Aplicaciones de la Derivada

Transcripción

1 Funciones crecientes y decrecientes Aplicaciones de la Derivada TEOREMA DEL VALOR MEDIO Como ya se vió anteriormente, si el valor de una función f (x) sobre un intervalo I aumenta al aumentar x, la función es creciente en el intervalo I. Análogamente, si el valor de una función f (x) sobre un intervalo I, disminuye al aumentar x, la función es decreciente en el intervalo I. Funciones crecientes y decrecientes Sea f una función conlnua sobre [a,b] y diferenciable sobre (a,b). i. Si f '(x)> 0 para toda x en (a,b), entonces es creciente sobre [a,b]. ii. Si f '(x)< 0 para toda x en (a,b), entonces es decreciente sobre [a,b]. Ejemplo : Determinar los intervalos sobre los cuales f (x)= x 3 3x 4x es creciente y los intervalos sobre los cuales es decreciente. Solución: La derivada es f '(x)= 3x 6x 4 Ahora determinar los intervalos para los cuales la función es creciente: f '(x)> 0 f '(x)= 3x 6x 4 = 3(x x 8) = 3(x 4)(x +) Resolver: (x 4)(x +)> 0 La solución: x (, ) (4, ) 1

2 Ahora determinar los intervalos para los cuales la función es decreciente: f '(x)< 0 Resolver: (x 4)(x +)< 0 La solución: x (,4) Ejemplo 3: Determinar los intervalos sobre los cuales f (x)= x es creciente y los xe intervalos sobre los cuales es decreciente. Solución: El dominio de la función es x x [0, ) La derivada: f '(x)= e (1 x) x e x Donde está indefinido en y es x x = 0 posilvo para el resto del dominio. Prueba para creciente/decreciente La función es creciente para 1 x > 0, o sea, en el intervalo (0,1). Y decreciente para 1 x < 0, o sea, en el intervalo (1, ). Valores Extremos (objelvos) Comprender la definición de extremos de una función en un intervalo. Comprender la definición de extremos relalvos de una función en un intervalo abierto. Encontrar los extremos en un intervalo cerrado. Extremos de una función Definición informal: Para una función f en un intervalo I, el valor máximo que Lene la función es el máximo de f, el valor mímimo que Lene la función es el mínimo de f. A estos valores se les llama valores extremos o simplemente extremos. También se les llama: mínimo absoluto y máximo absoluto en el intervalo.

3 Extremos (Absolutos) Sea f una función con dominio I. Entonces f Lene un valor máximo absoluto sobre I en un punto c, si f (x) f (c)paratodaxeni Extremos absolutos En otras palabras, el máximo absoluto es el mayor valor que toma la función en el dominio, y el mínimo absoluto el menor valor que toma la función en el dominio. y un valor mínimo absoluto en c, si f (x) f (c)paratodaxeni Extremos absolutos Extremos absolutos Valores extremos locales (relalvos) Considerar la gráfica de una función Extremos locales (relalvos) Definición: i. Un número es un máximo rela>vo de f (c ) 1 una función f si para toda f (x) f (c ) 1 x en algún intervalo abierto que conlene a. c 1 ii. Un número es un mínimo rela>vo de f (c ) una función f si para toda f (x) f (c ) x en algún intervalo abierto que conlene a. c 3

4 Extremos locales (relalvos) La pregunta como se oblenen los extremos locales? Los extremos locales ocurren en los puntos crílcos, esto es los puntos donde la derivada no existe o es de valor cero. Pero cuidado, no todos los puntos crílcos corresponden a extremos locales. Puntos crílcos Los puntos crílcos de una función f son puntos interiores del dominio donde f ' es cero o no está definida. Entonces, los únicos puntos del dominio donde una función puede tener valores extremos son los puntos crílcos y los puntos extremos del intervalo. Valores extremos Los únicos puntos donde una función f puede posiblemente Lene un valor extremo (local o global) son: 1. puntos interiores donde f '= 0. puntos interiores donde f ' no está definida 3. puntos extremos del dominio de f Determinar extremos absolutos 1. Evaluar en todos los puntos crílcos y en los f puntos extremos del intervalo.. Tomar el mayor y el menor valor de ellos. Ejemplo : Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f (x)= x en[,1]. Solución: La función es derivable en todo su dominio, solo Lene puntos crílcos para f '= 0 f '(x)= x = 0 x = 0 Ahora verificar los valores de la función en x = 0,x = $yx = 1 Valor en el punto crílco: f (0)= 0 Valores en los extremos del intervalo: f ( )= 4 f (1)= 1 La función Lene un valor máximo absoluto de 4 en x = y un valor mínimo absoluto de 0 en x = 0 4

5 Ejemplo : Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f (x)= x 3 en el intervalo [,3]. Solución: La primera derivada para determinar los puntos crílcos f '(x)= 3 x 1 3 = 3 3 x no Lene ceros, pero no está definida en x = 0 Ahora evaluar la función en el punto crílco y los puntos extremos del intervalo: Valor en el punto crílco: Valores en los puntos extremos: f (0)= 0 f ( )= ( ) 3 = f (3)= (3) 3 = Extremos locales Para determinar si un punto crílco corresponde a un extremo local se ullizan dos criterios: i. de la primera derivada. ii. de la segunda derivada. Una función f Lene un extremo local en un número crílco c donde f '(x) cambia de signo. Determinar los extremos locales de las siguientes funciones: f (x) = x 3 + x 3 f (x) = x 3 3x f (x) = 4x 5 5x 4 f (x) = 8x e x 5

6 Concavidad Ejercicio: Hacer el problema del libro de texto. f debe ser posilva f debe ser negalva Concavidad Si f ' crece, entonces f '' debe ser posilva, y f es cóncava hacia arriba. Si f ' decrece, entonces f '' debe ser negalva, y f es cóncava hacia abajo. Concavidad: considerar una función f para la cual f '' existe en un intervalo (a,b) Si f ''(x)> 0 para toda x en (a,b), la función es cóncava hacia arriba sobre (a,b) f. Si f ''(x)< 0 para toda x en (a,b), la función f es cóncava hacia abajo sobre (a,b). Concavidad Puntos de inflexión Ejemplo : Determinar los intervalos en los cuales la gráfica de es f (x)= x x cóncava hacia arriba y los intervalos en los cuales es cóncava hacia abajo. y''= 6x + 9 y''= y''( 3)= x 5 y''(0)noestádefinida 6

7 Puntos de inflexión Definición: Un punto (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f si en (c, f (c)) hay una recta tangente y la gráfica cambia de concavidad en ese punto. Teorema: Si (c, f (c)) es un punto de inflexión para la gráfica de f, entonces f ''(c)= 0 o f ''(c) no existe. Sea f una función para la cual f '' existe sobre un intervalo (a,b) que conlene al número crílco c. i. Si f ''(c)> 0 entonces f (c) es un mínimo relalvo. ii. Si f ''(c)< 0 entonces f (c) es un máximo relalvo. iii. Si f ''(c)= 0, entonces la prueba falla. Ejemplo: Ejercicios: f (x)= 4x 4 4x f (x)= x 3 (x +1) f ''(x)= x(10x +1x +3) f (x)= x 1 3 (x +1) f ''(x)= 9x 3 1 x 7