Sección 2.1. Curvas soluciones sin solución. Recuerde que dada la ED y = f (x, y), si f y f

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1 Sección. Curvas soluciones sin solución Campos direccionales Recuerde que dada la ED y = f (x, y), si f y f y satisfacen ciertas condiciones, la ED de primer orden tiene solución única. Aquí surgen una serie de preguntas, que hacer con ED de primer orden cuya solución no es simple determinar en forma algebraica. Es importante recordar lo siguiente: una derivada dy de una función diferenciable y = y (x) representa la pendiente de la recta tangente en todos los puntos de la gráfica. Pendiente: como una solución y = y (x) a una EDO de primer orden y = f (x, y) es necesariamente diferenciable en un intervalo I por definició, debe ser continua en I. Por esta razón la curva solución en I debe ser una curva suave y debe poseer una recta tangente en cada punto (x, y). La función f es llamada función pendiente o función de cambio. Ejemplo Dada la ED y = x+y, si se considera el punto (0, ) la curva solución en el punto (0, ) tiene una recta tangente con pendiente f (0, ) = 0 + =. Si la función f se evalúa sistemáticamente sobre un conjunto de puntos en el plano y se traza un segmento de la recta tangente en cada punto (x, y) con pendiente f (x, y) se obtiene lo que se le llama campo direccional de la ED y = f (x, y).

2 Ejemplo Trace un campo direccional de la ED y = 0.x + y = f (x, y) y luego trace curvas soluciones que pasen por los puntos (0, /), (, ) y x ED autónomas de er orden Una ED es autónoma si la variable independiente no aparece en forma explícita. Si la variable independiente es x, entonces una ED autónoma puede ser escrita en la forma f (y, y ) = 0 o en la forma dy = f (y). Ejemplos:. dy = + sin y,. Puntos críticos dy = tan y Los ceros de la función f (y), es decir, f (y) = 0, son llamados puntos críticos de la EDA. Un punto crítico también es llamado un punto de equilibrio o punto estacionario. Nota: Si en la ED dy = f (y) se considera la función constante y (x) = c, ambos lados de la ecuación son cero. Esto significa que: Si c es un punto crítico de la ED dy = f (y), entonces y (x) = c es una solución constante de la EDA.

3 Una solución constante y (x) = c de la EDA es llamada una solución de equilibrio. Es importante indicar que una solución no constante y = y (x) de la EDA es creciente o decreciente, cuyos signos se determinan analizando el signos de la derivada dy. Ejemplo Considere la EDA dy = y 3y determine los puntos críticos. y 3y = 0 y (y 3) = 0 y = 0, y = 3 (, 0) positivo creciente hacia arriba (0, 3) negativo decreciente hacia abajo (3, ) positivo creciente hacia arriba Curvas solución Cuando se resuelve una EDA, como la función f es independiente de la variable independiente x, se puede considerar que f está definida para todo número real, como f y f son funciones continuas de y en alguna región R del plano xy. Algunas conclusiones:. Si (x 0, y 0 ) está en la subregión R i, y y = y (x) es una solución cuya gráfica pasa por ese punto, entonce y (x) se mantiene en la i-ésima región.. Por continuidad de f se tiene que f (y) > 0 o f (y) < 0 para todo x en la región R i. 3. Como dy = f (y (x)) es siempre positiva o negativa en la región R i, entonces y (x) es creciente o decreciente en dicha región. 4. Si y (x) es acotada inferiormente o superiormente, entonces esa cotas representan asíntotas horizontales. 3

4 Ejemplo: Considere la EDA dy = y 3y, esboce las gráficas de las curvas solución. { } dy = 3 y 3y, Exact solution is: 0, C 3 e 3x y 4 3 R R x R3 3 4 Puntos críticos Estable asíntoticamente si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto (x 0, y 0 ) suficientemente cerca de c tiene un comportamiento asíntotico lim y (x) = c. x Inestable si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto (x 0, y 0 ) suficientemente cerca de c se alejan de c cuando x. Semi-estable si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto (x 0, y 0 ) suficientemente cerca de c, unas se alejan y otras se acercan a c. Ejemplo Considere la EDA dy = y 3y determine los puntos críticos. y 3y = 0 y (y 3) = 0 y = 0, y = 3 (, 0) positivo creciente hacia arriba (0, 3) negativo decreciente hacia abajo (3, ) positivo creciente hacia arriba c = 0 : Estable asíntoticamente y c = 3 : Inestable 4

5 Ejemplo Considere la EDA dy = 0 + 3y y determine los puntos críticos y y = 0 (5 y) (y + ) = 0 y =, y = 5 (, ) negativo decreciente hacia abajo (, 5) positivo creciente hacia arriba (5, ) negativo decreciente hacia abajo c = 5 : Estable asíntoticamente y c = : Inestable 5