Análisis de gráficos de funciones con base en primera y segunda derivadas
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- Juan Manuel Gallego Ortiz de Zárate
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1 Análisis de gráficos de funciones con base en primera y segunda derivadas
2 2 2 MIS Entrega Transparencia Simplicidad y Persistencia MI VALORES VISIÓN: Tender a ser un ser humano completo mediante la entrega, la transparencia, la simplicidad y la persistencia. MI MISIÓN: Entrega a la Voluntad Suprema. Servir a las personas. ELABORÓ MS. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
3 Conceptos previos Se requiere factorizar expresiones de la forma: ax 2 + bx + c = 0, 3x x 20 = 0. Se requiere aplicar y conocer el método de las cruces o cementerio.
4 3x x 20 = 0 4 Se multiplica y por 3 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
5 5 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017 (Stewart, Redlin y Watson, 2012)
6 6 x 2 > x 1 y 2 > y 1 x 2 > x 1 y 2 < y 1 La función es creciente si para un valor de x 2 mayor que otro valor x 1, secumple que f(x 2 ) es mayor que f(x 1 ). La función es decreciente si para un valor de x 2 menor que otro valor x 1, secumple que f(x 2 ) es menor que f(x 1 ). Una función es creciente si sube y decreciente si baja. 11/20/2017 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.
7 7 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
8 8 8 m= m=0 m= + No olvidar que una pendiente es negativa, si la línea va inclinada a la izquierda Y es positiva si va inclinada a la derecha. Es cero si es horizontal. ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
9 La derivada es la pendiente de la línea tangente a la curva en un punto dado.
10
11 Si la primera derivada es positiva para un intervalo dado, entonces la función es creciente en ese intervalo. Si la primera derivada es negativa para un intervalo dado, entonces la función es decreciente en ese intervalo. Si la primera derivada pasa de + (creciente) a (decreciente), se tiene un máximo. Si la primera derivada pasa de (decreciente) a + (creciente) se tiene un mínimo.
12 Hallar el signo de la siguiente función en un intervalo dado: Puntos críticos. Intervalos donde crece y decrece. f(x) = y = x 3 3x 2-9x + 2
13 . 9 f(x) = y = x 3 3x 2-9x + 2 Se repasa el método de las cruces o cementerio. Se aplica a la primera derivada: f = 3x 2 6x 9 Se factoriza f = 3x 2 6x 9 = 3 x + 1 x 3 Hallar el signo de la expresión 3 x + 1 x 3 y los intervalos donde crece y decrece. También donde tiene valores máximos y mínimos. ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
14 10 Factorizando f = 3x 2 6x 9 3 x + 1 x 3 =0 x = 1 x = 3 son los puntos críticos Signo de (x + 1) Signo de (x -3) Signo de x + 1 x 3 Donde f es +, f es creciente, f(x)creciente f(x) decreciente creciente máxino en 1 mínimo 3 En -1 se pasa de creciente a decreciente En -1 se tiene un máximo. En 3 se pasa de decreciente a creciente En 3 se tiene un mínimo.
15 11 f( 1) = 1 3 3( 1) f 1 = 7 P 1,7 Punto de máximo f(3) = 3 3 3(3) = 25 P 3, 25 Punto de mínimo ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
16 12 Por ahora, con la información anterior podríamos trazar e l gráfico aproximado def(x) = y = x 3 3x 2-9x +2 Máximo f + f - f Mínimo Note que entre AB f es +, la función original crece. En B f es 0, la pendiente es 0, la línea recta es horizontal. Se pasa de creciente a decreciente: un Máximo. Entre B y C f es -, la función original decrece. En C la pendiente es cero, línea es horizontal. La función pasa de decreciente a creciente: un Mínimo. Entre C y D la f es +, la función original crece. Además, observe que entre AC la concavidad se abre hacia abajo. Y entre B y D se abre haciaarriba. 11/20/2017 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.
17 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
18 15 Entonces, resumiendo: desde el punto de vista de la primera derivada una función es creciente, cuando su derivada es +. Y desde el punto de vista de la primera derivada es decreciente, cuando la primera derivada es ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
19 16 + máximo + mínimo En los puntos de la gráfica donde la derivada es + la función crece. En el punto de cambio de creciente a decreciente se da un máximo. Y la función tiene concavidad abierta hacia abajo. En los puntos de la gráfica donde la derivada es, la función decrece.y en punto de cambio existe un mínimo. Y también se observa que la función tiene concavidad abierta hacia arriba. 11/20/2017
20 18 Aclarando más: ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
21 191 9 f es + f es - f es - f es + Máximo relativo Mínimo relativo creciente a decreciente decreciente a creciente ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
22 20 20 No hay máximos o mínimos: no hay paso de creciente a decreciente o viceversa. ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
23 Este otro concepto complementa el anterior 25 m=0 m=0 La pendiente debe ser cero en los puntos de máximos y mínimos; si la función tiene derivada, esa derivada debe ser cero. Lo contrario no es cierto: si la pendiente es cero, el punto siempre es de máximo o mínimo.
24 26 Un punto donde la pendiente es cero y no es ni máximo ni mínimo. La derivada no pasa de + a en x=0 la derivada también es 0 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
25 27 En cero se da un pico de la función ( un cambio brusco de la función) y no tiene derivada. Sin embargo existe un valor mínimo: la función pasa de decreciente a creciente. Este concepto es más determinante. No obstante, es importante el criterio de f =0.
26 28 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
27 Hallar para la siguiente función: intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, intersecciones si se da la gráfica /20/2017
28 31 Para la función y= x 4 4x la gráfica es la siguiente: ,6 3,8 f(x) decreciente f(x) creciente f 3 = 17 De la gráfica se deducen los intervalos de crecimiento y decrecimiento. : 1,6 y 3,8
29 30 Compruebe Ud. el siguiente gráfico por el método del cementerio, halle los signos de x 2 y de x 3 y el signo de 4x 2 x 3. No olvidar que el signo de x 2 siempre es +. =0 11/20/2017 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.
30 32 Las intercepciones sobre el eje x se obtienen haciendo y=0. En este caso, como la resolución es compleja se hace con un programa online: 11/20/2017 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.
31 17 El procedimiento completo es es el siguiente: Hallar los intervalos donde la función original f(x) = y es creciente y decreciente. Para esto se hace la primera Derivada. Se Factoriza. Se hallan los puntos críticos igualando a cero la primera derivada. Determinar signos por el método del cementerio. Hallar el valor de la función en los puntos críticos. Con base en lo anterior hallar máximos y mínimos Hallar la segunda derivada para los puntos de inflexión y confirmar la concavidad hacia arriba o hacia abajo. Se determinan los puntos de intersección sobre el eje x haciendo y=0 y sobre el eje y haciendo x=0. Se procede a determinar la gráfica aproximada. 11/20/2017 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.
32 Hallar: Valores críticos Rangos de crecimiento y decrecimiento. Concavidades Puntos de máximos y mínimos. Forma aproximada de la gráfica.
33 33 11/20/2017
34 34 11/20/2017
35 35 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
36 36 Concavidad abierta hacia arriba. Concavidad abierta hacia abajo ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
37 37 Concavidad y segunda derivada. Los máximos se dan con la concavidad abierta hacia abajo. Los mínimos se dan en concavidad abierta hacia arriba Concavidad abierta hacia arriba. Concavidad abierta hacia abajo.
38 38 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
39 39 La segunda derivada es cero en el punto de inflexión y allí existe un cambio de concavidad. 11/20/2017 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.
40 (x )
41 40 f > 0 f < 0 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
42 41 La segunda derivada es cero en el punto de inflexión y allí existe un cambio de conc 11 a /2 v 0/2 i 0 d 17 ad.
43 42 ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T. 11/20/2017
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