EXAMEN DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Transcripción

1 EXAMEN DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Se recomienda: a) Antes de hacer algo, leer todo el examen. b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta. d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. 1 Dada la siguiente función: fx e x x 3x 1 Se pide: 1.1 Estudia los intervalos de monotonía. (f 0.5 p; ceros f 0.5 p; tabla0.6 p)(# 1.6 p) 1. Dí cuáles son sus extremos relativos. (0.4 p)(# p) Dada la siguiente función: fx x 4 6x Se pide:.1 Estudia los intervalos de curvatura. (f 0.5 p; f 0.5 p;ceros f 0.4 p; tabla0.6 p)(# 1.5 p). Dí cuáles son sus puntos de inflexión. (0.4 p)(# 1.9 p) 3 Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión: Bn 8n 3 60n 96n Determina razonadamente: 3.1 El número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales. (1.4 p) 3. El valor de dichos beneficios máximos. (0.5 p)(# 1.65 p) 4 El coste de una marco para una ventana rectangular es de 50 euros por cada metro vertical y de 5 euros por cada metro de lado horizontal. Se desea construir una ventana de superficie igual a m. Calcúlense las dimensiones (largo y alto) para que el marco sea lo más barato posible. Calcúlese el precio mínimo del marco de dicha ventana. (f 0.6 p; minimizar1 p; mínimo0.5 p)(# 1.85 p) 5 Averígüese si la función fx x x 1 cumple las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo 1, 3. Caso de ser así, calcúlese el punto de dicho intervalo que lo verifica. (1.3 p) 6 Por qué no cumple la función fx 1 5 x las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo 1, 1? (1.3 p) fjsp curso 01/13 bhcs examen de aplicaciones de las derivadas 1

2 SOLUCIÓN 1 fx e x x 3x Estudia los intervalos de monotonía. Para derivar aplicamos las siguientes reglas: derivada del producto derivada de la exponencial derivada de un polinomio fx e x x 3x 1 e x x 3 e x x 3x 1 x 3 e x x x Ahora hacemos fx 0 e x x x 0 Como la exponencial nunca se anula habrá de ser x x 0 Ecuación de º grado completa con x b b 4ac a Luego x x x 1x Tenemos la tabla siguiente: a 1 b 1 c intervalo,1 x 1 1, x, signo fx 0 0 monotonía creciente decreciente creciente 1 Observa que e x es mayor que cero para cualquier valor de x, por lo tanto signo fx signo x x x,1 1 0 x 0 1, 0 0 x 3, Teniendo en cuenta la tabla anterior es: f tiene un máximo relativo en x 1 0. p f tiene un mínimo relativo en x 0. p Gráficamente es e x x 3x p 0.5 p 0.5 p y x fjsp curso 01/13 bhcs examen de aplicaciones de las derivadas

3 fx x 4 6x.1 Tenemos que calcular fx y fx, por lo que aplicamos la regla de la derivada de un polinomio. fx 4x x 0.5 p fx 1x p Hallamos dondes se anula esta última derivada: 0 1x 1 0 1x 1 0 x 1x p Tenemos la tabla siguiente: intervalo,1 x 1 1, 1 x 1 1, signo fx 0-0 curvatura cóncava hacia arriba cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba Observa que 1 es mayor que cero para cualquier valor de x, por lo tanto signo fx signo x 1 x, x 0 1, x, 0. Teniendo en cuenta la tabla anterior los puntos de inflexión estarían en x p Gráficamente es y p x 3 Bn 8n 3 60n 96n 3.1 Hemos de calcular Bn y ver donde se anula. Aplicamos la derivada de un polinomio: Bn 4n n p Ahora Bn 0 0 4n n n 5n 4 0 n 5n 4 Ecuación de º grado completa con a 1 b 5 c 4 x b b 4ac a p 5 Calculamos Bn para evaluarla en los puntos anteriores: Bn 48n 0.5 p si x 4 B entonces en un entorno de x 4 la función es cóncava con las ramas hacia abajo. Como B4 0, se tratará de un máximo. 0. p si x 1 B entonces en un entorno de x 1 la función es cóncava con las ramas hacia arriba. Como B1 0, se tratará de un mínimo. 0. p fjsp curso 01/13 bhcs examen de aplicaciones de las derivadas 3

4 Deberá tener cuatro tiendas. 0.1 p 3. B mil euros 0.5 p 4 Tenemos una ventana rectangular de dimensiones x e y : El coste de dicha ventana viene dado por Cx, y 50y 5x Pero nosotros no sabemos trabajar con dos variables; habremos de expresar una en función de la otra. Sabemos que x y 0 y 0 x Entonces Cx 50 0 x 5x 5x 00 x 5x 00x p Hemos de estudiar los extremos relaticos de está función. Hayamos Cx 5 00x 5 00 x Hacemos Cx x 00 x x x 5 40 x 40 4 Como estamos hablando de una medida, descartamos la solución negativa. Pero aún así, hemos de comprobar que la función alcanza un mínimo en ese punto. Hallamos Cx 000x x 3 Para calcular C Entonces en un entorno de la función es cóncava con las ramas hacia abajo Como se trataba de un punto done la primera derivada se anulaba, se tiene un mínimo en x 1 p Así y 0 Las dimensiones serán 0 euros 0.5 p 5 fx x x 1 Tenemos que: ancho m largo m para un precio de C, 50 5 Como se trata de una función polinómica es claramente continua en el intervalo cerrado 1, 3 Como se trata de una función polinómica es claramente derivable en el intervalo abierto 1, 3 f3 f1 Entonces por el Teorema del valor medio, existe algún punto c de 1, 3 con fc 0.7 p fjsp curso 01/13 bhcs examen de aplicaciones de las derivadas 4

5 Habremos de calcular: f3 f fx x 1 0. p 3 x 1 x x x p p 6 Por qué no cumple la función fx 1 5 x 1 x 5 las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo 1, 1? Tenemos que: f es continua en el intervalo cerrado 1, 1 0. p f no es derivable en todos los puntos del intervalo abierto 1, 1. En concreto no es derivable en x 0 0. p f f p fx 5 x x x x 3 no existe para x p fjsp curso 01/13 bhcs examen de aplicaciones de las derivadas 5