UNIDAD I Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales

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1 UNIDAD I Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales Tema III. Criterios para la primera derivada

2 Criterios para la primera derivada Una vez determinados los intervalos donde la función f es creciente o decreciente, se pueden localizar sus extremos relativos aplicando el siguiente criterio, llamado criterio de la primera derivada. Si ces un número crítico de una función fcontinúa en un intervalo (a, b)quecontiene ac, entonces: Si f x > 0 para a < x < c y f x < 0 para c < x < b; es decir, si f es creciente para a < x < c y f es decreciente para c < x < b, entonces f tiene un máximo relativo en c. Si f x < 0 para a < x < c y f x > 0 para c < x < b; es decir, si f es decreciente para a a < x < c y f es creciente para c < x < b, entonces, f tiene un mínimo relativo en c. En las siguientes gráficas se muestran claramente el criterio para hallar los extremos relativos, cuando la derivada de la función es cero. Entre a y c, f x crece. Entre c y b, f x decrece. Entre a y c, f x decrece. Entre c y b, f x crece. En las siguientes gráficas se muestran también el criterio para hallar los extremos relativos, cuando la derivada de la función no existe.

3 La gráfica de la función siempre dará la posibilidad de recordar el criterio de la primera derivada, pues habrá un máximo relativo cuando la pendiente de la recta tangente es positiva si x < c y es negativa si x > c De la misma manera, habrá un mínimo relativo cuando la pendiente de la recta tangente es negativa six < c y es positiva x > c

4 Ejemplos Aplicar el criterio de la primera derivada para hallar los extremos relativos de la función en cada caso. Elaborar una tabla para mostrar los resultados, y trazar la gráfica de la función. a. f x = x 3 6x 2 + 9x 3 b. f x = x x 2 3 Solución: a. f x = x 3 6x 2 + 9x 3 f x = 3x 2 12x + 9 = 3 x 2 4x + 3 Igualando la derivada de la función a cero, resulta, f x = 3 x 2 4x + 3 = 0 3 x 3 x 1 = 0 x 1 = 3 Y x 2 = 1 Así, los números críticos son x 1 = 3 y x 2 = 1 Luego para analizar el comportamiento de f (x), se plantean los intervalos (, 1), (1, 3) y (3, ) y una tabla de crecimiento y decrecimiento los siguientes elementos: Intervalos: se escriben los intervalos que resultan de los números críticos. Valor de prueba: se escoge un valor en cada uno de los intervalos. Signo de la derivada f x : se remplazan los valores de prueba en f (x) para determinar el signo de f (x). Conclusión: si la derivada calculada en el valor de prueba es positiva, la función es creciente; si la derivada es negativa. La función es decreciente. La tabla es la siguiente: Intervalo (, 1) (1, 3) (3, ) Valor de prueba Signo de f (x) f x = 9 > 0 f 2 = 3 < 0 f 4 = 9 > 0 Conclusión Creciente Decreciente Creciente Finalmente, se remplazan los valores:

5 x 1 = 3Yx 2 = 1 En f(x) para determinar los extremos relativos. Así, Para: x 1 = 3 f 3 = (3) = = 3 Luego (3, 3) es un mínimo relativo: Para: x 2 = 1 f 1 = (1) = = 1 Luego, (1, 1) es un máximo relativo. En la siguiente gráfica se muestra el resultado de la función: f x = x 3 6x 2 + 9x 3 b. f x = x x 2 3

6 f x = 5 3 x x 1 3 = 5 3 x x 1 3 f x = 5 3 x 1 3(x + 2) Igualando la función a cero, resulta: f x = 5 3 x 1 3 x + 2 = 0 x 1 = 2 Así, el número crítico es x 1 = 2 Además, como la derivada no está definida en x = 0, entonces x 2 = 0 es otro número critico. Así, se analiza la derivada en los intervalos, 2, 2, 0 y (0, ) Intervalo, 2 2, 0 (0, ) Valor de prueba Signo de f (x) f 8 = 5 > 0 f 1 = 5 3 < 0 f 1 = 5 > 0 Conclusión Creciente Decreciente Creciente Al remplazar los valores x 1 = 2 y x 2 = 0 en f(x), se obtienen los extremos relativos. Así, para: Y para: x 1 = 2 f 2 = = x 2 = 0 f 0 = 0 5/3 + 2x 2 3 = 0 3 Luego, ( 2, 3 4) es un máximo relativo y (0, 0) es un mínimo relativo. En la siguiente gráfica se muestra el resultado de la función:

7 f x = x x 2 3 Concavidad Hasta el momento se han trazado gráficas de funciones conociendo los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los puntos críticos, y, se ha utilizado el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos. Para trazar la gráfica de una función en forma más acertada, es necesario tener la mayor información posible de esa función. El siguiente concepto proporciona más información para dicho propósito. Concepto: Si una función f es derivable en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, entonces: La gráfica tiene concavidad hacia arriba, si f c > 0 La gráfica tiene concavidad hacia abajo, si f c < 0 El concepto anterior se puede describir de la siguiente manera: Si, en cada punto de un intervalo, la gráfica de una función está siempre por encima de la recta tangente a la curva en ese punto, entonces se dice que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo. Si, en cada punto del intervalo, la gráfica de la función está siempre por debajo de la recta tangente a la curva en ese punto, entonces se dice que la curva es cóncava hacia abajo en el intervalo.

8 Al observar las gráficas anteriores se concluye que: f(x) es cóncava hacia arriba pues las pendientes de las tangentes son positivas y cada vez mayores. g(x) es también cóncava hacia arriba a pesar de que las pendientes son negativas pero son cada vez menos negativas. (x) es cóncava hacia abajo, pues las pendientes de las tangentes son positivas y cada vez menores. j(x) es también cóncava hacia abajo, pues, a pesar de que las pendientes son negativas pero son cada vez mas negativas. Puntos de inflexión un punto P(c, f(c)) sobre la gráfica de una función f(x) es un punto de inflexión si se cumple alguna de las siguientes afirmaciones: f x > 0si a < x < c y f x < 0 si c < x < b f x < 0si a < x < c y f x > 0 si c < x < b

9 Para todo c que pertenece a un intervalo abierto (a, b) Un punto c de una curva es un punto de inflexión si f c = 0 Los puntos de inflexión de una curva son aquellos en los que se produce un cambio de concavidad. La tangente en dichos puntos atraviesa la curva. Las siguientes gráficas muestran funciones en las cuales hay varios puntos de inflexión. Al observar las gráficas anteriores se concluye que: f(x) tiene un punto inflexión en el punto (3, 3), pues la función f(x) pasa de ser cóncava hacia arriba a hacer cóncava hacia abajo. g(x) tiene puntos de inflexión en los puntos (3, 5) y (7, 7 ), pues la función 2 cambia de concavidad en dichos puntos. El punto (6, 1)no es un punto de inflexión pues la función no cambia de concavidad en dicho punto.

10 Ejemplos: 1. Hallar los puntos de inflexión de la función f x = x 3 3x 2 9x + 10 Solución: f x = 3x 2 6x + 9 f x 6x 6 Igualando a cero la segunda derivada, se obtienen los puntos de inflexión. Luego, 6x 6 = 0 6 x 1 = 0; x = 1 Luego, la función f x = x 3 3x 2 9x + 10 tiene un punto de inflexión en 1, Determinar los intervalos de concavidad de la función f x = 1 4 x4 3 2 x2. Se elaborará una tabla para demostrar los resultados, además se trazará la gráfica de la función. Solución: f x = 1 4 x4 3 2 x2 f x = x 3 3x f x = 3x 2 3 Los puntos de inflexión se localizan a partir de las soluciones de la ecuación: Así: 3x 2 3 = 0 3x 2 3 = 0 3 x 2 1 = 0 3 x + 1 x 1 = 0 Luego, las soluciones son x 1 = 1 y x 2 = 1; así, los puntos de inflexión de la función están en ( 1, f( 1)) y (1, f(1)); es decir, ( 1, 5 4 ) y (1, 5 4 ).

11 Ahora a partir de x 1 = 1 y x 2 = 1 se muestran los resultados en la siguiente tabla de concavidad: Intervalo, 1 1, 1 (1, ) Valor de prueba Signo de f (x) f 2 = 9 > 0 f 0 = 3 f 2 = 9 > 0 Conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba En la siguiente gráfica de la función f x = 1 4 x4 3 2 x2 demuestra lo antes realizado: