Hoja 5. Diferenciabilidad de funciones de varias variables.

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1 CÁLCULO Hoja 5. Diferenciabilidad de funciones de varias variables. 1. Dada la función < 4x 3 x 2 + y 2 si x; y) 6= 0; 0) a) Estudiar la continuidad de f. b) Hallar las derivadas arciales y direccionales en 0; 0). c) Es diferenciable en 0; 0)? En caso a rmativo, calcular la alicación diferencial. 2. Dada la función x 2 y, a) Calcular la derivada según el vector v = 1; 2) en el unto 1; 2). b) Calcular la derivada direccional según la dirección en dicho unto. c) Calcular sus derivadas arciales a través de la de nición en dicho unto. 3. Dada la función xe x2y, calcular sus derivadas arciales utilizando las reglas de la derivación) y evaluarlas en el unto 1; log 2). Calcular también las derivadas arciales segundas en dicho unto. 4. Dada la función fx; y; z) = e x senyz) calcular sus derivadas arciales de rimer y segundo orden. 5. Dada la función < x 3 + y 3 x 2 + y 2 si x; y) 6= 0; 0) a) Calcular la derivada direccional según la dirección en 0; 0). b) Calcular las derivadas arciales en 0; 0). 6. Dada la función < xy x2 + y 2 si x; y) 6= 0; 0) a) Calcular sus derivadas arciales en 0; 0) y en x; y) 6= 0; 0). b) Estudiar su diferenciabilidad en 0; 0) y en x; y) 6= 0; 0). c) Calcular la derivada direccional según la dirección en 0; 0) y en x; y) 6= 0; 0). d) f 0; f 0; 7. Dada la función 4 x y2, a) Calcular la derivada direccional en 1; 2) en la dirección de v = cos 3 ; sin 3 ). b) Calcular el gradiente en 1; 2). Calcular el valor de la derivada direccional máxima en dicho unto. c) Calcular el lano tangente en 1; 2). d) Calcular la alicación diferencial en 1; 2).

2 . Dada la función jxyj de nida en R 2, a) Derivadas arciales en 0; 0). b) Derivada direccional en 0; 0). c) Es diferenciable en 0; 0)? d) Derivadas arciales en cualquier unto x 0 ; y 0 ); x 0 6= 0; y 0 6= 0. e) Calcular las derivadas arciales, la derivada direccional y la alicación diferencial en 1; 1). 9. Dada la función f R 2! R de nida or 10 5 x 2 y a) Calcular el gradiente de f en 0; 0) y estudiar la diferenciabilidad en dicho unto. b) Calcular el gradiente en 4; 2) y el lano tangente a la grá ca en dicho unto. c) Calcular el valor de la derivada direccional en 4; 2) según una dirección cualquiera ; cuál es el valor máximo de dicha derivada direccional en dicho unto, y en qué dirección? 10. Hallar la ecuación del lano tangente al araboloide z = x2 + 4y 2 ) en el unto 1; 1; 1=2). 11. Dada la función < 2x 3 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 si x; y) 6= 0; 0) k si x; y) = 0; 0) a) Hallar el valor del arámetro k ara que la función sea continua. b) Estudiar la existencia de derivadas arciales. c) Estudiar la diferenciabilidad de f. 12. Dada la función < x 3 x 2 + 2y 2 si x; y) 6= 0; 0) a) estudiar su continuidad; b) existencia de derivadas arciales; c) diferenciabilidad; d) calcular la derivada en el unto 1; 0) según las direcciones = 2 y = Dada la función < x 3 + 2xy 2 2x 2 + y 2 si x; y) 6= 0; 0) a) Estudiar la continuidad de f, existencia de derivadas arciales rimeras, diferenciabilidad de f. b) Calcular la derivada de f en 0; 0) según la dirección 4. c) Idem. en 1; 1) según cualquier dirección. En qué dirección la derivada de f en el unto 1; 1) es máxima y cuánto vale en ese caso? d) Escribir la ecuación del lano tangente a la suer cie en el unto 1; 1).

3 14. Sea x 2 + y 2 ) sin 1 x 2 +y 2 si x; y) 6= 0; 0) a) Estudiar su continuidad, existencia de derivadas arciales y diferenciabilidad. b) Calcular las derivadas direccionales en el unto 0; 0) según cualquier dirección. 15. Dada la función < x 3 + 3y 1) 3 x 2 + y 1) 2 si x; y) 6= 0; 1) 0 si x; y) = 0; 1) b) Calcular sus derivadas arciales. d) Calcular la derivada direccional en el unto 0; 1) según la dirección = = Sea xy x2 y 2 x 2 +y 2 si x; y) 6= 0; 0) b) Calcular sus derivadas arciales. d) Calcular la derivada en el unto 0; 0) según el vector v = 1; 1). e) Se cumle f xy 0; 0) = f yx 0; 0)? 17. Dada la suer cie zx; y) = 3xy 2 ) 2 3, a) Determinar si tiene lano tangente en el unto 0; 0), y hallarlo en caso a rmativo. b) Hallar en el unto x; y; z) = 2; 2; z2; 2)) 1) la curva de nivel corresondiente; 2) el gradiente de z; 3) la derivada de z en la dirección del vector 1; 3); 4) el lano tangente a la suer cie; 5) la recta intersección de éste último y el lano z = z2; 2).

4 1. Dada la función log1+x 2 +y 2 ) x2 +y 2 si x; y) 6= 0; 0) b) Calcular sus derivadas arciales. d) Calcular la derivada en el unto 1; 0) según las direcciones = 2 y = Dada la función f R 2! R de nida or 3 x 2 y a) Estudiar la continuidad de f en el unto 0; 0). b) Estudiar la existencia de las derivadas arciales f x 0; 0) y f y 0; 0). c) Estudiar la diferenciabilidad de f. d) Estudiar la existencia de la derivada direccional de f en el unto 0; 0) en la dirección del ángulo = 3. e) Estudiar si la función es de clase C Dada la función jx 1j y + 1) 2 a) Ecuaciones del lano tangente y de la recta normal a la suer cie z = fx; y) en el unto corresondiente a x; y) = 0; 0), justi cando reviamente su existencia. b) hallar la dirección o direcciones según las cuales la derivada direccional se anula en el unto 0; 0). 21. En una montaña la elevación or encima del mar viene dada or z = 1000 x 2 + y 2 metros. El eje OX ositivo aunta hacia el este y el eje OY ositivo hacia el norte.un montañero esta en el unto 4; 20) a) si el montañero avanza en dirección oeste, ascenderá o descenderá? Idem en dirección sureste. b) Hallar la dirección que debe tomar si retende escalar siguiendo la dirección de mayor endiente. c) En qué dirección debe avanzar ara ermanecer al mismo nivel? 22. Sea la función f R 2! R de nida or 3 x 3 y 3, a) Calcular la derivada direccional de f en 0; 0) en la dirección, es f diferenciable en 0; 0)? b) Obtener las direcciones en las que las rectas tangentes a f en 0; 0) son aralelas al lano z = 0. c) Suongamos que f R 2! R es diferenciable en un unto x 0 ; y 0 ) 2 R 2, qué exresión tiene la derivada direccional de f en x 0 ; y 0 ) en la dirección de un vector unitario v = cos ; sin )?

5 23. Dada la función f R 2! R de nida or x 4 +3xy 3 2x 2 +y si x; y) 6= 0; 0) 2, b) Calcular f x x; y) y f y x; y). c) Se cumle f xy 0; 0) = f yx 0; 0)? 24. Dada la función f R 2! R de nida or x + 1)e xy+1) a) Escribir la ecuación del lano tangente a su grá ca en el unto 0; 0). b) Hallar la dirección y el valor de la derivada direccional máxima en el mismo unto. c) Calcular el olinomio de Taylor de orden 2 en el unto 0; 0) y aroximar el valor de 1; 1)e 0;1)0;9). 25. Dada la función f R 2! R de nida or x 3 x 2 +y 1) si x; y) 6= 0; 1) 2 0 si x; y) = 0; 1), a) Estudiar su continuidad en el unto 0; 1). b) Calcular la derivada direccional en el unto 0; 1) según cualquier dirección. 0; 1) y d) Tiene la función f lano tangente en el unto 0; 1)? 26. Dada la función jx 1j y + 1) 2, a) Ecuaciones del lano tangente y de la recta normal a la suer cie z = fx; y) en el unto corresondiente a x; y) = 0; 0), justi cando reviamente su existencia. b) Hallar la dirección o direcciones según las cuales la derivada direccional se anula en el unto 0; 0).