CALCULO 11-M. Primera Parte. Duración 1h 40m. 2y =2x = x 4 2x f 0 (x) =4x 3 2=0. x =2 1/3.

Transcripción

1 CALCULO -M Primera Parte Duración h 4m Ejercicio ( puntos) Encontrar el punto de la curva más cercano al punto P (, ). y x + El cuadrado de la distancia del punto P a un punto genérico X(x, y) de la curva viene dado por d(p, X) (x ) +(y ). Despejando y de la ecuación de la curva y substituyendo en la expresión anterior se obtiene la siguiente función de x f(x) (x ) + x x 4 x Derivando e igualando a cero resulta yportanto Puesto que f (x) 4x 3 x /3. f (x) x resulta f ( /3 ) /3 > por lo que en dicho punto existe un mínimo. Al ser el único punto crítico será mínimo absoluto. Como la distancia y la distancia al cuadrado alcanzan max/min en los mismos puntos podemos asegurar que el punto x /3, y /3 +

2 es el punto de la curva que se encuentra a menor distancia del punto P. Dicha distancia mínima es r d min 4/3 / r ³ : Ejercicio (3 puntos)analizar la gráfica de la ecuación y x x +. La ecuación es equivalente a r x y ± x +. La gráfica presentará dos ramas una positiva (y >) yotranegativa(y>). Como la rama negativa es simétrica de la positiva respecto del eje OX basta estudiar la gráfica de la rama positiva r x y f(x) x +. Para que el cociente esté definido ha de ser x 6. Además se debe cumplir x x +. x< <x< x x x + cociente + + Por consiguiente el dominio es D (, ) [, + ). La función no es ni par ni impar. Corta al eje OX en x pero no corta al eje OY en ningún punto ya que x no está en el dominio.

3 La función es continua en todos los puntos de su dominio y presenta una asíntota en x siendo Por otra parte lim f(x) +. x lim f(x) lim x ± x ± lim x ± r x x + s x + x por lo que y es asíntota horizontal por ambos lados. La derivada en x D, x 6 es y q x x+ y(x +) >. (x +) (x ) (x +) Por tanto la rama positiva es siempre creciente. La derivada (por la derecha) en x es f ( + ) f(x) f() lim x + x f(x) lim x + x lim x + x lim x x + +. r x x + La derivada segunda es y (x) y (x +) +y(x +) y (x +) 4 3

4 y substituyendo el valor de y resulta y +y(x +) y (x +) 4 y +y (x +) y 3 (x +) 4 [ + (x )] y 3 (x +) 4 x y 3 (x +) 4 Dicha derivada es positiva (f cóncava hacia arriba) para x < / y negativa (f cóncava hacia abajo) para x > /. Contodoelloresultalasiguientegráfica donde la rama negativa se ha completado por simetría respecto del eje OX. Ejercicio 3 ( puntos) Determinar el valor medio de la función f(x) 6 x 4

5 en el intervalo [, 4]. El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a, b] se define mediante la integral En nuestro caso Efectuando el cambio V med b a V med 4 Z 4 Z b a f(x) dx. 6 x dx. x 4sinu, dx 4cosudu resulta V med π. Z π/ Z π/ Z π/ u + q 6 (4 sin u) 4cosudu cos udu +cosu du π/ sin u Ejercicio 4 (3 puntos)sear la región del plano limitada por las gráficas y x x e y 3x. Calcular:. El área de la región R.. El volumen del sólido generado al girar dicha región alrededor del eje OY. 3. El volumen del sólido generado al girar dicha región alrededor del eje y. 5

6 La primera curva, y x x, es una parábola con vértice en y x es decir en x y cuyos cortes en el eje OX se encuentran en x y x. La segunda gráfica, y 3x, corresponde a una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 3. Ambas se cortan en x x 3x x 5x o sea en x y x 5. Gráfica de la región R. 6

7 . El área de la región es A (y y ) dx [3x (x x)] dx (5x x ) dx 5x x El volumen generado al girar alrededor del eje OY es V π πx(y y ) dx x(5x x ) dx π (5x x 3 ) dx 5x 3 π 3 x π El volumen generado al girar alrededor del eje y es V π π((y +) (y +) ) dx ((3x +) (x x +) ) dx π (x +3x +4x 3 x 4 ) dx π 5x + x 3 + x 4 x π. 7

8 CALCULO -M Segunda Parte Duración h 4m Ejercicio 5 ( puntos) Evaluar la integral conunerrormenorque Z e x3 dx Partiendo del desarrollo e x +x + x! + x3 xn + + 3! n! + válidoparatodox resulta e x3 x 3 + x6! x9 x3n + +( )n + 3! n! Por consiguiente, Z e x3 dx x x4 4 + x7!7 x 3! + x 3n+ +( )n n!(3n +) + 4 +!7 3! + +( )n n!(3n +) + Por tratarse de una serie alternada el error que se comete al detenerse en un determinado término es menor que el primero que se desprecia. Por tanto buscaremos un n tal que n!(3n +) < 4 o n!(3n +)>. Esto se consigue para n 6. Por consiguiente, Z e x3 dx ' 4 +!7 3! + 4!3 5!6. 8

9 Ejercicio 6 ( puntos) Determine la longitud de la curva r(t) e t t i + e t j 8 en el intervalo t ln ylaecuacióndelatangenteent. Derivando la función vectorial se obtiene r (t) e t i + e t j 8 por consiguiente la longitud de la curva en el intervalo t ln es L Z ln Z ln Z ln Z ln Z ln kr (t)k dt s e t + e 8 t dt r 4e 4t + et + 64 dt s e t + dt 8 e t + dt 8 e t + t 8 ln 4+ ln 8 3+ ln 8. Por otra parte un vector tangente en t es r () 5 8 i + j obien v 5i +8j. 9

10 Puesto que r() i + j la tangente en t es x 5 y 8. Ejercicio 7 (3 puntos) La altura de una montaña sobre el nivel del mar viene dada por z y 9. Un montañero se encuentra en el punto P (5, 8). x. A qué altura se encuentra el montañero? Cuál es la ecuación de la curva de nivel sobre la que se encuentra?. Cuál es la dirección de máxima pendiente en P? cuál es el valor de dicha pendiente? 3. Cuáleslapendienteenladirecciónqueapuntaalacimadelamontaña?. La altura a la que se encuentra el montañero es z y la ecuación de la curva de nivel correspondiete es es decir o 575 x y 9 x + y 9 65 x 5 + y 5.

11 . El vector gradiente es 5f f x i + f y j x 5 i y 45 j por consiguiente la dirección de máxima pendiente en P es 5f(P ) 5 5 i 8 45 j 3 i 4 9 j. La pendiente en dicha dirección es la norma del vector gradiente s m La cima corresponde al (, ) por tanto el vector con base en P y extremo en el origen es v 5i 8j. Un vector unitario en esta dirección es u 5i 8j i 6j 6 y la pendiente en esta dirección es la derivada direccional según dicho vector unitario, i.e. D u f(p ) 5f(P ) u 3 i 4 5i 6j 9 j 6 ( 7i 4j) ( 5i 6j)

12 Ejercicio 8 (3 puntos) Dada la función f(x, y) 3 y3 + x y x y +6 clasifique sus puntos estacionarios. Alcanza dicha función máximo y/o mínimo absolutos en todo su dominio?. Los puntos estacionarios son las soluciones del sistema f x xy 4x f y y + x 4y. Factorizando la primera ecuación se obtiene x(y ) por lo que x o y. Para x substituyendo en la segunda ecuación resulta y(y 4) oseay o y 4. Para y substituyendo en la segunda ecuación resulta x 4 oseax ±. En total se han obtenido los siguientes puntos Las derivadas segundas de f son (, ), (, 4), (, ), (, ). f xx y 4 f xy f yx x f yy y 4. por lo que y 4 x x y 4 (y 4) 4x.

13 Para cada uno de los puntos estacionarios se tiene (, ) 6 > ; f xx (, ) 4 < Máximo local (, 4) 6 > ; f xx (, 4) 4 > Mínimo local (, ) 6 < ; Punto silla (, ) 6 < ; Punto silla. La función f(x, y) no está acotada ni superior ni inferiormente por tanto los máx/min son de caracter local no existiendo ni máximo ni mínimo absolutos. 3