)!3 f() 4) f() 5) + f() 6) f() 6. Para la función f() = los límites siguientes: 8 < : + 3 si < si 0 < si > 9 = ; encuentre ) f() ) + f() 3) f() 4)! + f() 5)! f() 6)! f() 7. Determine el valor o los valores de c, ara los cuales se cumle la igualdad. + ) = 4!c ) =!c 4 3 3)!c + = ) =!c

38 .4. EJERCICIOS Encuentre el límite dado, o concluya que no eiste. )! 4 5 ) cos 3)!3 ( 4) 4)! (3 9) 5)! 6)!5 ( ) 3 7)! (3 4 + ) 8)!6 ( ) 9)! ) ) t! (3t ) (5t + ) ) t! (t + 4) 3) s!7 s s + 4)! )! (3 + + ) 35 6)! (3 4) 40 ( ) 36 7)!6 5 8)!8 ( + 3 ) 9) t! t t + t 0)! y 5 ) y! 5 y + 5 ) u!8 u 5u 4 u 8 3)! 3 4) t! t 3 + t 5) ( ) ( + 5) ( 8) + 6 6)! )! )! ) t! t 3 t + t 3 + t 30) 3 ( )

39 34 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 3) + ( + ) ( 5 ) 3 ( + 4) 3) ! ) )! )!3 + ( + 3) 3 36) ( 4) 99 ( 7) 0!3 r 0 37) + 5 q 38) r! 39)!4 r (r + 3r ) 3 q 3 (5r 3) ) (t + ) 3 (t + 4) 3 t! 4) 8 + 5! + 43) (at + bt) t! 44) u + u +! 45) (8 + ) 64 46) ( + ) 3 47) + 48) 49) t! 50) u!5 5) v!0 +, ( > 0) t t u u v 5 + v 4) r )! + 5

40 .4. EJERCICIOS Suonga que f() = 4 y g() =. En cuentre el límite dado, o!a!a concluya que no eíste. )!a [5f() + 6g()] )!a [f()] 3 3)!a g() s f() 4)!a g() f() 5)!a f() g() [f()] 4 [g()] 6)!a f() g() 7)!a f()g() 8)!a f() + g(), a 6= Se tiene que! siguientes límites. = 00. Utilice este resultado ara calcular los )! 00 )! 50 3)! ( 00 ) ( ) sin. Se tiene que siguientes límites. =. Utilice este resultado ara calcular los ) sin sin ) cos 3) 8 sin. Use sin 3) Si! f() =, ara mostrar que sin = 0. = 4, encuetre! f():

41 36 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.5. Límites Laterales.5.. Límite lateral or la dereca De nición Sea f una función de nida en A R y c un unto tal que c A. Se dice que f() = D si y solo si ara cada valor de tan cercano!c + a c como sea osible, ero sólo or su dereca, la función f() se aroima al valor D tanto como se quiera. Lo dico anteriormente se uede eresar de la siguiente manera: Sean f : A! R y c A entonces: f() = D si dado " > 0 eiste un > 0 tal que:!c + si c < < c + " entonces D < f() < D +

42 .5. LÍMITES LATERALES Límite lateral or la izquierda De nición 3 Sea f una función de nida en A R y c un unto tal que c A. Se dice que f() = I si y solo si ara cada valor de tan!c cercano a c como sea osible, ero sólo or su izquierda, la función f() se aroima al valor I tanto como se quiera. Lo dico anteriormente se uede eresar de la siguiente manera: Sean f : A! R y c A entonces: f() = I si dado " > 0 eiste un > 0 tal que:!c si c " < < c entonces I < f() < I

43 38 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.5.3. Ejemlos a) Sea f() = si 4 3 si > calcular f() y! +! f(): f() = 4 3 =! +! +! f() =! = 0 Teorema!a f() eiste si y sólo si!a f() =!a + f(): b) Sea f() = 3 0 si 3 8 si > calcular f() y! +! f(): f() = 3 8 =! +! +! f() =! 3 0 = En este ejemlo en articular tenemos que f() =! +! f() eiste y es :! f() or lo que c) Para la función f() = calcular! + f():! =! + ( + 5) ( ) ( ) ( + ) =! + ( + 5) ( + ) = 7 4

44 .6. LÍMITE DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 39 d) Para la función f() = 3 calcular f() y!3 +!3 f(): f() =! En este caso recordemos que al estarse evaluando el límite de la función f() or la dereca los valores que se toman serán cercanos a 3 ero mayores que 3, or lo que se estaría evaluando la raíz cuadrada de números negativos, la cual no eiste.!3 f() =!3 3 = 0 En este caso al estarse evaluando el límite de la función f() or la izquierda los valores que se toman serán cercanos a 3 ero menores que 3, or lo que se estaría evaluando la raíz cuadrada de números que cada vez se aroiman más a Límite de la función valor absoluto De nición 4 Si R, el valor absoluto de, se denota como jj y está de nido or. jj = si 0 si < 0 Para calcular el límite de la función valor absoluto utiliazmos la siguiente roiedad: el límite del valor obsoluto de una función es igual al valor absoluto del límite de la función. jf()j = f()!a!a Nota: Al igual que en los casos anteriores, este tio de límites ueden calcularse mediante transformaciones de la función dada, ero a veces es necesario calcular sus límites unilaterales ara determinar la eistencia de los mismos.

45 40 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN El lector debe tomar en cuenta además que ara calcular límites de la forma indeterminada 0 que involucren uno o varios valores absolutos es necesario 0 alicar la de nición de valor absoluto a cada uno de ellos. jf()j = f() si 0 f() si < Ejemlos a)! j j Para calcular este límite deberemos analizar rimero la eresión j j : j j = si 0 () ( ) si < 0 () < Una vez analizado el valor obsoluto de la función deberemos lantearnos dos casos, el rimero cuando ; en donde se estará analizando el límite or la dereca, y el segundo cuando <, en donde se estará analizando el límite or la izquierda.! + j j =! + =! j j =! ( ) =! ( ) = Finaente odemos observar que los límites laterales de la función en estudio no son iguales or lo que! j j b)! 5 ( ) j j

46 .6. LÍMITE DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 4 j j = si 0 () ( ) si < 0 () <! + 5 ( ) j j =! + 5 ( ) = 5! 5 ( ) j j =! 5 ( ) ( ) =! 5 ( ) ( ) = 5 Finaente obtenemos que! 5 ( ) j j c)!5 ( + 3) 5 j 5j j 5j = 5 si 5 0 () 5 ( 5) si 5 < 0 () < 5 En este caso se nos ide analizar solamente el límite or la izquierda de la función cuando tienda a 5, es decir, debemos evaluar la función en el caso < 5.!5 ( + 3) 5 j 5j =!5 ( + 3) 5 ( 5)!5 ( + 3) 5 ( 5) =!5 ( + 3) = 8 Finaente tenemos que!5 ( + 3) 5 j 5j = 8 d)!3 + j3 j j3 j = 3 si 3 0 () 3 (3 ) si 3 < 0 () 3 <

47 4 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN j3 j! = 3! = 0 Finaente tenemos que!3 + j3 j = 0 e) j j j + j 8 >< j j = >: 8 >< j + j = >: si 0 () ( ) si < 0 () < + si + 0 () ( + ) si + < 0 () < Reresentemos la información anterior en una tabla de valores ara obtener una visión más clara de lo que ocurre. 0 + j j ( ) ( ) ( ) j + j ( + ) Aora ara calcular el límite de la función cuando se aroima a 0 deberemos analizar el límite or la izquierda y or la dereca y ara ello debemos jar nuestra atención a los intervalos ; 0 y 0; de esta manera se tiene que: j j j + j = ( ) ( + ) = + 4 = 4

48 .6. LÍMITE DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 43 j j j + j + = + ( ) ( + ) = = 4 Finaente j j j + j = 4 Grá camente la función j j j + j se ve de la siguiente manera ( ) f)! j j j j = si 0 () ( ) si < 0 () < ( )! + j j =! + ( ) =! + ( ) ( ) =! + ( ) = 0

49 44 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN! ( ) j j =! ( ) ( ) =! ( ) ( ) =! ( ) = 0 ( ) Finaente! j j = 0 g) jj jj = + si 0 si < 0 jj = + jj = Finaente jj ) j j ( + ) jj = 0 = + = = si 0 jj = si < 0 si j j = ( ) si < j j ( + ) + jj = + ( ) ( + ) = + 3 = 3 j j ( + ) jj = ( ) ( + ) = 3 = 3 Finaente j j ( + ) jj

50 .7. EJERCICIOS Ejercicios. Halle los límites de las siguientes funciones. jj ) 9)!3 j + 3j 3 j 9j )!4 j 6j 4 j3 0j + 5 0)!5 + j5 j 3) j 3j 9 j5 + j j 3j )! j3 j 4) j 5j j + 5j jj 5)!7 j 7j 7 6)! 3 j j j 4j 7) j3 5j + j5 j s j 8)! 3 j9 5j j )!5 j + 7j 3 ( 5) j 3j 3)! + 5 j j j j 4) j3 j j3 + j 5)! 4 j j j j 6)! 3 jj + j 3j 9

51 46 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.8. Límites In nitos Considere la función f() =, su dominio esta dado or D f = R grá ca es la siguiente. f0g y su y Veamos como se comorta la función f() = en la tabla de valores: 0;75 0;5 0;00 0; ;000 0;00 0;5 0;75 f() ; ? ;33 De acuerdo a la tabla anterior odemos deducir que cuando nos acercarmos a 0 or la izquierda f() tiende a ir a, mientras que si nos acercanos a 0 or la dereca f() tiende a ir a +: Simbólicamente lo dico anteriormente se escribe. = + = + Es necesario aclarar que esto no signi ca que el límite or la izquierda o el límite or la dereca eiste o que o + es un número real, sino que eresa que la función se ace tan equeña o tan grande como deseamos escogiendo su cientemente cercano a cero or la izquierda o or la dereca. Finaente tenemos que +

52 .8. LÍMITES INFINITOS 47 De nición 5 Sea f una función de nida en A R y c un unto tal que c A. Se dice que f() = + si ara todo número real N > 0 (tan!c grande como se quiera), eiste > 0 tal que ara todo A se cumle que f() > N siemre que 0 < j cj <. De nición 6 Sea f una función de nida en A R y c un unto tal que c A. Se dice que f() = si ara todo número real N < 0 (tan!c equeño como se quiera), eiste > 0 tal que ara todo A se cumle que f() < N siemre que 0 < j cj <.

53 48 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.8.. Reglas de límites in nitos a) Sea n tal que n Z +, entonces:. = + si n es un número ar. n. + = + n n = 9 >= si n es un número imar. >; son irre- b) Considere que f() = k, con k 6= 0, g() = 0 y f()!a!a g() ducibles, entonces: f(). = + si f() y g() tienen el mismo signo en un entorno!a g() alrededor de a: f().!a g() = si f() y g() tienen diferente signo en un entorno alrededor de a:

54 .8. LÍMITES INFINITOS Ejemlos a)!3 3 Veamos en la siguiente tabla como se comortan cada uno de los elementos de conforme nos acercamos al valor de 3 or la dereca ;000 3;00 3;0 3; 4 ;000 ;00 ;0 ; 3 0 0;000 0;00 0;0 0; De la información anterior y alicando las reglas de límites in nitos se deduce que:!3 + 3 = De manera similar veamos como se comortan cada uno de los elementos de conforme nos acercamos al valor de 3 or la izquierda. 3 ;9 ;99 ;999 ; ;9 0;99 0;999 0; ; 0;0 ;00 ;000 0 De la información anterior y alicando las reglas de límites in nitos se deduce que:!3 3 = + Finaente tenemos que:!3 3

55 50 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN b)! 3 (3 ) ( ) Cuando se aroima a, 3 (3 ) se aroima a 8 y ( ) se aroima a 0. Por otra arte tenemos que ( ) está elevado a un eonente ar, or lo que, sin imortar or donde nos aroimemos a (ya sea or su izquierda o su dereca) el resultado siemre será ositivo, luego aciendo uso de las reglas de límites in nitos tenemos que: 3 (3 )! ( ) = + c) Tenemos que está elevado a un eonente ar, or lo que: = +.9. Ejercicios. Calcule los siguientes límites. )! )! )! )!8 ( 8) 5)! )!5 7)! )! )! + ( ) 0)! )! )! ( ) 5 4 ( )

56 .0. LÍMITES AL INFINITO 5.0. Límites al in nito Sea f() =, D f = R f0g, cuya grá ca corresonde a la siguiente: y De la grá ca de f() odemos observar que con forme se acerca a cada vez a valores más grandes o más equeños f() se acerca más a 0, simbólicamente esto se reresenta de la siguiente manera: En general tenemos que:!! = 0; y!+ k n = 0, en donde k es una constante y n Z+ : De nición 7 Sea A R y f una función tal que: f : A! R: i) Suóngase que [a; +[ A, ara cualquier a R. Se dice que el límite de la función f() cuando tiende a más in nito es L y se escribe: f() = L!+ si ara cualquier " > 0, eiste un número M > a tal que ara cualquier > M se cumle que jf() Lj < ":

57 5 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN ii) Suóngase que ] ; b] A, ara cualquier b R. Se dice que el límite de la función f() cuando tiende a menos in nito es L y se escribe: f() = L! si ara cualquier " > 0, eiste un número M < b tal que ara cualquier < M se cumle que jf() Lj < ":

58 .. LÍMITES INFINITOS AL INFINITO 53.. Límites in nitos al in nito De nición 8 Sea A R y f una función tal que: f : A! R: i) Suóngase que [a; +[ A, ara cualquier a R. Se dice que el límite de la función f() cuando tiende a más in nito es más in nito (o bien menos in nito) y se escribe: f() = + (resectivamente, f() = )!+!+ si ara cualquier R, eiste un número M > a tal que ara cualquier > M se cumle que f() > (o bien f() < ): ii) Suóngase que ] ; b] A, ara cualquier b R. Se dice que el límite de la función f() cuando tiende a menos in nito es más in nito (o bien menos in nito) y se escribe: f() = + (resectivamente, f() = )!! si ara cualquier " > 0, eiste un número K < b tal que ara cualquier < K se cumle que f() > " (o bien f() < "): De manera resumida las de niciones anteriores indican que si es ositivo y grande (o bien negativo y muy equeño), su corresondiente imagen f() también es ositiva y grande (o bien negativa y muy equeña).

59 54 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN... Reglas de límites in nitos al in nito a) Sea n tal que n Z +, entonces:.!+ n = + 8 <.! n = : +, si n es un número ar. ; si n es un número imar... Resumen sobre los límites in nitos Hasta el momento se an estudiado tres tios diferentes de límites in nitos.. Límites in nitos: En ellos la variable tiende a un número real y el límite es igual a :. Límites al in nito: En ellos la variable tiende a y el límite es igual a un número real. 3. Límites in nitos al in nito: En ellos la variable tiende a y el límite es igual a : Reglas algebraicas que se an estudiado sobre este tio de límites. a) Si f() = k 6= 0, g() = 0 y f() son irreducibles, entonces:!a!a g() 8 f() < + si f() y g() tienen el mismosigno en un entorno alrededor de a.!a g() = : si f() y g() tienen diferente signo en un entorno alrededor de a.

60 .3. CÁLCULO DE LÍMITES INFINITOS 55 k b)! = 0, en donde k es una constante y n n Z+ : c) Si n Z +, entonces:.!+ n = +.! n = 8 < : +, si n es un número ar. ; si n es un número imar..3. Cálculo de límites in nitos La base ara el cálculo de límites in nitos es factorizar las eresiones sacando a factor común la máima otencia, ara luego, acer uso de las leyes ara límites in nitos que se resumieron en la sección anterior al mismo tiemo que se toman en cuenta las siguientes consideraciones: Oeraciones con in nito Sea k tal que k R, entonces: 8 < +, si k > 0 k + = : ; si k < 0 8 < +, si k < 0 k = : ; si k > 0 (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = (+) + k = + ( ) + k = (+) + (+) = + ( ) + ( ) =

61 56 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Funciones racionales f(). Si el grado de f() es igual al grado de g() entonces! g() = a b, el cociente de los coe cientes dominantes de f() y g(): f(). Si el grado de f() es menor al grado de g() entonces! g() = 0. f() 3. Si el grado de f() es mayor al grado de g() entonces! g() =, deendiendo de los signos del numerador y del denominador..3.. Ejemlos a)! ! = + 3 4! b)! =! ! = 3! =! = ! = 0 5 = 0 c)!

62 .3. CÁLCULO DE LÍMITES INFINITOS ! 3 4 =!! = 4 4 = = + 4 3! d)! ! =! =! ! = + 3 = + e)!+ +!+ + =!+ s + =!+ jj s + Recuerde que jj = que: si 0 si < 0 or lo que, si va ara + se tendrá

63 58 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN jj!+ s + =!+ s + =!+ s + = f) +!!! s + = + = s +! + s jj +! =! s = +! s +! + = g) +! + 9 +! + 9 = +! !! =! =! s + + s = 8 + 9! s + + s + 9! 8 jj r + r + jj + 9 =! jj 8! r + r + + 9! 8! r + r =! 8! r + r = 0

64 .4. EJERCICIOS Ejercicios. Halle los límites de las siguientes funciones. )! + 4 )!3 + 3 ( 3) 3)! + 3 4)!3 ( 3) 4 5)! )! + 7) (5 ) 8)! ( + ) 4 ( + ) 9)! )! )!+ + )! ) ! )! )! 6)!3 7)! 8)! + 3 ( 3) )! )! )! 4 )!+ 3)!+ 4)!+ 5)! 6)!

65 60 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.5. Límites trigonométricos Demostremos que sin =! Al evaluar or sustitución el numerador y el denominador de sin, se obtiene la indeterminación 0. Para resolver esto no se ueden usar las técnicas ara 0 sin el cálculo de límites antes vistas, ero no obstante, si eiste y es. Para demostrar este límite aremos uso de la geometría y algunos concetos de trigonometría. Ubiquémonos en el circulo trigonométrico y consideremos un ángulo cuya medida este en radianes entre 0 y, es decir, 0 < <.

66 .5. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS 6 Consideremos en la gura anterior el triángulo 4ACB y calculemos su área. A 4 = b A 4ACB = sin = sin Consideremos aora el área del triángulo 4ACD y calculemos su área. En el tríangulo 4ACD tenemos que tan = DC = DC, luego su área estará dada or: A 4ADC = tan = tan Aora jemos nuestra atención en el sector circular BAC. Tenemos que el área del sector círcular está dada or A sc = 360 r ; en don de es la medida del ángulo, aora bien, ara un ángulo de radianes (360 ) en nuestro círculo trigonométrico tendríamos que su área estaría dada or: A sc = () =, luego aciendo uso de la regla de tres tenemos que ara un ángulo su área estaría dada or: = A () A = () A = () A = Finaente odemos observar en el grá co que A 4ACB < A sc < A 4ACD, de aquí se uede deducir que: sin sin sin < < < tan sin < () sin < < tan () sin < < sin cos sin sin cos () < De aquí odemos deducir que: sin < cos cos < sin sin <, luego cos = y =, or lo tanto está entre y or lo que debe ser.

67 6 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Qué asa ara valores negativos de? como sin es una función imar se tiene que sin ( ) = sin, or lo tanto: sin ( ) = sin = sin = sin k = k En general tenemos = y sin k = = k k R Demostremos que cos cos = 0! cos = + cos + cos = cos ( + cos ) sin ( + cos ) = sin sin ( + cos ) = = Ejemlos a) tan tan = sin cos cos sin = = = sin cos

68 .5. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS 63 b) tan 3 tan 3 = 0 3 = 0 c) sin cos sin cos = cos cos = ( cos ) ( + cos ) cos ( + cos ) = + cos 0 = + = d) sin 3 3 = e) sin 5 = 5 f) sin 5 sin 5 g) sin 6 sin 7 sin 6 sin 7 = sin 5 = sin 6 sin 7 = 5 = 5 = 6 7

69 64 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN ) cos 3 cos 3 = sin 3 = 3 sin = 3 i) sin 3 sin 3 = sin 3 = 3 = 3 j) sin 4 5 sin 4 5 = sin 4 5 = 5 4 = 4 5 k) cos 7 cos 7 = 7 cos = 7 0 = 0

70 .6. EJERCICIOS Ejercicios. Calcule los siguientes límites. ) sin 7 7 ) sin 5 6 3) sin 4) cos 0 5) sec sec 6) sin 5 3 7) sin 4 8) sin 7 sin 5 9) sin 3 5 0) sin 5 sin 3 ) sin + 4 ) csc 3) sin 4 4) 3 ( cos ) 5) sin cos 3 6) tan 5 4 tan 7) sin 3 8) sin 7 + sin 5 5 9) tan + sin 0) cos cos 5 ) + cos 3 sin ) sin sin 3) 4) 3 cos sin + sin sin tan 5) 5 cos 5 3 6) + tan sin 7) sin(sin ) 8)! 4 sin cos tan

71 66 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.7. Funciones continuas y discontinuas en un unto y un intervalo De nición 9 Se dice que una función f es continua en un unto a; sí y solo sí, comle con las tres condiciones siguientes:. f está de nida en el unto a (es decir, a ertenece al dominio de f)..!a f() eiste. 3.!a f() = f(a):.7.. Ejemlos a) Determine si la función de nida a continuación es o no continua en el unto = 4.

72 .7. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO67 () = j 4j si 6= 4 3 si = 4 Para resolver este ejercicio se deberán ir robando las tres condiciones citadas anteriormente en la de nición, ara lo cual tenemos que: () si está de nida en el unto = 4, ya que f(4) = 3: Aora debemos revisar los límites laterales de la función.!4 j 4j =!4 4 = 0 j 4j = 4 = 0!4 +!4 + Como () =!4 +!4 () se tiene que!4 () eíste y vale 0. Finaente se tiene que, si bien la función () está de nida en el unto = 4 y su límite eiste y es igual a 0, NO se cumle con la tercera condición ara que la función sea continua, ya que: () = 0 y (4) = 3, or lo que () 6= ():!4!4 Por lo tanto la función () tiene una discontinuidad en el unto = 4: b) Determine si la función f de nida a continuación es o no continua en el unto =.

73 68 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 8 < f() = : + si 6= + 3 si = De manera análoga al ejemlo anterior se tiene que f() si está de nida en el unto =, ya que f( ) = 3: Aora debemos revisar los límites laterales de la función.! + + =! ( + ) ( ) + =! ( ) = 3 +! + + =! ( + ) ( ) + =! ( ) = 3 Como f() =! +! f() se tiene que f() eíste y vale 3.! Finaente se tiene que f() = 3 y f( ) = 3, or lo que:! f() = f( )! Por lo tanto, al cumlir con las tres condiciones de la de nición, la función f es continua en el unto =. c) Determine si la función f de nida a continuación es o no continua en el unto =. f() = + 3 si < + si f() = + = 5! = + 3 = 5

74 .7. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO69 = + = 5! + Finaente se tiene que! f() = 5 y f() = 5, or lo que la imagen de y el límite de la función en coinciden or lo tanto la función es continua en = :.7.. Proiedades de las funciones continuas Teorema Sea A R; sean f y g funciones de A! R y b un unto tal que b R. Suonga que c A y que f y g son continuas en c. Entoces: a) f + g es continua en = c: b) f g es continua en = c: c) f g es continua en = c: d) b f es continua en = c: e) f o g es continua en = c: f) Si : A! R es continua en c A y si () 6= 0 ara toda A, entonces el cociente f g es continuo en c:.7.3. Discontinuidad de funciones Sea A R; sea f una funcion de A! R y sea c un unto tal que a A. Entonces f es discontinua en a si y sólo si se cumlen al menos una de las siguientes tres condiciones: ) La función f no está de nida en a, es decir no eiste f(a): ) No eiste el límite de f en el unto = a: 3) La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes, f(a) 6=!a f():

75 70 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.7.4. Discontinuidad evitable Sea A R; sea f una funcion de A! R y sea c un unto tal que a A. Entonces si f es discontinua en a ero se cumlen las siguientes dos condiciones: a) Eiste el límite en a y éste es nito. b) La imagen de a no eiste o si eiste no coincide con su límite, f(a) 6=!a f()

76 .7. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO7 Se dice que la discontinuidad es evitable orque se odría evadir de niendo la función de tal forma que f(a) sea igual al valor de su límite en este unto, f(a) =!a f():.7.5. Ejemlo j j si 6= Determinar si la función f de nida or f() = es continua en el unto =, de lo contrario rede na la función ara que lo si = sea. f() =! = j j = 0 = j! + j = 0 Como f() 6=! f() la función f no es continua, ero rede niendo la función de tal forma que f() = 0 esta si lo será. f() = j j si 6= 0 si =

77 7 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.7.6. Discontinuidad inevitable Una función f tiene una discontinuidad inevitable en un unto a si los límites laterales de la función en ese unto eisten ero no son iguales, dico de otra forma, si el límite de la función en ese unto no eiste. El salto se de ne como el valor absoluto de la diferencia de los límites laterales. Salto = f()!a +!a f() Según si el salto es nito o in nito se clasi ca la discontinuidad inevitable en dos tios: a) Discontinuidad inevitable de salto nito: En ella el salto que se roduce entre los límites laterales es un número real nito.

78 .7. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO73 b) Discontinuidad inevitable de salto in nito: En ella el salto que se roduce entre los límites laterales es in nito Ejemlos si a) Para la función f de nida or f() = si > tio de discontinuidad que osee en el unto =. estudie el Para iniciar con el análisis de la función es necesario rimero veri car que la función efectivamente osee una discontinuidad inevitable en el unto =, ara lo cual se tiene que:

79 74 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN! f() =! = 3 f() = =! +! + Como el límite or la izquierda y el límite or la dereca de la función en el unto = son diferentes se roduce una discontinuidad inevitable. Luego vemos que el salto que se roduce es nito: Salto = f() f() + = j 3j =!! Por lo tanto la función osee en el unto = una discontinuidad inevitable de salto nito: ( si < b) Para la función f de nida or f() = si tio de discontinuidad que osee en el unto =. estudie el Se tiene que:! f() =! = +

80 .7. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO75 f() = =! +! + De esta manera odemos observar como el límite lateral or la dereca es y el límite or la izquierda es in nito. Los límites son diferentes y uno de ellos es in nito, or lo que se roduce una discontinuidad inevitable de salto in nito en = Funciones continuas en intervalos De nición 0 Una función f de ninida en un intervalo cerrado [a; b] es continua en dico intervalo si cumle con las siguientes tres condiciones:. La función es continua ara todo c tal que c ]a; b[.. La función es continua or la dereca en a, es decir: f() = f(a):!a + 3. La función es continua or la izquierda en b, es decir:!b f() = f(b): De nición Se dice que una función f : A! R está acotada en A si eiste una constante M > 0 tal que jf()j M ara toda A. Teorema 3 Sea A = [a; b] un intervalo acotado cerrado y sea f : A! R continua en A. Entonces f está acotada en A:

81 76 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.7.9. Ejemlos a) Estudiemos la continuidad de la función f() = donde ertenece al intervalo [0; ] : Primero debemos veri car que la función es continua ara todo c tal que c ]0; [, ara lo cual se tiene que: f() = ) = c!c +!c + f() = ( ) = c!c!c f(a) = c De esta forma obtenemso que la función es continua ara todo c tal que c ]0; [. Aora debemos estudiar los etremos del intervalo. f() = ( ) = 0 =, f(0) = + + f() = ( ) = = 0; f() = 0!! De aquí obtenermos que: f() = f(0) y f() = f() or lo que la +! función es continua en los etremos y or consiguiente, la función es continua en el intervalo [0; ]. b) Estudiemos la continuidad de la función f() = al intervalo [0; [ : donde ertenece Para c ]0; [ se tiene que: f() = =!c!c c = f(c): Además: f() = = = f(0): + + Por lo tanto se concluye que la función f es continua en el intervalo [0; [ :

82 .7. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO Ejercicios. Para cada una de las funciones de nidas a continuación, determine si la función es o no continua en el valor de c eseci cado. En caso de discontinuidad, eseci que si esta es evitable o no. Si la discontinuidad es inevitable determine de que tio es, si or lo contrario es evitable, rede na la función ara que sea continua. ( si 6= 5 ) f() = + 5 ; c = 5 0 si = 5 8 < t 4t + 3 si t 6= 3 ) g(t) = : t 3 ; c = 3 4 si t = 3 8 < r + 3) (r) = si r 6= 0 : r ; c = 0 si r = 0 8 < 5 si 6= 5 4) f() = : 5 ; c = 5 0 si = 5 5) f() = 6) f() = ( sin si 6= 0 0 si = 0 ; c = 0 si > 0 0 si = 0 ; c = 0. Estudie la continuidad de las siguientes funciones: ) f() = ) f() = si < 3) f() = si

83 78 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 4) f() = 5) f() = si 0 3 si > 0 ( si < + si ( e si 0 6) f() = e + + si > 0 7) f() = ) f() = Es la función f() = 4; continua ara 4? 4. Halle todos los valores ara los que la función f() = ; es continua. 5. Halle las discontinuidades en las siguientes funciones e indique si son o no evitables, en caso de no ser evitable indique de que tio es. ) f() = ) g() = + 6. Estudie la continuidad de las siguientes funciones: + 3 si < ) f() = si j j + 3 si < 0 ) f() = + 5 si si 3) f() = + si >

84 .7. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y UN INTERVALO79 4) f() = 5) f() = 3 8 6) f() = + 7. Estudie en el intervalo (0; 3), la continuidad de la función: 8 < si 0 < < f() = 0 si < : si < 3 8. Son continuas las siguientes funciones en = 0? ) f() = si 0 ) f() = log si > 0 9. Dada la función: 8 < f() = : 5 si 6= si = 5 ) Demuestre que la función f no es continua en = 5 ) Eiste una función continua que coincida con f() ara todos los valores 6= 5? En caso a rmativo dar su eresión. 0. Estudie la continuidad de la función f() = + : jj

85 80 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. En cada caso según corresonda, allar el valor de a y b ara que las siguientes funciónes sean continuas. + si ) f() = 3 a si > 8 >< si < 0 ) f() = + a + b si 0 3 >: 5 si > 3 8 < a si 0 8 3) f() = : 3, en el intervalo [0; +) si > 8 4 j3 j si < 7 4) f() = a + 4 si 7 < 0 8 < a si < 3 5) f() = a + b si 3 3 : b 5 si > 3. Analice la continuidad de las siguientes funciones en los intervalos dados. + si < 3 ) f() =, en el intervalo [; 3] : si 3 r 4 ) f() =, en el intervalo [ ; ] : 3) f() =, en el intervalo [ ; ] : 4) f() = 9, en el intervalo [ 3; ] : + si 3 5) f() =, en el intervalo [; 3] : ln( 3) si > 3 8 < si 0 < 6) f() = j j, en el intervalo [0; ] : : 4 si =

86 .8. SOLUCIONES 8.8. Soluciones.8.. Ejercicios (ágina 7). Halle el valor de cada límite si eiste. ) 9 ) 4 ) 0 3 ) 3) 3) 6 3) 4) 5 4 4) 4 0 4) 3 5) 3 5) 6) 5 7) 6 7 8) 3 9) 6 5) 4 5 6) 7) 8) 9) 7 5 6) 7) 8) a a 4 ( 3) 80 9) 30) 3) 8 3 0) 6 0) 9 3) 6 ) 6 ) 3 33) ) 6 5

87 8 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. Determinar los siguientes límites, utilizando ara ello la reresentación grá ca de la función g(), que se da a continuación. ) ) 3) 4) 0 5) 4 6) 7) 0 3. Encuentre los límites de la grá ca de la dereca. ) ) 3) 4) 5) 0 7) 0 8) 0 9) No está de nido 0) 3 4. Encuentre los siguientes límites. ) 5 4 ) 3 3) 4) 5) 6 6) 0 8 7) 8) 6 9) 0) 5 ) 5 56 ) 0 3) 7 4) 5) 6) 5 7 7) 5

88 .8. SOLUCIONES 83 8) 7 9) 5 8 ) + ) 3) 3 4) 6 5) 4 6) 7 7) 0 8) 3 9) 30) 4 3) 5 4 3) 0 33) 34) ) ) 37) 3 38) 9 39) 40) 4) 0 3 4) 4 43) 44) 6 45) 46) 47) 3 48) 6 49) 3 a + b ) 3 5) 5) 0 53) ) 56) + 57) + 58) + 59) ) 5 6) 6) 63) 64) 4 65) 4

89 84 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 5. Para la función f() encuentre los límites siguientes. )!3 + f() 4) f() Caso (3 < 0) Caso (3 < 0) + = 5!3 + + = Caso ( 0) Caso ( < 3)! = = 950 )!3!3 f() = 5 5) + f() = 55 3)!3 f() 6) f() 7. Para la función f() encuentre los siguientes límites. ) f() 3) f() + 3 = 3 ) + f() Caso (0 < ) = 3 + Caso ( > ) = + 4)! + f() =! + 5)! f()

90 .8. SOLUCIONES 85 Caso (0 < )! = 7 Caso ( < 0)! + 3 = 5 6)! f() 7. Determine el valor o los valores de c, ara los cuales se cumle la igualdad. 9 ) c = 5 ; 3) c = ; 5 3 ) c = f 8; 8g 4) 0 8. Encuentre el límite dado, o concluya que no eiste. ) 5 ) 3) 4) 3 5) 4 6) 5 7) 4 8) 36 9) ) 4 ) ) 8 9 4) 6 5 5) 6) 6 7) 7 8) 3 0) 6 ) 0 ) 3) 3 4) 3 5) 60 6) 7) 4 8) 9 9) 5 30) 3) 8 3) 4 33) 3 34) 6 35) +

91 86 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 36) 04 37) 38) 3 39) ) 6 4) 4) ) (a + b) 44) (u ) 45) 6 46) 3 47) 48) 49) 50) 6 5) 5 5) 6 9. Suonga que f() = 4 y g() =. En cuentre el límite dado, o!a!a concluya que no eíste. ) 3 ) 64 3) 6) 8 7) 8a 4) 8) Se tiene que! siguientes límites. = 00. Utilice este resultado ara calcular los ) 50 ) 50 3) 0000 sin. Se tiene que siguientes límites. =. Utilice este resultado ara calcular los ) ) 3)

92 .8. SOLUCIONES 87. Use sin Se tiene que sin sin = 0 sin = 0 sin = 0 =, ara mostrar que sin = 0. = y que = 0 des esta forma: 3. Si! f() = 4, encuetre! f(): f() 5! + 3 = f() f() 5 = 0 () f() = 5 De donde! f() = 5 = 4 () f() 5 5 = Ejercicios (ágina 45). Halle los límites de las siguientes funciones. 3) 6) 5 3 8) 3 3 9) 5 6 0) 7 ) ) 3) 5 4) 6 5) 8 6) 6

93 88 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.8.3. Ejercicios (ágina 50). Calcule los siguientes límites. ) + 3) 4) + 5) + 6) 7) 8) + 9) + 0) + ) + ) Ejercicios (ágina 59). Halle los límites de las siguientes funciones. ) + ) + 4) 8) + 9) 0) 3 ) 0 ) + 3) + 4) 5) 4 6) + 7) + 8) 9) 5 7 0) 5 ) 0 ) + 3) 0 4) 5) 3 5 6)

94 .8. SOLUCIONES Ejercicios (ágina 65). Calcule los siguientes límites. ) 5) 3 ) 5 6 6) 5 8 3) 0 4) 0 5) 0 7) 9 8) 9) 0 6) 5 3 7) 4 8) 7 5 0) ) + ) 4 9) 0 0) ) 4 ) 3) 4 4) 0 3) 3 4) 5) 6) 7) 5 8)

95 90 CAPÍTULO. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

96 Caítulo Derivada de una función.. Un roblema relativo a velocidad Suongamos que se disara un royectil con una velocidad de 5 m=seg y un ángulo de elevación de 75 or encima de la orizontal. Si desreciamos el rozamiento, se suone que solamente actúa sobre él la gravedad, or lo que el royectil se mueve describiendo una arábola. Sabemos que el deslazamiento del royectil esta descrito or el deslazamiento que osee en cada una de sus comonentes, las cuales a su vez están descritas or una velocidad inicial y el tiemo transcurrido, tal y como se muestra en la siguiente ilustración. 9